HUMBOLDTUNIVERSITÄT ZU BERLIN Mathematish-Naturwissenshaftlihe Fakultät II Institut für Mathematik Prof. Dr. Jürgen Guddat Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin Optimierung I Serie 11. (Abgabetermin: 05.07.05) Aufgabe 1 (4 Punkte) Betrahte die Folge xk = ( k 1 2 4 xk−1 k , , k k gerade ungerade Man untersuhe, ob die Folge {xk } (a) Q-superlinear konvergiert. (b) Q-quadratish konvergiert. Aufgabe 2 (6 Punkte) Ein Verfahren wird gradientenähnlih genannt, falls Rihtungen dk ∈ Rn verwendet werden, die die Bedingung (1) ∇f (xk )T dk ≤ −ρ||∇f (xk )|| ||dk ||, k = 0, 1, . . . mit einem festen ρ ∈ (0, 1] genügen. Derartige Rihtungen werden auh gradientenähnlih genannt. Als wihtige Klasse von gradientenähnlihen Verfahren betrahten wir Algorithmen, bei denen die Rihtungen dk im Iterationspunkt xk bestimmt werden durh (2) Hk dk + ∇f (xk ) = 0 mit einer Familie gleihmäÿig positiv deniter und beshränkter Matrizen Hk , d.h. Matrizen, für die mit Konstanten 0 < m ≤ M eine Abshätzung (3) m||z||2 ≤ z T Hk z ≤ M ||z||2 für alle z ∈ Rn gilt. Man weise nah, dass durh (2) und (3) gradientenähnlihe Rihtungen erzeugt werden. Mit welher Zahl ρ ∈ (0, 1] gilt die entsprehende Ungleihung (1)? Aufgabe 3 (6 Punkte) Sei f (x) = 12 xT Qx+cT x, Q ∈ Rn×n symmetrish, c ∈ Rn , eine streng konvexe quadratishe Funktion. Weiter sei d ∈ Rn eine Abstiegsrihtung von f im Punkt x ∈ Rn und α̂ = argmin f (x + αd) α≥0 bezeihne die durh die Minimierungsregel gelieferte Shrittweite. Man zeige, dass α = α̂ für alle λ ∈ (0, 12 ] der Armijo-Bedingung f (x + αd) − f (x) ≤ λα∇f (x)T d genügt, für alle λ > 1 2 aber niht.