Техническая термодинамика. Курс лекций. Лекция 3. Теплоемкость газов ....................................................................................... 1 3.1. Общие определения ............................................................................................. 1 3.2. Истинная и средняя теплоемкости ...................................................................... 2 3.3. Теплоемкость смеси газов ................................................................................... 3 3.4. Отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении cp и постоянном объеме cv........................................................................................ 4 Лекция 3. Теплоемкость газов Теплоемкость – важная физическая величина, с помощью которой можно определить количество теплоты, подведенное (отведенное) к термодинамическому телу, изменение внутренней энергии тела. Теплоемкость можно определить также методами молекулярно-кинетической теории газов и квантовой механики. Данные методы не нашли широкого распространения. Обычно в инженерных расчетах используют экспериментальные значения теплоемкостей веществ. 3.1. Общие определения Производная от количества теплоты по температуре в каком-либо термодинамическом процессе называется теплоемкостью (Дж/К): dQ C . (1) dT Отношение теплоемкости вещества к его массе называют удельной (массовой) теплоемкостью (Дж/(кг∙К)). Объемной теплоемкостью c' (Дж/(м3∙К)) называют отношение теплоемкости тела к его объему при нормальных условиях. Молярной теплоемкостью µc (Дж/(моль∙К)) называют величину, равную произведению массовой теплоемкости на молярную массу данного вещества. Связь между теплоемкостями можно представить в виде: c c; c c / 22,4 , 3 где ρ (кг/м ) – плотность вещества при нормальных условиях, 22,4 м3/моль – объем количества вещества 1 моль при нормальных условиях. Рассмотрим зависимость теплоемкости от характера процесса. Массовую теплоемкость можно представить в виде: dq du dl du dl c . (2) dT dT dT dT Величина dl/dT представляет собой удельную работу, которая зависит от характера процесса. Рассмотрим два случая нагрева идеального газа: при постоянном объеме: v = const; при постоянном давлении: p = const. Обозначим теплоемкости для этих процессов соответственно cv и cp. 1 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Для процесса v = const (2) примет вид cv u . А т.к. внутренняя энергия T v идеального газа зависит только от температуры, то можно записать cv du ; (3) dT т.к. dl = pdv, то при v = const второй член правой части (2) будет равен нулю. Из (3) следует, что изменение внутренней энергии в любом процессе идеального газа можно определить как du cv dT . (4) Для процесса p = const идеального газа (2) примет вид: dq du RdT ; (5) dT dT dT т.к. при p = const из pv = RT, дифференцируя, получаем pdv = RdT. Для процесса p = const теплоту можно представить в форме dqp = cpdT, тогда с учетом этого (5) можно представить в виде: dq p c p dT cv dT R, dT dT dT откуда c p cv R , или c p cv R . (6) Значение газовой постоянной R > 0, поэтому из (6) следует, что cp > cv. В процессе v = const для нагревания 1 кг газа на один градус требуется cv Дж теплоты, которая вся идет на увеличение внутренней энергии. В процессе p = const для нагревания 1 кг газа на один градус требуется cp Дж теплоты, из которых cv Дж идет на увеличение внутренней энергии, а (cp – cv) Дж или R Дж – на совершение работы. Из этого следует, что газовая постоянная R есть работа 1 кг газа при изменении его температуры на один градус в процессе постоянного давления. Разность теплоемкостей идеальных газов (pv = RT) – величина постоянная, поэтому достаточно определить только одну из теплоемкостей cp или cv, а другую можно найти из (6). Умножим все члены (6) на молярную массу, в результате получим: c p cv R R 8,314 Дж/(моль∙К). (7) В правой части уравнения (7) произведение µR представляет собой универсальную газовую постоянную Rµ, поэтому разность всех молярных теплоемкостей есть величина постоянная и одинаковая для всех идеальных газов. 3.2. Истинная и средняя теплоемкости Теплоемкость идеального газа зависит от температуры, а реального и от давления, поэтому различают истинную и среднюю теплоемкости. Производная от количества теплоты, подводимого к телу в процессе нагрева, по его температуре является истинной теплоемкостью (будем использовать удельные величины): 2 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) c dq dt , откуда dq cdt и для процесса с произвольным изменением температуры (9) 2 q cdt . (10) 1 Количество теплоты можно определить, если известна зависимость c = f(t), если для простоты принять c = const, то из уравнения (10) получим q c t2 t1 . (11) Однако при условии c = const точность определения по (11) может оказаться низкой. Поэтому в практических расчетах для определения количества теплоты по формуле (11) в нее подставляют среднее значение теплоемкости для диапазона температур t1 и t2. Средней теплоемкостью данного процесса в интервале температур от t1 до t2 называют соотношение q t c t2 1,2 (12) 1 t2 t1 количества теплоты q1,2 к разности температур t2 – t1. t Теплоемкость c t2 определяют по таблицам экспериментальных значений, 1 которые составлены для большинства веществ. Формула для определения средней теплоемкости вещества в произвольном диапазоне изменения температур от t1 до t2 на основании (12) и рис. 3.1 (экспериментальные результаты) имеет вид t t c 02 t2 c 01 t1 q t2 ct . (13) 1 t2 t1 t2 t1 Если из таблиц известны средние t t теплоемкости c 02 и c 01 , то по (13) можно определить теплоту, подведенную (отведенную) к данному Рис. 3.1. К определению средней веществу. Обычно в таблицах даются теплоемкости по формуле (13). средние значения молярных теплоемкостей для процесса p = const. 3.3. Теплоемкость смеси газов При расчете тепловых двигателей, компрессоров, теплообменников и т.п. приходится определять количество теплоты q1-2, подведенное (отведенное) к смесям газов. Для определения q1-2 можно воспользоваться уравнением (10), если известна теплоемкость заданной смеси газов cсм . 3 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Если состав смеси задан массовыми долями, то массовую теплоемкость смеси можно определить по формуле cсм g1c1 g 2c2 ... g n cn , (14) где g1, g2, …, gn; c1, c2, …, cn – соответственно массовые доли и теплоемкости компонентов газов, входящих в смесь. Если объем задан объемными долями, то ее объемную или молярную теплоемкость можно определить по формулам: r1c1 r2c2 ... rn cn , cсм (15) где r1, r2, …, rn; c'1, c'2, …, c'n – соответственно объемные доли и объемные теплоемкости компонентов газов, входящих в смесь; cсм r11c1 r2 2c2 ... rnn cn , (16) где r1, r2, …, rn; µ1c1, µ2c2, …, µncn – соответственно объемные доли и молярные теплоемкости компонентов газов, входящих в смесь. 3.4. Отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении cp и постоянном объеме cv Отношение k cp c p cp cv (17) cv cv широко используется в термодинамике. Величина k принимает различные значения для одно- (число степеней свободы молекулы i = 3), двух- (i = 5), трех- (i = 6) и многоатомных (i =6) идеальных газов. Представим отношение (17) в следующей форме (см. определение значений теплоемкости согласно МКТ): c 2 c 8,314 2 k p v 1 , или k 1 . (18) cv cv 4,16i i i На основании (18) получим для одно-, двух- и трехатомных идеальных газов соответственно следующие значения: k = 5/3 = 1,667; k = 7/5 = 1,4; k = 4/3 = 1,333. Формула (18) получена в рамках классической кинетической теории газов в результате допущений, упрощающих реальную физическую обстановку. Для идеальных газов значения k будут совпадать с приведенными, но т.к. теплоемкости всех реальных газов зависят от температуры, то экспериментальные значения k будут значительно отличаться от приведенных выше. Можно получить формулы для вычисления теплоемкости идеального газа, используя (6) и (17), следующим образом: c c R R k p v 1 , cv cv cv откуда R cv , (19) k 1 а т.к. cp = kcv, то k cp R. (20) k 1 4 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Если значение k известно, то по формулам (19) и (20) можно вычислить значения теплоемкостей реальных газов. 5 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)