определение отношения удельных теплоемкостей газов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ
АДИАБАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Теоретические замечания
Отношение количества теплоты dQ, сообщенного системе /телу/, к соответствующему повышению температуры dT называют теплоемкостью: C =
dQ
.
dT
Наиболее распространенным является определение теплоемкости как количества теплоты, которое необходимо затратить для изменения температуры
тела на 1o. Теплоемкость, отнесенную к единице количества вещества, называют удельной, отнесенную к молю – молярной (мольной) к единице объема –
объемной. Единицы измерения теплоемкости: Дж/кг⋅град, Дж/моль⋅град,
Дж/м³⋅град. Иногда употребляется внесистемная единица теплоемкости:
кал/моль⋅град.
Приведенное выше определение теплоемкости C =
dQ
не является достаdT
точным, так как количество теплоты dQ, сообщаемое телу, зависит от характера
процесса, в результате которого тепло перешло в новое состояние. Другими
словами, необходимо еще указать условия, при которых производиться нагревание. Эта неопределенность обусловлена тем, что количество теплоты не является функцией состояния тела в отличие, например, от внутренней энергии.
В связи с отмеченной неоднозначностью возможны различные определения теплоемкости. Так, для термодинамической системы, состояние которой
определяется параметрами p, V и T, различают теплоемкость при постоянном
объеме Cv и теплоемкость при постоянном давлении Cp . Эти теплоемкости характеризуются количеством тепла, сообщаемым системе, в условиях, когда остается неизменным соответственно либо объем, либо давление.
Согласно первому началу термодинамики, выражающему закон сохранения энергии в области тепловых явлений, теплота dQ, сообщаемая системе, затрачивается на увеличение внутренней энергии системы dU и на работу dA, которую система совершает над внешней средой. Первое начало выражается соотношением
dQ = dU + dA.
(Более строго это соотношение записывается так: δQ = dU + δA, чтобы
подчеркнуть то обстоятельство, что только dU является полным дифференциа-
1
лом, поскольку среди величин Q, U и A только U является функцией состояния
системы).
Работа dA в случае отсутствия магнитных и электрических явлений сопровождается только расширением системы, которая находиться под действием
внешнего давления p, и в этом случае dA = p⋅dV (dV > 0)
Таким образом, dQ = dU + p⋅dV
Если нагревание происходит при постоянном объеме (dV = 0), то все тепло тратится на увеличение внутренней энергии:
dQ = dU (V = const)
Отсюда вытекает, что Cv = (
dQ
dU
)v = (
)v
dT
dT
Так как в случае идеального газа внутренняя энергия является только
функцией температуры U = U(T) (см. ниже), то последнее можно записать
Cv =
dU
dT
Для изобарического процесса (p = const)
Cp = (
dQ
dU
dV
dV
)p =
+ p ( ) p = Cv + p ( ) p
dT
dT
dT
dT
В соответствии с уравнением состояния для идеального газа V =
RT
p
(для одного моля газа).
При p = const
(
dV
R
)p =
dT
p
и для Cp имеем Cp = Cv + R
Теплоемкость Cp всегда больше теплоемкости Cv (Cp>Cv). (Это неравенство носит общий характер и справедливо не только для газов, где превышение
Cp над Cv связано с работой, совершаемой газом при расширении /при p =
const/, но и для тех "исключительных" тел, объем которых уменьшается при нагревании, например, для резины.)
Следует помнить, что в системах, содержащих более одного компонента
или находящихся во внешних полях, например, гравитационном, электрическом, магнитном, определяющих состояние системы, возникают новые виды
теплоемкостей.
При описании некоторых физических явлений приходится иметь дело с
отношением удельных теплоемкостей, которые мы обозначим γ =
Cp
Cv
Одним их
таких процессов, играющих важную роль при изучении тепловых явлений, является адиабатический процесс. Для этого процесса характерна теплоизолиро2
ванность системы от внешней среды, процесс, как говорят, протекает без теплообмена с внешней средой. Значит, работа, совершаемая системой в этом случае, производится за счет изменения ее внутренней энергии.
Из первого начала термодинамики для адиабатического процесса (dQ = 0)
имеем dU + p⋅dV = 0.
В случае идеального газа dU = Cv⋅dT, отсюда для термически изолированной системы
(1)
CvdT + p⋅dV = 0
Из уравнения pV = RT простым дифференцированием получаем
pdV + Vdp = RdT
1
( pdV + Vdp)
R
C
Введя это в уравнение (1), имеем: v ( pdV + Vdp ) + pdV = 0,
R
Cv + R
C
pdV + v Vdp = 0,
R
R
C p dV dp
+
= 0,
Cv V
p
dT =
γ
dV dp
+
= 0.
V
p
Интегрируя, получаем:γlnV +lnp = const,
откуда p Vγ = const или иначе T Vγ-1 = const (т.к. p =
RT
)
V
Соотношения p Vγ = const, Vγ-1 = const иногда называют уравнениями Пуассона.
Молекулярно-кинетическая теория, рассматривая газ как собрание свободно движущихся частиц, подчиняющихся законам классической механики,
позволяет удовлетворительно объяснить некоторые основные свойства реальных газов, в частности дает возможность оценить порядок величин термодинамических характеристик Cp, Cv и γ .
Согласно представлениям кинетической теории, молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой, внутренняя энергия такого газа не зависит
от изменения объема и давления и является только функцией температуры. Если рассматривать одноатомный газ, то, поскольку частицы газа участвуют
только в поступательном движении, средняя кинетическая энергия частиц рав3
на kT . Каждая частица одноатомного газа, рассматриваемая как точечная
2
масса, имеет три степени свободы, то есть положение ее в пространстве может
3
быть определено тремя независимыми координатами. В силу полной беспорядочности движения считают, что в среднем на каждую степень свободы прихо1
дится энергия, равная kT . Внутренняя энергия многоатомных газов склады2
вается из кинетических энергий поступательного и вращательного движения
молекул. Применяя и в этом случае положение о равном распределении энергии по степеням свободы, можно подсчитать среднюю кинетическую энергию
i
многоатомной молекулы: ω = kT , где i – число степеней свободы молекул.
2
Внутреннюю энергию одного моля газа найдем, умножив эту энергию на
i
i
число молекул в одном моле: U 0 = NkT = RT , где N – число Авогадро.
2
2
Молярную теплоемкость газа при постоянном объеме получим, продифdU 0 i
= R.
ференцировав внутреннюю энергию по температуре: Cv =
dT
2
Используя соотношение между молярными теплоемкостями Cp = Cv+R,
выразим через число степеней свободы молекулы теплоемкость Cp и отношение
Cp i + 2
i
i+2
=
.
R, γ =
теплоемкостей γ: C p = R + R =
Cv
i
2
2
В работе требуется найти отношение удельных теплоемкостей воздуха.
Поскольку воздух состоит в основном из смеси двухатомных газов (водорода,
кислорода, азота) и каждой молекуле приписывают пять степеней свободы, то
отношение теплоемкостей для воздуха будет равно γ = 1,40. Это довольно хорошо согласуется по порядку величины с экспериментальными данными, полученными для чистого воздуха, свободного от CO2 и паров воды при нормальных условиях.
3. Описание установки и вывод рабочей формулы
Величину Cp экспериментально можно найти обычным калориметрическим способом, но определение Cv на опыте связано со значительными трудностями; вследствие этого представляется более удобным, найдя предварительно
величину Cp вычислить Cv по известным Cp и γ. Определение численного значения величины γ является целью предлагаемой работы.
Идея опыта заключается в следующем: допустим, что некоторая масса газа m = const (меньшая, чем масса всего воздуха в сосуде) характеризуется начальным состоянием I: объемом V0 , давлением p0+H (p0 – атмосферное давление, H – разность уровней жидкости в манометре) и температурой T0. Заста4
вим газ быстро расширяться. Кратковременность процесса позволяет считать
тепловой обмен с окружающей средой отсутствующим, т.е. процесс быстрого
расширения – адиабатическим; в конце процесса состояние II (для той же массы m) будет определяться объемом V1>V0 , давлением p0 и температурой T1<T0.
Предоставим газу нагреваться при постоянном объеме до прежней температуры
T0, которая равна температуре окружающей среды. В конце этого процесса состояние III будет характеризоваться прежним объемом V1, давлением p0+H' и
температурой T0. При адиабатическом процессе перехода газа из состояния I в
состояние II будет выполняться условие
p0V1γ = ( p0 + H )V0γ
(2)
Состояние I и III характеризуются одинаковой температурой, следовательно, переход массы газа m из состояния I в состояние III можно осуществить
и по изотерме, т.е.
(p0 + H)V0 = (p0 + H')V1
(3)
V0 γ ( p + H ' ) γ
V0 γ
p0
и( ) =
Равенства (2) и (3) можно переписать ( ) =
V1
p0 + H
V1
( p0 + H ) γ
Откуда
 p + H'
p0

=  0
p0 + H  p0 + H 
γ
Логарифмируя, имеем: ln
p0
p + H'
= γ ln 0
.
p0 + H
p0 + H

H 
p0

ln1 −
p
+
H
p0 + H
0


Определяем отсюда γ: γ = p + H ' =
 H − H'
ln 0

ln1 −
p0 + h
p0 + H 

ln
1
2
1
3
Разлогая логарифмы в ряды по формуле ln(1 − x) = − x + x 2 − x 3 + ...., и ограничиваясь только первыми членами разложения, найдем приближенно:
H
p0 + H
H
γ=
=
H − H' H − H'
−
p0 + H
−
Таким образом, осуществив описанный выше процесс, мы можем для определения величины γ ограничиться наблюдением над изменениями давления газа (H и
H').
Для производства опыта служит
прибор (рис. 5), состоящий из большой
стеклянной бутылки A, в горловину которой вставлена пробка, залитая для гер5
метизации менделеевской замазкой; через пробку проходит латунная трубка,
имеющая два отвода: один из них a соединен с насосом, служащим для накачивания воздуха в сосуд, другой c связан с манометром M. Сверху латунная трубка плотно закрывается резиновой пробкой b.
4. Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений
1. Накачать в сосуд А воздух до давления 20–30 см по манометру М и
закрыть зажим на резиновом шланге.
2. Через некоторое время, когда разность уровней манометрической
жидкости установиться примерно постоянной, производят отсчет давления по
манометру (H).
3. Затем вынимают пробку (b), тем самым давая возможность газу расшириться, и через очень короткий промежуток времени (2–3с.) снова плотно
закрывают отверстие. Таким образом, осуществляется адиабатический процесс
перехода газа из состояния I в состояние II. Так как при этом газ в баллоне сообщается с окружающим воздухом, то, очевидно, давление его падает до атмосферного р0 . Вместе с тем понижается температура газа. Предоставленный самому себе газ начинает нагреваться за счет теплоты окружающей среды, и его
давление, наблюдаемое по манометру, растет.
4. Замечают момент, когда показания манометра достигают максимума,
и производят отсчет H' .
5. По полученным величинам H и H' вычисляют гамма. Опыт повторяют
несколько раз, записывая результаты наблюдений в таблицу.
6. Рассчитать среднее значение γ и погрешности измерений (абсолютную и относительную).
7. Рассчитать погрешность метода измерений по формуле
δ=(
∆H ср ∆( H − H ' ) ср
∆γ
) мах =
+
′
γ
H ср
H ср − H ср
Определение отношения удельных теплоемкостей газов
γ
γср.
∆γ
∆γср.
(∆γср./γср.)⋅100%
N
H
H'
5. Контрольные вопросы
6
1. Дайте определения удельных теплоемкостей газов.
2. Объяснить, почему удельная теплоемкость при p = const больше удельной теплоемкости при V = const.
3. Дайте определения первого и второго начал термодинамики.
4. Каковы основные представления кинетической теории газов?
5. Выведите рабочую формулу.
6. Объясните понижение температуры при переходе газа в баллоне из состояния I в состояние II.
7. Опишите измерительную установку и последовательность проведения
эксперимента.
6. Список рекомендуемой литературы
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Физматлит, 2005, 544 с.
2. Савельев И.В.. Курс общей физики. т. 3. Термодинамика и молекулярная физика. Спб; М; Краснодар: Лань, 2005.
7