расчет балки на поперечный удар и вынужденные колебания

Федеральное агентство по образованию
Томский государственный архитектурно-строительный
университет
РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР И
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Методические указания
Составители
И.Ю. Смолина, Н.А. Фурсова
Томск 2010
Сопротивление материалов. Расчет балки на поперечный
удар и вынужденные колебания: методические указания/ сост.
И.Ю. Смолина, Н.А. Фурсова.  Томск: Изд-во Том. гос. архит.строит. ун-та, 2010. – 20 с.
Рецензент к.т.н., доцент В.И. Савченко
Редактор Е.Ю. Глотова
Методические указания предназначены для выполнения практической и самостоятельной работы студентов всех специальностей
очной и заочной форм обучения.
Печатаются по решению методического семинара кафедры
строительной механики № 9 от 22.05.2010 г.
Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе В.В. Дзюбо.
с 01.12.2010
по 01.12.2015
Подписано в печать
Формат 60х90/16. Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет.
Уч.-изд.л. 1.1. Тираж 200 экз. Заказ №
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2.
Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ.
634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.
2
ВВЕДЕНИЕ
Удар – один из частных случаев динамического нагружения. Ударом называется механический процесс соприкосновения двух тел, протекающий в течение очень короткого промежутка времени. Строгое теоретическое решение задачи об ударе
твёрдых деформируемых тел потребует учёта волновых процессов распространения усилий, деформаций, напряжений в соударяющихся телах. Для инженерных расчётов приемлема техническая теория удара, построенная с учётом следующих упрощающих допущений:
– напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности;
– тела после удара не отделяются друг от друга;
– масса ударяемого тела не учитывается;
– энергия, перешедшая в теплоту и в колебательные движения соударяющихся тел, не учитывается;
– скорость распространения деформаций считается постоянной;
– местными деформациями пренебрегаем.
Динамические напряжения и перемещения при ударе определяются по следующим формулам:
дин = Кд∙cт,
(1)
 дин = Кд∙  ст .
(2)
Здесь Кд – динамический коэффициент, определяемый зависимостью:
2h
,
(3)
Кд  1  1 
 ст Q 
где h – высота падения груза весом Q;
 ст (Q ) – перемещение точки соударения от статической силы, равной весу падающего груза Q по направлению удара.
3
Формулы (1), (2) с учётом (3) показывают, что динамические напряжения и перемещения зависят от статического перемещения ударяемого тела. Чем больше статическое перемещение (при прочих равных условиях), тем меньше динамические
напряжения и перемещения. Вот почему для смягчения удара
применяют упругие резиновые прокладки или устанавливают
пружины.
Характерной особенностью динамических нагрузок является то, что в результате их воздействия возникают колебания
сооружений и их отдельных элементов. При колебаниях появляются силы инерции, которые могут во много раз превосходить
усилия, возникающие от действия статических нагрузок. Поэтому динамические нагрузки значительно опаснее статических.
Общий метод расчёта на динамическую нагрузку основан
на принципе Даламбера. Согласно этому принципу, всякое движущееся тело может рассматриваться как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него
внешним силам добавить силу инерции, равную произведению
массы тела на его ускорение и направленную в сторону, противоположную ускорению.
Рассмотрим невесомую балку с установленным на ней
электродвигателем весом Р (рис. 1).
Балка под действием этого груза находится в состоянии
статического равновесия. В некоторый момент времени включаQ
ется двигатель, имеющий неуравновешенную массу m  1 ,
g
вращающуюся с угловой скоростью  по окружности радиуса r.
При равномерном вращении ускорение а тела, расположенного на расстоянии r от оси вращения, направлено к этой
оси (центростремительное ускорение) и определяется по формуле а =  2  r. В результате этого на балку действует периодическая возмущающая сила S, амплитудное значение которой S а
равно
4
Q1 2
 r,
g
где Q1 – вес неуравновешенной массы m;
g – ускорение силы тяжести.
S A  m  a  m   2 r 
(4)
S

m
r
y
z
C
D
P
A A
Δст.(P)
B
2
l
3
1
l
3
y
S
Sy 
St x
х
Рис.1. Балка с установленным на ней электродвигателем
Вертикальная составляющая силы Sa, вызывающая изгиб
балки, равна Sу = SA sin   t. Влиянием горизонтальной составляющей Sх силы SA пренебрегаем ввиду малости перемещений
в горизонтальном направлении. Частота вынужденных колебаний балки  (угловая скорость вращения вала двигателя) зависит от числа оборотов вала двигателя в минуту n и определяется
по формуле:
n

.
(5)
30
Значения напряжений и перемещений в балке, совершающей
упругие колебания при отсутствии сил сопротивления, определяются выражением (1) и (2), а динамический коэффициент Кд
вычисляется через амплитуду колебаний A по формуле
5
Q1  2 r
А
 ст ( S А )
SA
, (6)
Кд 1
1   
 1
 1
 ст ( Р )
 cт ( P)
P
gт
где  ст (т )  перемещение того сечения балки, где установлен
двигатель от статической силы, равной весу двигателя Р;
 ст ( S A ) − перемещение того сечения балки, где установлен
двигатель от статической силы, равной амплитудному значению
SA возмущающей силы S;
 − коэффициент нарастания колебаний [1], определяемый
зависимостью:
1

,
(7)
2
1 2

здесь  − угловая частота собственных (свободных) колебаний
балки, определяемая выражением
g
.
(8)

 ст ( т)
Из формул (6) и (7) видно, что при значениях частоты вынужденных колебаний , приближающихся к частоте собственных колебаний балки , коэффициент нарастания колебаний  ,
а следовательно, и динамический коэффициент Кд неограниченно возрастает.
Резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении
частот собственных колебаний балки и вынуждающей силы называется резонансом, а само совпадение частот называется условием резонанса [4].
Поскольку рост амплитуд колебаний сопровождается соответствующим ростом напряжений, возникающих в колеблющихся элементах, то вопросы резонанса при расчёте конструкций имеют важнейшее значение. Для обеспечения прочности
конструкции, подвергаемой действию возмущающей силы, необходимо добиваться достаточного различия частоты возму-
6
щающей силы  и частоты свободных колебаний . Частота 
обычно задается заранее, поэтому для выполнения указанного
требования стремятся запроектировать конструкцию так, чтобы
частота ее свободных колебаний , определяемая по формуле
(8), отличалась от частоты вынужденных колебаний  не менее,
чем на 25 %. Это условие определяет зависимость:


(9)
     0,75.


1. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА БАЛКИ НА ПОПЕРЕЧНЫЙ
УДАР И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Пример 1. Рассмотрим балку, на которую с высоты h падает груз весом Q. Балка состоит из двух неравнополочных
уголков № 20/12,5 толщиной 16 мм.
Необходимо проверить прочность и жесткость балки при
заданном допускаемом напряжении [σ] и перемещении []. Посчитать, как изменится напряжение в балке, если вместо жесткой левой опоры установить пружину жесткостью С.
Числовые данные для расчёта балки:
l = 350 см; h = 8 см; Q = 10 кН;
Iz = 2026,08 см4;
Е 2,1 105 МПа ;
  180 МПа; Wz = 152,41 см3.
  3 мм; С  3000 н/см.
Расчетная схема балки представлена на рис. 2.
Q
h
y
D
2
l
3
C
x
1
l
3
Рис. 2. Расчётная схема нагружения балки
7
z
Рассмотрим случай статического приложения нагрузки Q
в сечении В балки (рис. 3).
Q
B
D
C
2
l
3
x
1
l
3
Эп. MQ
2
Ql  7,778 кН  м
9
1
B
D
2
l
3
C
x
1
l
3
Эп. M1
2
l  0,778 м
9
Рис. 3. Схема статического нагружения балки силой Q и
единичной силой и соответствующие им эпюры изгибающих
моментов
Определим перемещение сечения В:  ст (Q ).
Нагрузив балку в точке удара В силой Q и единичной силой, по формуле Мора путём перемножения соответствующих
эпюр по правилу Верещагина получим
8
1
 ст (Q )
EI z
l

0
M Q M 1 dx
1
EI z
  1 2 2Q    2 2 
   
  
9  3 9 
 2 3
 1  2Q   2 2   4Q 3
4  10  103  3,53
   
  

 (10)
11
8
2
3
9
3
9
243
EI
243

2
,
1

10

2

2026
,
08

10




z

 8,29  10  4 м  0,0829 см
Максимальное статическое напряжение в балке
М
2Q 2  10  103  3,5
 стmax  max 

 25,52 МПа . (11)
Wz 9Wz 9  2  152,41  10 6
Вычисляем динамический коэффициент Кд по формуле (3):
Кд  1  1 
28
 14,93.
0,0829
(12)
Условие прочности при действии ударной нагрузки имеет вид:
max
 max
(13)
дин  К д  ст    .
По формуле (1) вычисляем  max
дин :
 max
дин  14,93  25,52  381 МПа .
Очевидно, что условие прочности (13) не выполняется:
 max
дин  381МПа  [  ]  180 МПа.
Определим максимальное динамическое перемещение по
формуле (2):
 max
дин  14,93  0,0829  1,238 см  12,38 мм.
Проверим выполнение условия жесткости:
9
 max
дин  12,38 мм     3 мм.
Условие жесткости не удовлетворяется.
Для смягчения отрицательного действия удара заменим
левую жесткую опору пружиной жесткостью С (рис. 4).
Δст.(Q)
ΔД
C
1
Q
3
Δст.полн.(Q)
B
D
⅓ΔД
Q
2
Q
3
2
l
3
1
l
3
Рис. 4. Балка, опирающаяся левым концом на пружину
При действии на балку статической силы Q пружина под влия1
нием опорной реакции, равной Q , укоротится на величину 
3
Q
 D
. Левый конец балки (сечение D) опустится на величину
3C
D, а сечение В под силой Q 
на величину
3
1
Q 10  10
 D

 0,37 см. Полное вертикальное перемеще3
9C 9  3000
ние от статического действия силы Q в месте удара равно сумме
величины прогиба  ст (Q), найденного ранее при расчете балки
без пружины, и перемещения, вызванного сжатием пружины,
т.е.
10

полн
ст
Q  
4Q 3
Q

 0,0829  0,37  0,453 см.
243EI Z 9C
Определяем значение динамического коэффициента:
К д  1  1 
2h
полн
ст

Q 
1 1
2 8
 7,03.
0,453
Определяем максимальное динамическое напряжение:

max

 max,
дин   ст  К дин  25,52  7,03  179,41 МПа .
Проверим выполнение условия прочности (13):
 max
дин  179,41МПа     180 МПа .
Условие прочности при установке пружины выполняется.
Пример 2. Рассмотрим балку, на которой в сечении В (рис.
1) укреплён электродвигатель весом Р=1 кН, совершающий
n=800 оборотов в минуту. Неуравновешенный груз весом
Q1=80 Н имеет радиус вращения r = 6 cм. Балка состоит из двух
неравнополочных уголков № 20/12,5 толщиной 16 мм.
Необходимо проверить, не возникнет ли резонанс, а также
определить наибольшее напряжение в балке и ее наибольшее
перемещение.
Определяем частоту вынужденных колебаний балки по
формуле (5):
  800

 83,73 c 1 .
30
11
Перемещение сечения балки, где установлен электродвигатель от статической силы, равной весу двигателя Р(ст (Р)) вычисляется по формуле, аналогичной (10):
 ст P  
4т 3
4  1  103  3,53


243EI Z 243  2,1  1011  2  2026,08  10 8
(14)
4
 0,829  10 м.
По формуле (8) определяем частоту собственных колебаний балки:

g
9,81

 344 c 1.
 cт ( p )
0,829  10  4
Определим значение  
 83,73

 0,243  0,75.
 344
Следовательно, условие (9) выполнено, опасности резонанса нет.
Определим максимальное статическое напряжение в балке
от веса электродвигателя Р по формуле, аналогичной (11):
2 P
2  1  103  3,5
 стmaх 

 2,55 МПа.
9Wz 9  2  152,41  10  6
По формуле (7) определим значение коэффициента нарастания колебаний :

1
1

 1,063.
2
2

83
,
73


1 2 1 


 344 
12
Определяем по формуле (4) амплитудное значение возмущающей силы SA:
Q 2 r 0,08  (83,73) 2  0,06
SA  1

 3,43 кН.
g
9,81
По формуле (6) определяем значение динамического коэффициента Кд:
S
3,43
K д  1   A  1  1,063 
 4,646.
P
1
По формуле (1) определяем максимальное динамическое
напряжение
max
 max
 4,646  2,55  11,85 МПа.
дин  K д  ст
Определим максимальное динамическое перемещение
балки по формуле (2):
max
4
 max
 3,85  10 4 м  0,385 мм.
дин  K дин   ст Р   4,646  0,829  10
Максимальное динамическое напряжение и перемещение
можно определять, не вычисляя коэффициент Кд (6) , а используя только коэффициент  (7), который в данном случае называют динамическим коэффициентом:
max
max
 max
дин   ст P      ст S A   2,55  1,063  8,75  11,85 МПа;
4
 max

дин   ст P   А   ст ( P )     ст S A   0,829 10
 1,063  2,84 10  4  3,85 10 4 м,
где
13

max
ст
 ст S A  
S A   2  S A   
9Wz
2  3,43  10 3  3,5
 8,75 МПа ;
9  2  152,41  10 6
4S A3
4  3,43  103  3,53

 2,84  10  4 м.
243EI z 243  2,1  1011  2  2026,08  10 8
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Писаренко, Г.С. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко,
В.А. Агарев, А.Л. Квитка [и др.].  Киев, Вища школа: 2007. 
776 с.
2. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С.
Шпиро.  М.: Высшая школа, 2008.  654 с.
3. Александров Н.В. Сопротивление материалов / Н.В. Александров. В.Д. Потапов, Б.П. Державин  М.: Высшая школа,
2009.  560 с.
4. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев.
 М.: Изд-во МТУ, 2005.  592 с.
14
Приложение 1
Задача № 1. Груз весом Q падает на балку с высоты h.
Требуется:
1. При заданном сечении балки проверить прочность и жесткость.
2. Определить, как изменятся напряжения, если левый конец балки опереть на пружину, жесткость которой равна С.
Задача № 2. В сечении С рассматриваемой балки укреплен
двигатель весом Р, делающий n оборотов в минуту. Вращающаяся масса неуравновешенного груза Q1 имеет радиус вращения r. Требуется:
1. Вычислить частоты собственных и вынужденных колебаний.
2. Определить динамический коэффициент и нормальные
напряжения.
3. Проверить, является ли данное число оборотов безопасным для прочности балки.
15
Приложение 2
Исходные данные для расчета
h,
см
C,
Н/см
Q,
кН
1
200
10
500
2
220
15
3
240
4
E,
МПа
[],
МПа
[fдин.],
см
Р,
кН
n,
об/мин
Q1,
Н
r,
см
2,0
140
0,8
1,0
800
50
12
1000
1,9
150
1,2
1,2
600
60
15
10
1500
1,8
160
1,0
1,4
500
70
14
260
5
2000
1,7
170
0,9
1,2
400
80
12
5
300
5
3000
1,5
190
0,7
1,6
800
100
5
6
320
10
1000
1,4
200
0,6
1,8
1000
90
6
7
280
8
2500
1,6
180
0,8
1,4
600
90
10
8
340
8
2000
1,3
190
0,5
1,0
1200
80
7
9
360
5
2500
1,1
180
0,6
1,8
1400
70
8
10
380
10
3000
1,2
170
0,7
1,6
1200
60
9
11
400
8
1000
1,0
160
1,8
1,0
1000
50
10
12
300
15
2000
1,2
150
1,0
1,5
1200
80
9
13
200
20
1500
1,4
140
1,0
2,0
1400
100
8
14
250
10
1000
1,6
160
1,2
2,4
1000
50
7
15
350
8
3000
1,6
180
1,4
1,0
800
80
6
2,1·105
l,
см
№
16
Приложение 3
Варианты заданий для расчетно-проектировочной работы
«Расчет балки на поперечный удар и вынужденные колебания»
17
1
2
3
4
5
6
7
8
Q
Q
h
c
c
l
3
h
l
3
2l
3
9
10
11
12
13
14
2l
3
18
15
`
16
17
18
19
20
21
22
19
23
24
Q
h
c
l
25
26
27
28
29
l
5
30
20