Билет № 20 1. Второй признак подобия треугольников. 2. Построение биссектрисы данного угла. Вопрос № 1 Второй признак подобия треугольников Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Дано: ∆ АВС и ∆ А1В1С1, ∠ А = ∠ А1, АВ = АС . А1В1 А1С1 Доказать: ∆ АВС ~ ∆ А1В1С1 . C С1 A 1 2 B A1 B1 С2 Доказательство Чтобы доказать, что треугольники подобны, достаточно доказать, что ∠ В = ∠ В 1 , тогда согласно I признаку подобия ∆ АВС будет подобен ∆ А1В1С1 по двум углам: ∠ А = ∠ А1 по условию теоремы , а ∠ В = ∠ В1 по доказанному. Рассмотрим ∆ АВС2 , у которого ∠ 1 = ∠ А1, ∠ 2 = ∠ В1, тогда ∆ АВС2 ~ ∆ А1В1С1 по I признаку подобия треугольников (по двум углам). В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны, АС 2 АВ АВ АС поэтому = , а по условию теоремы = , тогда АС =АС2. А1 В1 А1С1 А1 В1 А1С1 Рассмотрим ∆ АВС и ∆ АВС2: а) АВ – общая сторона; б) АС = АС2 по доказанному выше; в) ∠ А = ∠ 1, так как ∠ А =∠ А1, ∠ А1 = ∠ 1. ΔАВС ΔАВС Следовательно, ∆ АВС = ∆ АВС2 по I признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому ∠ В = ∠ 2 , а так как ∠ 2 = ∠ В1, то ∠В = ∠В1 . ΔАВС ΔАВС ΔАВС2 Получили, что в ∆ АВС и ∆ А1В1С1 ∠ А = ∠ А1 и ∠ В = ∠ В1, поэтому по I признаку подобия треугольников ∆ АВС ~ ∆ А1В1С1. Итак, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Ч.т.д. Вопрос № 2 Построение биссектрисы данного угла Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Дано: ∠АВС. Построить: биссектрису ∠АВС. Построение Проведем окружность с центром в вершине В и произвольным радиусом. Она пресекает стороны угла в точках М и N. Затем проведем две окружности с центрами в точках М и N и тем же радиусом. Точку пересечения этих окружностей обозначим D. Проведем луч BD. Этот луч и будет являться биссектрисой ∠АВС. A A A A N N • • B •D • • М • C B N • М C • • • B • М D C N • • • B 1 2 • М D C 1) ω(В; r), r − произвольный радиус; ω(В; r) ∩ ВС = М; ω(В; r) ∩ ВА = N; 2) ω(М; r), ω(N; r); ω(М; r) ∩ ω(N; r) = D; 3) луч BD – биссектриса ∠АВС. Доказательство Соединим точку D с точками М и N. Рассмотрим получившиеся треугольники ВND и ВMD. BN = BM как радиусы одной и той же окружности, ND = MD по построению, BD − общая сторона. Следовательно, ∆ ВND и ∆ ВMD по III признаку равенства треугольников (по трем сторонам). В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому ∠1 = ∠2, то есть BD − биссектриса данного ∠АВС. Ч.т.д. Исследование. Задача имеет единственное решение. Замечание. Данный угол можно разделить с помощью циркуля и линейки также на четыре (восемь, шестнадцать…) равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить еще раз пополам… А вот разделить данный угол с помощью циркуля и линейки на три равных угла нельзя. Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в позапрошлом веке было доказано, что для произвольного угла такое деление невозможно.