ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ïðîìåæóòêå äëèíû 0,001 èç èíòåðâàëà (0; 1) íàéäåòñÿ çíà÷åíèå a, ïðè êîòîðîì îí ñìîæåò äîáèòüñÿ æåëàåìîãî ðåçóëüòàòà ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ðàçðåçîâ? (11) À.Øàïîâàëîâ 24. Êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè â íåêîòîðîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (äåêàðòîâîé) ñëóæèò ãðàôèêîì ôóíêöèè y = sin x . Ìîæåò ëè òà æå êðèâàÿ ÿâëÿòüñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = sin2 x â äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, è åñëè äà, òî êàêîâû åå íà÷àëî êîîðäèíàò è åäèíèöû äëèíû íà îñÿõ (îòíîñèòåëüíî èñõîäíûõ êîîðäèíàò è åäèíèö äëèíû)? (11) Ôîëüêëîð, À.Êàíóííèêîâ, È.Ñåðãååâ 25. Âåðíî ëè, ÷òî ëþáûå 100 êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíî ïî îäíîé öèôðå 1, 2 èëè 3, âñòðå÷àþùåéñÿ íå áîëåå ÷åì ïî 50 ðàç êàæäàÿ, ìîæíî ðàçëîæèòü â îäèí ðÿä òàê, ÷òîáû â íåì íå áûëî ôðàãìåíòîâ 11, 22, 33, 123 è 321? (11) Ï.Áîðîäèí 26. Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ABC âçÿòà òàêàÿ òî÷êà O, ÷òî ∠ABO = ∠CAO, ∠BAO = ∠BCO, ∠BOC = 90°. Íàéäèòå îòíîøåíèå AC : OC. (11) 27. Ïðè êàêîé ïåðåñòàíîâêå a1, a2, … , a2011 ÷èñåë 1, 2, ..., 2011 çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ a2011 a … 2010 a 3 a2 a1 áóäåò íàèáîëüøèì? (11) Î.Êîñóõèí 28. Ïî ðåáðàì òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû ïîëçàþò ÷åòûðå æóêà, ïðè ýòîì êàæäûé æóê âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ òîëüêî â îäíîé ãðàíè (â êàæäîé ãðàíè ñâîé æóê). Êàæäûé æóê îáõîäèò ãðàíèöó ñâîåé ãðàíè â îïðåäåëåííîì íàïðàâëåíèè, ïðè÷åì òàê, ÷òî ëþáûå äâà æóêà ïî îáùåìó äëÿ íèõ ðåáðó ïîëçóò â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñêîðîñòè (âîçìîæíî, íåïîñòîÿííûå) êàæäîãî èç æóêîâ âñåãäà áîëüøå 1 ñì/ñ, òî êîãäà-íèáóäü êàêèå-òî äâà æóêà îáÿçàòåëüíî âñòðåòÿòñÿ íåçàâèñèìî îò ïèðàìèäû, íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè æóêîâ. (11) Ôîëüêëîð Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ñ.Äîðè÷åíêî, Å.Åïèôàíîâ È.Ñåðãååâ Èçáðàííûå çàäà÷è Ìîñêîâñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû Ïåðâûé òåîðåòè÷åñêèé òóð 7 êëàññ 1. Êðàñíàÿ Øàïî÷êà èñïåêëà 20 ïèðîãîâ, ñëîæèëà èõ â êîðçèíêó è îòïðàâèëàñü ÷åðåç ëåñ ê áîëüíîé áàáóøêå. Êîãäà äî áàáóøêè åé îñòàâàëîñü ïðîéòè 3 êì, èç êóñòîâ âûñêî÷èë ãîëîäíûé âîëê ñ ÿâíûì íàìåðåíèåì ñúåñòü õîòü ÷òî-íèáóäü. Óâèäåâ åãî, Êðàñíàÿ Øàïî÷êà áðîñèëà íà çåìëþ îäèí ïèðîã è ïîáåæàëà ñî ñêîðîñòüþ 2,5 ì/ñ. Âîëê ñúåë ïèðîã çà 1 ìèí è ïîáåæàë çà Êðàñíîé Øàïî÷êîé ñî ñêîðîñòüþ 5 ì/ñ. Òîãäà Êðàñíàÿ Øàïî÷êà ñòàëà áðîñàòü ïèðîãè, êàê òîëüêî âîëê íà÷èíàë åå äîãîíÿòü, è òàê äîáåæàëà äî áàáóøêèíîãî äîìà. Ñêîëüêî ïèðîãîâ äîñòàëîñü áàáóøêå? Ì.Ñåìåíîâ 2. Íàáëþäàÿ çà êîêîñîì, ñâîáîäíî ïàäàþùèì ñ âåðøèíû ïàëüìû, òóðèñò îáíàðóæèë, ÷òî ïðîéäåííîå êîêîñîì ðàññòîgt2 , ãäå ÿíèå s çàâèñèò îò âðåìåíè ïàäåíèÿ t êàê s = 2 2 g = 10 ì ñ . Òóðèñò òàêæå îïðåäåëèë, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü êîêîñà çà âðåìÿ ïàäåíèÿ ñîñòàâëÿåò vñð = 5 ì/ñ. Îïðåäåëèòå âûñîòó ïàëüìû. Ì.Ðîìàøêà 3. Áðàòüÿ Êîëÿ è Ñàøà åõàëè íà àâòîáóñå èç ïóíêòà A â ïóíêò B. Äîðîãà ñîñòîÿëà èç äâóõ ÷àñòåé, íà êàæäîé èç êîòîðûõ àâòîáóñ åõàë ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Íà ïåðâîé ÷àñòè ñêîðîñòü àâòîáóñà áûëà v1 , à íà âòîðîé v2 . Ñðåäíÿÿ v + v2 ñêîðîñòü àâòîáóñà íà âñåì ïóòè îêàçàëàñü ðàâíîé v = 1 . 2 Êîëÿ è Ñàøà ïîñïîðèëè î òîì, êàê ñîîòíîñÿòñÿ äëèíû ýòèõ ÷àñòåé ïóòè è âðåìåíà èõ ïðîõîæäåíèÿ. Êîëÿ ñ÷èòàåò, ÷òî àâòîáóñ ïîëîâèíó ïóòè åõàë ñî ñêîðîñòüþ v1 , à äðóãóþ ïîëîâèíó ïóòè ñî ñêîðîñòüþ v2 . Ñàøà ñ÷èòàåò, ÷òî àâòîáóñ ïîëîâèíó âðåìåíè åõàë ñî ñêîðîñòüþ v1 , à äðóãóþ ïîëîâèíó âðåìåíè ñî ñêîðîñòüþ v2 . Ìîæíî ëè èç óñëîâèÿ çàäà÷è îïðåäåëèòü, ïðàâ ëè êòî-íèáóäü èç áðàòüåâ, è åñëè äà, òî êòî èìåííî? Ì.Ðîìàøêà 4.  Èíòåðíåòå ñåé÷àñ ìîæíî íàéòè âèäåîçàïèñè ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ îïûòîâ, â ÷àñòíîñòè òàêîãî: ãðóïïà ñòóäåíòîâ íàïóñêàåò â áîëüøîå êîðûòî äî êðàåâ êàêîé-òî òÿæåëûé ãàç èç áàëëîíà, à ïîòîì êëàäåò íà ïîâåðõíîñòü ýòîãî ãàçà ìîäåëü êîðàáëÿ, ñîãíóòóþ èç àëþìèíèåâîé ôîëüãè, è ýòîò êîðàáëü ïëàâàåò! Ïîòîì ñòóäåíòû çà÷åðïûâàþò êîâøèêîì ãàç èç êîðûòà, ïåðåëèâàþò åãî âíóòðü êîðàáëÿ, è îí òîíåò. Íàéäèòå, êàêîé ìèíèìàëüíîé ïëîòíîñòüþ äîëæåí îáëàäàòü ýòîò òÿæåëûé ãàç, ÷òîáû â íåì ìîã ïëàâàòü êîðàáëü â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ñ îòêðûòûì âåðõîì), ñîãíóòûé èç áûòîâîé àëþìèíèåâîé ôîëüãè òîëùèíîé 25 ìêì. Ðàçìåðû êîðàáëÿ: äëèíà 50 ñì, øèðèíà 20 ñì, âûñîòà áîðòîâ 10 ñì. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ëèøíèå êóñêè, îáðàçîâàâøèåñÿ ïðè ñãèáàíèè ïàðàëëåëåïèïåäà èç ëèñòà ôîëüãè, óäàëåíû. Ïëîòíîñòü àëþìèíèÿ 2,7 ã cì 3 , ïëîòíîñòü âîçäóõà 1,3 êã ì 3 . Ì.Ñåìåíîâ 8 êëàññ 1. Ñïîðòñìåí íà÷àë çàáåã ïî ïðÿìîé è ïåðâûå 10 ì áåæàë ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ, ñëåäóþùèå 10 ì ñî ñêîðîñòüþ 9 ì/ñ, ñëåäóþùèå 10 ì ñî ñêîðîñòüþ 8 ì/ñ è òàê äàëåå. Ñêîëüêî âðåìåíè äëèëñÿ çàáåã äî îñòàíîâêè? Ñ êàêîé ñðåäíåé ñêîðîñòüþ ñïîðòñìåí ïðîáåæàë ïåðâóþ ïîëîâèíó äèñòàíöèè? Ñ.Âàðëàìîâ 2. Ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëîñêàÿ ëèíåéêà èìååò ìàëóþ è âñþäó îäèíàêîâóþ òîëùèíó, îäèíàêîâóþ ïî âñåé äëèíå øèðèíó è äëèíó 50 ñì. Íà êîíöàõ ëèíåéêè íàõîäÿòñÿ îòìåòêè: 0 ñì è 50 ñì. Ëèíåéêó ñîãíóëè ïîä ïðÿìûì óãëîì. Ìåñòî ñãèáà ïðèõîäèòñÿ íà îòìåòêó 40 ñì. Çà êàêîå ìåñòî íóæíî ïîäâåñèòü íà òîíêîé íèòè ñîãíóòóþ ëèíåéêó, ò.å. âáëèçè êàêîé îòìåòêè íóæíî çàêðåïèòü íèòü, ÷òîáû äëèííûé ïðÿìîé ó÷àñòîê ëèíåéêè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ áûë ãîðèçîíòàëüíûì? Ñ.Âàðëàìîâ 3. Îäíàæäû çèìîé ðûáîëîâ ïðîáóðèë ëóíêó âî ëüäó íà ïîâåðõíîñòè îçåðà è îáíàðóæèë, ÷òî âîäà â ëóíêå íàõîäèòñÿ íà ãëóáèíå h = 18 ñì, åñëè îòñ÷èòûâàòü îò ïîâåðõíîñòè ëüäà íà îçåðå. Ðàññòîÿíèå îò ëóíêè äî áëèæàéøåé òî÷êè áåðåãà îçåðà âî ìíîãî ðàç áîëüøå, ÷åì òîëùèíà ñëîÿ ëüäà è ðàäèóñ ëóíêè. Âû÷èñëèòå òîëùèíó ñëîÿ ëüäà, ñ÷èòàÿ åå îäèíàêîâîé íà âñåé ïîâåðõíîñòè îçåðà. Ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì 3 , ïëîòíîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì 3 . Ìàññîé ñíåãà, ðûáîëîâà è âñåõ äðóãèõ îáúåêòîâ íà ïîâåðõíîñòè îçåðà ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ðîìàøêà 4.  Ìîñêâå ïîñòðîèëè 30 ñíåãîïëàâèëüíûõ ïóíêòîâ, â êîòîðûõ ñîáðàííûé ñ óëèö ñíåã ðàñïëàâëÿåòñÿ è â æèäêîì âèäå îòïðàâëÿåòñÿ íà î÷èñòêó. Äëÿ ïëàâëåíèÿ ñíåãà èñïîëüçóåòñÿ òåïëàÿ âîäà èç êàíàëèçàöèè, ïðè÷åì ñåé÷àñ ðåàëèçóåòñÿ òîëüêî 1% îò ñáðàñûâàåìîãî â êàíàëèçàöèþ êîëè÷åñòâà òåïëîòû. Îöåíèòå, ñêîëüêî ïðîöåíòîâ îò ñáðàñûâàåìîé â êàíàëèçàöèþ òåïëîé âîäû íàäî èçðàñõîäîâàòü, ÷òîáû ïåðåòîïèòü âåñü âûïàäàþùèé íà óëèöû è ïëîùàäè ñíåã. Èçâåñòíî, ÷òî íà îäíîãî ìîñêâè÷à â ñðåäíåì ïðèõîäèòñÿ 10 ì2 ïëîùàäè óëèö, òðîòóàðîâ è ïëîùàäåé. Êàæäûé æèòåëü ñëèâàåò â êàíàëèçàöèþ â ñðåäíåì 100 ë âîäû â ñóòêè, ïðè ýòîì ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà âîäû íà âõîäå â ñëèâíîå îòâåðñòèå ðàâíà +30 °C . Ñðåäíÿÿ ìåñÿ÷íàÿ íîðìà îñàäêîâ çèìîé äëÿ Ìîñêâû ñîñòàâëÿåò 50 ìì (â ïåðåñ÷åòå íà âîäó). Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ñíåãà, êàê è ëüäà, ðàâíà 3,3 ⋅ 105 Äæ êã , ïëîòíîñòü âîäû 1000 êã ì 3 , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) . Ñ.Âàðëàìîâ 9 êëàññ 1. Íàõîäÿñü íà êðàþ ãëóáîêîãî îáðûâà, òóðèñò áðîñàåò êàìåíü âåðòèêàëüíî ââåðõ. Ïðè ïîñëåäóþùåì äâèæåíèè âíèç êàìåíü ïðîõîäèò òî÷êó áðîñàíèÿ è ïàäàåò â îáðûâ. Èçâåñòíî, ÷òî çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè t = 1 ñ, îòñ÷èòûâàåìûé îò ìîìåíòà áðîñêà, êàìåíü ïðîøåë ïóòü s = 2,9 ì. Îïðåäåëèòå íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü êàìíÿ, ñîîáùåííóþ åìó ïðè áðîñêå. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàòü ðàâíûì g = 10 ì ñ2 . Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ðîìàøêà 2.  öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå âûñîòîé h = 20 ñì íàõîäèòñÿ ñìåñü âîäû è ìåëêèõ êóñî÷êîâ ëüäà. Íà ïîâåðõíîñòè ïëàâàåò êðóãëàÿ ñòàëüíàÿ êðûøêà òîëùèíîé d = 2 ìì, íèæíèé êðàé êîòîðîé íàõîäèòñÿ òî÷íî íà ïîâåðõíîñòè âîäû. Íàéäèòå ñðåäíþþ ïëîòíîñòü ñìåñè âîäû è ëüäà. Ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì 3 , ïëîòíîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì 3 , ïëîòíîñòü ñòàëè ρc = 7800 êã ì3 . Òðåíèåì ëüäà î ñòåíêè ñîñóäà ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ðîìàøêà 3. Ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ ðåçèñòîðîâ è òðåõ êëåìì, ñîåäèíåííûõ ïî ñõåìå «òðåóãîëüíèê» (ðèñ.1), èññëåäóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: äâå êëåììû çàìûêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé è èçìåðÿåòñÿ ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó äâóìÿ çàìêíóòûìè êëåììàìè è òðåòüåé (ñâîáîäíîé).  ðåçóëüòàòå èçìåðåíèé ïîëó÷èëèñü ñîïðîòèâëåíèÿ Ra , Rb , Rc . Íàéäèòå íîìèíàëû ðåçèñòîðîâ R1 , R2 , R3 , èç êîòîðûõ ñîñòîèò ñõåìà. Ä.Õàðàáàäçå 10 êëàññ 1. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè íàõîäèòñÿ æåñòêèé êëèí ìàññîé M, ïðè÷åì åãî ãëàäêàÿ íàêëîííàÿ ïîâåðõíîñòü ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòîì óãîë α . Íà ýòîò êëèí íàëåòàåò Ðèñ. 1 æåñòêèé øàðèê ìàññîé m, ó êîòîðîãî çà ìãíîâåíèå äî ñòîëêíîâåíèÿ ñ íàêëîííîé ïîâåðõíîñòüþ êëèíà ñêîðîñòü áûëà íàïðàâëåíà ãîðèçîíòàëüíî. Ïðîèñõîäèò àáñîëþòíî óïðóãèé óäàð. Ïðè êàêîì îòíîøåíèè ìàññ m/M øàðèê ïîñëå óäàðà áóäåò äâèãàòüñÿ â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè? Ñ.Âàðëàìîâ 2. Øêîëüíèê Êîëÿ íàëèë â òàðåëêó õîëîäíóþ îêðîøêó, èìåþùóþ òåìïåðàòóðó to = 10 °C . Ìàññà îêðîøêè m = 300 ã, à åå óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ðàâíà óäåëüíîé òåïëîåìêîñòè âîäû câ = 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) . Êîëÿ äîáàâèë â îêðîøêó ãîðÿ÷óþ êàðòîøêó, êîòîðàÿ èìåëà òåìïåðàòóðó tê = 80 °C . Ïîëíàÿ òåïëîåìêîñòü äîáàâëåííîé êàðòîøêè ðàâíà C = 450 Äæ °C . Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ òåìïåðàòóðà êàðòîøêè è îêðîøêè îêàçàëàñü ðàâíîé t = 22 °C .  êàêóþ ñòîðîíó áûëî ïåðåäàíî áîëüøå òåïëà ïðè òåïëîîáìåíå ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé: îò ñîäåðæèìîãî òàðåëêè â ñðåäó èëè íàîáîðîò è íà ñêîëüêî áîëüøå? Ì.Ðîìàøêà 3. Èç òðåõ îäèíàêîâûõ áàòàðååê ñîáðàëè öåïü, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 2. ×òî ïîêà- Ðèñ. 2 æåò âîëüòìåòð, ïîäêëþ÷åííûé ê âûâîäàì 1 è 2? ÝÄÑ êàæäîé èç áàòàðååê ðàâíà - . Î.Øâåäîâ 11 êëàññ 1. Ïîåçä, ïîäõîäÿùèé ê ñòàíöèè, äâèæåòñÿ ðàâíîçàìåäëåííî ñ óñêîðåíèåì a = 0,2 ì ñ2 âïëîòü äî ìîìåíòà îñòàíîâêè. Íà àáñîëþòíî ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå âíóòðè âàãîíà ïîåçäà íàõîäèòñÿ ãðó- Ðèñ. 3 çèê, ñîåäèíåííûé ïðóæèíîé ñ íåïîäâèæíîé îïîðîé (ðèñ.3). Ïîêà ïîåçä äâèæåòñÿ, ãðóçèê íåïîäâèæåí îòíîñèòåëüíî âàãîíà.  ìîìåíò, êîãäà ïîåçä îñòàíàâëèâàåòñÿ, ãðóçèê ïðèõîäèò â äâèæåíèå è íà÷èíàåò êîëåáàòüñÿ ñ ïåðèîäîì T = = 1 c. Íàéäèòå àìïëèòóäó êîëåáàíèé ãðóçèêà. Ì.Ðîìàøêà 2. Ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà ñîâåðøàþò öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ 123 Ðèñ. 4 ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 41, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4 â êîîðäèíàòàõ ρT (ïëîòíîñòüòåìïåðàòóðà). Ó÷àñòîê 23 ãèïåðáîëà. Òåìïåðàòóðû â òî÷êàõ 1, 2 è 3 ðàâíû T1 = 300 K, T2 = 500 K è T3 = 800 K ñîîòâåòñòâåííî. Íà ó÷àñòêå 41 ãàç îòäàåò õîëîäèëüíèêó êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q41 ≈ 1172 Äæ . Íàéäèòå ÊÏÄ öèêëà. Å.ßêóòà 3. Ó÷àñòîê AB ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñîñòîèò èç ðåçèñòîðîâ ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 = R0 , R2 = 9 R0 , R3 = 9 R0 , R4 = R0 , ãäå R0 = 1 êÎì, è èäåàëüíîãî äèîäà (ðèñ.5). Èäåàëüíûé äèîä ïðîïóñêàåò òîê áåç ñîïðîòèâëåíèÿ â íàïðàâëåíèè îò C ê D è ñîâñåì íå ïðîïóñêàåò òîê â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ó÷àñòîê AB ïîäêëþ÷àþò ê Ðèñ. 5 èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ u (t ) = Um sin ωt , àìïëèòóäà êîòîðîãî Um = 300 Â. Êàêàÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü áóäåò âûäåëÿòüñÿ íà ýòîì ó÷àñòêå? Ì.Ðîìàøêà 4. Áóñèíêà, íàíèçàííàÿ íà íåïîäâèæíûé ñòåðæåíü, îáðàçóþùèé óãîë α ñ ãîðèçîíòîì, èìååò ìàññó m è çàðÿä q (ðèñ.6). Áóñèíêà ìîæåò ñêîëüçèòü âäîëü ñòåðæíÿ ñ êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ µ è íà÷èíàåò äâèæåíèå èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, ïðè÷åì µ < tg α . Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé Ðèñ. 6 B, ëèíèè êîòîðîé ãîðèçîíòàëüíû (ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè ðèñóíêà è íàïðàâëåíû çà åãî ïëîñêîñòü). Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü è êàêîå ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå áóäåò èìåòü áóñèíêà ïðè äâèæåíèè? Ñòåðæåíü íå ïðîâîäèò òîê. Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ: q > 0 è q < 0. Ì.Ðîìàøêà Âòîðîé òåîðåòè÷åñêèé òóð 8 êëàññ 1. Äåðåâÿííàÿ ïàëî÷êà AB äëèíîé l = 1 ì è ìàññîé M = 0,25 êã ïîäâåøåíà â òî÷êå O, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè îäíîé òðåòè äëèíû ïàëî÷êè îò òî÷êè À ( ðèñ.7). Ê ïðàâîìó êîíöó ïàëî÷êè â òî÷êå  ïîäâåøåí ìåäíûé áðóñîê ìàññîé m1 = 1 êã, ïðè÷åì ïàëî÷êà íà îäíó òðåòü ñâîåé äëèíû, ñ÷èòàÿ îò òî÷êè Â, ïîãðóæåíà â ñîñóä ñ âîäîé. Ê ëåâîìó êîíöó ïàëî÷êè â òî÷êå À ïîäâåøåí äðóãîé ãðóç, ìàññîé m2 . ×åìó ðàâíà ìàññà ýòîãî âòîðîãî ãðóçà, åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè? Ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì 3 , ïëîòíîñòü ìåäè ρì = = 8900 êã ì 3 , ïëîòíîñòü äåðåâà ρä = = 400 êã ì 3 . Ðèñ. 7 Å.ßêóòà 2.  ñîñóä, ãäå íàõîäèëîñü V = 4 ë âîäû ïðè òåìïåðàòóðå t = 20 °C , îïóñêàþò ñèëüíî íàãðåòóþ ñòàëüíóþ äåòàëü ìàññîé m = 2,4 êã. Ïðè ýòîì ÷àñòü âîäû áûñòðî èñïàðÿåòñÿ, òàê ÷òî òåìïåðàòóðà îñòàâøåéñÿ âîäû ïðàêòè÷åñêè íå óñïåâàåò èçìåíèòüñÿ. Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ òåìïåðàòóðà âîäû â ñîñóäå îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé tp = 25 °C . Íàéäèòå íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó ñòàëüíîé äåòàëè. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû câ = 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ñòàëè cñ = 460 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû r = 2,2 ⋅ 106 Äæ êã , ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1000 êã ì 3 . Âñåìè ïîòåðÿìè òåïëà èç ñîñóäà, êðîìå èñïàðåíèÿ, ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ðîìàøêà 3. Çèìîé íà âõîäå â ñèñòåìó îòîïëåíèÿ øêîëüíîãî çäàíèÿ âîäà èìååò òåìïåðàòóðó t1 = +60 °C , à íà âûõîäå èç ýòîé ñèñòåìû âîäà èìååò òåìïåðàòóðó t2 = +40 °C . Òåïëîâûå ïîòåðè çäàíèÿ øêîëû âñëåäñòâèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñòåí, èçëó÷åíèÿ è ñêâîçíÿêîâ ñîñòàâëÿþò N = 106 Âò . Òðóáû, ïîäâîäÿùèå è îòâîäÿùèå âîäó, èìåþò âíóòðåííèé äèàìåòð D = 100 ìì. Ñ êàêîé ñðåäíåé ïî ñå÷åíèþ òðóá ñêîðîñòüþ òå÷åò â íèõ âîäà? Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû c = 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1000 êã ì 3 . Ñ.Âàðëàìîâ 9 êëàññ 1. Ñàìîëåò ÒÓ-160 â áåçâåòðåííóþ íà âñåé òåððèòîðèè çåìëè ïîãîäó ñòàðòîâàë ñ àýðîäðîìà â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå.  òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè 27-÷àñîâîãî ïîëåòà ñàìîëåò íàõîäèëñÿ íà îäíîé è òîé æå âûñîòå è äåðæàë îäíó è òó æå ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòü 1000 êì/÷, ñäåëàâ íåñêîëüêî äîçàïðàâîê â âîçäóõå. Ñíà÷àëà îí 6 ÷ ëåòåë íà þã, çàòåì 10 ÷ íà âîñòîê, ïîòîì 6 ÷ íà ñåâåð, à â ïîñëåäíèå 5 ÷ ïîëåòà åãî ñêîðîñòü áûëà íàïðàâëåíà íà çàïàä. Ñêîëüêî åùå âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ ñàìîëåòó, ÷òîáû ñ òàêîé æå ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ äîëåòåòü äî ðîäíîãî àýðîäðîìà ïî êðàò÷àéøåìó ïóòè? Ñàíêò-Ïåòåðáóðã íàõîäèòñÿ íà øèðîòå 60° , à ðàäèóñ Çåìëè ðàâåí ïðèìåðíî 6400 êì. Ñ.Âàðëàìîâ 2. Ïîñëå çàâåðøåíèÿ ñòðîèòåëüñòâà ïèðàìèäû Õåîïñà âñå åå ðåáðà, ñîãëàñíî ëåãåíäå, èìåëè îäíó è òó æå äëèíó A ≈ 230 ì .  îñíîâàíèè ïèðàìèäû áûë êâàäðàò ñî ñòîðîíîé A. Ïî ïðåäàíèÿì, âî âðåìÿ Âåëèêîãî ïîòîïà óðîâåíü âîäû ñîâïàë ñ âåðøèíîé ïèðàìèäû. Ñ êàêîé ñèëîé äàâèëà âîäà íà ñåâåðíóþ áîêîâóþ ãðàíü ïèðàìèäû? Ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1000 êã ì 3 , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 . Çàìå÷àíèå: îáúåì ïèðàìèäû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå 1 V = SH , ãäå S ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû, Í åå 3 âûñîòà. Ñ.Âàðëàìîâ 3. Öèëèíäðè÷åñêèé êàëîðèìåòð ðàäèóñîì R = 10 ñì è âûñîòîé h = 30 ñì íà îäíó òðåòü ñâîåãî îáúåìà çàïîëíåí ëüäîì ïðè òåìïåðàòóðå t0 = −10 °C .  êàëîðèìåòð ÷åðåç îòâåðñòèå ñâåðõó ìåäëåííî íàëèâàþò âîäó, èìåþùóþ òåìïåðàòóðó t = 30 °C . Êàêîé ìàêñèìàëüíûé îáúåì âîäû ìîæíî íàëèòü â êàëîðèìåòð? Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû câ = 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ëüäà cë = 2100 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà 3 λ = 330 êÄæ/êã, ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì , ïëîò3 íîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì . Òåïëîåìêîñòüþ êàëîðèìåòðà è ïîòåðÿìè òåïëà ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ðîìàøêà 4. Ñõåìà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ êëåìì è ÷åòûðåõ ðàçëè÷íûõ ðåçèñòîðîâ, êîòîðûå èìåþò îäèí îáùèé âûâîä, à äðóãèì âûâîäîì ñîåäèíåíû ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êëåììîé (ðèñ.8). Èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ ìåæäó êëåììàìè 12, 23 è 34, îíè ðàâíû R12 , R23 è R34 ñîîòâåòñòâåííî. Ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó êàêèìè êëåììàìè åùå íåîáõîäèìî èçìåðèòü, ÷òîáû íàéòè Ðèñ. 8 íîìèíàëû âñåõ ðåçèñòîðîâ R1 , R2 , R3 è R4 ? ×åìó îíè áóäóò ðàâíû? Ä.Õàðàáàäçå 10 êëàññ 1. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäÿòñÿ äâà îäèíàêîâûõ ãðóçèêà, ñâÿçàííûå íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé íèòüþ, îáðàçóþùåé ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê AOB (ðèñ.9). Óãëû ïðè îñíîâàíèÿõ òðåóãîëüíèêà ðàâíû α .  òî÷êå O ê ýòîé íèòè ïðèâÿçàíà äðóãàÿ íèòü, êîòîðóþ óäåðæèâàþò âåðòèêàëüíî ñëåãêà íàòÿíóòîé. Ñ êàêèì ìèÐèñ. 9 íèìàëüíûì óñêîðåíèåì íóæíî íà÷àòü ïîäíèìàòü òî÷êó O, ÷òîáû ãðóçû îòîðâàëèñü îò ñòîëà â ìîìåíò íà÷àëà ñâîåãî äâèæåíèÿ? Ì.Ðîìàøêà 2.  ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 10, âñå áëîêè íåâåñîìûå è âðàùàþòñÿ áåç òðåíèÿ, âñå íèòè íåâåñîìûå è íåðàñòÿæèìûå (èõ æåñòêîñòü âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ æåñòêîñòüþ ïðóæèíû), ïðóæèíà òàêæå íåâåñîìà. Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ïîêîå. Ïðè êàêîé ìàññå ãðóçà M ãðóç 1 ñðàçó ïîñëå ïåðåæèãàíèÿ íèòè â òî÷êå À áóäåò èìåòü óñêîðåíèå áîëüøå ÷åì g? Å.Âûðîäîâ 3. Ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà ñîâåðøàþò öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ 12341, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 11 â êîîðäèíàòàõ pV (äàâëåíèåîáúåì)). Èçâåñòíî, ÷òî òåìïåðàòóðû ãàçà â òî÷êàõ 1 è 3 ðàâíû T1 = 300 K è T3 = 1500 K ñîîòâåòñòâåííî, à îòíîøåíèå îáúåìîâ ãàçà â òî÷êàõ 1 è 2 ðàâíî V2 V1 = 2 . ×åìó ðàâíà ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì çà öèêë? Å.ßêóòà 4.  N-ïîëþñíèêå (ñõåìà ñ N êëåììàìè) êàæäàÿ êëåììà ñîåäèíåíà ñ êàæäîé äðóãîé ïðè ïîìîùè ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì R ñõåìà òèïà «ìíîãîóãîëüíèê». Èçâåñòíî, ÷òî ýòà ñõåìà ýêâèâàëåíòíà ñõåìå òèïà «çâåçäà» ñ N êëåììàìè, â êîòîðîé N ðåçèñòîðîâ íîìèíàëîì r èìåþò â öåíòðå îáùèé êîíòàêò, à äðóãèì êîíòàêòîì ñîåäèíåíû ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êëåììîé (êàæäûé ðåçèñòîð ñîåäèíåí ñ îäíîé êëåììîé). Êàê ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì âåëè÷èíû R è r? Ä.Õàðàáàäçå 11 êëàññ 1. Ðàáî÷èì òåëîì òåïëîâîé ìàøèíû ñëóæèò íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî âîäû. Öèêë, ïî êîòîðîìó ðàáîòàåò ìàøèíà, ïîêàçàí íà ðèñóíêå 12 â pT êîîðäèíàòàõ, ãäå ñèíåé ïóíêòèðíîé ëèíèåé èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû îò òåìïåðàòóðû. Öèêë ñîñòîèò èç èçîáàðè÷åñêîãî (123), èçîõîðè÷åñêîãî (34) è èçîòåðìè÷åñêîãî (41) ó÷àñòêîâ. Íàéäèòå ÊÏÄ ýòîãî öèêëà, ñ÷èòàÿ âîäó ïðàêòè÷åñêè íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ. Ðèñ. 12 Íàïîìèíàíèÿ: p1 = 101,3 êÏà íîðìàëüíîå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû (ïðè 100 °C ) L ≈ 2,26 ⋅ 106 Äæ êã , ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäû Ì = 18 ã/ìîëü, óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû c ≈ 4,19 ⋅ 103 Äæ (êã ⋅ Ê ) , óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R ≈ 8,31 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) , òåïëîåìêîñòü îäíîãî ìîëÿ âîäÿíîãî ïàðà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ðàâíà 4R. Å.Âûðîäîâ 2. Òîíêèé æåñòêèé íåïðîâîäÿùèé ñòåðæåíü äëèíîé L íåñåò íà ñåáå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä Q, êîòîðûé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí ïî äëèíå ñòåðæíÿ. Ìàëåíüêèé øàðèê èìååò ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä q è ïðèêðåïëåí ê îäíîìó èç êîíöîâ ñòåðæíÿ òîíêîé íåïðîâîäÿùåé è íåçàðÿæåííîé íèòüþ äëèíîé R. Êàêîâà ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè, åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè? Ñ÷èòàòü, ÷òî Q/q > 0. Ñèëó òÿæåñòè íå ó÷èòûâàòü. Ñ.Âàðëàìîâ 3. Íà òîíêîé íåïðîâîäÿùåé íèòè äëèíîé l ïîäâåøåí ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m, êîòîðûé çàðÿæåí çàðÿäîì +q. Ñëåâà ê øàðèêó ïðèêðåïëåíà íåïðîâîäÿùàÿ ïðóæèíêà æåñòêîñòüþ k, ðàñïîëîæåííàÿ ãîðèçîíòàëüíî. Øàðèê íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñ êîì ïîëå E , íàïðàâëåííîì òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 13.  ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ íèòü ñ øàðèêîì âèñèò âåðòèêàëüíî. Íàéäèòå ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé øàðèêà â ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Å.ßêóòà Ðèñ. 13 Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.Ñåìåíîâ, Î.Øâåäîâ, À.ßêóòà Ðèñ. 10 Ðèñ. 11