Функции  Глава 2 

 2‐1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Глава 2 Функции Основополагающим для математики понятием является понятие функции. Под функцией понимается некоторое правило, которое устанавливает соответствие между множеством определения и множеством значений. Обсуждены способы задания функции: аналитический, табличный, графический и описательный. Особое место уделено элементарным функциям, обсуждены их свойства, построены графики. В заключительной части главы рассматривается класс функций особого вида ‐ последовательности. 2‐1 Понятие функции Любой исследователь, рассматривая характеристики и свойства
определенных объектов и явлений, имеет дело с величинами, которые могут
меняться от объекта к объекту или во времени, либо остаются
неизменными.
Постоянной называется величина, сохраняющая одно и то же значение в рассматриваемых
условиях. Переменной называется величина, которая может принимать различные
значения в рассматриваемых условиях.
Одна и та же величина может быть постоянной или переменной в
зависимости от рассматриваемой модели и целей исследования. Например,
если исследователь рассматривает жителей определенного района, то
возраст является переменной величиной. Если он при этом хотел бы
выяснить, какой годовой доход получают сотрудники банков в возрасте 30
лет, то возраст превращается в постоянную величину, а годовой доход есть
переменная величина, принимающая различные значения от объекта к
объекту. Известно также, что некоторые социальные или экономические
величины могут изменяться во времени, как например, стоимость
потребительской корзины или курс доллара, а могут оставаться
неизменными в определенном временном промежутке.
Обычно постоянные величины принято обозначать начальными
буквами латинского алфавита (a, b, c, d), а переменные – конечными (x, y, z,
u, v).
В реальной жизни нам приходится часто наблюдать, что изменение
одной величины приводит к изменениям другой. Увеличение объема
доходов компании может приводить к увеличению прибыли, сокращение
ФУНКЦИИ численности трудоспособного населения влечет за собой рост потребности в
кадрах и увеличение числа вакансий, расширение продуктовой линейки
универмага приводит к увеличению товарооборота, контакты покупателей с
социальной рекламой приводят к повышению их лояльности к брендам.
Для анализа такого рода связей между переменными чрезвычайно
важно познакомиться с центральным понятием математического анализа понятием функции и функциональной зависимости.
Точным определением понятия функции ученые были увлечены с начала XVIII века, в период
развития математики переменных величин, дифференциального и интегрального исчисления.
Иоганн Бернулли (1718): «Функцией переменной величины называется количество,
образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Леонард Эйлер (1755): «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых
меняются и первые, принято называть их функциями».
Лежен Дирихле: «Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если
каждому значению величины x соответствует единственное определенное значение величины
y».
Определим понятие функции, используя обсужденные в предыдущей
главе понятия множества и соответствия между множествами. Итак, пусть
рассматриваются два множества X и Y. Правило f, которое ставит в
соответствие каждому x∈X единственный элемент y∈Y, назовем функцией,
заданной на множестве X и принимающей значения на множестве Y.
Функция – правило f, которое каждому элементу x∈X ставит в соответствие единственный
элемент y∈Y.
Слово «функция» образовано от латинского functio, что означает
исполнение, осуществление.
Переменная x является независимой переменной (или аргументом), а
y – зависимой. Функцию символически иногда записывают в следующем
виде:
или : →
Множество X называется
множество Y – областью значений.
областью
определения
функции,
а
Согласно определению,
определить три объекта:
чтобы
2‐1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ задать
функцию,
необходимо
1. Множество X – область определения.
2. Множество Y – область значений.
3. Правило f, которое устанавливает соответствие между элементами
множеств X и Y.
Обсудим четыре основных способа задания функции: аналитический,
табличный, графический и описательный.
1. Аналитический способ. Будем говорить, что функция задана
аналитически, если имеется формула, определяющая зависимость между x
и y:
Например,
выражением:
парабола
задается
следующим
аналитическим
Еще один пример аналитического способа задания функций
специального вида, называемых последовательностями, выглядит так:
1
В этом случае областью определения функции является множество
натуральных чисел. На это указывает используемое нами обозначение:
вместо переменной x использована переменная n, которая может быть
равна любому натуральному числу. В заключительной части главы мы
специальное место отведем обсуждению последовательностей.
При аналитическом способе задания функция может быть задана
явно (как в нашем примере с параболой) или неявно, когда x и y связаны
между собой уравнением вида:
,
0
Примером функции, заданной неявно может служить уравнение
окружности единичного радиуса:
1
0
2. Табличный способ. Функция задана таблицей, если для каждого
значения аргумента в таблице указано соответствующее ему значение
функции.
ФУНКЦИИ x
1
2
3
4
y
1
4
9
16
Таблица 2‐1. Задание функции при помощи таблицы. Открытым вопросом при табличном способе задания функции
остается область ее определения. Может показаться, что таблица задает
лишь закономерность, а область определения распространяется на все
множество натуральных чисел или, более того, на все множество
действительных чисел, а функция в приведенном примере (таблица 2-1)
есть квадрат аргумента. Будем считать, что таблица задает все множество
значений аргумента, если в тексе не оговорено иное. В таком случае
табличный способ сильно уступает другим, поскольку не позволяет без
дополнительных пояснений и оговорок задавать функции с большим или
бесконечным множеством значений аргумента – такая таблица просто не
может быть построена.
3. Графический способ. Функция задана графически, если на
плоскости изображено множество точек с координатами (x, y), абсциссы
которых есть значения аргумента, а ординаты – соответствующие им
значения функции.
График функции – множество точек плоскости с координатами (x, y), для которых
выражение y=f(x) превращается в тожество.
График дает наглядное представление о функции, поэтому часто
используется в процессе ее исследования.
Рисунок 2‐1. График дает наглядное представление о функции. 2‐1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Недостатком графического способа задания функции являются
невозможность установить точные значения всех пар (x, y), а также
неопределенность в поведении функции за границами рисунка. Мы не
располагаем, скажем, информацией, будет ли функция, изображенная на
графике 2-1, убывать или возрастать с возрастанием аргумента в областях,
который расположены правее или левее тех значений аргумента, которые
показаны на рисунке. Тем самым, график не дает точного представления о
функции, зато позволяет ее «увидеть».
Пример 2-1. Кривая Филлипса. Как известно, цена труда зависит
от конъюнктуры рынка - когда на рынке труда имеет место дефицит, то
рабочие могут рассчитывать на большую зарплату, и наоборот, в период
существования конъюнктурной безработицы рабочим будут платить
меньше.
В 1958 году профессор Лондонской школы экономики Олбан
Филлипc опубликовал результаты своих исследований зависимости между
уровнем безработицы и изменением денежной ставки зарплаты в
Великобритании в период с 1861 до 1957 года. Оказалось, что для первых 52
лет (1861-1913) эта зависимость выражается уравнением:
0,9
9,638 ·
,
где x – общий уровень безработицы (в процентах), y – годовой темп
прироста ставки заработной платы (в процентах).
Представленная формула задает функцию аналитически. Графически
функция выглядит следующим образом (рисунок 2-2).
Рисунок 2‐2. График функции Филлипса. ФУНКЦИИ Олбан Уильям Филлипс (Alban William Phillips, 1914 — 1975) Английский экономист. Родился в Новой Зеландии. Первооткрыватель «кривой Филипса» (1958). Работал в Австралии охотником на крокодилов. Учился в Лондонской школе экономики. Во время Второй мировой войны служил в технических подразделениях Королевских военно‐воздушных сил. Провел три с половиной года в японском плену. Работал в Лондонском университете (1951‐67; профессор с 1958) и Австралийском национальном университете (1967‐70). В 1949 году изобрел гидравлический компьютер MONIAC (Monetary National Income Automatic Computer). Награжден орденом Британской империи (1946). 4. Описательный способ. Функция может быть задана
описательно или словесно. Словесное представление является привычным
для людей гуманитарной направленности, поскольку является более
привычным и понятным.
Пример 2-2. Описание модуля. Опишем словесно функцию
модуля x. Это функция, которая равна при положительных значениях
аргумента самому аргументу, а при отрицательных – аргументу со знаком
минус. Иногда словесные описания более кратки и более точны, чем другие
способы задания функции.
2‐2 Свойства функций Под основными свойствами функций y = f (x) будем понимать
следующие шесть свойств:
1) область определения D(f);
2) область значений E(f);
3) четность, нечетность;
4) монотонность;
5) ограниченность;
6) периодичность.
Область определения функции Напомним,
что
по
определению
функции
она определена на множестве X, которое и называется областью
определения функции. Обозначается D(f).
2‐1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Рисунок 2‐3. Область значений можно определить по графику функции. Область определения функции – множество X, на котором функция определена.
Пример 2-3. Область определения. Найти область определения
функции:
5
1
Решение. Функция определена для всех значений аргумента, кроме
x = 1. Следовательно, область ее определения:
∞, 1
1, ∞
Область значений функции По определению функции
она принимает значения в
некотором множестве Y. Подмножество множества Y, которое содержит
значения, принимаемые функцией, называется областью ее значений и
обозначается E(f).
Область значений функции – множество всех значений, которые принимает функция.
Пример
функции:
2-4. Область
значений. Найти область значений
3
ФУНКЦИИ Решение. Графиком функции является парабола. По графику
хорошо видно, что область значений этой функции:
3, ∞
Четность, нечетность функций Важным свойством функций является свойство симметричности
относительно вертикальной оси. Кроме этого функция может быть
центрально симметрична относительно центра координатной плоскости.
Эти свойства могут значительно облегчить исследование функций и
упростить некоторые вычисления.
Функция называется четной, если они симметрична относительно вертикальной оси
координат. Функция называется нечетной, если они центрально симметрична относительно
центра координатной плоскости.
Аналитически
следующим образом:
свойство
четности
функции
можно
записать
Свойство нечетности функции:
Если функция не является четной или нечетной, она называется
функцией общего вида.
Пример 2-5. Четность и нечетность функций.
(1) Функция является четной:
1
Проверяем выполнение свойства четности:
1
(2) Функция является нечетной:
Проверим свойство нечетности:
1
2‐1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Рисунок 2‐4. График возрастающей функции. (3) Функция является функцией общего вида:
3
1
Проверим, что свойства четности и нечетности не выполняются:
3
1
3
1
Монотонность функции Определим для начала понятие возрастающей функции. Назовем
функцию
возрастающей на промежутке X, если для любых двух
значений x1 и x2 из этого промежутка большему значению аргумента
соответствует большее или равное значение функции:
если
, то
Следует обратить внимание на то, что знак последнего неравенства
нестрогий. Если функция постоянна, то она тоже в смысле этого
определения является возрастающей. Если знак в последнем неравенстве
строгий, то функция называется строго возрастающей.
Функция называется строго возрастающей, если большим значениям аргумента
соответствуют большие значения функции.
Аналогично определяется понятие убывающей функции, для которой
большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции.
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
При этом строго возрастающие и строго убывающие функции называются
строго монотонными.
ФУНКЦИИ Монотонной называется функция, которая возрастает или убывает.
Пример 2-6. Монотонность функции. Следующая функция
является строго возрастающей при x > 0 и строго убывающей при x < 0:
Для проверки необходимо сравнить значения
различных значений аргумента или посмотреть на график.
функции
для
Ограниченность функции Некоторая часть функций обладает свойством ограниченности.
Функция
является ограниченной на промежутке X, если
существует такое положительное число M, что для любого значения
аргумента из этого промежутка выполняется условие:
|
|
В противном случае функция является неограниченной.
Ограниченной на промежутке X называется такая функция, для которой найдется такое
положительное число M, которое ограничивает по абсолютной величине все значения
функции от аргументов из заданного промежутка X.
Пример 2-7. Ограниченная функция. Функция
sin
является ограниченной на всей числовой оси, поскольку выполняется
условие для любого x:
|sin |
2
Периодичность функции Имеется целый класс функций, которые являются периодическими.
Функция
является периодической, если найдется такое число T,
называемое периодом, что выполняется равенство:
Периодической называется функция, для которой существует такое число T, называемое
периодом, что выполняется равенство f (x+T) = f (x).
Пример
2-8.
Периодическая
функция.
Функция
2π ,
sin является периодической, поскольку имеется число
для которого выполняется равенство:
sin
sin
Число 2π является периодом функции
2‐1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 2π
sin .
2‐3 Элементарные функции Этот раздел посвящен важному классу функций, которые называются
элементарными. Прежде чем определить понятие элементарной функции,
нам необходимо рассмотреть понятия обратной и сложной функции.
Обратная функция Если для различных значений аргумента x значения функции
различны, то такая функция является обратимой и для нее можно
рассмотреть обратную ей функцию, которая обозначается следующим
образом:
Функция называется обратимой на промежутке X, которая каждое свое значение она
принимает только в одной точке этого промежутка.
Обратная функция означает установление соответствия:
Для обратной функции областью определения является множество Y,
а областью значений - множество X (поменялись местами).
Функция называется обратной для функции f(x), если она устанавливает соответствие
между множествами X и Y, обратное для функции f(x).
Можно доказать, что для любой строго монотонной функции
существует обратная функция. Это следует из того, что строго монотонная
функция каждое свое значение принимает только один раз.
Пример
2-9.
Обратные
обратной функцией является
функции. Для функции
sin
arcsin . Это верно для промежутка:
,
2 2
Если в качестве промежутка выбирается вся числовая прямая, то
функция не имеет обратной, поскольку многократно принимает одни и те
же значения, скажем, +1 и -1.
ФУНКЦИИ Рисунок 2‐5. Степенная и логарифмическая функции являются взаимно‐обратными. Для функции
обратной функцией является
log . Эти
функции изображены на графике 2-5. Графики взаимно-обратных функций
всегда симметричны относительно биссектрисы первого и третьего
координатных углов.
Основные элементарные функции Основными элементарными функциями являются пять типов
функций.
1. Степенная функция:
, α – действительное число.
2. Показательная функция:
, a > 0, a ≠ 1.
3. Логарифмическая функция:
log
, a > 0, a ≠ 1.
4. Тригонометрические функции:
sin ,
cos ,
tg ,
ctg .
5. Обратные тригонометрические функции:
arcsin ,
arccos ,
arctg ,
arcctg .
2‐1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Рисунок 2‐6. Сложная функция есть функция от функции. Свойства и графики основных элементарных функций приведены в
приложении.
Сложная функция Пусть функция
есть функция от переменной u,
определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u, в
свою очередь, является функцией
от переменной x, определенной
на множестве X, с областью значений U. Тогда функция
,
заданная на множестве X, называется сложной функцией. Синонимы:
композиция функций, суперпозиция функций, функция от функции.
Функция называется сложной, если она является функцией от функции.
Определение сложной функции потребуется в последующих главах
этого учебника. Понимаемое на интуитивном уровне, определение сложной
функции не является простым. Точное определение требует соблюдения
формализма, который не допускает двоякого толкования.
Пример 2-10. Сложные функции. Функция
sin
является
и
sin .
сложной, поскольку она составлена из двух функций:
Сложная функция может быть образована и большим количеством
функций.
Гуманитарии тоже применяют сложные функции Социальный или экономический феномен M является функцией суммы действий m, зависящих от ситуации S, в которой находятся акторы. Ситуация, в свою очередь, определяется макросоциальными характеристиками M‘: Будон Р. Место беспорядка. Критика теории социального изменения. 1998. ФУНКЦИИ Элементарные функции Понятие элементарных функций основывается на основных
элементарных функциях и понятии сложной функции. Итак, функции,
построенные из основных элементарных функций с помощью конечного
числа алгебраических действий и конечного числа операций образования
сложной функции, называются элементарными.
Функция называется элементарной, если она образована из основных элементарных
функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций
образования сложной функции.
Пример 2-11. Элементарная функция. Следующая функция
является элементарной:
√sin
Она получена из функций
,
ln
2
1
cos
√ ,
4
sin ,
cos ,
2 ,
ln
с помощью алгебраических действий сложения,
вычитания, умножения, деления и операции образования сложной
функции.
Пример 2-12. Неэлементарные функции. Функция Дирихле:
1, если рационально
0, если иррационально
Эта функция определена на всей числовой прямой, множество ее
значений состоит из двух точек: 0 и 1. График нарисовать невозможно,
можно лишь схематично изобразить геометрическое место точек этой
функции на координатной плоскости.
Рисунок 2‐7. Схематичное изображение функции Дирихле. 2‐1 П
ПОНЯТИЕ ФУ
УНКЦИИ Немец
цкий математик. В 1831‐1855
5 профессор Беерлинского, с 1
1855 Гёттингенского униве
ерситета. Осно
овные труды вв области теори
ии чисел и матемаатического анаализа. В облассти математичееского анализаа впервые точно ссформулироваал и исследоваал понятие условной сходим
мости ряда, дал стр
рогое доказате
ельство возможности разлож
жения в ряд Фурье функци
ии, имеющей кконечное числ
ло максимумовв и минимумов. Значиттельные работы Дирихле поссвящены механике и матемаатической физикее. В математикке его именем названы задача, интеграл, п
принцип, функци
ия, ряды. Источчник: Проект Р
Рубикон Дирихле Петер Густав Леж
жён (Dirichlet, 1805 — 18
859) Другой
й пример
р, функци
ия
та
акже не является элементтарной,
посскольку нее может быть
б
полуучена из основных
о
элементар
рных фун
нкций с
пом
мощью ал
лгебраичееских дей
йствий. Ее также можно ззаписать в виде
фиггурной ско
обки:
Пре
еобразоввания графиков фуункций Если имеется график функции
и
, то из него путем
прееобразован
ний можн
но получитть график
к функции:
где A, B,
B a, b – некоторые действиттельные чи
исла.
ФУНКЦИИ Термины Постоянная величина Переменная величина Функция График функции Область определения Область значений Четная функция Нечетная функция Ограниченная функция Монотонная функция Обратная функция Сложная функция Элементарная функция Constant Variable Quantity Function Chart of Function Domain of Function Value Area Even Function Odd Function Bounded Function Monotone Function Inverse Function Composite Function Primitive Function Формулы и обозначения f
f
или : →
, x
x
f x f x Функциональная зависимость Явное аналитическое выражение функции Неявное аналитическое выражение функции Четная функция Нечетная функция Периодическая функция Сложная функция Обратная функция
Контрольные вопросы 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Что называется функцией? Приведите примеры функций. Чем различаются явное и неявное аналитическое задание функции? Опишите преимущества и недостатки четырех различных способов задания функций. Какие свойства функций Вам известны? Что такое область определения и область значений функции? Какая функция называется четной? Нечетной? Приведите примеры. Какая функция является монотонной? Приведите пример ограниченной функции. Какая функция называется периодической? Какая функция является сложной? Элементарной? Приведите примеры.