Функция и ее область определения 1. 2.

1
Функция и ее область определения
1. Понятие функции.
2. Основные способы задания функции.
3. Элементарные функции
4. Неявное задание функции.
1. Понятие функции.
Определение.
Пусть Х={x} и У={у} два непустых множества, составленных из
элементов любой природы, и f - множество упорядоченных пар (х,у), где
х  Х и у  У . Соответствие f называется функциональным или функцией,
если каждому элементу множества Х ( х  Х ) по определенному закону поставлен в соответствие единственный элемент множества У ( у  У ) .
Элементы х  Х называются значениями аргумента, а элементы у  У значениями функции..
Множество Х называется областью определения функции :
множество всех значений функции – областью значений этой функции
Чтобы задать конкретную функцию, нужно задать множества Х и У и закон f
, устанавливающий соответствие между элементами этих множеств.
В дальнейшем рассмотрим случаи, когда Х и У являются некоторыми
числовыми множествами. Функция, областью определений и значений которой являются числовые множества, называется числовой функцией одной
действительной переменной.
Обозначается у=f(x) где x- аргумент, f(x) – значение функции.
а) Обратная функция .
Пусть дана функция у=f(x) . Обратное ее соответствие f -1(у) может и
не быть функцией.
Если соответствие f -1(у) является функцией, то данная функция f(x)
называется обратимой, а функция f -1(у) обратной к функции f(x) с областью определения D(f -1)=E(f) , принимающей значения из D(f).
Роль аргумента обратной функции f -1(у) играют значения у Е(f) т.е. область
определения лежит на оси 0у, а значения функции f -1(у) принадлежат множеству D(f), т.е. область значений функции f -1(у) лежит на оси 0х.
Для получения графика обратной функции в привычном расположении осей (область определения располагается на оси 0х, а область значений –
2
на оси 0у) достаточно повернуть чертеж прямой функции на 1800 вокруг биссектрисы I и III координатных углов.
Практически, чтобы найти для функции у=f(x), заданной с помощью
формулы, обратную ей функцию х= f -1(у) , нужно уравнение у=f(x) разрешить, если это возможно, относительно х . Используя обычное обозначение
независимой переменной через х , а функции – через у, обратную функцию
можем записать в виде у= f -1(х).
Например:
у = 5х + 2. х    ;   Найти ее обратную.
Разрешим уравнение относительно х, получим х 
у2
переходя к обыч5
ным обозначениям аргумента и функции, получим обратную функцию у
х2
для функции у = 5х + 2 .
5
б) Сложная функция
Функция F(x), которая числу х ставит в соответствие число f qx  ,
называется функцией от функции, или сложной функцией, или суперпозициией функций, образованной из функций f и q в указанном порядке
F(x)= f qx 
Область определения сложной функции F(x)= f qx  состоит из таких значений переменной х, которые входят в область определения функции q(x) и для
которых, кроме того, q(x) принадлежат области определения функции f. Любую сложную функцию можно представить в виде цепочки элементарных
функций, которые являются ее промежуточными аргументами.
Например. F(x)= (х2+3х)2 есть сложная функция от х , т.к. она состоит из цепочки элементарных функций: q(x)= U=x2+3x ; F=U2
в) Некоторые типы числовых функций
1) Четные и нечетные функции
Функция f(x) называется четной, если значения функции, соответствующие любым двум противоположным значениям аргумента из области
его определения D(f), равны, т.е. выполняется равенство
f(-x) = -f(x), х  D (t ) . График всякой четной функции симметричен относительно начала координат.
3
у
f(-x)
f(x)
0
х
х
Функция f(x) называется нечетной, если значения функции, соответствующие любым двум противоположным значениям аргумента из области
его определения D(f), противоположны, т.е. выполняется равенство
f(-x) = -f(x), х  D (t ) . График нечетной функции симметричен относительно
начала координат.
у
f(x)
-х
0
х
х
f(-x)
2) Периодичность
Функция f(x) называется периодической, если для нее существует
такое положительное число T>0 , что при любом значении аргумента х, числа х-T и x+T принадлежат области определения f(x) и выполняются равенства
f (х-T) = f(x) = f( x+T)
В этом случае число T называется периодом функции f(x)
у
0
х х+Т
х
4
3) Постоянная функция
Числовая функция постоянна, если любому х  D( f ) , f(x) =С , C  D( f )
Графиком постоянной функции является множество точек, расположенных
на прямой, параллельной оси 0х и проходящей через точку С на оси 0у.
у
у=С
С
0
х
D(f)
4) Кусочно-постоянные, или ступенчатые, функции.
Функция, область определения которой разбита на конечное число
подмножеств, так, что на каждом из подмножеств функция постоянна, называется кусочно-постоянной или ступенчатой .
у
1
0
х
-1
 1
f ( x)  
 1
при
при
х0
х0
5) Ограниченная функция.
Числовая функция f(x) определенная на D(f) называется ограниченной , если существует такое число М , что для всех х  D( f ) выполняется
неравенство  M  f ( x)  M , x  D( f )
или
f ( x)  M .
График ограниченной функции расположен в полосе между двумя прямыми,
параллельными оси 0х и проходящими через точки с ординатами М.
5
у
0 а
в
х
6) Монотонные функции.
Числовая функция f(x) называется возрастающей на множестве D(f)
если при любом х1 и х2 принадлежащих множеству D(f) из неравенства х1
> х2 следует неравенство f ( x2 )  f ( x1 ) то функция f(x) называется строго
возрастающей .
у
у = f(x)
f(x2)
f(x1)
0
а х1
х2 в
х
Числовая функция f(x) называется убывающей на множестве D(f) если
для любых х1 и х2 принадлежащих множеству D(f) из неравенства х1 > х2
следует неравенство f ( x2 )  f ( x1 )
у
у = f(x)
f(x1)
f(x2)
0
а
х1
х2 в
х
6
Если из неравенства х1 > х2 следует строгое неравенство f ( x2 )  f ( x1 )
то функция f(x) называется строго убывающей.
Функция называется монотонной если она возрастающая или убывающая . Функция называется строго монотонной , если она строго
возрастающая или строго убывающая.
Есть простой геометрический критерий монотонности функции: если
точка движется по графику функции слева направо и все время поднимается
снизу вверх или все время опускается сверху вниз, то функция монотонна.
Если точка двигаясь по графику функции слева направо, поднимается и опускается, то функция не является монотонной.
у
0
у= f(x)
а в с
на [а,в] f(x) монотонна, а на [а,d]
d
x
f(x) не является монотонной.
2. Основные способы задания функции.
а) Аналитический способ.
Одним из наиболее распространенных способов задания функции является аналитический, т.е. задание функции при помощи формулы, указывающей последовательность операций, которые надо выполнить, чтобы по значению аргумента найти соответствующее значение функции.
Например.
f(x)=x2+1
Часто требуется дать расширенное толкование функции, заданной
аналитически. В этом случае функция может определяться несколькими формулами, каждая из которых применяется в некоторой части области определения функции.
Например, функция
 x 2 при х  0
f x    2
 х при х  0
Аналитический способ задания функции компактен, легко воспроизводим и ,
главное наиболее приспособлен к выполнению математических действий. Но
он не всегда нагляден, и для определения значений функции иной раз необходимо произвести ряд сложных вычислений.
б) Геометрический способ.
Графическим способом задания функции является ее график.
7
График функции представляет собой множество точек вида [x,f(x)] на координатной плоскости х0у, абсциссы х которых является значениями аргумента функции и принадлежат к области ее определения, х  D( f ) а ординат равны соответствующим значениям функции f(x) на абсциссе х :
у= f(x) х  D( f )
у
у= f(x)
f(x)
а 0
х
в
х
Преимущество графического способа задания функции – его наглядность. Графическое изображение функций позволяет во многих случаях предвидеть те или иные свойства функции и весь ход ее изменения. Недостаток
графического способа задания функций заключается в ограниченной точности определяемых по значению аргумента х значений функции у.
в) Табличный способ.
При исследовании явлений природы иногда приходится встречаться с
такими переменными величинами, функциональная зависимость между которыми устанавливается на опыте или путем наблюдений, но точная связь между ними не открыта, т.е. не выражена математической формулой.
В таких случаях по результатам наблюдений составляются таблицы, в
которых содержатся значения рассматриваемой функции, соответствующие
различным частным значениям аргумента. Этот способ задания функциональной зависимости носит название табличного.
xi
yi
x1
y1
x2
y2
…
…
xn
уn
К табличному способу задания функций прибегают при записи результатов
опытов. Табличный способ бывает полезен и тогда, когда нужно найти те или
иные конкретные значения функции, не производя дополнительных вычислений. Этой цели служат, в частности, таблицы логарифмов, тригонометрические и т.д. Однако таблицы часто имеют большой объем, и их составление
требует больших затрат труда. В последнее время с развитием вычислительной техники составление таблиц стало менее трудоемким и роль их значительно снизилась.
8
Все способы задания функции как бы дополняют друг друга, и часто
возникает необходимость перехода от одного способа к другому.
3.
Элементарные функции.
Элементарной называется функция, которую можно задать одним
аналитическим выражением составленным из основных элементарных функций с помощью последовательно примененных конечное число раз четырех
арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и
операций взятия функции от функции (сложной функции).
1) Основные элементарные функции.
а) Степенная функция у=х а
у
у
а=3 а=2
а=-2
а R
а=1/2
а=0
а=-1
0
0
х
х
б) Показательная функция.
у
ех
1
у=ах
х R
у  R+
а>1
0<a<1
e
-x
0
в) Логарифмическая функция.
x
9
у
а>1
y=ℓnx
0
y=ℓogax
х  R+
y R
x
0<a<1
г) Тригонометрическая функция.
У
х R
y  [-1;1]
1
π
0
-1
2π
у=sinx
y=cosx
у
у=ctgx
х
0
y=tgx
y=tgx
х  R , исключая
х= πn+π/2;
у R
у=ctgx
х  R х≠πn
у R
10
д) Обратные тригонометрические функции.
у
у
у=arcsinx
y=arccosx
х
0
y=arctgx
y=arcctgx
х
0
е) Гиперболические функции.
Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции. Так
shx 
e x  e x
2
chx 
e x  e x
2
Гиперболический синус и косинус.
у=chx
y
у
у=shx
1
1
y=cthx
½
y=thx
0
x
0
x
-1
thx 
e x  e x
e x  e x
cthx 
e x  e x
e x  e x
Для гиперболических функций ch2 x- sh2 x=1
4. Неявное задание функции
Для функции f(x) , х  D( f ) графиком является множество всех точек вида
[x, f(x) , х  D( f ) ] т.е. множество точек (х,у), у которых абсцисса х принадлежит D(f), а ордината у равна значению функции f(x) на абсциссе х :
у= f(x) ; х  D
11
Функция , заданная в таком виде, называется явной, а последнее равенство – уравнением графика функции. График функции может быть выражен
множеством точек (х,у), в которых функция двух действительных переменных F (х,у) равна нулю, т.е. F (х,у)=0.
Если в некотором промежутке каждому значению х соответствует
единственное значение у, которое совместно х удовлетворяет уравнению
F (х,у)=0, то мы говорим, что это уравнение задает (определяет) неявную
функцию у.
Переменные х и у в равенстве F (х,у)=0 внешне равноправны, т.е. роль
аргумента неявной заданной функции может играть как переменная х так и
переменная у.
В каждом конкретном случае их роль определяется особо.
Например. у-х-3=0 неявно выражает функцию f(x) значения которой
получим, разрешив это уравнение относительно у, т.е. у=х+3, или неявно
выражает функцию f(у) , значения которой получим, разрешив это уравнение относительно х , т.е. х=у-3.
Заключение.
Рассмотренные способы задания функции не являются единственно
возможными. Нередко приходится задавать функцию каким-либо иным
способом. В дальнейшем мы встретимся с функциями, которые не
выражаются с помощью конечного числа элементарных функций, но могут
быть заданы с помощью определённых интегралов или с помощью
бесконечных рядов и т.д.
Одним из важных способов задания функции является задание функции
различными аналитическими выражениями на различных участках области
определения.