МОУ «МЕЖДУГОРНАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

МОУ «МЕЖДУГОРНАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
РЕФЕРАТ
Функции
РАБОТУ ВЫПОЛНИЛИ УЧЕНИКИ 8 КЛАССА
МЕЖДУГОРЕОЙ ОСНОВНОЙ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ
ТУЧКОВ ЮРИЙ, ХОМИДОВ ДАЛЕР,
ГАББАСОВ НУРЖАН
РУКОВОДИТЕЛЬ РЕФЕРАТА:
УЧИТЕЛЬ ФИЗИКИ ШИПИЛОВА МАРИНА
НИКОЛАЕВНА
П. МЕЖДУГОРНЫЙ
2008 ГОД
Содержание
1. Что такое функция-------------------------------------------------3стр.
2. Построение графика линейной функции ---------------------4стр.
3. Кубические функции -------------------------------------9стр.
2
Функциональная зависимость, или функция, - это такая зависимость между двумя
переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует
единственное значение зависимой переменной.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является
функцией от этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная,
образуют область определения функции.
Существует несколько способов задания функции:
1.С помощью таблицы.
2.Графический.
3.С помощью формулы.
4.Описательный.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы
которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что
окружающие их предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что:
• чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода;
• чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела;
• чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.
Когда возникли первые цивилизации, образовались большие армии, началось строительство
гигантских пирамид. Древние учёные стали составлять таблицы для облегчения вычислений. В
Древнем Вавилоне были составлены таблицы для функций y=1/x, y=x^2, y= x^3,
y= x^2+x^3.
Понятие переменной величины было введено в науку французским учёным и
математиком Рене Декартом (1596-1650). Он ввёл идею числовой функции
числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять
буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения,
связывающие два числа.
Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями
пришёл другой французский математик – Пьер Ферма (1601-1665). Он был
советником тулузского парламента и занимался математическими исследованиями
лишь в свободное время. Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных
результатов в различных областях математики.
Термин «функция» начал применять в конце XVIII века Лейбниц (1646-1716) и его ученики.
3
Определение функции, приближенное к современному, дал Иоганн Бернулли:
«Функцией переменной величины называется количество, образованное каким
угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
y=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.
Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух
точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.
Прямая пропорциональность – функция вида у=кх, где х – независимая переменная, к – не
равное нулю число.
Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
Для построения графика линейной функции необходимо:
- выбрать любые два значения переменной х (аргумента), например 0 и 1;
- вычислить соответствующие значения переменной y (функции). Полученные результаты
удобно записывать в таблицу
x
0
1
y
- полученные точки А и В изображаем в системе координат;
- соединяем по линейке точки А и В.
Пример. Построим график линейной функции y = -3·x+6.
x
0
1
y
6
3
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида
у=k/х, где х - независимая переменная и k - не равное нулю число. Областью определения такой
функции является множество всех чисел, отличных от нуля. Если величины x и y обратно
пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением
y = k / x, где k есть некоторая постоянная величина.
График обратной пропорциональности есть кривая линия, состоящая из двух ветвей. Этот
график называют гиперболой.
В зависимости от знака k ветви гиперболы расположены либо в 1 и 3 координатных четвертях (k
положительно), либо во 2 и 4 координатных четвертях (k отрицательно). На рисунке изображен
график функции y = 2/ x.
4
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
y=ax²+bx+c.
Рассмотрим случай, когда a=1,b=0 и c=0. Формула примет вид y=x².Вы, наверно, уже знаете,
какая зависимость между площадью квадрата и длиной его стороны. Зависимость между
площадью квадрата и длиной его стороны следующая: площадь квадрата равна квадрату его
стороны.
А как изменяется площадь в зависимости от изменения длины стороны? Эта зависимость
является примером новой функции. Чтобы поближе с ней познакомиться, построим график этой
функции. Для того, чтобы построить график этой функции, нам необходимо составить таблицу
соответственных значений x и y. Построим эти точки на координатной плоскости. А затем через
эти точки проведём плавную линию.
5
Мы получили график функции y=x², который называется параболой.
Если х=0, то и у=0. Еслих≠0, то у>0. Противоположным значениям х соответствует одно и тоже
значение у.
Некоторые свойства парабол:
1. Любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы
проходит через ее фокус.
2. Касательная в любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку
касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.
Эти свойства парабол используют при конструировании солнечных печей, телескопов,
параболических антенн.
Параболические антенны можно увидеть около любого аэродрома – они используются для того,
чтобы собрать в одну точку все сигналы радиолокатора, отраженные от самолета. В
прожекторах, наоборот, свет, исходящий из фокуса параболического зеркала, после отражения
образует параллельный пучок и не рассеивается. По этой причине форму параболоида вращения
имеют и автомобильные фары.
Кубической функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=x 3.
Чтобы поближе с ней познакомиться, построим график этой функции. Для того, чтобы
построить график этой функции, нам необходимо составить таблицу соответственных значений
x и y. Построим эти точки на координатной плоскости. А затем через эти точки проведём
плавную линию.
6
Мы получили график функции y=x3, который называется гиперболой.
Некоторые свойства гипербол:
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале
координат.
2. Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в первой и третьей
координатном четвертях..
3. Множеством значений функции y=x3 является вся числовая прямая.
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются
только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция
y=x3 - нечетная).
5. Функция y=x3 возрастающая в области определения.
7
1.Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию,
представленную на графике
а) у=-3х+1;
б) у=2х+1; в) у=3х+1.
2. Лыжник вышел из поселка и через t ч оказался на расстоянии S км от него. Запишите
формулу, задающую зависимость S от t, если скорость лыжника была равна 10 км/ч.
а) S=10t ; б) S=10+t ; в) S=10-t.
3. Зависимость калорийности молока от его жирности можно выразить формулой
k=100a+330, где k – калорийность молока в калориях, а – процент жира в молоке. Является
ли эта зависимость линейной функцией? Исходя из личного опыта, укажите, какие из
предложенных множеств наиболее точно задают область определения А и область
значений K функции.
а) А – все положительные числа, K – все положительные числа.
б) А – все числа, удовлетворяющие неравенству 0<а<10, K – все положительные числа,
удовлетворяющие неравенству 330<а<1330.
в) А – натуральные числа от 0 до 10, K- натуральные числа от 330 до 1330.
8
1.Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию,
представленную на графике
а) у=x2; б) у=-2x2;
в) у= x2+1.
2.Используя формулу S=x2, где S – площадь квадрата, х – длина его стороны, определите,
как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 10 раз?
а) увеличится в 10 раз;
б) увеличится в 20 раз;
в) увеличится в 100 раз.
3. Комета удаляется от Земли по параболе, задаваемой уравнением S=100000+ t·v², где v –
скорость кометы, км/с, S – расстояние от кометы до Земли, км, t – время, с. Какое
расстояние будет между кометой и Землей через один месяц, если v= 10 км/с?
а) 259300000 км, б) 72000000км,
в) 7300000 км.
1. Для y=x3 найдите значение аргумента, соответствующее значению функции, равному
125.
а) x=25;
б) x=5
в) x=1.
2. Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию,
представленную на графике.
9
а) y=x3/2;
б) y=x3·2; в) y=x3
3. Частица движется по закону S(t)=st3-1, где t-время, S-пройденное расстояние (в метрах).
Через 5 секунд после начала движения частица сталкивается с препятствием и
останавливается. Найти расстояние, пройденное частицей за последние 3 секунды.
а)250 метров;
б) 351 метр;
в) 372 метра. <
1.Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию,
представленную на графике
10
а) у=4/х;
б) у=-4/х;
в) у=-8/х.
2.Обратная пропорциональность задана формулой у=10/х. Найдите значение функции,
соответствующее значению аргумента, равному 100.
а) 10; б) 0,1; в) 0,01.
3. В аквариум, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания
50 см и а см, вмещается 1200 см3 воды. Выразите формулой зависимость высоты b
аквариума от длины основания а.
а) b=1200/50a ;
б) b=50a/1200 ; в) b=1200·50а.
11