Дополнительные главы теоретической механики

1
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Новосибирск
2009
2
Программа
дисциплины
«Дополнительные
главы
теоретической
механики»
составлена в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню
подготовки
бакалавра
по
специальности
011200
«Геофизика»
со
специализацией
«Геомеханика» по циклу «Общие профессиональные дисциплины» государственных
образовательных стандартов высшего профессионального образования
Авторы (составители):
д.ф.-м.н., проф. Жигалкин Владимир Михайлович, Институт горного дела СО РАН
Рецензент:
доктор физ.-мат. наук, проф. Бондарь Василий Денисович, Новосибирский госуниверситет
3
Программа дисциплины “Дополнительные главы теоретической механики”
1. Организационно-методический отдел.
1.1. Дополнительные главы теоретической механики.
Дополнительная глава теоретической механики - одна из фундаментальных
естественнонаучных дисциплин физико-математического цикла, на материале которой
базируются дисциплины, или разделы дисциплин, «Сопротивление материалов», «Механика
сплошной среды», «Теория упругости и поля напряжений в массиве горных пород»,
«Механика сыпучих тел и грунтов».
Изучение теоретической механики дает тот минимум фундаментальных знаний, на
базе которых будущий бакалавр сможет самостоятельно овладеть новой информацией, с
которой ему придется столкнуться в производственной и научной деятельности.
1.2. Цели и задачи курса.
Целью данной дисциплины является изучение общих законов движения и равновесия
материальных тел и возникающих при этом взаимодействий между телами.
1.3. В итоге изучения курса теоретической механики студент должен знать основные
понятия и законы механики и вытекающие из этих законов методы изучения равновесия и
движения материальной точки, твердого тела и механической системы; понимать те методы
механики, которые применяются в прикладных дисциплинах; уметь прилагать полученные
знания для решения соответствующих конкретных задач геомеханики; самостоятельно
строить и исследовать математические и механические модели блочной структурной
геосреды, квалифицированно применяя при этом основные алгоритмы высшей математики и
используя возможности современных компьютеров и информационных технологий.
1.4. Формы контроля.
Итоговый контроль. Для контроля дисциплины учебным планом предусмотрено два
зачета два экзамена (после осеннего и весеннего семестров).
Текущий контроль. В течение семестров проводится проверка домашних заданий,
четыре контрольных работы.
2. Содержание дисциплины.
2.1. Курс является общеобразовательным для специальности “геомеханика”. Данная
программа содержит :
-
основную часть;
4
-
перечень практических заданий;
перечень домашних работ;
перечень учебных занятий и профилирования курса применительно к нуждам
специальности “геомеханики”;
список литературы.
2.2. Тематический план курса (распределение часов).
Наименование
Разделов и тем
1. Введение
2. Кинематика точки и
твердого тела
3. Динамика точки, системы
точек, твердого тела
4. Аналитическая межаника
5. Уравнения Лагранжа
6. Устойчивость равновесия
7. Потенциальное поле
8. Малые колебания
Итого по курсу
Лекции
1
Количество часов
Лабораторн
Контрольная
Семинары
ые
работа
работы
4
5
6
1
12
6
4
4
4
4
36
6
4
4
2
2
36
Всего
Часов
2.3.Содержание отдельных тем и разделов.
1. ВВЕДЕНИЕ. Теоретическая механика, ее место в ряду других наук и область
применения. Основные законы. Пространство, время, масса, сила. Материальная точка,
система точек, твердое тело. Система отсчета. Относительность движения.
2. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ. Способы описания движения: декартовы координаты,
естественные координаты, криволинейные системы координат. Вектор-радиус. Уравнения
движения и траектория. Векторы скорости и ускорения.
Естественные координаты. Касательный вектор. Главная нормаль. Кривизна
траектории. Радиус кривизны. Вектор бинормали. Соприкасающаяся, cпрямляющая и
нормальная плоскости. Кручение. Радиус кручения. Формулы Френе. Естественные
компоненты скорости и ускорения.
Ортогональная криволинейная система координат. Движение в ортогональной
криволинейной системе координат. Коэффициенты Ламе. Разложение вектора скорости и
вектора ускорения. Физические компоненты скорости и ускорения.
3. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. Абсолютно твердое тело. Число степеней
свободы. Координаты и уравнения движения. Матрица поворота. Векторы угловой скорости
и углового ускорения. Формулы Пуассона и Эйлера. Скорость и ускорение произвольной
точки тела. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Сферическое движение тела. Плоское
движение тела. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Скорости и ускорения точек
плоской фигуры.
4. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА. Подвижная и неподвижная
система координат. Относительное, переносное и абсолютное движения. Сложение и
разложение движений. Теоремы сложения скоростей и сложения ускорений точки.
5
Поворотное ускорение. Теоремы сложения угловых скоростей и сложения угловых
ускорений тела. Поворотное угловое ускорение.
5. ДИНАМИКА ТОЧКИ. Основные понятия и аксиомы динамики. Вектор силы и
масса точки. Инерциальная система отсчета. Законы Ньютона. Дифференциальные
уравнения движения. Решение первой задачи динамики. Решение второй (основной) задачи
динамики.
Общие теоремы динамики точки. Теорема об изменении количества движения.
Теорема об изменении момента количества движения и закон площадей. Теорема об
изменении кинематической энергии. Работа силы. Потенциальное силовое поле. Работа
потенциальной силы. Потенциальная энергия.
Прямолинейное движение точки. Прямолинейные колебания точки. Свободные
колебания
при отсутствии сопротивления. Свободные колебания точки при малом
сопротивлении. Большое сопротивление. Вынужденные колебания. Резонанс. Вынужденные
колебания при наличии сопротивления, пропорциональном скорости.
Движение свободной материальной точки под действием силы тяготения. Форма
орбит. Условия реализации круговой орбиты.
Движение несвободной материальной точки. Ограничения на скорость и ускорение.
Движение по поверхности и по линии. Нормальная и тангенциальная реакции. Закон Кулона.
Круговой математический маятник.
Равновесие точки. Условия равновесия. Равновесие несвободной точки. Сила
инерции. Принцип Даламбера.
6. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. Инерционная и
неинерционная системы отсчета. Дифференциальные уравнения относительного движения
точки. Переносная и кориолисова силы инерции. Принцип относительности. Уравнения
относительного покоя точки. Относительный покой и относительное движение вблизи
поверхности Земли. Вес точки. Зависимость веса от широты места.
7. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ТОЧЕК. Система точек. Внутренние и внешние силы.
Свойства внутренних сил. Дифференциальные уравнения движения системы.
Основные динамические величины системы. Масса, центр масс. Меры движения
системы. Силовые характеристики.
Общие теоремы динамики системы: теорема об изменении количества движения;
теорема о движении центра масс; теорема об изменении кинетического момента системы;
теорема об изменении кинетической энергии. Интегралы количества движения, площадей и
энергии. Теорема Кенига.
8. ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ. Основной закон движения точки с
переменной массой (закон Мещерского). Реактивная и тормозящая силы. Движение ракеты
вдали от материальных тел. Формула Циолковского.
9. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. Геометрия масс. Моменты первой степени.
Моменты второй степени. Момент инерции относительно оси. Моменты
инерции
относительно осей параллельного пучка. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Моменты инерции
относительно осей пучка, выходящего из данной точки. Тензор инерции. Эллипсоид
инерции. Главные оси инерции. Свойства главных осей инерции.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение движения. Давление на
ось. Физический маятник.
Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения движения.
Сферическое движение твердого тела. Сферическое движение свободного тела
вокруг неподвижного центра масс. Сферическое движение несвободного тела вокруг
произвольного неподвижного центра. Определение реакции опоры. Сферическое движение
тяжелого твердого тела. Вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижного центра
масс.
10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Дифференциальные уравнения движения
произвольной системы материальных точек. Свободные и несвободные системы. Связи и их
классификация. Возможные и виртуальные перемещения. Идеальные связи.
6
Принцип
Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода.
виртуальных перемещений. Принцип Даламбера.
Голономные системы. Независимые координаты. Обобщенные силы. Уравнения
Лагранжа второго рода. Исследование уравнений Лагранжа.
Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и
диссипативные силы.
11. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ. Уравнения Лагранжа в
случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Натуральные системы.
Преобразование Лежандра. Теорема Донкина. Канонические уравнения Гамильтона.
Обобщенно-консервативные системы. Уравнения Рауса. Циклические координаты.
Метод Пуассона нахождения интегралов движения. Скобки Пуассона. Теорема
Якоби-Пуассона.
12. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ. Общие понятия. Дифференциальные и
интегральные вариационные принципы. Замечания о варьировании. Перестановочные
соотношения. Расширенное координатное пространство. Прямой и окольный пути.
Действие по Гамильтону. Принцип Гамильтона стационарного действия.
Метод Гамильтона - Якоби. Главная функция Гамильтона. Принцип переменного
действия. Дифференциальное уравнение Гамильтона - Якоби.
Метод
Якоби интегрирования динамических уравнений Гамильтона. Основные
понятия. Теорема Гамильтона - Якоби.
13. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ. Теорема Лагранжа
об устойчивости равновесия. Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы
Ляпунова и Четаева. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные
системы.
Устойчивость движения. Устойчивость и асимптотическая устойчивость. Уравнения
для возмущений. Теорема Ляпунова об устойчивости движения.
Устойчивость линейных систем. Устойчивость по линейному приближению. Условия
Рауса - Гурвица и Льенара - Шипара.
14. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ. Уравнения малых
колебаний. Главные колебания. Нормальные координаты. Малые колебания склерономной
системы под действием сил, не зависящих явно от времени. Диссипативная функция Релея.
Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы.
2.4. Тематический план практических занятий .
3-й семестр
1. Координатный способ описания движения точки.
2. Естественный способ описания движения точки.
3. Криволинейные координаты точки. Физические компоненты скорости и ускорения.
4. Простейшие движения тел и их преобразование.
5. Плоское движение тела - уравнения движения и скорости точек.
6. Плоское движение тела - ускорения точек.
7. Сложное движение точки и тела.
8. Контрольная работа № 1 - кинематика точки и тела.
9. Дифференциальные уравнения движения Ньютона. Прямая и обратная задачи механики.
10. Общие теоремы динамики точки.
11. Динамика относительного движения точки.
12. Динамика точки переменной массы.
13. Движение точки под действием центральной силы.
14. Динамика материальной системы - теоремы о количестве движения и центре масс
системы.
15. Динамика материальной системы - теоремы о кинематическом моменте и кинетической
энергии.
7
16. Контрольная работа № 2 - динамика точки и теоремы динамики системы точек.
ПРИМЕЧАНИЕ: в конце третьего семестра - экзамен.
4-й семестр
1. Центр масс и моменты инерции твердого тела.
2. Равновесие твердого тела.
3. Динамика вращательного движения тела.
4. Динамика плоского движения тела.
5. Принцип виртуальных перемещений.
6. Общее уравнение динамики.
7. Контрольная работа № 3 - статика, динамика твердого тела, вариационные принципы.
8. Уравнения Лагранжа второго рода (одна степень свободы).
9. Уравнения Лагранжа второго порядка (две степени свободы).
10. Канонические уравнения Гамильтона.
11. Интегралы движения. Уравнения Якоби-Гамильтона.
12. Уравнения Якоби-Гамильтона.
13. Устойчивость равновесия и движения.
14. Малые колебания.
15. Контрольная работа № 4 - уравнения Лагранжа, Гамильтона, Якоби - Гамильтона;
устойчивость; малые колебания.
ПРИМЕЧАНИЕ: в конце четвертого семестра - экзамен.
3.4. Список основной литературы.
1. Бондарь В.Д. Лекции по теоретический механике. - Новосибирск. - НГУ, ч.I, ч.II, ч.III. 1970, 1972, 1974.
2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики.- Москва. - Наука. - ч.1, ч.II. 1972.
3. Гантмахер Ф.Р. - Лекции по теоретической механике. - Физматгиз, М., 1960 (Наука.- М.1986).
4. Березкин Е.Н. Лекции по теоретической механике. М.: Изд-во МГУ, 1967, ч. 1 - 1967, ч. II
- 1968.
5. Березкин Е.Н. Курс теоретической механики. - М.: Изд-во МГУ, 1974.
6. Беленький И.М. Введение в аналитическую механику. М.: Изд-во "Высшая школа". 1964.
Список дополнительной литературы.
1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука. - 1981 (и
последующие издания).
2. Пятницкий Е.С., Трухан Н.М. и др. Сборник задач по теоретической механики. - М.:
Наука. - 1980 (и последующие издания).
3. Бухгольц Н.Н., Воронков И.М., Минаков А.П. Сборник задач по теоретической
механике. - М.; Л.: Гостехиздат. - 1949 (и последующие издания).
4. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и
задачах. - М.: Наука. - т.1 - 1975 (и последующие издания). - т. 2 - 1975 (и последующие
издания). - т.3 - 1975 (и последующие издания).
5. Борисенко А.И., Таранов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.:
Высшая школа. - 1963.