Самосогласованное решение интегро-дифференциальных уравнений Шредингера и Пуассона Андрющенко Е.А. Студент Грачев М.В. Студент Рязанский государственный радиотехнический университет, кафедра высшей математики, Рязань, Россия katyunchigg@mail.ru Электрон–электронные взаимодействия являются ключевыми в кинетических явлениях. В их число входят эффекты горячих электронов, квантовые поправки к проводимости и затухание квантования Ландау в низкоразмерных полупроводниковых структурах с вырожденными электронами [1]. Зонные диаграммы исследуемых наноструктур были рассчитаны методом самосогласованного решения уравнений Шредингера с граничными условиями: 2 d2 E z j z E j j z 2 2m dz (1) j 0 0 , j 0 , (2) и Пуассона E z eV z , с граничными условиями: d 2V 4 z , dz 2 (3) V z 0 , eV ( z 0) E0 . (4) Решение данной системы интегро–дифференциальных уравнений является сложным с математической точки зрения, так как необходим точный учет потенциального профиля квантовой ямы. В большинстве работ потенциальная яма аппроксимируется прямоугольным профилем. Однако попытка применения аналитических результатов в данном случае оказывается неудачной. Самосогласованное решение системы (1)-(4) является затруднительным из-за неопределенного распределения плотности заряда ( z ) В ряде работ уже предпринимались попытки рассчитать зонные структуры гетеропереходов, однако применялся только численный метод, а аналитическое решение не было получено. Кроме того, в решении системы (1)-(4) существуют различного рода расходимости, которые оказывают значительное влияние на конечный результат. Наиболее простая аппроксимация, которая позволяет получить численный результат, удобный для подстановки в интегро-дифференциальное уравнение Больцмана, имеет вид: z 3/2 ( z ) eN 0 1 , z D, D ( z ) A( z D)exp ( z D) / a , z D. (6) Применение данной аппроксимации позволяет получить аналитические выражения, которые в дальнейшем используются для нахождения температурных зависимостей времени электрон-элетронного взаимодействия в гетероструктурах и позволяют объяснить аномалии, наблюдаемые в ходе экспериментов. [2] Авторы выражают благодарность зав. каф. высшей математики РГРТУ, доц. Бухенскому К.В., к.ф.-м.н., доц. Кучерявому С.И., к.ф.-м.н., доц. Дюбуа А.Б. и научному руководителю, асс. Сафошкину А.С. Литература 1. Дюбуа А.Б., Зилотова М.А., Кучерявый С.И., Сафошкин А.С. – Кинетические процессы в умеренно легированном гетеропереходе. – Вестник РГРТУ. – 2013. – №3(45). – С. 88-92. 2. Ambartsumyan V.A., Andryushchenko E.A., Bukhenskyy K.V., Dubois A.B., Dvoretskova E.A., Gordova T.V., Kucheryavyy S.I., Mashnina S.N., Safoshkin A.S. – Channels of electron-electron interactions in highly doped heterojunction. – Nanosystems: physics, chemistry, mathematics. – 2014. – Vol. 5, Issue 3. – pp 343-353.