УДК 517.55+517.96 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА В ЗАДАЧЕ СУММИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Шишкина О. А. научный руководитель доктор физ.-мат. наук, проф. Лейнартас Е. К. Сибирский федеральный университет Задача суммирования функций, т.е. отыскания для заданной функции 𝜑(𝑡) суммы ∑𝑥𝑡=0 𝜑(𝑡) с переменным "`верхним пределом суммирования"' относится к числу классических. Задачу о вычислении суммы степеней последовательных натуральных чисел 𝜑(𝑡) = 𝑡 𝑚 решил Якоб Бернулли. Эти иccледования дали толчок к возникновению целого ряда разделов комбинаторного анализа. Эйлер предложил способ решения задачи суммирования, который сводит ее к необходимости решать относительно функции 𝑓(𝑥) разностное уравнение 𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥), (1) и показал, что искомая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению 𝐵𝜇 (𝜇) (𝑥) , 𝑓 ′ (𝑥) = ∑∞ (2) 𝜇=0 𝜇! 𝜑 где 𝐵𝜇 - числа Бернулли. Если функциональный ряд, стоящий в правой части уравнения можно почленно интегрировать, то из соотношения (2) после интегрирования для решения уравнения (1) получается знаменитая формула Эйлера-Маклорена ([1]), которая выражает искомую функцию через интеграл и производные от 𝜑(𝑡): 𝐵𝜇 (𝜇−1) (𝑥). 𝑓(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 + ∑∞ 𝜑 𝜇=1 𝜇! Другие подходы к решению задачи суммирования можно найти в [2]. Существуют два метода исследования формулы Эйлера-Маклорена: средствами вещественного анализа и с помощью комплексного интегрирования. Средства вещественного анализа - это числа и многочлены Бернулли и ряды Фурье (Пуассон). Формулу Эйлера-Маклорена нашли независимо Эйлер (1732-33, опубликовано 1738) и Маклорен (1742). Первое серьезное исследование остаточного члена предпринял Пуассон (1823), первое совершенно строгое - Якоби (1834). В данной работе рассматривается задача отыскания суммы значений целой функций нескольких переменных 𝜑(𝑡) по всем целым точкам 𝑡 = (𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) , принадлежащим параллелотопу с "`переменной"' вершиной 𝑥. Приведем необходимые обозначения и определения. Пусть a1 , . . . , a𝑛 линейно независимые векторы с целочисленными координатами aj = 𝑗 𝑗 𝑗 (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ), 𝑎𝑖 ∈ ℤ. Рациональным конусом, порожденным векторами 1 𝑛 𝑛 1 𝑛 a ,...,a назовем множество 𝐾 = {𝑦 ∈ ℝ ∶ 𝑦 = 𝜆1 𝑎 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑎 , 𝜆𝑗 ∈ ℝ+ , 𝑗 = 1, … , 𝑛}. Отметим, что такой конус является симплициальным, т. е. каждый его элемент выражается через образующие единственным образом. Кроме того, симплициальный конус также является выступающим, т. е. не содержит прямых. Между точками 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅 𝑛 определим отношение частичного порядка ≥𝐾 следующим образом: 𝑢 ≥𝐾 𝑣 ⇔ 𝑢 ∈ 𝑣 + 𝐾, где 𝑣 + 𝐾 – сдвиг конуса 𝐾 на вектор 𝑣. Кроме того, будем писать𝑢 ≱𝐾 𝑣, если 𝑢 ∈ 𝐾 ∖ {𝑣 + 𝐾}, т. е. если отношение 𝑢 ≥𝐾 𝑣 не выполняется. Любой элемент 𝑦 ∈ 𝐾 ∩ ℤ𝑛 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов 𝑦 = 𝜆1 𝑎1 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑎𝑛 . В матричной форме это представление запишется в виде𝑦 = 𝐴𝜆, где 𝜆 - вектор-столбец, 𝐴 - матрица, определитель которой ∆≠ 0, а столбцы состоят из координат векторов 𝑎𝑗 : 𝑎11 … 𝑎1𝑛 𝐴 = ( … … … ). 𝑎1𝑛 … 𝑎𝑛𝑛 𝑛 Возьмем произвольные 𝑥 ∈ 𝐾 ∩ ℤ и рассмотрим параллелотоп П𝐾 (𝑥) = {𝑡 ∈ 𝑛 ℝ : 0 ≤𝐾 𝑡 ≤𝐾 𝑥}. Будем рассматривать унимодулярные параллелотопы (т.е. detA=1), в которых число целых точек равно объему параллелотопа. Для заданной функции 𝜑(𝑡) = 𝜑(𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) задача состоит в отыскании кратной суммы 𝑆(𝑥) = ∑𝜏∈П𝐾(𝑥)∩ℤ𝑛 𝜑(𝜏) с переменным верхним пределом суммирования. Для комплекснозначной функции 𝑓(𝑥) целочисленных аргументов 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) определим оператор 𝛿𝑗 сдвига по 𝑗 -ой переменной 𝛿𝑗 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑗−1 , 𝑥𝑗 + 1, 𝑥𝑗+1 , … , 𝑥𝑛 ) и обозначим 𝑃(𝛿) = ∑𝛼 𝑐𝛼 𝛿 𝛼 полиномиальный разностный оператор с 𝛼 𝛼 постоянными коэффициентами 𝑐𝛼 , 𝛼 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) ∈ ℤ𝑛+ , 𝛿 𝛼 = 𝛿1 1 … 𝛿𝑛 𝑛 . Теорема 1 Сумма 𝑆(𝑥) = ∑0≤𝐾 𝑡≤𝐾 𝑥 𝜑(𝑡) с переменным "`верхним"' пределом суммирования 𝑥 ∈ 𝐾 ∩ ℤ𝑛 , где суммирование ведется по всем целым точкам 𝑡 из параллелотопа П𝐾 (𝑥), удовлетворяет разностному уравнению 𝑄(𝛿)𝑆(𝑥) = 𝜑(𝑥 + 𝑎), (3) 𝑗 𝑛 𝑎 1 𝑛 где 𝑄(𝛿) = ∏𝑗=1 (𝛿 − 1) и 𝑎 = 𝑎 + ⋯ + 𝑎 - векторы, порождающие конус 𝐾. Обозначим 𝜋𝑗 оператор проектирования вдоль вектора 𝑎 𝑗 , а именно, для любого 𝑥 = 𝜆1 𝑎1 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑎𝑛 , 𝑎 𝑗 ∈ 𝐾, положим 𝜋𝑗 𝑥 = 𝜆1 𝑎1 + ⋯ + [𝑗] + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑎𝑛 , где [𝑗] означает, что 𝑗-oе слагаемое пропущено, и 𝜋𝑗 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝜋𝑗 𝑥). Обозначим 𝜋𝐽 = 𝜋𝑗1 ∙∙∙ 𝜋𝑗𝑟 , где 𝐽 = {𝑗1 , … , 𝑗𝑟 }, 1 ≤ 𝑗1 < 𝑗2 < ⋯ < 𝑗𝑟 ≤ 𝑛, #𝐽 = 𝑟. Если 𝑟 = 0, то 𝜋𝐽 𝑥 = 𝑥, если 𝑟 = 𝑛, 𝜋𝐽 𝑥 = 0. {𝜋𝐽 𝑥}1≤𝑗 <𝑗 <⋯<𝑗 ≤𝑛 – 2𝑛 вершин параллелотопа. 1 2 𝑟 𝐽′ = {1,2, … , 𝑛} − 𝐽, т.е. наборы из (𝑛 − 𝑟) чисел, которые не входят в 𝐽. ′ ′ ′ ′ }, 𝑎 𝐽 = 𝑎 𝑗1 + ⋯ + 𝑎 𝑗𝑛−𝑟 , 𝐽 ∪ 𝐽′ = {1, … , 𝑛}, 𝐽 ∩ 𝐽′ = ∅. Для 𝐽′ = {𝑗1′ , … , 𝑗𝑛−𝑟 Теорема 2 Если 𝑓(𝑥) - любое решение разностного уравнения 𝑄(𝛿)𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥) , то 𝑆(𝑥) = ′ ∑𝐽(−1)#𝐽 𝑓(𝜋𝐽 𝑥 + 𝑎 𝐽 ) , т.е. искомая сумма 𝑆(𝑥) выражается через значения функции 𝑓(𝑥) в конечном (равном 2𝑛 )числе точек вершин параллелотопа. Обозначим ℂ𝑛 комплексное пространство размерности 𝑛, а его точки 𝑧 = (𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ). Пусть 𝐸𝑥𝑝(ℂ𝑛 ) пространство целых функций 𝜑(𝑧) экспоненциального типа, т.е. целых функций, удовлетворяющих неравенству | 𝜑(𝑧)| ≤ 𝑀𝑒 𝑟|𝑧| , где 𝑀 > 0, 𝑟 ≥ 0 - некоторые числа (для каждой функции свои), и |𝑧| = |𝑧1 | + ⋯ + |𝑧𝑛 |. Пусть 𝑅 > 0 фиксированное число и 𝑟 < 𝑅 произвольно. Обозначим через 𝐸𝑥𝑝𝑅 (ℂ𝑛 ) пространство целых функций экспоненциального типа 𝜑(𝑧) таких, что для некоторого 𝑀 > 0 и любого 𝑟 < 𝑅 𝜕 |𝛼| | 𝛼 𝜑(𝑧)| ≤ 𝑀𝑟 |𝛼| 𝑒 𝑟|𝑧| 𝜕𝑧 𝜕|𝛼| для всех мультииндексов 𝛼 и всех 𝑧 ∈ ℂ𝑛 , 𝜕𝑧 𝛼 = Обозначим дифференциальный оператор 𝑗 𝜕 𝑗 𝜕 𝜕𝛼1 +⋯+𝛼𝑛 𝛼 𝛼 . [3] 𝜕𝑧1 1 … 𝜕𝑧𝑛 𝑛 𝜇 𝜇 𝐷𝜇 = 𝐷1 1 𝐷2 2 𝜇 … 𝐷𝑛 𝑛 , где 𝐷𝑗 = 〈𝑎 𝑗 , 𝜉〉 = 𝑎1 𝜕𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝜕𝑥 - производные по направлению вектора 𝑎 𝑗 , j=1,…,n. 1 𝑛 𝑗 2𝜋 𝑗 Пусть ‖𝑎 𝑗 ‖ = |𝑎1 | + ⋯ + |𝑎𝑛 | . Обозначим 𝑅 = max‖𝑎𝑗 ‖ , 𝑗 = 1, … , 𝑛. Отметим, что 𝑗 гиперплоскости 〈𝑎 𝑗 , 𝜉〉 = ±2𝜋𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 не пересекаются с полицилиндром 𝑈𝑅 = {|𝑧𝑗 | < 𝑅}. Теорема 3 2𝜋 Если 𝜑(𝑧) ∈ 𝐸𝑥𝑝𝑅 (ℂ𝑛 ), где 𝑅 = max‖𝑎𝑗‖, то решение уравнения (3) с дополнительными 𝑗 условиями ∑𝜇≥1 𝐵𝜇 𝜇! 𝜋𝑗 𝑆(𝑧) = 0 имеет вид 𝐵 𝑆(𝑧) = ∑𝜇≱𝐼,𝜇≥0 𝜇!𝜇 ∫П 𝐾 (𝑥+𝑎), 𝐷𝜇 𝜑(𝑦) 𝑑𝑦 + 𝐷𝜇−1 𝜑(𝑥 + 𝑎), где 𝐵𝜇 – обобщенные числа Бернулли. Для 𝑛 = 1 из этой формулы получаем формулу Эйлера-Маклорена. В работах [4],[5] получена аналогичная формула для случая, когда суммирование ведется по произвольному выпуклому рациональному многограннику, но только для случая, когда 𝜑(𝑧) - многочлен. Список литературы. 1. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. // - М.: Наука, 1967. 2. Харди Г. Расходящиеся ряды.. // - М.: Издательство иностранной литературы, 1951. 3. Дубинский Ю.А. Задача Коши в комплексной области. // - М.: Издательство МЭИ, 1996. 4. Brion M., Vergne M. Lattice points in simple polytopes. // Journal of the American Mathematical Society. 1997. Vol. 10. No 2. Pp. 371-392. 5. Brion M., Vergne M. Residue formulae, vector partition functions and lattice points in rational polytopes. // Journal of the American Mathematical Society. 1997. Vol. 10. No 4. Pp. 797-833.