Всероссийская олимпиада школьников задания школьного этапа

Всероссийская олимпиада школьников
задания школьного этапа
Математика
11 класс
Продолжительность (120 мин)
Задача 1. Найти значение выражения
11  6 2  11  6 2 .
Задача 2. При каких целых значениях m уравнение 4mх+2 =5+х имеет целые корни?
Задача 3. Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается на 33, оканчивается на 33, имеет
сумму цифр 33 и делится на 33.
Задача 4. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см, вписана
окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
Задача 5. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения a  2x 2  2ax  a  3  0
положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих условию
a  10 .
Решение.
Задача 1. Возведем данное выражение в квадрат, получим 11+6√2 +2√(11+6√2)*√11-6√2+11-6√2=
22+2√121-72=22+2√49=22+2*7=36
Извлекаем корень из 36, получаем значение выражения равно 6.
Задача 2.Решение
4mх+2 =5+х.
4mх-х=5-2
х(4m-1)=3
х=3/(4m-1)
4m-1=-3
4m-1=-1
4m-1=3
4m-1=1
m=-0,5
m=0
m=1
m=0,5
Ответ: m=0; 1.
Задача 3. Ответ: 3375933.
Решение. Так как сумма всех цифр равна 33, а сумма двух начальных цифр и двух последних цифр равна
12, то сумма оставшихся цифр равна 21. Следовательно, в этом числе еще не менее трех цифр. Так как
число с суммой цифр 33 делится на 3, то для делимости искомого числа на 33 достаточно делимости на 11.
Для поиска остальных цифр воспользуемся признаком делимости на 11. Пусть искомое семизначное число
имеет вид: 33abc33. Тогда a + b + c = 21, и a + c – b кратно 11, то есть равно 0 или 11. Равенство 0 не
возможно, так как сумма двух цифр всегда не меньше 12, следовательно a + c – b = 11. Решая систему из
двух уравнений, находим, что b = 5. Для a и c имеется две возможности: 8, 8 и 7, 9. Наименьшее искомое
число дает второй набор: 3375933.
Комментарий. Найдено семизначное, но не наименьшее, число – 3 балла.
Задача 4.В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см, вписана
окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
Решение:
Площадь четырехугольника найдем по формуле S = p ∙ r, где p – полупериметр четырехугольника, r –
радиус вписанной окружности. Так как в четырехугольник вписана окружность, то сумма
противоположных сторон равна, т.е. 2 + 4 = 3 + х, где х – четвертая сторона. Отсюда х = 3см. Тогда p = ½
(2 + 3 + 3 + 4) = 6см. По условию r = 1,2 см. Таким образом, S = 6 ∙ 1,2 = 7,2 см².
Ответ: 7,2 см2.
Задача 5.Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения
(а – 2)х2 – 2ах + а + 3 = 0 положительны. В ответе записать количество целых значений параметра,
удовлетворяющих условию |а| ≤ 10.
Решение:
Заметим, что заданное уравнение не для всех значений а является квадратным. При а = 2 это уравнение
первой степени -4х + 5 = 0, которое имеет положительный корень х = 1,25. Следовательно, значение а = 2
удовлетворяет условию задачи.
При а ≠ 2 данное уравнение является квадратным.
Чтобы корни рассматриваемого уравнения были положительны, необходимо выполнение условий
2à

 õ1  õ2  à  2  0,
à   ;3  2; .

à3
 õ1  õ2 
 0;
à2

Кроме того, нужно чтобы дискриминант исходного уравнения D = (2а)2 – 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 – а) был
неотрицательным. Получим а  (-∞;6].
Общая часть полученных интервалов а ∈ (-∞;-3) ∪ (2;6]. Учитывая значение а = 2, полученное при
рассмотрении линейного уравнения, находим окончательно а  (-∞;-3) ∪ [2;6].
Условию |а| ≤ 10 соответствует а  [-10;10]. Выпишем целые значения параметра а, удовлетворяющие
полученному решению и указанному условию: {-10; -9; -8; -7; -6; -5; -4; 2; 3;4; 5; 6} – таких значений
оказалось двенадцать.
Ответ: 12.