09-05-05_b

Тема 5. Числовые функции и некоторые кривые
В этой теме Вы продолжите изучение функциональной зависимости. Будут рассмотрены
основные способы задания числовых функций: табличный, формульный, графический и
некоторые основные классы функций: монотонные, четные, нечетные.
§4. Квадратичная функция и некоторые кривые
4.1. По графику функции y  x 2 можно построить график любой функции вида
y  x 2  px  q . Вспомним на примерах, как это делается.
Пример 1. Построим график функции y  x 2  1 . Для этого рассмотрим какую-либо
точку графика функции y  x 2 . Например, при x  4 получим точку A(4 42 ) . Функция
y  x 2  1 при x  4 принимает значение 42  1 , а поэтому соответствующая точка B ее
графика имеет координаты B(4 42  1) . Значит, точка B получается из точки A
параллельным переносом на единицу в положительном направлении оси Oy (рисунок 1).
Так как вместо x  4 можно было взять любое другое значение, то все точки графика
функции y  x 2  1 получаются из графика функции y  x 2 параллельным переносом на
единицу в положительном направлении оси Oy .
Иногда говорят, что график функции y  x 2  1 получается из графика функции y  x 2
сдвигом на единицу вверх параллельно оси Oy в ее положительном направлении.
В общем случае график функции y  x 2  m получается из графика функции y  x 2
сдвигом на отрезок длиной  m  вверх параллельно оси Oy , когда m  0 , и вниз
параллельно оси Oy , когда m  0 .
Пример 2. Построим график функции y  ( x  2)2 . Для этого рассмотрим любую точку
графика функции y  x 2 . Например, при x  5 получим точку A(5 25) . Функция
y  ( x  2)2 принимает значение 25  (5)2 , если для x взять значение x2  3  5  2 .
Действительно, (3  2)2  (5  2  2)2  (5)2 . Соответствующая значению x2 точка
B графика функции y  ( x  2)2 имеет координаты B (5  2 25) . Значит, точка B
получается из точки A параллельным переносом на 2 в положительном направлении оси
Ox (рисунок 2). Так как приведенные рассуждения можно провести для любого значения
x , то и весь график функции y  ( x  2)2 получается из графика функции y  x 2 ,
параллельным переносом на 2 в положительном направлении оси Ox .
Иногда говорят, что график функции y  ( x  2)2 получается из графика функции
y  x 2 сдвигом на 2 единицы вправо параллельно оси Ox в ее положительном
направлении.
В общем случае график функции y  ( x  n)2 получается из графика функции y  x 2
сдвигом на отрезок длиной  n  вправо параллельно оси Ox , когда n  0 , и влево
параллельно оси Ox , когда n  0 .
4.2. Объединяя рассуждения, приведенные в примерах предыдущего пункта, построим
график функции
2
1 3

y x   
2 4

Для этого сначала график функции y  x 2 перенесем параллельно оси ординат вверх
на
3
4
(рисунок 3). В результате получим график функции y  x 2  34 . Затем получившийся
график перенесем параллельно оси абсцисс вправо на отрезок длины
1
2
(рисунок 4). В
результате получим график функции y   x  12   34 , что и требовалось.
2
Используя этот прием, можно построить график любой функции вида y  x 2  px  q ,
у которой коэффициент при x 2 равен единице. Для этого достаточно применить прием
выделения полного квадрата:
2
 2
p2 
p2 
p
p2
p2 p2
2
2

q


x


q


x  px  q  x  px 

 q   x  px 



4 
4 
2
4
4
4

откуда
2
  p 
p2
y   x      q  
4
  2 
Следовательно, для построения параболы y  x 2  px  q можно выполнить следующие
преобразования:
2
1) перенести график функции y  x 2 на отрезок  q  p4  параллельно оси ординат,
вверх, если q 
p2
4
 0 , и вниз, если q 
p2
4
 0;
2) получившийся график перенести на отрезок  2p  параллельно оси абсцисс вправо,
если p  0 , и влево, если p  0 .
4.3.* Пусть уравнение параболы y  x 2  px  q путем выделения полного квадрата
приведено к виду
y  ( x  a) 2  b
или
y  b  ( x  a)2 
Запись уравнения параболы в таком виде позволяет сразу указать параллельный
перенос координатной плоскости на вектор n  ( a b) , который параболу y  x 2 переводит
в искомую параболу y  b  ( x  a)2 , то есть параболу y  x 2  px  q .
Действительно, пусть точка M ( x0  y0 ) — произвольная точка параболы y  x 2 . При
параллельном переносе на вектор n  ( a b) точка M ( x0  y0 ) переходит в точку M1 ( x1 y1 )
такую, что x1  x0  a , y1  y0  b . Отсюда x0  x1  a , y0  y1  b , а так как y0  x02 , то
y1  b  ( x1  a ) 2 . Это значит, что точка M 1 лежит на графике уравнения y  b  ( x  a)2 .
Таким параллельным переносом получим все точки графика уравнения
y  b  ( x  a)2 .
4.4. Параболу y  x 2 можно определить геометрически.
Покажем, что
парабола y  x 2 есть геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от прямой l с уравнением y   14 и от точки с
координатами  0 14  .
Доказательство. Пусть точка M с координатами (u v) принадлежит нашему
геометрическому месту точек. Проведем перпендикуляр MN к прямой l (рисунок 5).
Тогда  MN  MK    KN  v  14 , а по формуле расстояния между точками
2
1

 MA  (u  o)   v   
4

2
Так как  MN  MA  , то
2
1
1


2
 v    (u )   v   
4
4


Отсюда
2
2
1
1


2
v    u v   
4
4


2
2
1 
1

2
2
v   v    u  v  u 
4
4

 

Следовательно, координаты (u v) любой точки M нашего геометрического места
точек связаны соотношением v  u 2 . Если заменим букву u на букву x , а букву v на
букву y , то получим уравнение параболы y  x 2 .
Можно доказать, что любая точка параболы y  x 2 равноудалена от прямой l и точки
A , то есть график функции y  x 2 совпадает с нашим ГМТ.
Прямая l , задается уравнением y   14 , называется директрисой параболы y  x 2 .
Точка A  0 14  называется фокусом этой параболы.
4.5.** Возьмем произвольную точку N ( x y ) , координаты которой удовлетворяют
уравнению y  x 2 . Покажем, что точка N равноудалена от точки A  0 14  и прямой l с
уравнением y   14 .
Перепишем уравнение y  x 2 в виде
x 2  y
Прибавив к обеим частям равенства выражение y 2  2  14  y   14  , получим
2
2
2
1 
1

x  y   y   
4 
4

2
Поскольку x  y  0 , то y  14  0 , и тогда
2
2
1
1

x2   y    y  
4
4

Получаем, что если y  x 2 , то расстояние от точки N ( x y ) до точки A  0 14  равно
расстоянию от точки N до прямой l .
Это завершает доказательство того, что геометрическое место точек, равноудаленных
от прямой l и точки A , совпадает с графиком функции y  x 2 , то есть является
параболой.
4.6. Рассмотрим в общем случае, что представляет из себя множество всех точек
плоскости, равноудаленных от заданной прямой BC и заданной вне этой прямой точки
A.
Введем на плоскости систему координат следующим образом. Начало O системы
координат поместим в середине перпендикуляра AD , опущенного из заданной точки A
на заданную прямую BC . Ось Ox направим параллельно прямой BC , а ось Oy
перпендикулярно оси Ox (рисунок 6). Обозначим длину отрезка AO через a . Тогда
OD  AO  a .
Пусть точка M с координатами ( x y ) принадлежит нашему геометрическому месту
точек, то есть равноудалена от точки A и прямой BC .
Расстояние от точки M до прямой BC равно MN и равно y  a . Расстояние от точки
x 2  ( y  a) . Так как MN  MA ,
M ( x y ) до точки A(0 a) равно
x 2  ( y  a)  y  a .
Отсюда x 2  ( y  a)2  ( y  a)2 , x 2  y 2  2ay  a 2  y 2  2ay  a 2 . Следовательно, y  4xa .
Таким образом, координаты ( x y ) любой точки M нашего множества точек
2
удовлетворяют уравнению y  4xa . Поэтому график функции y  4xa также называют
параболой.
2
Как и в случае параболы y  x 2 можно доказать, что любая точка параболы y  4xa
равноудалена от директрисы — прямой BC , и фокуса — точки A(0 a) . Уравнение
директрисы есть y  a .
4.7. В общем случае квадратичная функция имеет вид y  ax 2  bx  c , где a , b , c –
фиксированные числа, причем a  0 .
Построение графика квадратичной функции y  ax 2  bx  c проводится по схеме,
близкой к схеме построения графика функции вида y  x 2  px  q .
2
2
Сначала научимся строить графики функций вида y  ax 2 , где a — фиксированное
число и a  0 . Этот график является параболой, как это следует из предыдущего пункта.
Разберем несколько примеров.
Пример 3. Построим график функции y  12 x 2 .
Так как умножение на число 12 соответствует уменьшению положительной величины
в два раза, то график функции y  12 x 2 можно получить из графика функции y  x 2 путем
уменьшения ординаты при каждом значении x в 2 раза (рисунок 7).
Функция y  12 x 2 обладает следующими свойствами:
в точке O(0 0) функция принимает наименьшее значение;
на промежутке ( 0] функция убывает;
на промежутке [0) функция возрастает.
Поэтому обычно говорят, что парабола, являющаяся графиком функции y  12 x 2 ,
имеет вершину в точке O(0 0) , а ветви этой параболы направлены вверх.
Пример 4. Построим график функции y  2 x 2 .
График этой функции можно получить из графика функции y  x 2 путем увеличения
ординаты при каждом значении x в 2 раза (рисунок 8). В результате приходим к параболе
с вершиной O(0 0) , ветви которой направлены вверх.
В общем случае графиком функции y  ax 2 при a  0 является парабола с вершиной
O(0 0) , ветви которой при a  0 направлены вверх, а при a  0 направлены вниз.
4.8.* Вспомним, как мы строили график функции y  ax 2 при a  0 , исходя из
графика функции y  x 2 . Для этого при каждом значении x соответствующую ординату
x 2 умножали на число a , что соответствовало уменьшению ординаты в a раз при a  1 и
увеличению ординат в a раз при a  1 .
Аналогичное преобразование точек координатной плоскости рассматривают не
только для параболы.
Назовем сжатием вдоль оси Oy с коэффициентом k  0 такое преобразование
координатной плоскости, которое точку M ( x y ) переводит в точку M1 ( x ky) .
Важно понять, что название “сжатие”для этого преобразования является условным,
потому что при 0  k  1 не лежащие на оси Ox точки на самом деле приближаются к этой
оси, но при k  1 , наоборот, не лежащие на оси Ox точки удаляются от этой оси, то есть
происходит растяжение вдоль оси Oy .
Использование преобразования сжатия вдоль оси Oy позволяет сказать, что при a  0
график функции y  ax 2 получается из графика функции y  x 2 сжатием вдоль оси Oy с
коэффициентом a .
В дальнейшем встретится и еще одно аналогичное преобразование: сжатие вдоль оси
Ox .
4.9.* После того как построен график функции y  ax 2 (a  0) , график функции
y  ax 2  bx  c можно получить параллельным переносом.
Пусть уравнение параболы y  ax 2  bx  c путем выделения полного квадрата
приведено к виду
y  n  a( x  m)2 
Тогда параллельный перенос на вектор k  (m n) переводит параболу y  ax 2 в
параболу y  ax 2  bx  c .
Действительно, пусть точка M ( x0  y0 ) – произвольная точка параболы y  ax 2 . При
параллельном переносе на вектор k  (m n) точка M ( x0  y0 ) переходит в точку M1 ( x1 y1 )
такую, что x1  x0  m , y1  y0  n . Отсюда x0  x1  m , y0  y1  n , а так как y0  ax02 , то
y1  n  a ( x1  m) 2 . Значит, точка M 1 лежит на графике функции y  n  a( x  m)2 .
Аналогично показывается, что при этом параллельном переносе параболы y  ax 2
получаются все точки параболы y  n  a( x  m)2 . Действительно, если точка K ( p0  q0 )
лежит на параболе y  n  a( x  m)2 , то в точку K при указанном параллельном переносе
переходит точка k1 ( p0  m q0  n) .
4.10.** Покажем, что все параболы y  ax 2 (a  0) подобны. Для этого разберем
конкретный пример, рассмотрев параболы y  23 x 2 и y  54 x 2 .
Проведем прямую y  mx , пересекающую параболу y  32 x 2 в точке A и параболу
y  23 x 2 в точке B (рисунок 9).
Из уравнения mx  54 x 2 найдем корни x1  0 и x2  54 m . Ордината точки A
y2  54  x22  54  m 2 . Следовательно, A  54 m 54 m .
Аналогично из уравнения mx  23 x 2 для точки B получим координаты B  32 m 32 m .
Так как
3
2
m  32  54  54 m и
3
2
m2  32  54  45 m , то координаты точки B получаются из
соответствующих координат точки A умножением на число k  32  54 . Это значит, что
точка B получается из точки A гомотетией с центром O и коэффициентом k .
Мы рассмотрели произвольный луч OA , а поэтому вся парабола y  23 x 2 получается
из параболы y  54 x 2 гомотетией с центром O и коэффициентом k  32  54 .
4.11. В этом параграфе мы рассмотрели параболы как кривые плоскости, являющиеся
геометрическим местом точек, равноудаленных от прямой — директрисы и от точки —
фокуса. Затем показали, что параболой является график любой квадратичной функции.
Параболы обладают многими важными свойствами, которые используются на
практике. Одним из таких свойств является оптическое свойство.
Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии, то образуется поверхность, которая
называется параболоидом. Фокус параболы при этом называется фокусом параболоида.
Форму параболоида имеет зеркало прожектора. Если в фокусе такого зеркала поместить
источник света, то лучи отразившись от зеркала, пойдут параллельно оси (рисунок 10).
Задачи и упражнения
1. Какие из функций являются возрастающими (в строгом и нестрогом смысле):
а) y  x , y  x 2 , y  x 3 , y  [ x] ; y   x , y  2 x  1 ,
y   12 x  3 , y   x3  4 , y  ( x  1)3 .
б)  y  x , y  [ x ] ?
2. Укажите промежутки монотонности функций: y  x  , y  x( x  1) , y  1x , y  x 2 .
3.** Изобразите графики функций: y  [ x] , y  [ x 2 ] .
4. Постройте графики функций: y   xx , y   xx  1 .
5. Доказать, что следующие функции четны:
2
а) y  x 2 ; б) y  x 2  1 ; в) y  xx2  24 ;
г) y  1  x 2 ;
д) y  x 4 ;
е) y  x  ;
ж) y  1  x  .
6. Для каких p и q функция y=x2+px+q четна?
7. Какие из точек (1,-1), (1,1), (- 2,4), (2,4) принадлежат графику функции y  x 2 и
какие не принадлежат?
8. Будет ли четной функция y   x 2 ? Чем отличается ее график от графика функции
y  x2 ?
9. Как из графика функции y  x 2 можно получить график функции:
а) y  x 2  12 ;
б) y   x  12  ;
2
в) y  14 (2 x  3) 2 ?
10. Напишите уравнение параболы, которая получается из графика функции y  x 2 :
а) сдвигом параллельно оси ординат вверх на отрезок длиной 1 12 ;
б) сдвигом параллельно оси абсцисс влево на отрезок длиной 32 ;
в) сдвигом параллельно оси ординат вниз на отрезок длиной 1, а затем сдвигом
параллельно оси абсцисс влево на отрезок длиной 1.
2
11. В какой точке находится вершина параболы y   x  32  ?
12. В каких точках график функции y  x 2  12 пересекает ось Ox ?
13. Найдите наименьшее значение функции y  x 2  4 ?
14. Постройте график функции:
а) y  x 2  3 ; б) y  ( x  3)2 ; в) y  x 2  2 x  3 ;
г) y  x 2  4 x  2 ; д) y  ( x  2)( x  1) ; е) y  (2  x)(4  x) .
15. В какой точке находится вершина параболы y  x 2  px  q ?
16. В какой точке ось симметрии параболы y  x 2  px  q пересекает ось Ox ?
17. Найдите значения p , q , если вершиной параболы y  x 2  px  q является:
а) точка (0;0); б) точка (2;0);
в) точка (1;-3); в) точка (-1;1).
18. Найдите наименьшее значение функции y  x 2  px  q ?
19. Найдите знаки чисел p и q , если известно, что график параболы y  x 2  px  q
имеет вид:
а) как на рисунке 11;
б) как на рисунке 12;
в) как на рисунке 13.
20.** Найдите уравнение директрисы и координаты фокуса параболы, заданной
уравнением:
а) y  x 2  12 ;
б) y   x  12  ,
2
в) y  x 2  2 x  3 .
21.Составьте уравнение параболы с dhpejrphqni y  2 и фокусом (0 2) . Проверьте,
что точка  2 12  лежит на этой параболе.
22. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной
уравнением:
а) x 2  2 y  0 ;
б) x 2  4 y  0 .
23. Постройте график функции:
а) y  14 x 2 ;
б) y   14 x 2 .
24. Постройте график функции:
а) y  2 x 2  1 ;
б) y  2 x 2  1 ;
в) y  ( x  1)2  2 ;
г) y  2 x 2  3x  2 ;
д) y   x 2  3x  2 .
25.** Пусть парабола является графиком функции y  ax 2  bx  c (a  0) . Докажите,
что:
а) при a  0 ветви параболы направлены вверх, а при a  0 ветви параболы
направлены вниз;
2
б) точка  2ba  4 ac4ab является вершиной параболы;


в) функция y  ax 2  bx  c на промежутке   2ba  при a  0 убывает, а при a  0
возрастает;
г) функция y  ax 2  bx  c на промежутке  2ba ) при a  0 возрастает, а при a  0
убывает;
д) парабола симметрична относительно прямой x   2ba .
26. Изобразите параболу и укажите ее вершину и ось симметрии:
а) y  2 x 2  2 x  4 ; б) y  3( x  2)2  2 ;
в) y   x 2  2 x  3 ; г) y  x(1  x) .
27.** Постройте график функции:
а) y  x 2  2  x  1 ; б) y  2 x 2  3  x  1  1;
в) y  x  x  2  ; г) y  x  x  2  x  1  3 .
28.** Докажите подобие любых двух парабол, исходя из геометрического
определения параболы.
29. Из всех прямоугольников с периметром 100 см найдите тот прямоугольник,
площадь которого наибольшая.
30. Число 20 разложите на такие два слагаемых, чтобы сумма их квадратов была
наименьшей.
31. Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку прямоугольного сечения
так, чтобы площадь сечения была наибольшей. Найдите размеры этого сечения балки.
32.* Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом (рисунок 14).
Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света,
а периметр фигуры имел бы заданную величину p ?
33.* Из имеющихся досок можно построить забор длиною 200 м. Требуется огородить
этим забором прямоугольный двор наибольшей площади, используя для одной стороны
двора заводскую стену. Найдите длины сторон забора.
34.** На берегу моря расположены два города A и B . Из A в B по прямой линии
выходит пароход. Одновременно из B перпендикулярно направлению движения парохода
выходит яхта. Скорости парохода и яхты равны соответственно 40 км/час и 16 км/час.
Через какое время расстояние между пароходом и яхтой окажется наименьшим, если
расстояние между городами равно 145 км?