Урок 9.Тема Нахождение площади треугольника. Вспомним основные формулы площади основных фигур. Квадрат , где а – длина стороны квадрата. Прямоугольник , где а и b – длины сторон прямоугольника. Параллелограмм Площадь определяется стороной и опущенной к ней высотой. , где а и b – длины сторон, соответствующим сторонам (см. Рис. 1). Рис. 1 и – длины высот, опущенных к 2. Площадь треугольника Треугольник можно рассматривать как половину параллелограмма, если провести в параллелограмме диагональ, получим два треугольника (см. Рис. 2). В таком случае имеем формулу: Рис. 2 Площадь треугольника можно выразить иначе (см. Рис. 3). Выразим высоту из прямоугольного треугольника : Подставим полученное выражение в формулу площади, получим: Рис. 3 Кроме того, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности: , где r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр треугольника. Рассмотрим происхождение данной формулы. Помним, что для треугольников со вписанной окружностью есть методика решения задач: провести в треугольнике биссектрисы, найти их точку пересечения – центр вписанной окружности; найти расстояние от центра до сторон треугольника – радиусы, получить точки касания. Рис. 4 Е, Р и К; далее нужно было бы отметить равные касательные и их связь со сторонами, но в данном случае в этом нет необходимости (см. Рис. 4). Площади слагаемых выразим через сторону и высоту, причем высотой в данных треугольниках является радиус вписанной окружности: Вынесем общий множитель за скобки: По этой же формуле можно вычислять радиус описанной окружности. Кроме того, площадь треугольника можно найти через радиус описанной окружности: 3. Площадь трапеции Пусть заданы трапеция ABCD и ее средняя линия MN (см. Рис. 5). Напомним, что средняя линия соединяет середины боковых сторон трапеции, параллельна ее основаниям и равна их полусумме: . Рис. 5 Напомним, что высотой трапеции называют расстояние между ее основаниями. Обозначим высоту данной трапеции h, среднюю линию обозначим за m. Высоты и средней линии трапеции достаточно, чтобы найти ее площадь: 4. Решение задач Задача 1: в треугольнике что точка В переместилась по стороне АВ ближе к точке А, так , аналогично точка С переместилась, так что . Получили новый треугольник (см. Рис. 6). Доказать, что . Доказательство: Напомним, что площадь можно выразить как произведение сторон на синус угла между ними, получим: Рис. 6 Таким образом, если треугольники имеют общий угол, то несложно выполнить сравнение их площадей, а мы знаем, что любой многоугольник можно разбить на треугольник, и таким образом выполнять сравнение. Задача 2: найти отношение площадей подобных треугольников. Дано: Несложно доказать, что Напомним отношение периметров подобных треугольников: В заключение рассмотрим, каким образом диагонали параллелограмма разобьют его площадь. Задача 3: доказать, что диагонали параллелограмма рассекают его площадь на четыре равновеликих треугольника. Дано: параллелограмм ABCD, Доказать: Рис. 7 Напомним, что, согласно свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим два треугольника и отношение их площадей: – высота, опущенная из вершины В на сторону АС, – является высотой для двух рассматриваемых треугольников. Получаем: Таким образом, рассматриваемые площади треугольников равны. Аналогично можно доказать равенство остальных площадей и оттуда взять заданное выражение. Докажем с помощью площади свойство биссектрисы. Задача: биссектриса AL треугольника рассекла сторону ВС на отрезки m и n (см. Рис. 8). Доказать, что полученные отрезки относятся как прилежащие к ним стороны треугольника: Доказательство: Обозначим площади маленьких треугольников: Выразим площади разными способами: , где – высота, опущенная из вершины А. Рис. 8 Приравняем правые части полученных выражений, получаем: Итак, мы вспомнили, как находить площадь различных многоугольников, вывели много вариантов формулы площади треугольника и решили несколько задач, пользуясь выведенными формулами. 1. 2. 3. Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет Edu.glavsprav.ru (Источник). Uztest.ru (Источник). School-collection.edu.ru (Источник). 1. Домашнее задание Задание 1: пусть О – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Докажите, что 2. . Задание 2: на сторонах АВ, ВС и СА треугольника 1:2, ВМ:МС = 2:3, СР:РА = 3:4. Площадь треугольника 3. взяты точки К, М и Р так, что АК:КВ = равна 1. Найдите площадь треугольника . Задание 3: вершины А, В, С и D параллелограмма соединены прямыми соответственно с серединами сторон ВС, CD, DA и АВ. Найдите площадь параллелограмма, ограниченного этими прямыми, если площадь параллелограмма-ABCD равна 1.-------------------------------------------------- Площадь Герона S=p(p-a)(p-b)(p-c),где a,b,c стороны треугольника. Площадь прямоугольного треугольника S=ab-----.где a,b катеты 2