С.В. МИКОНИ, Д.П. БУРАКОВ К ВОПРОСУ О ВЫБОРЕ ЛУЧШИХ РЕШЕНИЙ

УДК 004.896(06) Интеллектуальные системы и технологии
С.В. МИКОНИ, Д.П. БУРАКОВ
Петербургский государственный университет путей сообщения
К ВОПРОСУ О ВЫБОРЕ ЛУЧШИХ РЕШЕНИЙ
ИЗ ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА
Показывается на примерах, что не существует универсальной функции полезности, с помощью которой любой элемент парето-оптимального множества может
быть выбран в качестве наилучшего.
Критики применения линейной свертки критериев для выбора
наилучшего решения руководствуются следующим утверждением: «Указанный способ решения задачи многокритериального выбора можно считать обоснованным (правомерным) лишь в том случае, если всякое решение, которое потенциально может оказаться выбранным в результате решения многокритериальной задачи, может быть (по крайней мере, гипотетически) получено в результате максимизации линейной свертки критериев с некоторыми неотрицательными коэффициентами w1, w2, …, wm» [1].
Смысл данного высказывания заключается в том, что каждый элемент,
принадлежащий парето-оптимальной области множества X, может быть
выбран в качестве наилучшего решения. В качестве иллюстрации этого
утверждения в [2] приводится пример множества Парето, один из элементов которого не может оказаться лучшим ни при каких значениях весовых
коэффициентов линейной функции свертки критериев. Задача заключается в выборе наилучшего участка из вариантов с размерностью y1y2:
(1010, 157, 205). Для наглядной иллюстрации задачи каждый из вариантов представим точкой в двухмерном пространстве (см. рис. 1).
В работе [2] утверждается, что вариант 2, для которого невозможно
получить максимальное значение линейной свертки при любых
коэффициентах w1 и w2, является наилучшим по площади участка (105
против 100 для вариантов 1 и 3). На самом деле, автором примера
осуществлена подмена понятий. Желая получить участок с большей
площадью, он решает двухкритериальную задачу с образующими ее
параметрами. Согласно аксиомам множества Парето, каждый критерий
является самодостаточным и рассматривается независимо от других.
Неявно введенный автором критерий «Площадь участка» является
комбинацией критериев y1 и y2. Решение оптимизационной задачи будет
правильным, если оптимизацию осуществить относительно критерия
«Площадь участка».
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 3
123
УДК 004.896(06) Интеллектуальные системы и технологии
y2
10
1
7
2
5
0
y1
3
10
15
20
Рис. 1. Геометрическая иллюстрация вариантов выбора
Из этого примера следует:
Утверждение 1. Для решения оптимизационной задачи участвующие в
ней критерии необходимо представлять в явном виде.
Согласно условию утверждения 1 замена аддитивной свёртки на максиминную [2] не является единственным способом сделать вариант 2 наилучшим.
В соответствии со смыслом задачи следует использовать мультипликативную
свёртку без нормирования, ввиду однородности критериев. При оценивании
варианта 2 аддитивной сверткой критериев по критериям y1 и y2 он и не может
оказаться наилучшим, поскольку принадлежит вогнутой границе множества
Парето, что видно из рис.1. Если же необходимо выявить элементы, которые не
являются претендентами на лучшее решение, то следует выполнять анализ
области Парето на вогнутые участки и зафиксировать принадлежащие им элементы.
Резюмируя изложенное, убеждаемся в том, что не существует универсальной функции полезности для выбора в качестве наилучшего произвольного
элемента из парето-оптимального множества. Однако всегда такую функцию
можно найти. При этом элементы, следующие за лучшим, будут упорядочиваться в соответствии с этой функцией.
Список литературы
1. Ногин В.Д. Границы применимости распространенных методов скаляризации при решении
задач многокритериального выбора // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика
систем: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004. С. 59-68.
2. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки
критериев // ЖВМ и МФ, 2004. Т. 44. № 7. С. 1259-1268.
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 3
124