Методы выбора оптимальных параметров технических систем С.И. Пастушенко, канд.техн.наук; О.М. Яхно д-р.техн.наук, проф. НТУУ «КПИ Проблема определения наиболее эффективных в функциональном и экономическом отношениях параметров машин имеет как научное, так и практическое значение. Определение оптимального решения возможно при принятии ряда ограничений, в рамках которых производится соответствующий поиск. Поэтому выбор оптимальных параметров машин предполагает в той или иной степени компромиссное решение. Определение экстремума критерия оптимизации Ф(х) может выполняться несколькими путями. Наиболее рекомендуемые из них следующие. Рассматривается однокритериальная задача. Следовательно, критерий Ф(х) выбирается в качестве основного, а остальные принимаются как ограничения. В этом случае экстремальное значение Ф(х) находится в рамках этих ограничений и в определенной области пространства параметров. В другом случае вместо единственного обобщенного критерия Ф(х) исходят из нескольких противоречивых показателей Ф1(х), Ф2(х),, Фк(х), каждый из которых не полностью отражает характеристики машины. Поэтому для перехода к обобщенному критерию Ф(х) необходимо обратится к соотношению к Ф PФ s s , (1) s 1 где s = 1, 2, ..., к; Рs — назначаемые разработчиками весовые коэффициенты (функции). Путь поиска оптимума следующий. Исходя из данных Pso, устанавливается, что полученное значение Ф(х) и модель машины нас не устраивает. В таком случае задается новый набор Psi, снова определяется экстремальное значение хi и, следовательно, Ф(х) и т.д. При противоречивости предъявляемых к машине требований окончательное решение возможно на основе компромиссов между Фs. Предположим, что имеются п элементов данной установки и возможны т позиций для установки элементов. Кроме того, известна стоимость Пij назначения i–го элемента на j-ю позицию. Необходимо определить для каждого элемента всего множества элементов объекта такую позицию, чтобы общая стоимость размещения всех элементов была бы минимальной. Формулировка математической задачи заключается в минимизации функций всех перестановок Р: F min Р(і ) П ір (і ) , где Р(i) — назначение некоторой позиции i–го элемента. «Вісник СумДУ», №12(58), 2003 174 (2) Возможен другой критерий оптимизации, а именно стоимость связи элемента. В этом обращаются к квадратичной задаче о назначениях. Будем считать, что известна стоимость Сij единицы связи между элементами i и j. При этом элементы i и j назначаются на позиции Р(i) и Р(j). Расстояние между соответствующими позициями обозначим через LР(i)Р(j). В таком случае речь идет о минимизации выражения G min C ij L p (i ) p ( j ) . ij (3) p (i ) p ( j ) Иногда может стоять более сложная задача, а именно оптимизация по двум указанным выше критериям. Математически это формулируется следующим образом: K F G min П ір (і ) i p (i ) p ( j ) C ij ij L p (i ) p ( j ) . (4) Поиск оптимального варианта размещения элементов объекта завершается, когда рассмотрены все перспективные варианты решения (Ri): Ropt min П і П м , где Пм — верхняя граничная оценка на i [ R] данном поиске варианта размещения элементов объекта. Для следующего типа поиска характерно то, что по мере накопления информации о возможностях разрабатываемой машины усложняется и совершенствуется постановка задачи. При этом с учетом используемой информации некоторые требования ослабляются, другие — усиливаются. Рассмотрим вопрос многокритериальной оптимизации [1]. Примем, что оптимизируемая функция имеет вид (X 1, X 2 , ..., X n ) . Функция гладкая, т.е. непрерывная и имеет производные в каждой точке. Следовательно, можно записать d n X i 1 dX i . (6) i Условие экстремума определяется тем, что независимо от выбранной переменной ( X n ) d 0 . Принимая во внимание, что не все переменные Хn являются независимыми, следует записать систему уравнений 1 ( X 1 , X 2 , ..., X n ) 0, 2 ( X 1 , X 2 , ..., X n ) 0, ..................................... m «Вісник СумДУ», №12(58), 2003 (5) ( X 1 , X 2 , ..., X n ) (7) (8) 0, 175 где т — число уравнений связи; п — число переменных; (п-т) — «степень свободы» системы. Если свобода отсутствует, т.е. все переменные определены, нет смысла рассматривать задачу об оптимизации. Для определения, какие т являются зависимыми и какие (п-т) независимыми, используется метод Лагранжа. При этом система т– уравнений получит вид n X i 1 1 i m 1 dX i 0 . ... m X i X i (9) Поскольку мы имеем п уравнений, можно получить значения т величин λi из т уравнений. Оставшиеся (п-т) уравнений вместе с исходными т образуют п уравнений, достаточных для определения п значений Хi. В последние годы методы эксергоэкономического анализа развиваются на базе теории информации. В этом случае функция распределения вероятностей определяется, используя заданные средние значения величин. При этом используются следующие уравнения: сумма вероятностей, связанных с определенными возможными состояниями, которая всегда должна быть равна единице; математическое ожидание или его среднее значение предполагается известным. Особый интерес представляет геометрический аппарат оптимизации. Этот метод обладает наглядностью и поэтому он удобен для решения оптимизационных задач. Приведем основы теории С-кривых. Примем, к примеру, что критерием оптимизации являются затраты эксергии. Функция Z =f(EX) имеет минимумы по отношению к каждой из осей: EXmin и Zmin (рис. ). Рисунок 1 - Термоэкономическая модель системы в виде С-кривой Рисунок 2 - С-поверхность Оптимальное значение (точка А) может быть определено, предположив линейную зависимость между затратами эксергии EX и затратами Z : Z k EX , (10) где k - капиталовложения на прирост первичной энергии. «Вісник СумДУ», №12(58), 2003 176 При многокритериальной оптимизации используют метод Споверхностей. Оптимальное значение методами С-кривых и С-поверхностей может быть определено путем графического дифференцирования в границах рассматриваемого участка или построением касательной к кривым (поверхностям) α = arctg k и определением соответствующей точки (на рис. 2 обозначено через min). Графический способ легко переводится в аналитический. Метод эксергоэкономического анализа и оптимизации изложен в работах [2,3]. В каждом конкретном случае в зависимости от задач исследований выбирается тот или другой метод оптимизации. SUMMARY Consider one- and many criterion optimization methods of technical systems. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. 2. 3. Морозюк Т. В. Водоаммиачные термотрансформаторы (теория, анализ, синтез, оптимизация): Автореф. дисс... докт. техн. наук. ОГПУ.- Одесса, 2001. – 34 с. Пастушенко С.І. Методи термодинамічного аналізу і термоекономічної оцінки систем гідроприводів сільськогосподарських машин // Вісник аграрної науки Причорномор’я. – Миколаїв: Видавничий відділ МДАА. – 2002. – Вип. 4 (18). – Т. 1. – С. 64-74. Пастушенко С.І., Нікульшина В.В. Методи ексергоекономічної оптимізації систем гідроприводів сільськогосподарських машин // Вісник Харківського ДТУСГ “Механізація сільськогосподарського виробництва”. –Харків: Видавництво СПДФО “Червяк В.Є.”. –2002 «Вісник СумДУ», №12(58), 2003 177