УДК 539.3

УДК 539.3
МЕТОД СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ
ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЯХ
А.М. Назаренко, доц., Б.Е. Панченко, канд. физ.-мат. наук,
А.М. Ложкин, студ.
Сумский государственный университет
ВВЕДЕНИЕ
Проблема концентрации динамических напряжений вблизи
цилиндрической поверхности разрыва в упругой среде при
прохождении плоских волн была и остается объектом интенсивных
исследований.
Первоначальные исследования задач дифракции упругих волн на
цилиндрических включениях основывались на методах разложения в
ряд по собственным функциям [1]. В последнее время значительный
прогресс достигнут благодаря эффективности метода интегральных
уравнений [2, 3]. Во-первых, этот метод может быть использован
применительно к неоднородностям произвольной формы.
Дополнительные преимущества метода интегральных уравнений
заключаются в сокращении числа пространственных переменных и
возможности применения эффективных численных методов решения
интегральных уравнений.
В данной работе методом интегральных уравнений исследуется
дифракция гармонических упругих волн на цилиндрическом
неподвижном включении произвольного поперечного сечения.
Предложенный метод может быть использован при исследовании
напряженных волновых полей в телах с цилиндрическими полостями и
упругими включениями.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим в неограниченной изотропной среде бесконечный вдоль
оси OZ неподвижный цилиндр, поперечное сечение которого
ограничено замкнутым контуром L типа Ляпунова. Пусть также
внешнее поле перемещений действует перпендикулярно оси OZ.
При таких предположениях мы находимся в условиях плоской
деформации. В качестве внешнего воздействия будем рассматривать
набегающую на цилиндр из бесконечности монохроматическую волну
расширения-сжатия (Р-случай)



u0  0, v0  Re V0 ei t , V0   ei  1y ,  1 
, c 
c1 1
  2

(1)
или волну сдвига (SV-случай)
«Вісник СумДУ», №8(67)’ 2004
5


u0  Re U0 ei  t , v0  0, U0   ei  2 y ,  2 

c2
, c2 

,

(2)
здесь τ – амплитуда падающей волны; с1 и с2 – скорости продольной и
поперечной волн; ω – частота колебаний; t – время; λ и μ – постоянные
Лямэ; ρ - плотность среды; i – мнимая единица ( i 2  1 ).
При взаимодействии приходящей волны с цилиндром возникают
отраженные волны двух типов (продольные и поперечные), причем
другие типы волн не образуются. Пусть u  Re{ei t U1 (x , y)},
v  Re{ei t V1 (x , y)} - смещения отраженного поля. Тогда общее поле
амплитуд перемещений равно
U=U0+U1, V=V0+V1.
(3)
Будем предполагать, что поперечное сечение цилиндра описывается
гладкой замкнутой кривой L, в точках которой будем удовлетворять
граничные условия. В случае неподвижного цилиндра они имеют вид
U L  V L 0.
(4)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
В случае установившихся волновых движений упругого тела
(зависимость от времени выражается множителем eit ) амплитудные
значения отраженных волн перемещений удовлетворяют
соотношениям
(  2  )
 2U
x 2

 2V
 2U
y 2
 (   )
 2V
  2U  0,
xy
 2V
 2U
 2  (  2  ) 2  (   )
  2V  0.
xy
x
y
(5)
Амплитудные значения напряжений связаны с амплитудами
перемещений U и V формулами ( z  x  iy , z  x  iy ):
 (U  i V ) (U  i V ) 

,
z
z


 x   y  2(   ) 
 y   x  2i x y
(U  i V )
(U  i V )
 4 
,  y   x  2i x y  4 
.
z
z
(6)
Пусть L – некоторая кривая в поперечном сечении цилиндра.
Обозначим через S1 и S2 амплитуды тангенциальной и нормальной
компонент вектора напряжений на L. Тогда в произвольной точке
кривой  0  0  i0  L эти напряжения выражаются через компоненты
тензора амплитуд напряжений следующим образом:
2i ( S1  iS2 )  ( x   y )ei0  ( y   x  2i xy )ei0 ,
2i ( S1  iS2 )  ( x   y )ei0  ( y   x  2i xy )ei0 ,
где 0 - угол положительной касательной к L в точке  0  L с осью
Ох.
6«Вісник СумДУ», №8(67)’ 2004
(7)
На границе тела представляют интерес распределения компонент
тензора амплитуд напряжений  s0 ,  n0 ,  n0s0 , которые будем находить по
формулам
(8)
 n0  S1 si n 0  S2 cos0 ,  n0s0  S1 cos0  S2 si n 0 ,  s0   x   y    n0 .
Будем строить интегральные представления амплитуд перемещений U1
и V1, чтобы они автоматически удовлетворяли уравнениям движения
(5) и условиям излучения на бесконечности, т. е. чтобы они
представляли собой расходящиеся волны. Следуя [3], представим U1 и
V1 в виде потенциалов типа простого слоя:
U1 (x , y ) 
  f (s)G
11 (z,  )
1
 f2 (s)G12 (z,  ) ds,
L
V1 (x , y ) 
  f1 (s)G21 (z,  )  f2 (s)G22 (z,  ) ds,
    i  L. ,
(9)
L
здесь f1(s) и f2(s) – неизвестные функции; Gmn – компоненты матрицы
Грина (m, n=1, 2), удовлетворяющие соотношениям


G11  i G21  d  20  с 00  ,
4

G12  i G22 
d
G11  iG21 
d 2i
e 22 ,
4


G12  i G22  d  20  с 00  ,
4


d 2i 
e 22 ,
4
(10)
i
1

,   3  4 , c       22 ,
4  (1   )
2

z    r ei , kj 
k (1)
 1k (1)
j ( 1r )   2  j ( 2 r )
 12   22
,
где  (1)
j ( x ) - функция Ханкеля 1-го рода j-го порядка.
Анализ формул (10) показывает, что функции G11  iG21 и G12  i G22
непрерывны в нуле, а функции G11  iG21 и G12  i G22 обладают
логарифмической особенностью
G11  i G21  G12  i G22 
  3
l n r  ... .
4
По этой причине подстановка представлений (9) в граничные
условия (4) сводит краевую задачу к системе двух сингулярных
уравнений с логарифмическими ядрами, численная реализация
которых затруднительна.
С целью получения сингулярных интегральных уравнений с ядром
типа Коши [4] представления (9) дифференцировались по дуговой
координате s0. Имеем
d U  iV 
ds0

d U  iV 
ds0
 0 на L,
(11)
dW  W i0 W i0 

e 
e
, z  x  iy.

ds0  z
z
z 0
«Вісник СумДУ», №8(67)’ 2004
7
Вычисление необходимых для (11) производных дает

d
 G11  i G21     31  4c11  ei ,
z
8

d
 G12  i G22   31ei ,
z
8
Можно показать, что ядро

d
 G11  i G21   31ei ,
z
8
(12)

d
 G12  i G22     31  4c11  ei .
z
8
11 , определенное в (10), является
непрерывным, а ядро 31 - сингулярно ( 31 
2i
r
 F31 ,
где F31 -
непрерывно).
Подставляя (12) в граничные условия (11), приходим к следующей
системе сингулярных интегральных уравнений
  f (s) B
11 ( s, s0 )
1
 f2 (s) B12 (s, s0 )  ds  N 1 (s0 ),
L

(13)
 f1 (s) B21 (s, s0 )  f2 (s) B22 (s, s0 )  ds  N 2 (s0 ),
L
  cos 0  0   


B11  d 
  F31  c11  cos 0  0  ,
r0
4

 2 i

 1 ei0  ei 20 0  1

i  
i 3 
B12  d 

F31 e  0 0   F33 e  0 0   ,
  0
8
 4 i



 1 ei0  ei 20 0  1
i  
 i 3 
B21  d 

F31 e  0 0   F33 e  0 0 
  0
8
 4 i


 ,
  cos 0  0   


B22  d 
  F31  c11  cos 0  0  ,
r0
4

 2 i

31 
2i
 r0
 F31 , 33 
2i
r0
 F33 ,  0    r0 ei0 , ei0 
d 0
,
ds0
N1 (s0 )  N 2 (s0 )   1 ei  10 si n 0
в P-случае,
в SV-случае.
N1 (s0 )  N 2 (s0 )  i  2 e
si n 0
Необходимые дополнительные условия для разрешимости
сингулярных интегральных уравнений 1-го рода (13) вытекают,
например, из равенства нулю смещений на L в некоторой
фиксированной точке s* или из равенства нулю средних смещений на
L. В последнем случае имеем (l – длина контура L)
i  20
1
l
   f (s)L
11 ( s, s0 )
 f2 (s) L12 (s, s0 ) dsds0  A1 ,
1
l
   f (s)L
21 ( s, s0 )
 f2 (s) L22 (s, s0 ) dsds0  A2 ,
1
L L
1
L L
L11  G11  iG21, L12  G12  iG22 , L21  G11  iG21 , L22  G12  iG22 ,
8«Вісник СумДУ», №8(67)’ 2004
(14)
A1   A2  
1
 i ei  10 ds0
l

в Р-случае,
L
1
A1  A2  
 ei  20 ds0
l

в SV-случае.
L
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА
Для численной реализации алгоритма в настоящей работе
использован метод, теоретически обоснованный в работе [4] и
основанный на приближении плотностей интегральных уравнений
тригонометрическими многочленами и в последующем точном
вычислении интегралов с непрерывными и сингулярными ядрами.
Проведем параметризацию контура L по формулам
   (  ),  0   ( 0 ), 0   , 0  2 .
Интерполяционный многочлен для неизвестных плотностей
интегральных уравнений (13) имеет вид
f ( ) 
где
g(  )  t g
g(  )  si n
k  
2
k  
2
1
N
N
 f ( ) si n
k
k 1
N ( k   )
1
2 k

, k 
,
2
g(  )
N
(15)
в случае четного числа узлов N=2n и
в случае нечетного N=2n+1.
Подстановка (15) в интегралы с сингулярными ядрами дает
2

f (  ) R(  , 0m )d  
0
0m 
2
N
N
 f (  ) R(  , 
k
k
m
0 ),
(16)
k 1
2m  1
 , m  1, 2, ..., N ,
N
если R(  , 0 ) - непрерывное ядро и
2

f (  )ct g
  0m
0
2
d 
2
N
N

k 1
f ( k )ct g
k  0m
2
(17)
в случае ядра Гильберта, причем квадратурные формулы (16), (17)
имеют место как при четном, так и нечетном числе узлов разбиения
контура L.
Отметим, что формула (17) аналогична правилу приближенного
вычисления регулярных интегралов (16). По этой причине при
численной реализации сингулярных интегралов ядро Гильберта
выделять из сингулярного ядра необязательно. В работе как для
регулярных, так и для сингулярных интегралов использовалась
квадратурная формула (16).
«Вісник СумДУ», №8(67)’ 2004
9
В качестве примера рассматривалось пространство, содержащее
цилиндрическое неподвижное включение эллиптического поперечного
сечения
(18)
  a si n ,   b cos , 0    2 .
На контуре включения проводилось вычисление напряжений
 n   n0 / P,  n    n0s0 / P,
где компоненты амплитуд напряжений  n0 ,  n0s0 находились по
формулам (8), Р – максимальное значение напряжения в падающей
волне, равное  1 (  2) в случае излучения Р-волны (1) и
 2 – в случае излучения SV-волны (2).
Отметим, что в случае неподвижного включения напряжение
    s0 / P всегда меньше  n и связано с последним соотношением
 

1 
n .
На рис. 1, 2 и 3, 4 показано изменение напряжений  n ,  n на
контуре эллиптического неподвижного включения для случаев
излучения из бесконечности продольной волны и волны сдвига
соответственно.
На рис. 1, 2 кривые 1, 2, 3, 4 отвечают случаям  1a =0,4; 0,7; 1,0; 1,3
соответственно при b/a=2,  =0,3. Видно, что в довольно большой
окрестности точки соскальзывания ( 600    1500 ) значение  1a
практически не влияет на величину напряжения  n . Напряжение  n
вблизи точки   1500 принимает максимальное значение.
Преобладающим здесь является напряжение  n .
Рисунок 1
10
«Вісник СумДУ», №8(67)’ 2004
Рисунок 2
Рисунок 3
Рисунок 4
На рис. 3, 4 кривые 1, 2 и 3 отвечают значениям параметра
 =0,2; 0,3 и 0,4 соответственно (b/a=2,  2 a  1 ). Здесь в окрестности
теневой (   00 ) и лобовой (   1800 ) точек преобладающим является
напряжение  n . В освещенной зоне с увеличением параметра  ,
значения напряжений также увеличиваются. Напряжение  n
принимает свое максимальное значение вблизи точки   1500 , а
напряжение
 n - в лобовой точке (   1800 ).
SUMMARY
Singular integral equation method is applied here to solve the problem of elastic waves diffraction on a fixed
cylindrical insert. Stress distribution on the insert boundary is presented.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наукова думка, 1978. – 307с.
Фильштинский Л.А. Дифракция упругих волн на трещинах, отверстиях, включениях в изотропной
среде //Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. – 1991. - №4. – С.19-127.
Назаренко А.М., Панченко Б.Е. Дифракция волн сдвига на цилиндрических неоднородностях
произвольного поперечного сечения // Динам. и прочность машин. Респ. межвед. научно-техн. сб.,
1991.- Вып. 52. - С. 38-45.
Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных
задачах дифракции. – Киев: Наукова думка, 1984. - 344 с.
Поступила в редакцию 17 мая 2004 г.
«Вісник СумДУ», №8(67)’ 2004
11
«12Вісник СумДУ», №8(67)’ 2004