a=v′(t)
реклама
Проектирование как основной вид познавательной деятельности учащихся “Великая цель образования - это не знания, а действия” Герберт Спенсер Метод учебного проекта Обновляющейся школе потребовались такие методы обучения, которые: формировали бы активную, самостоятельную и инициативную позицию учащихся в учении; развивали бы общеучебные умения и навыки: исследовательские, рефлексивные, самооценочные; формировали бы умения, непосредственно сопряженные с опытом применения в практической деятельности; были бы нацелены на развитие познавательного интереса учащихся; реализовывали бы принцип связи обучения с жизнью. Одним из наиболее продуктивных методов преподавания в современной педагогике я считаю метод проектов, в основе которого лежит организация творческой, исследовательской деятельности учащихся. Используя проектирование как метод познания, учащиеся приходят к переосмыслению роли знаний в социальной практике. Работая над проктом ученик понимает, что знания это не столько самоцель, сколько необходимое средство, обеспечивающее способность человека грамотно выстраивать свои мыслительные и жизненные стратегии, принимать решения, адаптироваться в социуме и самореализоваться как личность. В ходе работы над проектом у учащихся формируются следующие компетенции: информационную - способность грамотно выполнять действия с информацией; коммуникативную - способность вступать в общение с целью быть понятым; социальную - способность действовать в социуме с учетом позиций других людей; предметную - способность применять полученные знания на практике. Сейчас достаточно литературы, где можно найти полную информацию о методе проектов. Начиная с истории возникновения метода проектов и заканчивая технологиями использования и вопросами и проблемами, возникающими при его внедрении и применении. Поэтому останавливаться на этом в своей статье я не буду, а только напомню, что проект – это «пять П»: Проблема, Проектирование (планирование) Поиск информации Продукт Презентация. Шестое «П» проекта – его Портфолио, т.е. папка, в которой собраны все рабочие материалы проекта, в том числе черновики, дневные планы и отчеты. Учебный проект, как комплексный и многоцелевой метод, имеет большое количество видов и разновидностей. На мой взгляд, более эффективными оказываются непродолжительные индивидуальные проекты, занимающие 5-8 уроков, когда в качестве домашних заданий к очередному уроку учащиеся самостоятельно (индивидуально или в группах) выполняют тот или иной этап работы над проектом, отчитываясь о проделанной работе в начале следующего 2 урока. Последние два урока (спаренные) используются для презентации подготовленных проектов. Преимущества индивидуальных проектов вижу в следующем: 1)план работы над проектом может быть выстроен и отслежен с максимальной четкостью; 2)у учащегося полноценно формируется чувство ответственности, т.к. выполнение проекта зависит только от него самого; 3)учащийся приобретает опыт деятельности на всех этапах проекта – от рождения замысла до итоговой рефлексии; 4)формирование у учащегося важнейших общеучебных умений и навыков (исследовательских, презентационных, оценочных) оказывается вполне управляемым процессом. Чем же полезна проектная деятельность? В процессе проектной деятельности ненавязчиво формируются общеучебные умения и навыки, которые пригодятся учащимся в их дальнейшей учебе и в жизни. В результате этого повышается учебная мотивация. 1.Рефлексивные: -умение осмыслить задачу; -умение ответить на вопрос: чему нужно научиться для решения поставленной задачи? 2.Поисковые (исследовательские) умения: - умение генерировать идеи; -умение самостоятельно найти недостающую информацию в информационном поле; -умение запросить информацию у учителя (эксперта) 3 -умение находить несколько вариантов решения проблемы. 3.Навыки оценочной самостоятельности. 4.Умения и навыки работы в сотрудничестве: -умение коллективного планирования; -умение взаимодействия и взаимопомощи в группе в решении общих задач; -умение делового партнерского общения. 5.Менеджерские умения и навыки: -умение проектировать процесс, -умение планировать деятельность, время, ресурсы; -умение принимать решения и прогнозировать их последствия; -навыки анализа собственной деятельности. 6.Коммуникативные умения: -умение вести дискуссию; -умение отстаивать свою точку зрения; -умение находить компромисс; -навыки интервьюирования, устного опроса, 7.Презентационные умения и навыки: -навыки монологической речи; -уверенно держать себя во время выступления; -артистические умения; -умение отвечать на незапланированные вопросы; 4 -умение использовать различные средства наглядности во время выступления. Выводы 1 Метод проектов позволяет создать прочную мотивацию к изучению предмета. 2.Разнообразные формы работы вносят элемент новизны в учебный процесс, развивают творческие способности учащихся, позволяют формировать их личностные качества, которые развиваются лишь в деятельности. 3.Постижение новой информации расширяет кругозор учащихся, развивает их интеллектуальные способности. 4.Знания учащихся актуализируются, конкретизируются, закрепляются. 6.Ученики выступают активными участниками процесса, учатся работать поновому: видеть, ставить и формулировать проблему, отбирать нужную информацию, учатся работать в «команде». Внедрение метода проектов в обучение влечёт за собой просматривание и изменение тематического планирования. До начала учебного года, планирую тематику проектов по классам. В соответствии с темами учебника определяю время, этапность проекта. Затем составляю календарный план с учётом организации проектной работы по данной теме. Нельзя начать проект просто с чистого листа. Каждый проект имеет свое сопровождение: цели и задачи проекта, направления исследовательской деятельности учащихся, творческие задания, справочный материал, а также список литературы и источников, которые необходимы учащимся для работы. Вступительный этап На этом этапе ставлю перед учениками ключевой, проблемный и учебные вопросы. Ключевой или основнополагающий вопрос проекта не должен иметь однозначный ответ, он натолкивает ученика на поиск ответа 5 Не имеют очевидного «правильного» ответа. Должны вызвать интерес у учеников. Требуют творческого подхода к изучаемому материалу. Имеют широкий диапазон. Обеспечивают связь между дисциплинами и объектами изучения Проблемные вопросы должны направляют учеников в нужном направлении у них исследованиях. Привязаны к конкретной учебной теме или объекту изучения. Поддерживают и обеспечивают ответ на основополагающий вопрос. Учебные вопросы связаны с изучаемой темой Результативность работы учеников во многом зависит от их заинтересованности. Именно поэтому привожу интересные факты по теме, которая изучается. Это делаю в виде публикации или презентации. Они помогают ученикам сориентироваться и избрать тему для своих исследований. Но ученики знают, что они могут избрать другую тему, которая их больше заинтересует (если она будет отвечать теме проекта. Считаю, что такие изменения необходимо поддерживать, потому, что они свидетельствуют об увлеченности учеников. ). Знакомлю с формами защиты ученических работ (презентация, wiki-статья, публикация, брошюра, фотовыставка, доклад и др.). Очень полезно, если ученики увидят образец такой работы, которую выполняли другие ученики. После этого знакомилю учеников (если они впервые работают над проектом) или напоминаю алгоритм работы над проектом. На первом этапе очень важно познакомить учеников с критериями оценивания их работ ( С примерами оцениваний можно познакомиться в Интернете) Организационный этап Знакомлю учащихся с правилами оформления работы. Стараюсь поддержать учеников на первых этапах работы над проектом, для того, чтобы они знали, 6 что в любой момент могут обратиться за помощью. Но такая опека не должна быть чрезмерной, иначе можно потерять самостоятельность учеников. Ребята определяют цели, выработывают стратегию для их достижения, создают временный график работы. Основной этап (поисковый) Во время этого этапа ученики ищут теоретический материал по избранной теме или проводят собственные исследования (если есть возможность и необходимость). Они избирают форму для защиты своей темы, и оформляют работу в выбранном формате, готовят материал к защите своей работы. Он может происходить полностью на уроках или частично, когда ученики ищут информацию в свободное время, а потом приносят на урок, где всей группой ее обрабатывают (анализируют, систематизируют, строят заключения). На этом этапе уделяю внимание каждой из работающих групп, отслеживаю продвижение учеников в работе, в случае необходимости вмешиваюсь, чтобы направить или подтолкнуть к активным действиям, но главное не перестараться. Защита работы и подведение итогов На этом этапе ученики должны защитить избранную тему ( в избранном формате). Но для того, чтобы работа была эффективной не только для этой группы, но и для класса в целом, необходимо чтобы одноклассники имели возможность оценить работу группы и имели возможность задавать вопросы. Степень раскрытия избранной темы исследований в работе учеников, методы, с помощью которых они были раскрыты укажут насколько глубоко они задумались над существующими проблемами. 7 За свою работу ученики получают сразу несколько оценок: за оформление, за содержание, за защиту. Это стимулирует интерес, мотивирует на самостоятельную поисковую деятельность. Проект оценивают не только по результатам практической работы. Не менее важно и то, как сами ребята оценивают работу; что получилось, а что нет; чему научились в ходе проекта; что не удалось сделать; перспективы улучшения своего проекта. Я придаю особое значение этому этапу проектной деятельности. Происходит осмысление детьми сделанного, формируется их отношение к самостоятельной деятельности. Приведу отрывок проекта Каждый учащийся получает следующие материалы : Учебный проект «Производная и ее применение» Учени ____ 11 – А класса ______________________________ Творческое название проекта «В поисках истины» Гипотеза. «Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники» В ходе исследовательской работы вы должны были либо подтвердить, либо опровергнуть данную гипотезу Направляющие вопросы Ключевые вопросы: Почему производная – одно из чудес механики? Какова роль производной в нашей жизни? 8 Проблемный вопрос Зачем нужна производная? Вопросы учебной темы 1. Чем касательная отличается от секущей? В чем заключается геометрический смысл производной? 2. Что такое мгновенная скорость? В чем заключается механический смысл производной? 3. Как найти производную? Когда применяют вторую производную? 4. Можно ли исследовать функцию, не зная ее график? 5. Когда наибольшее больше максимума? Темы проектов Производная в химии и в биологии Производная в физике Задачи на оптимизацию. Как применяют производную экономисты? Ожидаемые результаты: достижение высокого уровня знаний, умений и навыков. развитие интереса к предмету, расширение кругозора, формирование мировоззрения, раскрытие прикладных аспектов математики, повышение уровня учебной мотивации. Возможные цели: • научиться самооорганизовываться в ходе работы над проектом; • учиться добывать и практически использовать знания, извлекать информацию, анализировать, интерпретировать и адекватно использовать ее для решения проблем; анализировать весь материал и структурировать его для дальнейшей работы; • овладеть технологией проектной деятельности, научиться рефлексировать свою деятельность. 9 Основная цель: формирование знаний основ дифференциального исчисления, умений ими оперировать и применять их при решении различных практических задач, освоение некоторых навыков возможной профессиональной деятельности. Задачи: Активизировать знания по теме «Производная» Учить использовать производную при решении многих задач прикладного характера. Развивать навыки перевода различных задач на язык математического анализа. Развитие у учащихся способности видеть и использовать в учебной деятельности межпредметные связи, знания других наук. Формировать математическую картину мира и через нее учить воспринимать прекрасное. Создавать собственные проекты, используя различные технологии, в том числе и мультимедийные. Дорогу осилит идущий… В определённом смысле математика – искусство накопления знаний при помощи отыскания новых интересных отношений (связей) между объектами. БоровковаО.А. Теоретический этап 1. Как исследовать функцию с помощью производной? 2. Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции. Его практическое применение. «…нет ни одной области в Этап индивидуального математике, которая когда-либо не исследования окажется применимой к явлениям 1. Отвечаем на вопросы действительного мира…» 2. Работаем над проектом Н.И. Лобачевский 3. Пишем эссе «Зачем нужна производная?» Пристальное, глубокое изучение природы – Этап группового исследования источник самых плодотворных открытий Объединитесь в группы и создайте коллективный продукт презентацию Дата План исследования 10 Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения. Д. Пойа Учись учиться всю жизнь. Совершенствуй себя и умей находить истину Этап индивидуального контроля 1.Сумма двух положительных чисел равна N. Какими должны быть числа, чтобы сумма их кубов была наименьшей? 2. Необходимо загородить сеткой участок прямоугольной формы наибольшей площади. Найти размеры участка, если длина сетки 2N + 4. 3. Из всех прямоугольников с диагональю см найти √2𝑁 прямоугольник с наибольшей площадью. 3. Построить график функции (взять у учителя) Итоги исследования Рефлексия Поиск информации 1. Прежде чем начать поиск в сети, надо определить, по какой теме необходимо начать искать информацию, записать ее на листок бумаги и положить его перед собой, это поможет «не сбиться с курса». 2. Необходимо продумать, сколько времени потребуется для одного сеанса связи и попытаться удерживаться в рамках определенного времени. В этом поможет будильник или таймер. 3. Для того чтобы найти требуемую информацию на различных сайтах, необходимо: - подобрать ключевые слова и сочетания слов, наиболее подходящих к искомой теме, - составить список используемых поисковых систем и каталогов, - составить ориентировочный список сайтов информации по определенной вами теме, - подобрать информацию по данной теме, 4. В процессе работы обязательно будут встречаться интересные, но, совсем не относящиеся к делу, ссылки. Надо постараться игнорировать их. 5. Лучше изучать интересующий документ целиком, затем ближайшие ссылки по заданной теме. Если все время уходить от стартового документа, то можно быстро заблудиться в сети. 11 Помните, что работая над проектом продуктом, вы создаете продукт не только для себя, но и для любого другого человека, которому доведется столкнуться с проблемой, решению которой посвящен данный проект. Лист оценивания Математические термины установлены и пояснены Есть все необходимые пояснения Материал подобран так, чтобы заинтересовать Содержание одноклассников Задача решена правильно Все элементы работы взаимосвязаны Тексты не имеют орфографических и грамматических Оформление ошибок Изображения(рисунки, чертежи)обогащают работу Математика 2 2 2 2 1 1 2 По окончанию работы над проектом учащиеся пишут отчет Отчет о работе над проектом Введение Тема моего проекта ………………………………… Я выбрал эту тему, потому что ……………………… Цель моей работы – ………………………………… Проектным продуктом будет –.……………………… Этот продукт поможет достичь цель проекта, так как…………… Основная часть Я начал свою работу с того, что ………………………………… Я завершил работу тем, что……………………………………… В ходе работы я столкнулся с такими проблемами…………… Чтобы справиться с возникшими проблемами, я……………… Я отклонился от плана (указать, когда был нарушен график работы)……….. План моей работы был нарушен, потому что…………………… В ходе работы я принял решение изменить проектный продукт, так как……… Но все же мне удалось достичь цели проекта, потому что…… Заключение Закончив свой проект, я могу сказать, что не все из того, что было задумано, получилось, например …………………… Это произошло, потому что …………………………………….. Если бы я начал работу заново, я бы …………………………… В следующий раз продолжу эту работу для того, чтобы…… Я думаю, что я решил проблему своего проекта, так как ……… Работа над проектом показала мне, (что узнал о себе и о проблеме, над которой работал) ………………………………… 12 Работы учащихся, которые были представлены в виде презентаций Скорость «Лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Ф.Энгельс При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает необходимость определения скорости этих процессов. Недавно в журнале «Фейнмановские лекции по физике» я прочитал забавный диалог между водителем-женщиной и полицейским: - Мадам, Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 км / ч. - Простите, это не возможно. Как я могла проехать 90 км за час, если я еду всего лишь 7 минут! - Я имею в виду, мадам, что если бы Вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 км. - Если бы я продолжала ехать, как ехала, ещё час, то налетела бы на стену в конце улицы! - Ваш спидометр показывал 90км/ч. - Мой спидометр сломан и давно не работает Так, что же такое скорость? Представим себе, что по дороге движется автомобиль. Обозначим через S(t) расстояние, пройденное телом к моменту времени t. Пусть ∆t некий промежуток времени, прошедший после момента t. Тогда очевидно, что разность S= S(t+∆t) – S(t) есть длина пути, который автомобиль преодолел за время ∆t. Если ∆t достаточно мало, то скорость автомобиля за этот промежуток существенно не изменилась. А значит, то, что можно было назвать скоростью движения автомобиля в данный момент времени, приближенно равно средней ∆𝑆 𝑆(𝑡+∆𝑡)−𝑆(𝑡) скорости движения за время ∆t: 𝑣𝑐𝑝 = = ≈ 𝑣мг ∆𝑡 ∆𝑡 Но по определению производной мы имеем: ∆𝑆 𝑆(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑆(𝑡) lim = lim = 𝑆 ′ (𝑡) ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 отсюда, v (t) = 𝑆 ′ (𝑡) , т.е. скорость – это производная пути по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v′ (t) Систематическое учение о производных было развито И. Ньютоном (1643–1727) и Г. Лейбницем (1646–1716), 13 которые независимо друг от друга создали теорию дифференциального исчисления. Ньютон исходил в основном из задач механики. В частности, к определению производной Ньютон пришел, решая задачу о мгновенной скорости. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путем и скоростью. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: Производная — это скорость изменения функции при изменении аргумента. Производная в химии И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств. Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ. Химия изучает закономерности протекания различных реакций. Одна из важнейших характеристик химических процессов – скорость реакции. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву.. Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени. Так как скорость химической реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени. Если C(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной концентрации исходных продуктов: 𝑣(𝑡) = 𝐶 ′ (𝑡) Понятие на языке химии Количество в-ва в момент времени t0 Интервал времени Изменение количества в-ва Средняя скорость химической реакции Обозначение Понятие на языке математики C = C(t) Функция ∆t = t2 – t1 ∆C = C(t+ t) – C(t) ∆С ∆𝑡 Приращение аргумента Приращение функции Отношение приращён. функции к приращён. 14 аргументу C t Ñ t . Вывод: lim t 0 t Задача. Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: С(t) = 2e-0,05t. Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости? Решение: С'(t) = (2e-0,05t)' = 2 (e-0,05t)' · (- 0,05t)' = 2e-0,05t · (- 0,05) = -0,1e-0,05t. Ответ: -0,1e-0,05t; знак минус означает убывание концентрации вещества с течением времени. Задача. Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задается зависимостью: С(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Решение: v (t) = С'(t) v (t) = t + 3; v (3) = 3+3 = 6. Ответ: 6 моль\с. Производная в биологии В биологии производная характеризует скорость размножения колонии микроорганизмов. Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x(t). Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции. Понятие на языке биологии Численность в момент времени t1 Интервал времени Изменение численности популяции Скорость изменения численности популяции Относительный прирост в данный момент Обозначение у = x(t) ∆t = t2 – t1 ∆x = x(t2) – x(t1) ∆𝑥 ∆𝑡 ∆𝑥 ∆𝑡→0 ∆𝑡 lim Понятие на языке математики Функция Приращение аргумента Приращение функции Отношение приращения функции к приращению аргумента Производная 15 Задача. Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. Найти скорость роста популяции: в момент t = 1 c. Решение: P(х)= x'(t) = 200t; P(1) = 200 (с). Ответ: 200 с. Закон Мальтуса - простейшая модель экспоненциального роста численности популяции при условии устойчивого прироста (неограниченных ресурсов). Обозначим буквой N численность популяции. Линейное дифференциальное уравнение, установленное для популяций Бернулли (1760), будет задавать 𝒅𝑵 динамику прироста: = 𝝁 ∙ 𝑵, где t - время, μ - величина, являющаяся 𝒅𝒕 разницей коэффициента рождаемости B и смертности D: μ = В – D, Решением уравнения при N ( t ) = N ( 0 ) e μ t является экспоненциальная функция При μ > 0 закон развития популяции, который задается последним уравнением, известный как закон Мальтуса. Таким законом описывают рост количества бактерий, водорослей, дрожжей, до того как среда начнет истощаться. Модель Мальтуса можно применять в ограниченных временных интервалах. Еще один пример Пусть функция y = f(x) – процесс старения, тогда производная y′ будет скорость протекания этого процесса в момент времени t. Задачи на оптимизацию Производная используется при решении разнообразных прикладных задач. П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором 16 первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение. Задачи на оптимизацию решают по схеме из трёх этапов математического моделирования: Схема решения 1) прикладная задача переводится на язык функций; 2) находится наибольшее и наименьшее значение этой функции на некотором промежутке, используя производную; 3) интерпретация найденного решения, т.е. перевод его с языка математики на термин первоначальной задачи. Рекомендации относительно этапов математического моделирования Этап составления математической модели 1). Выделите величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь в задаче. Обозначьте ее буквой у, S, V,R, t – в зависимости от условия. 2). Обозначьте через х (или другой буквой) одну из неизвестных величин, которые задействованы в задаче и через которую сравнительно легко можно выразить искомую величину. Согласно условия задачи, определите границы изменения переменной х. 3). Исходя из условий задачи, выразите у через х. Математическая модель функция y = f(x) (или другое обозначение). Этап работы с моделью Согласно условия задачи найдите уmsn или ymax . Этап интерпретации найденного решения Опираясь на полученный результат, дайте конкретный ответ на вопрос задачи Задача. Из квадратного листа картона со стороной a необходимо изготовить открытую сверху коробку, вырезав в углах квадратики и загнув полученные края. Какой должна быть высота коробки, чтобы ее объем был наибольшим? Решение: Величина оптимизации – объем коробки Пусть х - высота коробки, тогда основание коробки - квадрат со стороной а – 2х, где а – 2х > 0, 0 < x <0,5a Объем коробки равен V= x(a – 2x)2. Для решения задачи нужно найти такое значение х, при котором функция V(x)= x(a-2x)2 принимает наибольшее значение на интервале (0; 0,5а) Функция непрерывна и дифференцируемая на (0; 0,5а), найдем ее производную V′ (x) = (a – 2x)2 – 4x(a – 2x) = (a – 2x)(a – 2x – 4x) = (a – 2x)(a – 6x) Найдем стационарные точки (a – 2x)( a – 6x) = 0, 17 𝑎 𝑥= , 2 [ 𝑎 𝑥= 6 На интервале (0; 0,5а) есть только одна стационарная точка x= a . 6 𝑎 При переходе через точку 𝑥 = производная меняет 6 𝑎 знак с «+» на «–», поэтому 𝑥 = - точка максимума, 6 следовательно, наибольшее значение на интервале (0; 0,5а) функция 𝑎 принимает при 𝑥 = . 6 Итак, если высота коробки будет равна Ответ: a , то ее объем будет наибольшим. 6 a . 6 Задача. Расходы на топливо, необходимое для движения океанского танкера, пропорционально кубу его скорости и составляют 200 руб. в час при скорости 10 узлов, а все прочие расходы составляют 1000 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость движения. Вычислить дополнительную прибыль, если расстояние до порта назначения 1000 морских миль. 1 этап: если принять за х (x > 0)узлов наиболее экономичную скорость движения океанского танкера, то функция расхода средств за рейс будет иметь вид 𝑃(𝑥) = 1000(0,2𝑥 3 −1000) 𝑥 2 этап (работа с моделью) 𝑃′ (𝑥) = 1000 (0,4𝑥 − При Р′= 0, 1000 1000 (0,4𝑥 − 2 )= 0 3 1000 𝑥2 ): 𝑥 𝑥 = √2500, x ≈ 13,6 Скорость 13,6 узлов является наиболее экономичной. Дополнительная прибыль за один рейс в 1000 морских узлов составит 97000 руб. Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции 18 дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции. В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем. Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин. Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Производительность труда Пусть функция V = V(t) выражает количество произведенной продукции V за время t. Найдем производительность труда в момент времени t0. За период времени от t0 до to+Δt количество произведенной продукции изменится от значения Vo=V(to) до значения Vo+ΔV = V(to+Δt); тогда средняя производительность труда за этот период времени Пср.= ΔV/ Δt. Очевидно, что производительность труда в момент to можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до to+Δt при Δt→0, т.е. ∆𝑉 П(𝑡) = lim . ∆𝑡→0 ∆𝑡 Таким образом, экономический смысл производной заключается в том, что производная объема произведенной продукции по времени V'(t) есть производительность труда в момент to: П (t) = V ' (t) Издержки производства 19 Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x . Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y – приращение издержек производства и Δ y / Δ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная ∆𝑦 𝑦 ′ (𝑥) = lim выражает предельные издержки производства и характеризует ∆𝑥→0 ∆𝑥 приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции: J(x) = y ' (x) Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины. Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Эластичность функции Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции. Определение: Эластичностью функции Ex(y) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной x при Δx→0: 𝐸𝑥 (𝑦) = lim ( ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑥 ∆𝑦 𝑥 ′ : ) = lim = ∙𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑦 Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%. В результате можно сделать следующие выводы: 1. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций. 2. Экономический смысл производной: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора. 3. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин. 20 4. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории. Задача Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К(х) = – х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х= –х2+98х+200 Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции у(х) = – х2+98х+200. На промежутке [20;90]. (– х2+98х+200) ′ = – 2х + 98; – 2х + 98 = 0, х = 49 Вывод: x = 49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке. f(20) = 1760; f(49) = 2601; f(90) = 320. Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции. 2. Зависимость между стоимостью единицы продукции y (тыс.грн.) и выпуском продукции x (млрд. грн.) выражается функцией y= - 0,5x+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. грн. Решение: По формуле эластичности себестоимости Ex(y) =(-0,5x)/(-0,5x+80) = x/(x-160). При x = 60 Ex=60(y) = - 0,6, т.е. При выпуске продукции, равном 60 млн. грн., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%. 21 Производная в физике «Все сведения о природных телах и их свойствах должны содержать точные указания на число, вес, объем, размеры… Практика рождается только из тесного соединения физики и математики» Ф.Бекон Производные функций находят свое применение в физике и технике. Рассмотрим некоторые из них. № 1 2 3 Физическая величина Скорость Ускорение Сила при прямолинейном движении 4 Теплоемкость 5 Вычисление мощности через работу 6 Сила тока Формулировка Скорость движения тела является производной расстояния как функции времени. Ускорение движения тела есть производная скорости или вторая производная расстояния как функций времени Пусть тело двигается по оси Ох, в каждой точке которой приложена сила 𝐹 = 𝐹(𝑥). Рассчитаем работу А, которую следует затратить при перемещении из точки 𝑥1 в точку 𝑥2 . На малом отрезке пути от точки 𝑥 до точки 𝑥 + ∆𝑥 можно считать силу постоянной, равной 𝐹(𝑥) . Тогда ∆𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥)∆𝑥 . Отсюда получим, что сила есть производная работы по перемещению Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре Рассмотрим работу как функцию времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, — это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время ∆t равна N·∆t. Мощность есть производная работы по времени Сила тока есть производная заряда по времени Формула для ее нахождения 𝑣(𝑡) = 𝑆′(𝑡) 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) 𝐹(𝑥) = 𝐴′ (𝑥) C(t) = Q ′ (t) N(t)=A' (t) I = q ′ (t) 22 Линейная плотность 7 Угловая скорость 8 Угловое ускорение 9 10 ЭДС индукции Пусть дан неоднородный стержень длиной x и массой m(x), начало которого в точке x = 0. Тогда производная функции массы стержня по его длине x есть линейная плотность стержня в данной точке Угловая скорость движения является производной угла как функции времени. Угловое ускорение является производной угловой скорости или второй производной угла как функций времени ЭДС индукции в замкнутом контуре прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром, т.е – это скорость изменения магнитного потока 𝜌(𝑥) = 𝑚′(𝑥) ω (t)= φ′(t) а (t)= ω′(t) Е(t)=Ф ′(t) Задача. Материальная точка массой 3кг движется по прямой согласно уравнению S(t) = 2t3 – 2t2 + 3 ( S измеряется в метрах, t – в секундах ). Найти действующую на неё силу в момент времени t = 2. Решение: Зная, что F=ma, где m = 3 кг, найдем ускорение a=v′(t) v=S′(t) отсюда, v(t) = (2t3 – 2t2 + 3)′= 6t2 -4t; a(t) = (6t2 -4t) ′= 12t – 4 При t = 2 а(2) = 12·2 – 4 = 20, тогда F = 3·20 = 60(Н) Задача. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю? Решение: I(t) = q ' (t), 23 𝐼(𝑡) = 1 − 𝑡 2 −4 𝑡2 4 𝑡2 = 𝑡 2 −4 𝑡2 ; =0 Отсюда, t = ±2; t = - 2 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: t = 2. Задача. Теплоемкость воды при t = 100оС равна 1,013. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг воды от 0оС до tоС, определяется формулой: Q(t) = t + 210-5 t2 + 3a10-7 t3. Найдите значение параметра а. Решение: C (t) = Q(t) =1+4. 10-5 t +9a. 10-7 t2 1,013 = 1+4. 10-5 t +9a. 10-7 t2; Найдем значение а при t=100C, 4·10-5·100 + 9a·10-7·1002 = 0,013; 4·10-3 + 9a·10-3 = 0,013; 0,009a = 0,013 – 0,004; a=1 Ответ: a = 1 Послесловие «Нам необходимо дать ученикам то, что им нужно для успеха в будущем. Нам необходимо дать то же и учителям для того, чтобы они могли стать лидерами в реформировании образования. Технологии предоставляют возможность поделиться своими успехами с миром, другим узнать об их достижениях. Но технологии - лишь средство, инструмент. Именно учителя в состоянии изменить образование в мире к лучшему ... » Крейга Барретт Председатель совета директоров корпорации Intel 24
