Рассмотри А-форму и для П-образной схемы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
* * *
Ю. С. Петров, Л. В. Рогачев,
С. П. Масков, Ю. В. Саханский
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
И ИХ СОЕДИНЕНИЯ
Монография

ВЛАДИКАВКАЗ 2014
1
УДК 621.372.5
ББК 31.2
П30
Рецензенты:
Васильев И. Е., доктор технических наук,
профессор Северо-Кавказского горно-металлургического института
(государственного технологического университета)
Бичегкуев М. С., доктор физико-математических наук,
профессор Северо-Осетинского государственного университета
Петров Ю. С.
П30
Четырехполюсники и их соединения: Монография / Ю. С. Петров,
Л. В. Рогачев, С. П. Масков, Ю. В. Саханский; Северо-Кавказский горнометаллургический
институт
(государственный
технологический
университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический
институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек»,
2014. – 116 с.
ISBN 978–5–901585–70–2
Монография предназначена для ознакомления студентов технических ВУЗов,
аспирантов и широкого круга читателей с основами теории четырёхполюсников,
методами их расчета и анализа различных типов их соединения, будет особенно
полезна при дистанционном обучении. Основное внимание при изучении
материала уделяется получению практических навыков решения задач,
содержащих четырёхполюсники при различных входных воздействиях.
Монография подготовлена на кафедре «Теоретической электротехники и
электрических машин» СКГМИ (ГТУ).
УДК 621.372.5
ББК 31.2
© Петров Ю. С. и др., 2014
© Северо-Кавказский горно-металлургический
институт (государственный технологический
университет), 2014
ISBN 978–5–901585–70–2
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение………………………………………………………….......................
4
Глава 1. Уравнения четырехполюсников………………………………….
5
1.1. Резистивные четырехполюсники……………………………….
5
1.2. Символическая форма уравнений четырёхполюсников………… 14
1.3. Уравнения четырехполюсников в обобщенной форме………..
20
Глава 2. Эквивалентные схемы замещения
и характеристические параметры четырёхполюсников………... 32
2.1. Т-образная схема замещения четырёхполюсника...................... 32
2.2. П-образная схема замещения четырёхполюсника…………….
37
2.3. Входное сопротивление и характеристические
параметры четырёхполюсника…………………………………. 43
Глава 3. Простые соединения четырёхполюсников……………………...
54
3.1. Каскадное соединение четырёхполюсников…………………... 54
3.2. Условия регулярности…………………………………………... 62
3.3. Последовательное соединение четырёхполюсников…………. 68
3.4. Параллельное соединение четырёхполюсников………………. 75
Глава 4. Сложные соединения четырёхполюсников…………………….. 83
4.1. Последовательно-параллельное соединение…………………... 83
4.2. Параллельно-последовательное соединение…………………... 88
4.3. Смешанное соединение четырёхполюсников…………………. 93
Заключение…………………………………………………………………….. 100
Приложения……………………………………………………………………. 101
Литература……………………………………………………………………. 116
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена вопросам расчёта четырёхполюсников в
линейных электрических цепях и может быть использована при выполнении
типовых индивидуальных расчётных заданий по теме «Четырёхполюсники и
их соединения», курсовых и контрольных работ.
Монография состоит из четырёх разделов: основные уравнения
четырёхполюсников, эквивалентные схемы замещения и характеристические
параметры четырёхполюсников, простые соединения четырёхполюсников,
сложные
соединения
четырёхполюсников.
Приведены
приложения,
облегчающие усвоение изложенного в пособии материала.
Каждый раздел содержит краткие теоретические сведения и примеры с
подробными решениями. Все примеры составлены и решены авторами.
Предложены
задачи
для
самостоятельного
решения.
Даны
способы
самопроверки решений предложенных задач.
Методические примеры и задачи подобраны так, чтобы охватить
наиболее широкий класс встречающихся в ТОЭ задач по данному профилю.
Монография
может
быть
использована
не
только
студентами
электротехнических специальностей очного и заочного обучения, изучающих
курсы ТОЭ и теории электрических цепей, но и может быть полезна при
изучении курса «Электротехники и электроники».
4
Глава 1. УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ
1.1. Резистивные четырёхполюсники
При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить
фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические
(электронные) цепи часто связаны с передачей энергии или обработкой и
преобразованием
информации,
одну
пару
зажимов
обычно
называют
«входными», а вторую – «выходными». На входные зажимы подаётся исходный
сигнал, с выходных снимается преобразованный. Устройство, имеющее два
входных и два выходных зажима, называют четырехполюсником.
Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы,
усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии
электропередачи и т. д. Любой линейный четырёхполюсник, не содержащий
независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя
параметрами (из которых только три являются независимыми) [1–7].
Существуют различные типы четырехполюсников.
Симметричный четырехполюсник
– четырехполюсник, у которого
схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов.
Пассивный четырехполюсник – это четырехполюсник, который не содержит
источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.
Активный
содержит
четырехполюсник
нескомпенсированные
–
это
источники
четырехполюсник,
энергии.
Далее
который
будут
рассматриваться пассивные четырехполюсники.
Обратимый
четырехполюсник
–
четырехполюсник,
у
которого
выполняется теорема обратимости, то есть передаточные сопротивления
входных и выходных контуров не зависят от того, какая пара зажимов
входная, а какая выходная.
Если четырёхполюсник не содержит реактивных элементов, то он
является резистивным. В случае резистивного четырёхполюсника нагрузка так
же предполагается резистивной. Четырехполюсник обычно изображают
5
прямоугольником, имеющим два входных и два выходных зажима, с
указанием направлений токов и напряжений во входной (левой, см. рис. 1.1) и
выходной (правой) частях.
Четырехполюсник является передаточным звеном между источником
питания и нагрузкой. К входным зажимам m n, как правило, присоединяют
источник питания, к выходным зажимам p–q-нагрузку (рис. 1.1.1).
I1
I2
m
p
U1
U2
n
q
Рис. 1.1.1. Условное изображение четырехполюсника.
Предполагается, что нагрузка четырехполюсника и напряжение на его
входе могут изменяться, но схема внутренних соединений четырехполюсника
и значения сопротивлений в ней остаются неизменными. Четырехполюсник,
состоящий только из сопротивлений, называется резистивным.
Четырехполюсник характеризуется двумя входными U 1 , I1  и двумя
выходными U 2 , I 2  величинами. Возможны шесть форм записи уравнений
пассивного четырехполюсника, связывающих эти величины: А-, Y-, Z-, H-, G- и
В-формы. Уравнения четырехполюсников для этих форм записи
соответственно:
U 1  A  U 2  B  I 2
 I1  C  U 2  D  I 2
А-форма: 
U 
(1.1.1)
 A B  U 
или в матричной форме  1   
 2,

 I1  C D  I 2 
(1.1.1')
где
A, В, С и D – комплексные коэффициенты, которые могут быть
определены расчётным или опытным путём и зависят от схемы
четырёхполюсника и значений его сопротивлений.
При этом AD  BC  1.
6
 I1  G11U1  G12U 2
I 2  G21U1  G22U 2
Y-форма:, 
(1.1.2)
I 
G
G  U 
или в матричной форме  1    11 12    1  ,
 I 2  G21 G22  U 2 
(1.1.2')
где, G12   G21 .
U1  R11I1  R12 I 2
,
U 2  R21I1  R22 I 2
Z-форма: 
(1.1.3)
U 
R
R  I 
или в матричной форме  1    11 12    1  ,
U 2   R21 R22   I 2 
где R12   R21
(1.1.3')
.
U1  H11I1  H12U 2
,
 I 2  H 21I1  H 22U 2
Н-форма: 
(1.1.4)
U1   H11
 I   H
 2   21
или в матричной форме
H12   I1 
 
H 22  U 2 
(1.1.4')
где H12  H 21 .
 I1  F11U1  F12 I 2
U 2  F21U1  F22 I 2
F-форма: 
или в матричной форме
,
(1.1.5)
 I1   F11 F12  U1 
U    F
 ,
 2   21 F22   I 2 
(1.1.5')
где F12  F21 .
U 2  B11U1  B12 I1
,
 I 2  B21U1  B22 I1
В-форма: 
или в матричной форме
(1.1.6)
U 2   B11
 I   B
 2   21
B12  U1 
.

B22   I1 
(1.1.6')
где B11B22  B12 B21  1 .
Если
положительное
направление
тока
I2
изменить
на
противоположное, то следует изменить знак тока I 2 во всех уравнениях.
Чтобы уравнения четырехполюсника остались неизменными, т. е.
сохранился знак плюс перед всеми его членами, необходимо изменить знаки
7
следующих коэффициентов: Y21 , Y22 , R12 , R22 , B, D. При этом будем иметь:
G12  G21 , R12  R21 и AD  BC  1 .
Наличие
дополнительных
связей
между
коэффициентами
четырехполюсника (помимо основных уравнений, связывающих токи и
напряжения)
показывает,
что
при
любой
форме
записи
уравнений
независимыми являются только три параметра [2].
Как известно, в резистивной цепи отклик определяется воздействием с
точностью
до
постоянного
типа
вещественного
рассматривать
четыре
входных
напряжение,
экспоненциальное
множителя.
воздействий
напряжение,
Далее
uвх(t):
будем
постоянное
синусоидальное
и
синусоидальное с изменяющейся по экспоненциальному закону амплитудой:
uвх (t )  U ,
(1.1.7)
u вх (t )  U 0 e ot ,
(1.1.8)
uвх(t)  U m sin ωt  ψ  ,
(1.1.9)
uвх(t)  U m eσt sin ωt  ψ  .
(1.1.10)
Во всех рассматриваемых случаях токи в ветвях четырехполюсника
будут качественно повторять воздействие. Соотношение между напряжением
и токами на входах и выходах четырехполюсников могут быть записаны в
виде приведенных ранее шести систем уравнений.
В резистивных четырехполюсниках все коэффициенты в уравнениях
(1.1.1–1.1.6) будут вещественными числами. Вид токов и напряжений,
входящих в уравнения, будет определяться типом воздействия. При
постоянном входном напряжении u вх (t )  U токи и напряжения в уравнениях
четырехполюсника (U, I) также будут постоянными. При экспоненциальном
воздействии на входе четырехполюсника токи и напряжения в уравнениях
будут
являться
начальными
значениями
экспоненциальных
токов
и
напряжений (I10, I20; U10, U20) в соответствующих ветвях. При синусоидальном
воздействии токи и напряжения на выходе также будут синусоидальными
одной и той же частоты, а в уравнении четырехполюсников будут входить
8
амплитудные значения токов и напряжений в ветвях (или их действующих
значений U~, I~, уравнения 1.1.13, 1.1.13').
Если входное воздействие определяется напряжением (1.1.10), то токи во
всех ветвях резистивной цепи и, в частности, на выходе цепи будут отличаться
только
амплитудой
синусоиды,
следовательно,
в
уравнениях
четырехполюсника будут фигурировать амплитудные значения токов и
напряжений (Im, Um).
Таким образом, для уравнений четырехполюсника в А-форме и
соответствующих типов воздействия, получим:
U1  AU 2  BI2 ,
(1.1.11)
I1  CU2  DI2 .
(1.1.11)
U10  AU 20  BI20 ,
(1.1.12)
U10  CU20  DI20 .
(1.1.12)
U1~=AU2~+ BI2~ ,
(1.1.13)
I1~=CU2~+ DI2~ .
(1.1.13')
U1m=AU2m+ BI2m,
(1.1.14)
I1m=CU2m+ DI2m. .
(1.1.14')
Значения коэффициентов четырехполюсника можно определить по
конкретной схеме, представляющей четырехполюсник. Нетрудно доказать, что
коэффициенты A, B, C, D в случае резистивной цепи не зависят от типа
воздействия, а зависят только от структуры и параметров внутренней схемы
четырехполюсника. Рассмотрим пример.
Пример 1.1.1. Пусть четырехполюсник представлен электрической
схемой, изображенной на рис. 1.1.2 (так называемая Т-образная схема
замещения, см. далее п. 2.1). Рассмотрим воздействия, представленные
следующими функциями:
1. uâõ(t )  U  U1  21B .
2. uвх (t )  U 0 e ot  21e 2t .
3. uвх(t)  U m sin ωt  ψ   21sin t   .
4. uвх(t)  U m e σt sin ωt  ψ   21e 2t sin t   .
Вычислим коэффициенты А, В, С, D для схемы рис. 1.1.2. по уравнениям
четырехполюсника в А-форме. Сопротивления ветвей R1=3, R2=4, R3=12 Ом.
Проверим уравнения четырехполюсника при Rн=2 Ом.
9
Решение
1. Постоянное входное воздействие uвх (t )  U .
При определении коэффициентов четырехполюсника для схемы (1.1.2)
используем первый и второй законы Кирхгофа и выразим U1 и I1 через U2 и I2:
I1  I 2  I 3  I 2 
 R 
U 2  I 2 R2
1
 U 2  1  2  I 2 ,
R3
R3
 R3 
(1.1.15)
 R 

RR 
U1  U 2  I 2 R2  I1 R1  1  1 U 2   R1  R2  1 2  I 2 .
R3 
 R3 

(1.1.16)
Сопоставляя (1.1.15) и (1.1.16) с выражениями (1.1.11) и (1.1.11'),
получим:
B  R1  R2 
D  1
R1 R2
R
; A  1 1 ;
R3
R3
R2
1
C 
;
R3
R3
Найдем связь между коэффициентами четырехполюсника.
 R  R  
RR  1
R R
RR
R R RR
AD  BC  1  1 1  2    R1  R2  1 2 
 1 1  2  1 2  1  2  1 2  1.
R3  R3
R3 R3
R3
R3 R3
R3
 R3  R3  
I1
I2
m
p
R1
U1
I11
R2
I3
R3
I12
n
U2
Rн
q
Рис. 1.1.2. Электрическая схема четырехполюсника с нагрузкой.
Определим коэффициенты четырехполюсника в А-форме в численном
виде:
A  1
C
R1
3
1
 1   1   1,25 Ом,
R3
12
4
1
1

См,
R3 12
D  1
B  R1  R2 
R2
4
1
 1  1 .
R3
12
3
10
R1 R2
3 4
 3 4
 8 Ом,
R3
12
Проверим, выполняется ли уравнение связи между коэффициентами
AD–BC=1.
1 1
1
AD  BC  1 1  8  1 . Верно.
4 3 12
1
4
Уравнения четырехполюсника U 1  1 U 2  8I 2 , I1 
1
1
U2 1 I2 .
12
3
Для проверки определим токи обычными способами, например по
законам Кирхгофа, получим:
I1  3 А, I 2  2 А, I 3  1 А, U RH  U 2  4 В.
Подставим вычисленные значения в уравнения четырехполюсника:
1
U 1  AU 2  BI 2  1  4  8  2  21 В,
4
что совпадает с заданным входным
воздействием U1=21 В.
I1  CU 2  DI 2 
1
1
 4  1  2  3 А,
12
3
что также совпадает с вычисленным
значением тока I1=3 А. То есть, полученные уравнения четырехполюсника
правильно описывают электрическое состояние цепи и дополняют другие
типы уравнений.
2. Входное воздействие изменяется по экспоненциальному закону с
начальным значением U0 = 21 В, σ = – 2 с-1: т.е. uвх (t )  U 0 e ot  21  e 2t
При определении коэффициентов четырехполюсника для
схемы (рис.
1.1.3) используем первый и второй законы Кирхгофа и выразим u1 и i1 через u2
и i2. В общем виде для мгновенных значений и напряжений:
i1  i2  i3  i2 
 R 
u2  i2 R2 1
 u2  1  2 i2 .
R3
R3
 R3 
(1.1.17)
Используя свойство резистивных цепей – идентичности отклика по
отношению к действию, запишем:
I10et 
 R 
1
U 20et  1  2  I 20et .
R2
 R3 
Разделим левую и правую части на e t . Получим:
I10 
 R 
1
U 20  1  2  I 20 .
R2
 R3 
(1.1.18)
11
По II закону Кирхгофа для внешнего контура:
 R 
RR 

u1  u 2  i2 R2  i1 R1  1  1 u 2   R1  R2  1 2 i2 .
R 

 R3 
(1.1.19)
 R 

RR 
U10e ot  1  1 U 20e ot   R1  R2  1 2  I 20e ot
R3 
 R3 

Сокращая на e t , получим:
 R 

RR 
U10  1  1 U 20   R1  R2  1 2  I 20 .
R3 
 R3 

(1.1.20)
Сопоставляя (1.1.18) и (1.1.19) с выражениями (1.1.11') и (1.1.11),
замечаем, что коэффициенты четырехполюсника для экспоненциального
воздействия
и
постоянного
входного
воздействия
определяются
1
4
одинаковым формулам, т. е., как и в предыдущем случае, A  1 ; B=8; C 
по
1
;
12
1
D  1 . Таким образом, уравнения четырехполюсника при экспоненциальном
3
1
4
1
12
1
3
воздействии, U 10  1 U 20  8I 20 , I10  1 U 20  1 I 20 .
Для проверки полученных уравнений, определим токи обычными
способами, например по законам Кирхгофа, в результате чего получим:
i1  I 10 e ot  3e 2 А, i2  I 20 e ot  2e 2t А, i3  I 30 e ot  1e 2t А,
u RH  u2  U 20eot  4e 2t В.
Подставим вычисленные значения в уравнения четырехполюсника и
сократим на e-2t:
1
U 10  AU 20  BI 20  1  4  8  2  21 В, что совпадает с заданным входным
4
начальным значением экспоненциального воздействия U1 0=21 В.
Для
тока
I10  CU 20  DI 20 
1
1
 4  1  2  3 А,
12
3
что
также
совпадает
вычисленным начальным значением экспоненциального тока I10=3 А.
3. Входное воздействие изменяется по синусоидальному закону:
uвх(t)  u1 t   U m sin t   .
12
с
Уравнения по I закону Кирхгофа для мгновенных значений:
I1m sin( t  ) 
 R 
1
U 2 m sin( t  )  1  2  I 2 m sin( t  ) .
R3
 R3 
Разделим левые и правые части на sin(t  ) . Получим:
I1m 
 R 
1
U 2 m  1  2  I 2 m .
R3
 R3 
(1.1.21)
Уравнения по II закону Кирхгофа для мгновенных значений:
 R 

RR 
U1m sin( t  )  1  2 U 2 m sin( t  )   R1  R2  1 2  I 2 m sin( t   ) .
R3 
 R3 

Разделим левые и правые части на sin(t  ) . Получим:
 R 

RR 
U1m  1  1 U 2 m   R1  R2  1 2  I 2 m .
R3 
 R3 

(1.1.22)
1
4
Уравнения четырехполюсника U 1m  1 U 2 m  8I 2 m , I1m 
1
1
U 2m  1 I 2m .
12
3
4. Входное воздействие является синусоидой с изменяющейся по
экспоненциальному закону амплитудой:
u вх(t)  U m e σt sin ωt  ψ  .
(1.1.23)
Уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и
напряжений:
I1m0 et sin( t  ) 
 R 
1
U 2 m0 et sin( t  )  1  2  I 2 m0 et sin( t  ) ,
R3
 R3 
 R 
U 1m 0 et sin( t   )  1  2 U 2 m 0 et sin( t   ) 
 R3 

RR 
  R1  R2  1 2  I 2 m 0 et sin( t   ).
R3 

Разделим левые и правые части на e sin(t   ) . Получим:
t
I1m0 
 R 
1
U 2 m0  1  2  I 2 m0 .
R3
 R3 
(1.1.24)
 R 

RR 
U1m0  1  1 U 2 m0   R1  R2  1 2  I 2 m0 .
R3 
 R3 

13
Таким образом, уравнения четырехполюсника:
1
U1m 0  1 U 2 m 0  8 I 2 m 0 ,
4
1
1
I1m 0  U 2 m 0  1 I 2 m 0 .
12
3
В полученных уравнениях токи и напряжения являются амплитудными
значениями соответствующих синусоид при t=0, т.е. при e-2·0=1.
Сравнивая уравнения четырехполюсников для рассмотренных четырех
случаев, можно сказать, что они отличаются только содержанием входящих в
уравнения токов и напряжений. Коэффициенты А, В, С, D для всех случаев
одинаковы, что является прямым следствием их независимости от типа
воздействия.
Аналогичный вывод можно сделать и относительно других форм записи
уравнений четырехполюсника.
1.2. Символическая форма уравнений четырехполюсников
Записать
уравнение
четырехполюсника
непосредственно
для
синусоидального тока по методике, рассмотренной в предыдущем параграфе
не представляется возможным. Поэтому для анализа цепей синусоидального
тока уравнение четырехполюсника записывают в символической форме.
Согласно символическому методу:
u~(t)= U m sin( t  )  Im[ U m~ e jt ].
(1.2.1)
В расчетах используется комплексная амплитуда U m  U m e j или комплекс
действующего
Z  R  j (L 
значения
U  Ue j
и
комплексное
сопротивление
1
).
C
Уравнения четырехполюсников в символической форме формально
можно записать как уравнения для резистивных четырехполюсников, заменяя
Rk на Zk, а токи и напряжения – на комплексы действующих значений токов и
напряжений. Например, уравнения в А-форме будут иметь вид:
14
U 1  AU 2  BI2 ,
(1.2.2)
I1  CU 2  DI2 .
(1.2.3)
Коэффициенты (параметры) четырехполюсника могут быть определены
различными способами, в частности, по известным токам и напряжениям в
режимах холостого хода и короткого замыкания на основании следующих
формул:
 U
A  A11   1

U2
 I
 U 

Ñ  A 21   1
 , B  A12   1 
,


U2
 I2 0
 I 2 U 2 0

 I 
 , D  A 22   1 
,

 I2 0
 I 2 U 2 0
(1.2.4)
 I 
 I 
 I 
 I 
Y 11   1 
Y 22   2 
Y 21   2 
Y 12   1 
;
,




 U1 U 2  0
 U 2 U 1  0
 U1 U 2  0
 U 2 U 1  0
(1.2.5)
 U 
 U 
 U 
 U 
Z 11   1 
Z 22   2 
Z 12   1  ,
Z 21   2 




 I 2  I1  0
 I1  I2  0
 I1  I2 0
 I 2  I1 0
(1.2.6)
 U 
 U 
 I 
 I 
H 11   1 
H 12   1  , H 21   2 
H 22   2 
,
,
,




 I1 U 2 0
 I1 U 2 0
 U 2  I1 0
 U 2  I1 0
(1.2.7)
 I 
 I 
 U 
F11   1  , F12   1 
F21   2  ,
,



 U 1  I2 0
 U 1  I2 0
 I 2 U1 0
При
известной
схеме
 U 
F22   2 

 I 2 U1 0
внутреннего
.
соединения
(1.2.8)
четырехполюсника
коэффициенты уравнений могут быть определены аналитически. Например,
для схемы рис. 1.2.1 коэффициент C определяется отношением I1 к U 2 при
 I 
I1 =0: C   1  .
 U 2  I 0

2
I1
U1
Zb
I2=0
Za
Zc
Рис. 1.2.1. Электрическая схема четырехполюсника
в режиме холостого хода.
Непосредственно из схемы рис. 1.2.1:
I1 
U1
;
Z a (Z b  Z c )
Za  Zb  Zc
U 2 
U 1
Zc ;
Zb  Zc
15
U2
 I1 
U ( Z  Z b  Z c )( Z b  Z c ) Z a  Z b  Z c
 
 1 a

.

Z a ( Z b  Z c )U 1 Z c
Za Zc
 U 2  I 2 0
Если конкретная схема и параметры ветвей четырехполюсника
неизвестны, его коэффициенты могут быть определены из опыта холостого
хода и короткого замыкания при питании и измерениях со стороны входа и со
стороны выхода. Для определения А-параметров следует воспользоваться
формулами:
A
Z 1
,
Z 2   Z 2
B  A  Z 2 ,
C
A
,
Z 1
D
B
,
Z 1
где Z 1 , Z 1 – комплексы сопротивлений холостого хода и короткого
замыкания при питании схемы со стороны входных зажимов (m, n),
Z 2  , Z 2 – комплексы сопротивлений холостого хода и короткого
замыкания при питании схемы со стороны выходных зажимов (p, q).
Комплексные сопротивления при коротком замыкании и холостом ходе
связаны между собой отношением:
Z 1 Z 2 
.

Z 1 Z 2
Вследствие этого (а также вследствие того, что коэффициенты
четырехполюсника связаны между собой функциональной связью) для
определения A, B, C, D можно провести не четыре, а три опыта. При этом
коэффициент А следует определить по формуле:
A
Z 1  Z 1
.
Z 2  Z 1  Z 1 
Остальные коэффициенты вычисляются по приведенным выше
формулам.
Как уже указывалось, направления токов и напряжений на входе и на
выходе четырехполюсника могли быть выбраны не только так, как на
рис.1.1.1.
Тогда уравнения четырехполюсника будут иметь несколько иной вид.
Далее все соотношения будут относиться к направлениям, указанным на
рис.1.1.1.
Между коэффициентами четырехполюсника,
представленного
различными формами записи уравнений, существует функциональная связь.
16
Например, Y-параметры могут быть выражены через А-параметры,
А-параметры через Z-параметры и т. п. (см. табл. 1.2.1).
Таблица 1.2.1. Связь между коэффициентами
различных систем уравнений четырехполюсника
A
H
Z 11
Y
1
  22  

 B 22 ;
Z 21
Y 21
H 22 G11
Z
B
C
Z 21

1
H
G
 11   12   B12 ;
Y 21 H 21
G11
Y
1
H
G

  22  21   B 21;
Z 21
Y 21
H 21 G11
D
G
Z 22 Y 11
1



 B11.
Z 21 Y 21 H 21 G11
Z 11 
H
A Y 22
1
B



  22 ;
C
Y
H 22 G 21
B 21
Z 12 
Z 21 
1
Y
H
G
1
  12  12   22 
;
C
Y
H 22
G 21 B 21
1
Y
H
G
1
  21   21  11  
;
C
Y
H 22 G 21
B 21
Z 22  
Y 11 
G
D Y 11
1
B



 11 .
C
Y
H 22
G 21 B 21
G
D Z 22
1
B



  11 ;
B
Z
H 11
G12
B12
Y 12  
1
Z
H
G
1
  12   12  22 
;
B
Z
H 11 G12 B12
Y 21 
1
Z
H
G
1
  21  21   11  
;
B
Z
H 11
G
B12
Y 22 
H
A Z 11
1
B



 22 .
B
Z
H 11 G12 B12
17
Пример 1.2.1. Определить Z -параметры трансформатора (рис. 1.2.2)
как четырехполюсника. Проверить соотношение Z 12   Z 21 .
I1
I2
М
*
Дано: R1 , X 1 , R2 , X 2 , M .
*
Х1
Х2
R2
U 1
U 2
R1
R2
Рис. 1.2.2. Эквивалентная схема замещения трансформатора.
Решение
Для определения Z-параметров составим уравнения по второму закону
Кирхгофа для левого и правого контуров в соответствии с обозначенными на
чертеже
направлениями
обходов.
Предварительно
обозначим:
Z 1  R1  jX1, Z 2  R2  jX 2 , Z  j    M  jX  .
Для левого и правого контуров
 I1 Z 1  I2 jX   U 1 ,



 I 2 Z 2  I 1 jX   U 2 .
соответственно: 
Сравним с уравнениями четырехполюсника в Z-форме:
U 1  Z 11I1  Z 12 I2 ,

U 2  Z 21I1  Z 22 I2 .
Откуда: Z 11  Z 1, Z 12   jX  , Z 21  jX  , Z 22  Z 2 .
Условие Z 12  Z 21 выполняется.
Пример 1.2.2. У несимметричного четырехполюсника со стороны
первичных зажимов были измерены напряжения, токи, мощности и определен
характер угла  в режимах холостого хода и короткого замыкания вторичных
зажимов. Аналогичные измерения были выполнены со стороны вторичных
зажимов при коротком замыкании первичных. Измерения дали следующие
результаты:
18
U1  20 В,
I1  2 2  2,42 А,
P1  40 Вт,
  0.
U1  20 В,
I1  2  1,41 А,
P1  20 Вт,
  0.
I 2  3 2  4,23 А,
U 2   30 В,
P2  90 Вт,
  0.
Определить А-параметры четырехполюсника.
Решение
Используя данные измерений, определим комплексные сопротивления
Z 1 , Z 1 , Z 2 .
Модуль сопротивления Z
U 1
20
равен: Z 1K   
 5 2 Ом.
I
2 2
1
1
Аргумент сопротивления  определим из формулы P  U  I  cos ,
P1
40
1
2


;
откуда: cos     
2
U I
20  2 2
2
1
1
  45.
1
1
Таким образом:
Z 1  5 2  e  j 45  5 2 cos 45  j sin 45  5  j 5 Ом.
Аналогично определяем Z 1 :
Z 1 
U 1 20
P1
20
1
2



;

 10 2 Ом; cos  1 
U 1  I1 20  2
2
I1
2
2
Откуда
  45;
1
Z 1  10 2  e j 45  10 2 cos 45  j sin 45  10  j10 Ом.
По результатам последнего опыта определяем Z 2 :
Z 2 
U 2
30
1

 10
 5 2 Ом;
I 2 3 2
2
cos 2 
P2
90
1
2



;
U 2  I 2 30  3 2
2
2
 2  45;
Z 2   5 2  e j 45  5 2 cos 45  j sin 45  5  j5 Ом.
По
найденным значениям комплексных сопротивлений
А-параметры четырехполюсника:
A
Z 1  Z 1 
10 2  e  j 45  5 2  e  j 45


Z 2  Z 1  Z 1 
5 2  e j 45 10  j10  5  j 5
10 2  e  j135
10 2  e  j135


 2  e  j 90  2  e  j 45  1  j;
 j 45
5  j5
5 2 e
19
определим
B  A  Z 2   2  e  j 45  5 2  e j 45  10 Ом; C 
D
A
1 j

 0,1 См;
Z 1 10  j10
B
10
21  j 


 1 j .
Z 1 5  j5 1  j 1  j 
Пример 1.2.3. Определить входные сопротивления четырёхполюсника,
рассмотренного в примере 1.2.1, и его зависимость от сопротивления нагрузки,
если последнее имеет чисто активный характер и изменяется от нуля (режим
короткого замыкания) до бесконечности (режим холостого хода).
Решение
Входное сопротивление можно определить как отношение комплексов
напряжения и тока на входе четырёхполюсника:
Z вх 
U 1 AU 2  BI2 AI2 Z н  BI2 AZ н  B
.



I1 CU 2  DI2 CI2 Z н  DI2 CZ н  D
Подставляя числовые данные, получим:
Z вх 
1  j Z н  10  1  j Rн  10  10  Rн 
0.1Z н  1  j
0.1Rн  1  j
jRн
.
1  0,1Rн  j
При Rн  0 , входное сопротивление будет равно: Z вх 
10
 5  j5 , при
1 j
10
Rн 1  j


 10  j10 Ом.
1 j
0
,
1
0,1 
Rн
1 j 
Rн   , входное сопротивление будет равно: Z вх
1.3. Уравнения четырёхполюсников в обобщенной форме
В некоторых случаях уравнения четырехполюсника удобно записать в
обобщённой форме, используя преобразование входного воздействия в
функцию f (s ) , где s – комплексная частота s    j . Если воспользоваться
функцией:
u (t )  U m et sin( t  ) ,
(1.3.1)
то из выражения (1.3.1) можно вывести четыре типа воздействия, как частные
случаи (постоянное напряжение, экспоненциальное, синусоидальное и
синусоидальное с изменяющейся по экспоненте амплитудой). При этом, по
аналогии с символическим методом, можно ввести преобразование:
20
u (t ) ≓ U m ( s )  U m e st ,
(1.3.2)
где U (s ) – преобразованное в функцию от s напряжение u (t ) , U m  U m e j –
комплексная амплитуда.
Между u (t ) и U (s ) можно записать следующее соотношение






u (t )  U met sin( t   )  Im U me st  Im U me  j t  U met Im e t  j 
 ImU met 

(1.3.3)

1  t  j
e
 e  t  j .
2
*
1

То есть u (t )  Im  U m e st  U m e s t  ,
*
2 
(1.3.4)

*
где U  U m e  j – сопряженный комплекс напряжения;
*
S    j – сопряженная комплексная частота.
Напряжение u(t ) можно определить как:


u (t )  Im U m e j  e   j t  Im etU m cos  t   j sin   t   U m et sin   t  .
При
использовании
преобразования
(1.3.2)
вводят
(1.3.5)
понятия
обобщённого сопротивления k-й ветви Z k (s) :
Z k ( s )  Rk  sLk 
1
.
sC k
(1.3.6)
Таким образом, имея (1.3.2) и (1.3.6), уравнение четырёхполюсника
можно записать для обобщённого экспоненциального воздействия (1.3.1) и для
получаемых из него частных случаев. Например, уравнения в А-форме для
обобщённого воздействия:
U 1 ( s )  AU 2 ( s )  BI 2 ( s )

.
I 1 ( s )  CU 2 ( s )  DI 2 ( s ) 
(1.3.7)
В уравнения (1.3.7) индекс m при токах и напряжениях опущен с целью
удобства записи. Необходимо отметить, что обобщенные токи и напряжения в
уравнениях (1.3.7) содержат общий множитель e st , на который можно
сократить левые и правые части уравнений. В результате получим:
U10  AU 20  BI20 ,
I  CU  DI .
10
20
20
21
(1.3.8)
В формулах (1.3.8) токи напряжения представляют собой обобщенные
комплексные амплитуды, соответствующие значениям I(s) и U(s) при t=0.
Из
(1.3.7)
можно
получить
частный
случай
уравнения
четырёхполюсника для постоянного напряжения, если принять s  0 .
Тогда U   U ( s ) s 0 , z (s)  R. Причём надо отметить, что в исходной
схеме индуктивность закорачивается, а ёмкость разрывается.
Для
экспоненциального
zk ( )  R  Lk 
1
.
Ck
Для
напряжения
s  ,
синусоидального
U ~  U ( s ) 0  U ( j )  U , Z k  Rk  jLk 
U Э  U ( s) s   U ( ) ,
напряжения
  0,
1
.
jCk
Для обобщенного воздействия типа (1.3.1) сопротивление определяется
формулой (1.3.6), а общий вид преобразования – функцией (1.3.2).
Пример 1.3.1. Проведём анализ уравнений четырёхполюсника для
схемы рис.1.3.1 при действии на входе цепи напряжений разного типа, на
основании преобразования (1.3.2). При этом дано: R=3 Ом, Rн=2 Ом, L=1 Гн,
C=0,01 Ф, σ=±2 с-1, Um=10 В, ω=20 с-1, ψ=30°.
Рис. 1.3.1. Электрическая схема четырёхполюсника с нагрузкой.
Решение
Уравнения четырехполюсника в А-форме были записаны ранее (в системе
1.3.7).
22
Коэффициенты А(s), В(s), С(s), D(s), определим, например, по законам
Кирхгофа:
I1 ( s)  I 2 ( s)  I 3 ( s) 
 Z ( s) 
1
U 2 ( s)  1  2  I 2 ( s)
Z 3 ( s)
 Z 3 ( s) 
(1.3.9)
U1 ( s)  I1 ( s) Z1 ( s)  I 2 ( s) Z 2 ( s)  U 2 ( s) 
 Z ( s) 

Z ( s) Z 2 ( s) 
 I 2 ( s).
 1  1 U 2 ( s)   Z1 ( s)  Z 2 ( s)  1
Z 3 ( s) 
 Z 3 ( s) 

(1.3.10)
Сопоставляя (1.3.9) и (1.3.10) с системой (1.3.7), получим:
A( s)  1 
Z1 ( s )
, (1.3.11);
Z 3 ( s)
1
, (1.3.13);
Z 3 ( s)
C ( s) 
B ( s )  Z1 ( s )  Z 2 ( s ) 
D( s)  1 
Z1 ( s ) Z 2 ( s )
,
Z 3 ( s)
Z 2 (s)
.
Z 3 (s)
(1.3.12)
(1.3.14)
Найдем связь между коэффициентами четырехполюсника в обобщенной
форме:
A( s )  D( s )  B( s )  C ( s ) 

Z ( s)   Z ( s)  
Z ( s) Z 2 ( s)  1

 1  1   1  2    Z1 ( s )  Z 2 ( s )  1

Z3 (s)  
Z 3 ( s )  Z 3 ( s )
 Z3 ( s)  
Z ( s ) Z 2 ( s ) Z1 ( s ) Z 2 ( s ) Z1 ( s ) Z 2 ( s ) Z1 ( s ) Z 2 ( s )
 1 1





1
Z3 (s) Z3 (s)
Z3 ( s) 2 Z3 ( s) Z3 ( s) Z3 ( s) 2
Для найденных коэффициентов выполняется уравнение связи между
коэффициентами четырехполюсника:
A( s)  D( s)  B( s)  C ( s)  1 .
Далее проанализируем работу четырехполюсника при следующих типах
воздействий:
постоянная
ЭДС,
синусоидальная,
экспоненциальная
и
синусоидальная с изменяющейся по экспоненте амплитудой; параметры
элементов: R=3 Ом, Rн=2 Ом, L=1 Гн, Ck=0,01 Ф, σ=±2 с-1, U1m=10 В, ω=20 с-1,
 =30°.
1. Постоянный ток. В этом случае параметры обобщенного воздействия:
s=0, ω0, α=0, σ=0, t=0. Примем Um=U=10 B. Найдем U(s).
U ( s)  U m e (  j )t  U m  U  10 , т. е. U(s)=10 В.
23
Определим коэффициенты четырехполюсника, используя выражения
(1.3.11) – (1.3.14):
Имея в виду, что Z1 (s)  R  3 , Z 2 ( s)  s  L  0 1  0 , получим:
Z 3 ( s )  ( sC ) 1   .
Получим:
 Z ( s) 
3
A( s)  1  1   1   1,

 Z 3 ( s) 
B ( s )  Z1 ( s )  Z 2 ( s ) 
C (s) 
Z1 ( s ) Z 2 ( s )
3 0
 3 0
 3 Ом,
Z 3 (s)

1
1
  0 См,
Z 3 (s) 
D( s )  1 
Z 2 (s)
0
 1  1.
Z 3 (s)

Условие A(s)  D(s)  B(s)  C (s)  1  1  3  0  1 выполняется.
Уравнения четырехполюсника в А-форме:
U1  1  U 2  3  I 2 ,
I1  0  U 2  1  I 2 .
2.1. Экспоненциальное воздействие (  0 ).
σ=2, ω=0, s=σ+jω, s=2, t=0, ψ=0, U=U1=10B.
U ( s)  U m e (  j )t  U 0 e t  10e 2t .
Определим коэффициенты четырехполюсника, используя выражения
(1.3.11) – (1.3.14) и полное сопротивление экспоненциальному воздействию
Z ( )  R  L 
1
.
C
Имея в виду, что Z1 ( )  R  3 Ом, Z 2 ( )    L  2  1  2 Ом,
Z 3 ( )  (  C ) 1  (2  0,01) 1  50 Ом, определим коэффициенты:
 Z ( ) 
3
  1 
A( )  1  1
 1,06 ,
Z
(

)
50
3


B( )  Z1 ( )  Z 2 ( ) 
Z1 ( ) Z 2 ( )
3 2
 3 2
 5,12 Ом,
Z 3 ( )
50
24
D( )  1 
C ( ) 
Z 2 ( )
2
 1
 1,04 ,
Z 3 ( )
50
1
1

 0,02 См.
Z 3 ( ) 50
Проверка A( )  D( )  B( )  C ( )  1,06  1,04  5,12  0,02  1, верно.
Уравнения четырехполюсников в А-форме для начальных значений токов
и напряжений:
U 01  1,06U 02  5,12 I 02 ,
(1.3.16)
I 01  0,02U 02  1,04 I 02 .
В системе (1.3.16) токи и напряжения представляют собой начальные
значения соответствующих экспонент. Вычисленные обычным способом (для
проверки уравнений (1.3.16)), токи и напряжения оказались равными:
I1(σ)=1,492e2t A, I2(σ)=1,381e2t A, I3(σ)=0,11e2t A, U2(σ)=2,762e2t B.
Подстановка полученных начальных значений токов и напряжений в
систему (1.3.16) дает тождества.
2.2. Экспоненциальное воздействие (  0 ).
σ= – 2, ω=0, s=σ+jω, s= – 2, t=0, ψ=0.
U ( s )  U m e (  j )t  U 0 e t  10e 2t .
Определим
коэффициенты
четырехполюсника,
имея
Z1 ( )  R  3 , Z 2 ( )  s  L  2  1  2 ,
Z 3 ( )  (C ) 1  (2  0,01) 1  50 .
 Z ( ) 
3
  1 
A( )  1  1
 0,94 ,
 50
 Z3 ( ) 
B( )  Z1 ( )  Z 2 ( ) 
C ( ) 
Z1 ( ) Z 2 ( )
3  (2)
 3  (2) 
 1,12 Ом,
Z 3 ( )
 50
1
1

 0,02 См,
Z 3 ( )  200
D( )  1 
Z 2 ( )
2
 1
 1,04 .
Z 3 ( )
 50
Проверка A( )  D( )  B( )  C ( )  0,94  1,04  1,12  (0,02)  1 .
25
в
виду,
что
Уравнения четырехполюсников в А-форме:
U 01  0,94U 02  1,12 I 02 ,
I 01  0,02U 02  1,04 I 02 .
(1.3.17)
В системе (1.3.17) токи и напряжения представляют собой начальные
значения соответствующих экспонент. Токи и напряжения при   2
вычислены обычным способом (для проверки (1.3.17)) равны:
I1(σ) =3,333e-2t A, I2(σ)=3,333e-2t A, I3(σ)=0 A, U2(σ)=6,667e-2t B,
Подстановка начальных значений токов и напряжений в (1.3.17) даёт
тождество.
3. Гармоническое воздействие (синусоидальная форма):
σ=0, ω=20 c-1, s=σ+jω, s=j20,  =30o, U1m=10 В
U (s)  U me(  j )t

 0
 U m e jt  U me j e jt  10e j 30 e j 20t .
0
Определим коэффициенты четырехполюсника, используя выражения
(1.3.11) – (1.3.14):
Имея в виду, что:
Z1 ( j)  Z 1  R  3 , Z 2 ( j)  Z 2  j  L  j 20 1  j 20 ,

Z 3 ( j)  Z 3  ( jC)1  ( j 20  0,01)1   j5  5  e j 90 .

 Z 
3
A  1  1   1 
 1  j 0,6  1,166e j 31,0 ,
 j5
 Z3 
B  Z1  Z 2 
C
Z1Z 2
3  j 20
 3  j 20 
 9  j 20  21,932e114, 2 Ом,
Z3
 j5
1
1

 j 0,2  0,2e j 90 См,
Z 3  j5
D  1
Z2
j 20
1
 3  3e j180 .
Z3
 j5

Проверка A  D  B  C  1,166e j 31,0  3e j180  21,932e114,2  0,2e j 90  1.
Выполним проверку полученных результатов, для чего
вычислим
обычным способом токи и напряжения. В результате вычислений получим:
26

I1m  0,098  j1,352  1,356e94,133 A,
.
I 2 m  0,091  j 0,439  0,448e 78, 273 A,
.
U 2 m  0,182  j 0,877  0,896e 78, 273 B.
Сравним найденные значения с уравнениями четырёхполюсника в
А-форме: 0,2e j 90  0,896e 78, 273  3e j180  0,448e 78, 273  1,356e94,133  I1m А, т. е. совпадает
.
со значением входного тока I 1m = 1,356e94,133 А, вычисленным обычным
способом.

j 30
, что совпадает с
U1m  1,166e j 31,0  0,896e 78, 273  21,932e114, 2  0,448e 78, 273 =10e
заданным значением входного напряжения.
4.1 Обобщенное экспоненциальное воздействие,   0 .
Уравнения
четырехполюсника
в
случае
обобщенного
экспоненциального воздействия записывается как система (1.3.7) и (1.3.8).
Рассмотрим
конкретный
случай
Т-образного
четырехполюсника
изображенного на рис. 1.3.1, на входе которого действует напряжение:
u1 (t )  U 1 m e sin( t  ) . Это напряжение в обобщенной форме:
t

U 1(s)  U1 m e st ,
где s    j .
Примем: s=   j  2  j 20 , U1m  10 ,  =30o.
U1 ( s)  U1me st  U1met  e jt .
U 1m  U 1m e j . При t=0, U 1 ( s)  U 1m 0 .
Для заданной схемы коэффициенты определяются формулами (1.3.111.3.14).
Используя формулу (1.3.6) запишем конкретные значения обобщенных
сопротивлений для заданной схемы:
Z1 ( s )  R  3 ,
Z 3 (s) 
Z 2 (s)  s  L  (2  j 20)  1  2  j 20  20,1e j 84,3 ,
0
0
1
1

 0,495  j 4,95  4,975e  j 84,3
sC (2  j 20)  0,01
27
Определим коэффициенты четырехполюсника:
A( s)  1 
0
3
 1,218  e j 29,5
0.495  j 4.95
B( s)  3  (2  j 20) 
D( s )  1 
0
1
0
3  (2  j 20)
 23,433e j107,1 C ( s ) 
 0,201e j 84,3
0,495  j 4,95
0,495  j 4,95
0
2  j 20
 3,066e j164,9
0,495  j 4,95
Проверим соотношение: A( s)  D( s)  B( s)  C ( s)  1
0
1,218e j 29,5  3,066e j164,9  23,433e j107,1  0,201e j 29,5  1 , выполняется.
0
0
0
Окончательно, уравнения четырёхполюсника в обобщенной форме
будут иметь вид:
U1 (s)  1,218e j 29,5  U 2 (s)  23,4  e j107,1 I 2 (s) ,
0
0
0
0
I 1 ( s)  0,201e j 84,3  U 2 ( s)  3,06e j164,9  I 2 ( s) .
(1.3.18)
или:
0
U 10  1,212e j 29,5U 20  23.4e j107.1 U 20 ,
I10  0,201e j 84U 20  3.06e j164.9 I20 .
0
(1.3.19)
Заметим, что для принятых обозначений напряжений:
U 2 ( s)  U 2 m 0 e st
при t  0 , U 2 m 0  U 20 , что отличается от U 2 m при
гармоничном воздействии. Для проверки полученных уравнений запишем для
рассмотренной схемы (рис. 1.3.1) при конкретном воздействии U1m=10 В,
  30 0 ,
RH=2
.
Ом
входное
воздействие
в
обобщенном
виде:
U 1 ( s )  U 1m e st  10e j 30 e ( 2 j 20)t .
0
Определим далее токи и напряжения в схеме, используя метод
обобщенных экспонент.
.
I 1(s)  U 1(s)  YBX (s)  U 1m e 
 10e j 30 e ( 2  j 20 )t 
st
1  Rн  sC  Ls 2 C
R  Rн  sL  R  Rн sC  RLCs 2

1  2  ( 2  j 20 )  0 ,01  1( 2  j 20 ) 2  0.01

3  2  ( 2  j 20 )  1  3  2( 2  j 20 )  0 ,01  3  1  0 ,01( 2  j 20 ) 2
.
0
 ( 0 ,086  j1,308 )e ( 2  j 20 )t  1,311e j 86,3 e ( 2  j 20 )t  I1m  e ( 2  j 20 )t
28
.


0
I 3 ( s)  U 1 ( s)  I 1 ( s)  R   sC  10e j 30 e ( 2 j 20)t  1.311e j 86.3  e ( 2 j 20)t  2 (2  j 20)  0,01 


.
0
  0.047  j1.702e 2 j 20t  1,703e j 91,6  e ( 2 j 20)t  I 3m e ( 2 j 20)t
.
.
I 2 ( s )  I 1 ( s )  I 3 ( s )  I1m e ( 2 j 20)t  I 3m 0 e ( 2 j 20)t 
 (0,086  j1,308)e ( 2  j 20)t  (0,047   j1,702)e ( 2 j 20)t  0.132  j 0.394e 2  j 20t 
 0.415e  j 71.4 e 2  j 20t .
0
Напряжение нагрузки:
0
U 2 ( s )  I 2 ( s )  RН  I2 m e ( 2 j 20)t  RН  0,415e  j 71, 4 e ( 2 j 20) t  2 
 0,83e
 j 71, 40 ( 2 j 20) t
e
.
 U 2 m 0 e ( 2 j 20) t .
;
Подставим найденные значения в уравнения четырехполюсника (1.3.18)
e ( 2 j 20)t (или сразу подставим комплексные
и сократим на общий множитель
амплитуды в (1.3.19). Для напряжения U 10 :
10e j 30  1,218e j 29,5  0,83e  j 71, 4  23,433e j107,1  0,415e j 71, 4  10e j 30
0
0
0
0
0
т. е. левая часть равна правой. Для тока I10 :
1,311e j 86,3  0,201e j 84,3  0,83e  j 71, 4  3,066e j164,9  0,415e  j 71, 4  1,311e j 86,3 т. е. левая
0
0
0
0
0
0
часть равна правой части.
Полученные
вычислений
и
равенства
методики
подтверждают
применения
правильность
обобщенных
проделанных
экспоненциальных
воздействий.
4.2 Обобщенное экспоненциальное воздействие,   0 .
Рассмотрим случай, когда   2 , т. е. s  2  j 20 .
Запишем конкретные значения сопротивлений для заданной схемы:
Z1 ( s )  R  3 ,
0
Z 2 ( s)  s  L  (2  j 20)  1  2  j 20  20,1e j 95,7 ,
Z 3 ( s) 
0
1
1

 0,495  j 4,95  4,975e  j 95, 7
sC (2  j 20)  0,01
29
Определим коэффициенты четырехполюсника:
A( s)  (1 
2
 0,94  j 0,6  1,115  e j 32, 6 .
 0.495  j 4.95
0
B( s)  3  (2  j 20) 
C ( s) 
0
3  (2  j 20)
 10,88  j17,6  20,691e j121, 7
 0,495  j 4,95
0
1
 0,02  j 2  0,201e j 95,7
 0,495  j 4,95
D( s )  1 
0
 2  j 20
 2,96  j 0,8  3,066e  j164,9
 0,495  j 4,95
Проверим соотношение: A(s)  D(s)  B(s)  C (s)  1 :
0
1,115e j 32,6  3,066e  j164,9  20,691e j121,7  0,201e j 95,7  1 , выполняется.
0
0
0
Окончательно, уравнения четырёхполюсника в обобщенной форме для
данной схемы рис.1.3.1. будут иметь вид:
0
0
U 1 ( s)  1,115e j 32,6  U 2 ( s)  20,691  e j121,7 I 2 ( s)
I1 (s)  0,201e j 95,7  U 2 (s)  3,06e  j164,9  I 2 (s)
(1.3.20)
U 10  A(s)U 20  B(s) I20 , I10  C (s)U 20  D(s) I20 .
(1.3.21)
0
0
Или:
Запишем уравнения (1.3.20) для конкретного воздействия и конкретных
токов и напряжений четырёхполюсника, для чего примем U1=10 В,   30 0 ,
Rн=2 Ом, z (s)  2  j 20 Ом, Z1 ( s)  R  3 Ом, т. е. в обобщенном виде:
.
U 1 ( s )  U 1m e st  10e j 30 e ( 2 j 20)t и определим токи и напряжения обычным
0
способом.
.
I 1(s)  U 1(s)  Y(s)  U 1m e st 
1  Rн  sC  Ls 2 C

R  Rн  sL  R  Rн sC  RLCs 2
1  2  (  2  j 20 )  0 ,01  1(  2  j 20 ) 2  0.01

3  2  (  2  j 20 )  1  3  2(  2  j 20 )  0 ,01  3  1  0 ,01(  2  j 20 ) 2
0
 (  0 ,302  j1,42 )e (  2 j 20 )t  1,452e j102,0 e (  2 j 20 )t  I1m 0  e (  2 j 20 )t .
 10e j 30 e ( 2 j 20 )t 
30
I 3 ( s )  U 1 ( s )  I 1 ( s )  R   sC 
.


 10e j 30 e ( 2  j 20)t  1,452  e j102, 0  e ( 2  j 20) t  2 (2  j 20)  0,01 


.
0
  0.339  j1.899 e  2  j 20t  1,929e j100,1  e ( 2  j 20)t  I 3m 0 e ( 2  j 20) t .
.
.
I 2 ( s )  I 1 ( s )  I 3 ( s )  I 1m 0 e ( 2 j 20)t  I 3m 0 e ( 2 j 20)t 
 (0,302  j1,42)e ( 2 j 20)t  (0,339  j1,899)e ( 2 j 20) t  0.037  j 0.478e ( 2 j 20) t 
 0,48e 85, 6  e ( 2 j 20)t  I2 m 0 e ( 2 j 20) t .
Напряжение на нагрузке:
.
0
U 2 ( s)  I 2 ( s )  Rн  I 2 m 0 e( 2  j 20)t  Rн  0,48e  j 85, 6 e( 2  j 20) t  2 
.
0
 (0,074  j 0,957)e( 2  j 20) t  0,96e  j 85, 4 e( 2  j 20) t  U 2 m 0 e( 2  j 20)t
Подставим найденные значения в уравнения четырёхполюсника (1.3.21).
Напряжение U 10 :
10e j 30  1,115e j 32,6  0,96e  j 85, 4  20,691e j121,7  0,48e  j 85,6  10e j 30 ,
0
0
0
0
0
т. е. левая часть равна правой части. Ток I10 .
1,452e j102,0  0,201e j 95,7  0,96e  j 85, 4  3,066e j164,9  0,48e  j 85,6  1,452e j102,0 т.е левая
0
0
0
0
0
0
часть равно правой части.
Полученные
проделанных
равенства
вычислений
еще
и
раз
методики
экспоненциальных воздействий.
31
подтверждают
правильность
применения
обобщенных
Глава 2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ
2.1. Т-образная схема замещения четырёхполюсника
Четырехполюсник может быть представлен различными схемами
замещения: Т-образной, П-образной, Г-образной и другими. Рассмотрим
Т-образную схему замещения (рис. 2.1.1):
I2
I1
m
p
Z2
Z1
U 1
I3
U 2
Z3
n
q
Рис. 2.1.1. Т-образная схема замещения четырёхполюсника.
Уравнения четырехполюсника в А-форме:
U1  AU 2  BI2

 I1  CU 2  DI2
 U 
U
Коэффициент А будет равен: A    1    1 
 U 2  I  0 U1  Z 3
2
Z3
Z1  Z 3
.
 1
Z1
Z1
Z1  Z 3
U 
Для вычисления коэффициента B    1 
сначала определим ток I2
I

 2 U 0

2
при коротком замыкании зажимов pq:
I2  I1
U1
Z3
U1  Z 3
Z3
U1


.
; I1 
; I2 
Z 2  Z 3 Z 2  Z 3 Z 1 (Z 2  Z 3 )  Z 2  Z 3
Z2 Z3
Z2  Z3
Z1 
Z1 
Z2  Z3
Z2  Z3
Теперь коэффициент B: B 
Z 1 (Z 2  Z 3 )  Z 2  Z 3
Z Z
 Z1  Z 2  1 2 .
Z3
Z3
32
Коэффициенты C и D соответственно определяются по формулам:
 I 
I1
1
С   1 


,


 U 2  I 0 I1  Z 3 Z 3
2
 I 
D   1 


 I 2 U 2 0 I1
I1
Z  Z3
Z
 2
 1 2 .
Z3
Z3
Z3
Z2  Z3
Подстановка найденных коэффициентов в уравнение AD  BC  1 даёт
тождество.
Пример
2.1.1.
четырехполюсника
На
рисунке
(Т-образная
2.1.2.
схема).
дана
электрическая
Записать
уравнения
схема
четырех-
полюсника в А-форме, если R=10 Ом, XL=10 Ом, XC=20 Ом.
Коэффициенты четырехполюсника определить двумя способами: по
формулам (1.6) и используя уравнения, составленные по законам Кирхгофа.
Проверить свои вычисления по соотношению AD  BC  1.
I1
R=10
a
I2
XL=10
m
p
U 1
Z1
I3
U 2
Z2
XC=20
Z3
n
b
q
Рис. 2.1.2. Эквивалентная схема замещения Т-образного четырёхполюсника.
Решение
Найдем
коэффициенты
четырехполюсника,
воспользовавшись
полученными ранее в примере 1.1.1 уравнениями:
 U 
Коэффициент А: A    1  
 U 2  I  0
2
B  Z1  Z2 
Z 1  Z 3 10  j 20

 1  j 0.5 , коэффициент B:
Z3
 j 20
Z1Z 2
10   j10 
 10  j10 
 5  j10 ,
Z3
 j 20
соответственно
определяются
коэффициенты
по
C
и
формулам:
 I 
1
1
 I 
Z
j10
С   1 


 j 0.05 , D   1 
 1 2  1
 1  0,5  0,5 .


Z3
 j 20
 U 2  I2 0 Z 3  j 20
 I 2 U 2 0
33
D
Проверка: AD  BC  (1  j 0,5)  0,5  (5  j10)  j 0,05  0,5  j 0,25  j 0,25  0,5  1 .
Примёр решён верно.
Далее определим коэффициенты Т-образного четырёхполюсника для
уравнений в Y и Z-форме.
Y-форма
Z-форма
I1  Y 11U 1  Y 12U 2 , I2  Y 21U 1  Y 22U 2 ,
U1  Z 11I1  Z 12 I2 , U 2  Z 21I1  Z 22 I2 .
По первому закону Кирхгофа для искомой схемы:
I1  I2  I3
(2.1.1)
По второму закону Кирхгофа для внешнего контура получаем:
U 1  I1 Z 1  I2 Z 2  U 2
Для левого контура имеем:
I1 Z 1  I3 Z 3  U1
Выполним следующие преобразования:
1 
, I 2  I1  I3 , I2 Z 2  U 2  I3 Z 3 ,
I3  ( U 1  I1 Z 1 ) 
Z1
I1 Z 1  U 1  ( I1  I2 )Z 3 ,
1
,
I2  ( U 1  U 2  I1 Z 1 ) 
Z2

1
I1 Z 1  U 1   I1  ( U 1  U 2  I1 Z 1 )   Z 3 ,
Z2 

Z
Z
Z Z
I1 Z 1  U 1  I1 Z 3  U 1 3  U 2 3  I1 1 3 ,
Z2
Z2
Z2
I1 Z 1 Z 2  I1 Z 3 Z 2  I1 Z 1 Z 3  U 1 Z 2  U 1 Z 3  U 2 Z 3 .
Z Z
Z
Таким образом: I1  U1 2 3  U 2 3 , где Z   Z 1 Z 2  Z 2 Z 3  Z 1 Z 3 , а
Z
Y 11 
Z
Z3
Z2  Z3
, Y 12  
.
Z
Z
Подставим (2.1.2) в (2.1.1):
( Z  Z 3 )Z 1  Z 3 Z 1 
Z
Z  Z3
.
U 1  U 2  U 1 2
U2
 I 2 Z 2 , I2  U1 3  U 2 1
Z
Z
Z
Z
34
(2.1.2)
В соответствии с полученными уравнениями:
Y 12  Y 21  
Z3
Z Z
и Y 22   1 3 .
Z
Z
Для Z- формы Т-образного четырёхполюсника:
U 1  I1 Z 1  I3 Z 3  I1 Z 1  ( I1  I2 )Z 3 , т. е. U1  I1 ( Z 1  Z 3 )  I1 Z 3 .
Тогда Z 11  Z 1  Z 3 , а Z 12  Z 3 .
Из вышеприведённых вычислений:
U 2   I1 Z 1  I2 Z 2  U1  I1 (Z 1  Z 3 )  I2 Z 3  I1 Z 1  I2 Z 2 ,
U 2  I1 Z 3  I2 ( Z 2  Z3 ) , тогда Z 21  Z 3 , а Z 22  Z 2  Z 3  .
Рассчитаем четырехполюсник, представленный на рисунке 2.1.3 по
уравнениям в Z и Y-формах и по законам Кирхгофа с параметрами Z 1  2 Ом,
Z 2  j 2 Ом, Z 3   j 2 Ом.
I1
I2
Z1
U 1
I2  1
Z2
Z3
I3
R2
U 2  2
Рис. 2.1.3. Эквивалентная схема Т-образного четырёхполюсника с нагрузкой.
Рассмотрим Z-форму четырёхполюсника:
U1  Z 11I1  Z 12 I2 , Z11  Z1  Z3  2  j 2 , U 1  (2  j 2) I1  j 2 I2 ,
U 2  Z 21I1  Z 22 I2 , Z12  Z21  j 2 , Z22  (Z2  Z3 )  j 2  j 2  0 и U 2   j 2I1  0  I2 .
Зададимся: I2  1 А;
Z í  R  2 Ом, тогда U 2  1 2  2 В; U ab  I2 Z 2  U 2  j 2  2 .
U ab
I3 
 1  j ; I1  I2  I3   j , U1  U ab  I1 Z 1  j 2  2  j 2  2  j 4 В.
Z3
U1  I1 Z 1  U ab  2 j  2 j  2  2  j 4  U 1 . (Верно)
35
Проведём расчёт в Y-форме:
Z
Z Z
Y- форма: I1  Y 11 U 1  Y 12U 2 , Y 11  2 3 ; Y12  Y21  3 ; I 2  Y 21U 1  Y 22U 2 ,
Z
Z
Z   Z 1 Z 2  Z 2 Z 3  Z 1 Z 3  2  j 2  j 2( j 2)  2  ( j 2)  j 4  4  j 4  4 , Y 11  0 ;
1
1
1
1 I1  0  j  2  j
Y 12   j  Y 21 ; Y 22   j ,
,
2
2
2
2
1
1
1
I2   j (2  j 4)    j   2   j  2  1  j  1 .
2
2
2
Данный результат совпадает с заданным значением.
2.2. П-образная схема замещения четырёхполюсника
Как уже указывалось, четырехполюсник может быть представлен Т- и
П-образной схемами замещения. Рассмотрим П-образный четырёхполюсник,
изображённый на рисунке 2.2.1 и найдём его коэффициенты в различных
формах записи. В дальнейшем для удобства анализа будем пользоваться или
сопротивлениями ветвей Z 4 , Z 5 и Z 6 , или их проводимостями Y A , Y B и Y C ,
соответственно равными: Y A 
I1
а
1
1
1
,Y B 
и YC 
.
Z5
Z6
Z4
YC
Z4
I2
с
m
p
I4
U 1
Z5
YA
Z6
U 2
YB
I5
I6
n
q
а
b
Рис. 2.2.1. П-образная эквивалентная схема замещения четырёхполюсника.
36
Рассмотри А-форму и для П-образной схемы:
коэффициенты А и В
определим по формулам:
 U 
U 1
Z Z6
Z
A   1 

 4
 1 4 ,


Z6
Z6
 U 2  I2 0 U 1  Z 6
Z4 Z6
(2.2.1)
 U 
U
B   1 
 1  Z4.


 I 2 U 2 0 U 1
Z4
(2.2.2)
 I 
Для определения коэффициента C   1  выразим I1 и U1 через U 2 :
 U 2  I 0

2
Имеем I1  I5  I4 ,
U
U 1
I1  1 
;
Z5 Z4  Z6
U Z
U 2  1 6 ;
Z4  Z6
 1
1  Z4  Z6 Z4  Z6 1
Z  Z6  Z5
 



 4
.

Z5Z6
Z6
Z5Z6
 Z 5 Z 4  Z 6  U1  Z 6
Теперь C  U1
 I 
D   1 

 I 2 U 2 0
U 1 U 1

 1
1 
Z
Z5 Z4
  1  4 .

 Z 4 


U1
Z5
 Z5 Z4 
Z4
(2.2.3)
(2.2.4)
Если известны коэффициенты в уравнениях четырёхполюсника, то по
ним можно найти параметры эквивалентной схемы:
Z4  B,Z5 
B
B
, Z6 
.
D 1
A 1
Подстановка коэффициентов в общем виде в формулу AD  BC  1 дает
«1», что также подтверждает правильность полученных результатов:
2
2
 Z4   Z4 
 Z  Z6  Z4 
Z
Z
Z4
Z  Z5Z4  Z4Z6
1 
  1 
  Z 4   5
  1 , 1  4  4 
 4
 1,
Z6 Z5 Z5Z6
Z5Z6
 Z6   Z5 
 Z5  Z6

1
Z4Z6  Z4Z5 Z4Z5 Z4Z6
 1,
Z5Z6
т. е. соотношения между коэффициентами
выполняются.
Рассмотрим уравнения четырёхполюсника в Y-форме:
 I1  Y 11U1  Y 12U 2 ,

 I 2  Y 21U1  Y 22U 2 .
37
(2.2.5)
Определим коэффициенты четырёхполюсника, используя уравнения,
составленные по методу узловых потенциалов. Для схемы на рисунке 2.2.3:




I1  (Y A  Y C )U1  Y CU 2 ,





I 2  Y CU1  (Y B  Y C )U 2 .
(2.2.6)
Сравнивая (2.2.5) и (2.2.6), найдём Y 11  Y A  Y C , Y 12  Y C , Y 21  Y C и
Y 22  (Y B  Y C ).
Запишем
уравнение
П-образного
четырёхполюсника
в
А-форме, используя формулы таблицы 1.2.1:
A
C
Y 22 Y B  Y C
1
1

; B
;

Y 21
YC
Y 21
YC
Y
Y 21
(Y  Y C )(Y B  Y C )  Y C Y A Y B  Y C Y B  Y A Y C
Y YC
; D A
 A

.
YC
YC
YC
2
Сравнивая формулы коэффициентов четырёхполюсника, полученные по
законам Кирхгофа и методом узловых потенциалов с последующим
использованием формул соответствия таблицы 1.2.1. можем убедиться в их
полном соответствии. Например, коэффициенты:
A  1
Z4
Y
Z
1
 1 B  1 4 , B  Z 4 
 Z 4 и .т.д.
Z6
YC
Z6
YC
Пример
2.2.1.
четырехполюсника
На
рисунке
(П-образная
2.2.2
дана
схема).
электрическая
Записать
схема
уравнение
четырехполюсника в А-форме (предварительно вычислив коэффициенты),
если
R=10 Ом, XL=10 Ом, XC=10 Ом. По уравнениям четырехполюсника
определить U 1 и I1 , если I2  1A, а сопротивление нагрузки RН=10 Ом.
Сделать проверку, рассчитав цепь обычным способом.
38
I4
I1
m
I 2
Z4
a
p
I5
I6
X L  10
U 1
U 2
Z5
R  10
Z
X C  10
Z6
n
q
b
Рис. 2.2.2. Эквивалентная схема замещения П-образного четырёхполюсника.
Решение
По
найденным
ранее
выражениям
вычислим
коэффициенты
четырехполюсника:
Z4
j10
 1
 1  1  0, B  Z 4  j10,
Z6
 j10
A  1
C
Z4  Z5  Z6
j10  10  j10
1
Z
j10


 j0.1 , D  1  4  1 
 1  j.
Z5  Z6
 10  j10
 j10
Z5
10
Проверка: AD  BC  0  1  j   j10  j0.1   j 2  1
(верно).
U 1  j10  I2 ,
Уравнения четырехполюсника: 
 I1  j0 ,1  U 2  1  j I2 .
Так как I2  1A , а Z н  10 Ом, то U 2  110  10B . Зная это, определим
U1  j10 1  j10 , I1  j 0.1  10  1  j   1  1  j 2 .
Рассчитаем цепь обычным способом, считая заданными I2  1A и Z н  10 Ом.
При
Z ab 
этом
Z ab
при
отсутствии
Z5
равно:
Zí Z6
10   j10 
 Z4 
 j10  5  j 5 Ом. Тогда входное сопротивление
Zí  Z6
10  j10
равно:
Z âõ 
Z 5 Z ab
105  j 5 

 4  j2 ,
Z 5  Z ab 10  5  j 5
U
10
I6  2 
 j и I4  I2  I6  1  j .
Z 6  j10
39
а
U 2  I2 Z í  1  10  10 В
и
Напряжение на входе цепи U 1  U ab : U ab  I4 Z ab  1  j   5  j 5   j10 .
U
j10
Определим токи: I5  ab 
 j , I1  I4  I5  1  j  j  1  j 2 .
Z5
10
Проверим входное напряжение: U 1  I1 Z âõ  1  j 24  j 2  j10 .
Видно, что результаты расчётов двумя способами совпадают.
Определим коэффициенты уравнений П-образного четырёхполюсника,
записанные в Y- и Z-формах.
Уравнения в Y-форме:
 I1  Y 11U 1  Y 12U 2 ,
Y 12  Y 21

 I 2  Y 21U 1  Y 22U 2 ,
Составим уравнения по законам Кирхгофа:
 U


Z 
U 1  I4 Z 4  U 2   2  I2 Z 4  U 2  U 2  1  4   I2 Z 4 . Решим его относительно
Z6 
 Z6


 1
1 U 
Z  1
1 
тока I2 . Тогда I2  U 1  2  1  4   U 1    U 2 , откуда
Z4 Z4 
Z6  Z4
 Z4 Z6 
Y 21 
 1
1
1 
 .
;Y 22  

Z4
 Z4 Z6 
Так как I1  I5  I4 , то:
 1
U U
U U
U
1  U 1 U 2 U 2 U 1 U 2
 
I1  1  2  I2  1  2  1  U 2 






Z5 Z6
Z5 Z6 Z4
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
4
6
5
6
6
4
4


 1
1   1
  U 2
 U 1 

.
Z4
 Z5 Z4 
Откуда Y 11 
1
1
1

; Y 12   .
Z5 Z4
Z4
Найденные коэффициенты совпадают с полученными ранее.
Пример 2.2.2. Рассчитать коэффициенты уравнений П-образного
четырёхполюсника в Y -форме с параметрами Z4=j3 Ом, Z5=3 Ом,
Z6=–j3 Ом. Четырёхполюсник изображён на рисунке 2.2.3.
Определить токи в цепи при нагрузке Rí  3 Ом.
40
I1
I4
а
Z4
U 1
Z6
Z5
I2  1
I5
Rн  3
b
I6
Рис. 2.2.3. Эквивалентная схема замещения П-образного
четырёхполюсника с нагрузкой.
Коэффициенты четырёхполюсника:
Y 11 
 1

1
1
1 1 1
1
, Y 12  Y 21   , Y 22   
 0  .

 
Z 5 Z 4 3 j3
j3
 j3  j3

Уравнения четырёхполюсника в Y-форме:
 1 1  
1
 I 1    U 1  U 2 ,
j3

 3 j3 

 I  1 U  0  U .
2
 2 j 3 1
Определим напряжение U 2 . Так как Rí  3 Ом и I2  1A , то U 2  3  1  3Â .
Исходя из уравнений четырёхполюсника, определим:
1 1 
3
U 1  j3  1  j3 и I1      j3   1  2 j .
j3
 3 j3 
Рассчитаем токи обычным образом, по известным I2  1A , U 2  3В .
Имеем: U 2  I2 Z í  1  3  3 В, I6 
U 2
3

 j , I4  I2  I6  1  j ,
Z 6  j3
U
1.5  j1.5
U ab  I4 Z ab  1  j   1.5  j1.5   j 3 I5  ab 
 j.
Z5
3
Ток на входе цепи I1 равен: I1  I4  I5  1  j  j  1  j 2 .
При этом Z ab 
Z вх 
ZнZ6
3   j 3
 Z4 
 j 3  1.5  j1.5 ,
Zн  Z6
3  j3
Z 5 Z ab
31.5  j1.5

 1.2  j 0.6 .
Z 5  Z ab 3  1.5  j1.5
41
По найденному Z вх определяем U1 : U1  I1 Z вх  1  j 21.2  j 0.6  j3 .
Видно, что результаты расчётов двумя способами совпадают и пример
решён верно.
Далее
рассмотрим
уравнений
Z-форму
для
П-образного
четырёхполюсника:
U1  I1 Z 11  I2 Z 12 ,

U 2  I1 Z 21  I2 Z 22.
(2.2.7)
где Z 12  Z 21 .
По первому закону Кирхгофа:
I5  I6  I2  I1 , I1  I5  I4 , I4  I2  I6 или I5  I6  I1  I2 и I4  I1  I5 .
U
U
Учитывая, что I5  1 и I6  2 , запишем, используя второй закон
Z5
Z6
Кирхгофа: U 1  I4 Z 4  I6 Z 6  I1  I5 Z 4   I2  I4 Z 6 или


U 
U 
U1   I1  1 Z 4    I2  I1  1 Z 6 ,
Z5 
Z5 


U
U
U1  I1 Z 1  Z 6   I2 Z 6  1 Z 4  1 Z 6 ,
Z5
Z5
 Z
Z 
U1 1  4  6   I1 Z 4  Z 6   I2 Z 6 .
 Z5 Z5 
Откуда окончательно получаем:
Z  Z 6 Z 5  I
Z6 Z5
U 1  I1 4
.
2
Z4  Z5  Z6
Z4  Z5  Z6
Далее определяем напряжение U 2 для чего воспользуемся уравнением:
U 2 U 1   U 2 
Z4  Z6
I2 Z 6

 I1  I 2 ,
 I1

 I1  I2 , откуда
Z6 Z5
Z6
Z4  Z5  Z6 Z4  Z5  Z6

Z4  Z6
U 2 I1  1 
Z4  Z5  Z6



Z6
 Z  I2  1 

 6
Z4  Z5  Z6



 Z 6 .

Теперь окончательно получаем выражение:
U 2  I1
Z  Z 5 Z 6 .
Z5Z6
 I2 4
Z4  Z5  Z6
Z4  Z5  Z6
Из полученных уравнений следует:
Z 11 
Z 4  Z 6 Z 5 ,
Z4  Z5  Z6
Z 12  
Z  Z 5 Z 6
Z6Z5
Z5Z6
, Z 21 
, Z 22   4
.
Z4  Z5  Z6
Z4  Z5  Z6
Z4  Z5  Z6
42
Пример 2.2.3. Рассчитать П-образный четырёхполюсник (рисунок 2.2.4)
используя уравнения в Z-форме, для чего сначала определим коэффициенты
Z 11 , Z 12 , Z 21 , Z 22 и затем вычислим I1 и I2 по уравнениям четырёхполюсника и
по заданным U 1 и U 2 .
Результаты сравним с предыдущими расчётами. Исходные данные
возьмём из предыдущего примера: U 1  j3 В, U 2  3 В, Z 4  j 3 Ом, Z 5  3 Ом,
Z 6   j 3 Ом. Определим коэффициенты при неизвестных:
Z 11 
Z 4  Z 6 Z 5
Z4  Z5  Z6

 j3  j33
j3  j3  3
 0 , Z 12  
Z6Z5
 j3  3
 j9


 j3   Z 21,
Z4  Z5  Z6
j3  j3  3
3
Z 21   j3 Ом,
Z 22  
Z 4  Z 5 Z 6
Z4  Z5  Z6

 j3  3   j3   9  j3  3 
j3  j3  3
3
j 3 Ом.
Подставив известные значения I1  1  j 2 А, I2  1 А, U1  j3 В и U 2  3 А в
систему (2.2.7) получим: U1  j3  0  (1  j 2)  j3  1 В (верно).
U 2  3  (1  j 2)( j3)  1  (3  j3)   j3  6  3  j3  3 В (верно).
При сравнении с предыдущими расчётами видна полная идентичность
результатов, что подтверждает корректность проведённых расчётов
2.3. Входное сопротивление
и характеристические параметры четырехполюсника
Входное сопротивление четырехполюсника может рассматриваться как со
стороны зажимов mn (R1вх), так и со стороны зажимов pq (-R2вх), (рис. 1.1.1).
Наиболее часто входное сопротивление рассматривается со стороны зажимов
mn. В этом случае оно будет равно:
R1вх 
U1
I1
(2.3.1)
Для определения входного сопротивления можно использовать уравнения
четырехполюсника (наиболее удобная – А-форма); опыты х.х. и к.з.; непосредственное определение по электрической схеме четырехполюсника, если она
известна (или измерить сопротивление омметром при отключенном источнике).
43
Для резистивного четырехполюсника Rвх не зависит от типа воздействия.
Например, для постоянного и синусоидального тока Rвх будет одно и то же
(чего
нельзя
сказать
о
четырехполюсниках,
содержащих
реактивные
элементы).
Для определения Rвх резистивного четырехполюсника воспользуемся
уравнениями четырехполюсника в А-форме, в которых заменим напряжение
U2 на I2Rн, например, для постоянного тока:
U1  AI 2 Rн  BI 2
(2.3.2)
I1  CI 2 Rн  DI 2
Непосредственно из (2.3.2) получим
R1вх 
U1 AI 2 Rн  BI 2 ARн  B
.


I1 CI2 Rн  DI 2 CRн  D
(2.3.3)
Входное сопротивление со стороны зажимов pq:
R2вх 
U1/
.
I1/
(2.3.4)
При определении входного сопротивления со стороны зажимов pq (R2вх)
также воспользуемся
уравнениями четырехполюсника
в
А-форме, но
коэффициенты А и D следует поменять местами, а напряжение U 1 заменить на
/
I1'R1':
R2вх 
DU 1 ' BI 1 ' DI 1 ' R1 ' BI 1 ' DR1 ' B
.


CU 1 ' AI 1 ' CI 1 ' R1 ' AI 1 ' CR1 ' A
(2.3.5)
В цепи синусоидального тока:
Z 1вх 
AZ н  B
,
CZ н  D
Z 2вх 
(2.3.6)
D Z 1 ' B
.
C Z 1 ' A
(2.3.7)
Формулы (2.3.6) и (2.3.7) можно записать в несколько ином виде, удобном
для выражения Z вх через параметры короткого замыкания (кз) и холостого
хода (хх), принимая во внимание, что:
1
1
1
Z 1кз  B D , Z 1хх  AC , Z 2 кз  B A , Z 2 xx  DC
44
1
.
(2.3.8)
Так, если в выражении (2.3.6) числитель умножить на A A1 , а знаменатель
на C C 1 , то
1
Z 1вх
1
1
A A A Z н  A A  B
A Z  B A
.

  н
1
1
1
C C C  Z н  C C  D C Z н  D C
Используя соотношения (2.3.8), найдем:
Z 1вх  Z 1хх
Z н  Z 2 кз
.
Z н  Z 2 хх
(2.3.9)
Если же в выражении (2.3.7) числитель умножить на D D 1 , а знаменатель
на C C 1 . то
1
Z 2вх 
входное
1
D  D  D  Z 1 ' D  D  B
1
1
C  C  C  Z 1 'C  C  A
сопротивление
1

D Z 1 ' B  D
, следовательно, согласно (2.3.8)

C Z 1 ' A  C 1
четырехполюсника
со
стороны
зажимов
pq,
нагруженного сопротивлением Z1' со стороны зажимов mn:
Z 2вх  Z 2 хх
Z 1 ' Z 1кз
.
Z 1 ' Z 1хх
(2.3.10)
Выражения (2.3.9) и (2.3.10) иллюстрируют свойство четырехполюсника
преобразовывать сопротивления.
Известно, что генератор, обладающий внутренним сопротивлением Zг,
*
отдает максимальную мощность нагрузке Zн при условии Z н  Z г . В том
случае, когда такое согласование невозможно (т. е. при заданных значениях
величин этих сопротивлений), для выделения максимальной мощности в
нагрузке
между
генератором
и
нагрузкой
необходимо
включить
четырехполюсник (рис. 2.3.1). Причем этот четырехполюсник должен быть
согласован как с нагрузкой, так и с генератором.
Четырехполюсник будет согласован с генератором при выполнении
*
условия Z г  Z 1вх и максимальная мощность от четырехполюсника в нагрузку
будет
передаваться
при
согласовании
выходного
сопротивления
*
четырехполюсника ( Z 2 вх ) с сопротивлением нагрузки Z н , т.е. при Z н  Z 2вх .
45
Такой
режим
работы
четырехполюсника
называется
режимом
согласованного включения.
I1
Zг
Ег
I2
U 1
U 2
Z 1c
Zн
Z 2c
Рис. 2.3.1. Согласованное включение четырехполюсника с генератором
*
*
и нагрузкой ( Z г  Z 1c , Z н  Z 2с ).
Можно полагать, что существует такая пара сопротивлений, для которых
Z 1вх  Z г и Z 2вх  Z н . Эти сопротивления называются характеристическими
сопротивлениями четырехполюсника ( Z 1c и Z 2 c ).
Считая, что Z 1 '  Z г и положив в (2.3.6) и (2.3.7) Z 1вх  Z г  Z 1c ,
Z 2 вх  Z н  Z 2 c , получим:
Z 1c 
AZ 2c  B
D Z 1c  B
; Z 2c 
.
C Z 1c  A
C Z 2c  D
(2.3.11)
Совместное решение уравнений (2.3.11) относительно Z 1c и Z 2 c дает:
Теперь
условия
выполняются
при
соответствующим
Z 1c 
AB
,
CD
(2.3.12)
Z 2c 
DB
.
CA
(2.3.13)
выделения
равенстве
максимальной
сопротивлений
сопряженным
мощности
нагрузки
комплексах
и
в
нагрузке
генератора
характеристических
сопротивлений:
*
*
Z г  Z 1c , Z н  Z 2с .
Разделим (2.3.12) на (2.3.13).
46
(2.3.14)
Z 1c

Z 2c
1
ABC D
1
D BC A
1
1
1
1
1
1
ABC D

D BC A

A
2
D
2

A
.
D
(2.3.15)
Используя соотношение (2.3.15) введем в рассмотрение величину
Z 1c
A
,

Z 2c
D
nт 
(2.3.16)
которую называют коэффициентом трансформации четырехполюсника.
Теперь входное сопротивление согласованного четырехполюсника
Z 1вх  Z 1c  nm2 Z 2c  nт2 Z н ,
(2.3.17)
из этого следует, что этот четырехполюсник трансформирует сопротивление
нагрузки в nт2 раз.
Уравнение
связи
между
коэффициентами
четырехполюсника
в
А-параметрах AD  BC  1 можно представить в виде:

 
2
AD 
BC

2
 1.
(2.3.18)
Введем новый параметр Г , удовлетворяющий условиям:
ch Г  AD ; sh Г  BC .
(2.3.19)
Этот параметр всегда можно подобрать требуемым условиям, т.к. Г может
быть комплексным, а величины в выражении (2.3.19) связаны формулой
ch 2 Г  sh 2 Г  1 . Так как параметр Г комплексный, то в алгебраической форме
записи Г  a  jb .
(2.3.20)
Параметр Г называют мерой передачи четырехполюсника. Это третий
характеристический параметр четырехполюсника (первые два были Z 1c и
Z 2 c ), при этом а – собственное затухание четырехполюсника, [a] – Hп, b –
коэффициент фазы или характеристическая постоянная фазы, [b] – рад.
Принимая во внимание, что:
ch Г 
е Г  еГ
е Г  еГ
и sh Г 
,
2
2
(2.3.21)
и соотношения (2.3.19), можно выразить меру передачи четырехполюсника
через его первичные параметры, например, А-параметры.
47
Характеристические параметры ( Z 1c ,
Z 2c
и Г) часто называют
вторичными параметрами четырехполюсника.
Совместное решение систем уравнений (2.3.19) и (2.3.21) относительно Г
дает:
Г  ln( AD  BC ) .
(2.3.22)
Используя (2.3.16), (2.3.12) и (2.3.13) можно выразить первичные
параметры через вторичные:
A  ch Г
ch Г
Z 1c
sh Г
, B  sh Г Z 1c Z 2c , C 
, D
.
Z 1c Z 2c
Z 2 c / Z 1c
Z 2c
(2.3.23)
Пользуясь полученными в (2.3.23) соотношениями, можно определить
искомые
величины
через
вторичные
параметры.
Например,
входное
сопротивление четырехполюсника относительно зажимов mn формула (2.3.6)
примет следующий вид:
Z 1вх  Z 1c  cth Г
Z н  Z 2c cth Г
.
Z н  Z 2c сth Г
(2.3.24)
Рассмотрим применение изложенных теоретических положений на
конкретных примерах.
Пример 2.3.1. Для схемы (рис. 2.3.2) определить входные сопротивления
со стороны зажимов mn и pq с учетом сопротивлений Z н  Rн  100 Ом и
Z Г  RГ  50 Ом соответственно с использованием конфигурации схемы и
А-параметров
четырехполюсника.
Значения
элементов
заданного
Т-го
четырехполюсника соответствуют рис. 1.3.1: Z 1  R1  3 Ом, Z 2  jx L  j 20
Ом, Z 3   jxC   j5 Ом. А А-параметры четырехполюсника должны быть
определены с использованием режимов хх и кз.
48
ZГ
m
I1
Z1
Z2
U 1
E Г
I2
p
U 2
Z3
Zн
I3
n
q
Рис. 2.3.2. Эквивалентная схема четырёхполюсника с нагрузкой.
1. Определим входное сопротивление Z 1вх со стороны зажимов mn,
предварительно отбросив эдс генератора ЕГ и его внутреннее сопротивление
Z Г – рис. 2.3.3.
m
Z1
Z2
p
Z3
Z4
n
q
Рис. 2.3.3. Упрощённая эквивалентная схема четырёхполюсника
с нагрузкой.
1
Z 1вх  Z mnвх  Z 1  [ Z 3  ( Z 2  Z н ) 1 ]1  2  [(  j5) 1  ( j 20  100 ) 1 ]1 
 3,244  j5,037  5,991e  j 57,21 Ом
2. При определении входного сопротивления Z 2 вх относительно зажимов
pq отбрасываем сопротивление нагрузки Z н и замыкаем источник эдс
генератора E Г – рис. 2.3.4.
m
Z1
Z2
p
Z3
ZГ
n
q
Рис. 2.3.4. Эквивалентная схема четырёхполюсника в режиме холостого хода.
49
1
Z 2 в х  Z pqв q  [( Z Г  Z 1 ) 1  Z 3 ]1  Z 2 
 [(50  3) 1  ( j 5) 1 ]1  j 20  0,468  j15,044  15,051e j 88, 22 Ом.
3. В подразделе 1.3 были определены А-параметры этого ненагруженного
четырехполюсника с использованием законов Кирхгофа:
A  1  j 0,6 , B  9  j 20 Ом, C  j 0,2 См, D  3 .
Определим теперь эти же А-параметры, используя режимы хх и кз. Для
этого изобразим этот ненагруженный четырехполюсник отдельно на рис. 2.3.5
и запишем систему уравнений в А-параметрах.
m
I1
U 1
Z 2 I2
Z1
p
U 2
I3
Z3
n
q
Рис. 2.3.5. Эквивалентная схема четырёхполюсника в режиме холостого хода.
Известно, что:
U1  AU 2  BI2 , I1  CU 2  DI2 .
(2.3.5)
В режиме хх на зажимах pq выходной ток I2  0 . Следовательно, из схемы
(2.3.5) можно определить коэффициенты А и С, учитывая, что I1  I3 и
напряжение на зажимах mn U1  I1 ( Z 1  Z 3 ) , а на зажимах pq - U 2  I1 Z 3 .
A
U1
( Z  Z 3 ) I1 Z 1
3
 1

1 
 1  1  j 0,6  1,166 e j 30,96


U 2 I  0
Z 3 I1
Z3
 j5
2
C
I1
I
1
1
 1 

 j 0,2  0,2e j 90 , См.
U 2 I  0 I1 Z 3 Z 3  j5
2
50
При кз на зажимах pq напряжение U 2  0 , что позволяет найти
коэффициенты B и D, учитывая, что при этом напряжение на входе
1
1
1
1
1
четырехполюсника U1  I1 ( Z 1  ( Z 2  Z 3 ) 1 , а ток I2  I1 ( Z 2  Z 3 ) 1 Z 2 .
B
U 1

I2 U 2  0
1
1
I1 ( Z 1  ( Z 2  Z 3 ) 1
1
 Z1Z 2 Z 3  Z1  Z 2 
I ( Z 21  Z 31 ) 1 Z 11
1
 3  j 20( j 5) 1  3  j 20  9  j 20  21,932e j114, 23 Ом.
D
I1
I1
1

 Z 2 Z 3 1 
I U  0 I ( Z 1  Z 1 ) 1 Z 1
2
2
2
3
2
1
 j 20( j 5)  1  3  3 j180 .
Т.о.,
значения
А-параметров
четырехполюсника,
вычисленные
различными способами, совпадают.
Проверим еще, выполняется ли уравнение связи между коэффициентами
четырехполюсника.
AD  BC  (1  j0,6)( 3)  ( 9  j 20) j0,2  1. Верно.
4. Найдем входное сопротивление относительно зажимов mn по формуле
(2.3.6).
Z 1вх 
AZ н  B (1  j 0,6)100  (9  j 20)

 3,244  j 5,037  5,991e  j 57, 21 Ом.
CZ н  D
j 0,2 100  (3)
Аналогично найдем входное сопротивление относительно зажимов pq по
формуле (2.3.7), учитывая, что Z 1 '  Z Г .
Z 2 вх 
D Z Г  B  3  50  (9  j 20)

 0,468  j15,044  15,051e j 88, 22 Ом.
C Z Г  A j 0,2  50  (1  j 0,6)
Значения входных сопротивлений четырехполюсника, вычисленные
двумя способами, совпадают.
Пример 2.3.2. Используя данные примера 2.3.1 определить через
характеристические (вторичные) параметры четырехполюсника входное
сопротивление четырехполюсника относительно зажимов mn и проверить
1
1
соотношение Z 1xx Z 1кз  Z 2 xx Z 2 кз .
51
1.
Определяем
характеристические
параметры
четырехполюсника.
Характеристические сопротивления четырехполюсника Z 1c и Z 2 c найдем из
(2.3.12) и (2.3.13) соответственно.
Z 1c 
AB
(1  j 0,6)( 9  j 20)

 3,024  j5,786 Ом,
CD
j 0,2( 3)
Z 2c 
(3)( 9  j 20)
DB

 0,987  j16,767 Ом.
CA
j 0,2(1  j 0,6)
Меру передачи четырехполюсника Г определим из (2.3.22).
Г  a  jb  ln( AD  BC )  ln( (1  j 0,6)( 3)  ( 9  j 20) j 0,2 
.
 1,377  j1,332
где собственное затухание четырехполюсника а=1,377 Нп.
Характеристическая постоянная фазы b=-1,332 рад.
2. Теперь можно определить входное сопротивление четырехполюсника
относительно зажимов mn Z 1вх по формуле (2.3.4)
Z н  Z 2 c th Г
 (3,024  j 5,786)cth(1,377  j1,332) 
Z н  Z 2 c сth Г
100  (0,987  j16,767)th(1,377  j1,332)

 3,244  j 5,037 Ом.
100  (0,987  j16,737)cth(1,377  j1,332)
Z 1в х  Z 1c  cth Г
Найденное значение Z 1вх совпадает с вычисленным в примере 2.3.1.
3. Определим параметры холостого хода ( Z 1 xx и Z 2 xx ) и короткого
замыкания ( Z 1кз и Z 2 кз ), используя как вторичные, так и первичные (формулы
2.3.8) параметры четырехполюсника.
При использовании вторичных параметров четырехполюсника
Z 1xx  Z 1c cth Г  (3,024  j5,786 )cth (1,377  j1,332 )  3  j5 Ом.
При использовании первичных параметров четырехполюсника
Z 1xx  AC 1  (1  j 0,6)( j 0,2) 1  3  j5 Ом.
Результат одинаков.
Z 2 xx  Z 2 c cth Г  (0,987  j16,767 )cth (1,377  j1,332 )  j15 Ом
1
или Z 2 xx  DC  ( 3)( j 0,2) 1  j15 Ом. Совпадает.
52
Z 1кз  Z 1c th Г  (3,024  j5,786 )th(1,377  j1,332 )  3  j 6,667 Ом
1
и с другой стороны Z 1кз  B D  ( 9  j 20)( 3) 1  3  j 6,667 Ом.
Z 2 кз  Z 2 c th Г  (0,987  j16,767 )th (1,377  j1,332 )  2,206  j18,676 Ом
1
или Z 2 кз  B A  ( 9  j 20)(1  j 0,6)  2,206  j18,676 Ом.
Также результат одинаков.
1
1
4. Проверим соотношение Z 1xx Z 1кз  Z 2 xx Z 2 кз .
Левая часть:
1
Z 1xx Z 1кз  (3  j5)( 3  j 6,667 ) 1  0,792  j 0,094 Ом.
Правая часть:
1
Z 2 xx Z 2 кз  j15(2,206  j18,676 ) 1  0,792  j 0,094 Ом.
Левая часть равна правой, соотношение выполняется.
5. Определим входное сопротивление четырехполюсника относительно
зажимов mn – Z 1вх , используя параметры холостого хода и короткого
замыкания.
Z 1вх  Z 1xx
Z 2 кз  Z н
2,206  j18,676  100
 (3  j5)
 3,244  j5,037 Ом – сходится с
Z 2 xx  Z н
j15  100
предыдущими результатами.
Таким образом, входное сопротивление четырехполюсника, определенное
четырьмя способами, дало одинаковые результаты.
Перечислим использованные способы.
Первый способ – использование конфигурации схемы (Пример 2.3.1).
Второй способ – с помощью А-параметров четырехполюсника (Пример
2.3.1).
Третий
способ
–
с
помощью
характеристических
параметров
четырехполюсника (Пример 2.3.2).
Четвертый способ – с помощью сопротивлений короткого замыкания и
холостого хода (Пример 2.3.2).
53
Глава 3. ПРОСТЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ
3.1. Каскадное соединение четырёхполюсников
Любая применяемая на практике электрическая цепь состоит из
нескольких обязательных элементов: источника энергии, магистральных и
соединительных проводов и потребителя. Каждый элемент имеет свои
собственные параметры, которые возможно описать математически. Но если
параметры источника энергии и потребителя можно узнать из данных заводаизготовителя, то магистральные и соединительные провода и образуемая ими
распределительная сеть имеют параметры, индивидуальные для каждой вновь
собираемой цепи и поэтому именно они подлежат определению в каждом
конкретном случае.
При математическом анализе электрической цепи и составляющих её
элементов,
основной
особенностью
является
то,
что
совокупность
составляющих её элементов можно представить как линию с распределенными
параметрами и эквивалентными четырёхполюсниками.
Всю электрическую цепь можно представить каскадным соединением
двух четырёхполюсников, один из которых
эквивалентен магистральным
проводам, а другой распределительной сети.
Рассмотрим каскадное
соединение двух четырехполюсников.
Два четырехполюсника, взятые вместе, можно рассматривать как один
эквивалентный четырехполюсник, обведенный на рисунке 3.1.1 штриховой
линией, с величинами U 1 , I1 на входе и U 2 , I2 на выходе. В данном случае
U 1  U 1/ , I1  I1/ , U 2  U 2/ , I2  I2/ .
Задача
заключается
четырехполюсника
в
через
определении
известные
параметров
параметры
эквивалентного
первого
и
второго
четырехполюсников.
Равенства
U 2/  U 1//
и
I2/  I1// ,
имеющие
место
на
стыке
двух
четырехполюсников, определяют выбор целесообразной системы уравнений.
54
Рис. 3.1.1. Схема эквивалентного четырёхполюсника.
В матричной форме имеем:
U 2/  U1// 
  /     // ;
 I 2   I1 
U1  U1/ 
     / ;
 I1   I1 
При
лучше
этом
U 1/   A /
А-параметры:   /    /
 I1  C
Используя
эти
U 2  U 2// 
      // .
 I 2   I 2 
всего
/
B 

/
D 
использовать
запись
уравнений
через
U 2/  U //   A// B //  U // 
2
  /  и  //1    //
  //  .
//


 I 2   I1  C D   I 2 
соотношения,
получим
для
эквивалентного
четырехполюсника:
U1  U1/   A/ B /  U 2/   A/ B /  U1//   A/ B /   A// B //   U 2//  
U1 





A















     /    /
  .
/
/
/
/
/
//
//
/
 //
 //
 I1   I1  C D   I 2  C D   I1  C D  C D    I 2  
 I1 
Таким образом, матрица А-параметров двух каскадно-соединенных
четырехполюсников равна произведению матриц А-параметров отдельных
четырехполюсников. Произведя эту операцию, получаем результирующую
 A/ A//  B / C //
A   / //
/
//
C A  D C
матрицу: A  A 
/
Каскадное
//

соединение
/ //
/
//
A B B D 
.
/ //
/
//
C B  D D 
четырехполюсников
обладает
свойствами
регулярности. Действительно, при любой общей нагрузке токи, проходящие
через оба первичных и оба вторичных зажима в каждом четырехполюснике
соответственно равны по величине и противоположны по направлению.
Существенным моментом каскадного соединения четырехполюсников
является то, что конкретный вид уравнений четырехполюсника
и
характеристики всего соединения зависят помимо всего прочего и от места
55
расположения каждого четырехполюсника в схеме, т. е. от последовательности
расположения четырехполюсников.
Например,
при
каскадном
соединении
Т,
П
и
Г
образных
четырехполюсников входное сопротивление, токораспределение в сети и
матрица уравнений эквивалентного четырехполюсника будут различными,
например, для соединений рис. 3.1.2а и рис. 3.1.2б.
а) порядок рассмотрения Т, П, Г
б) порядок рассмотрения Т, Г, П
Рис. 3.1.2. Варианты каскадного соединения четырёхполюсников.
Действительно, т.к. эквивалентная матрица [A] для схемы рис. 3.1.2а.
равна произведению матриц
[A]3а=[T]·[П]·[Г],
(3.1.1)
[A]3б=[T]·[Г]·[П] .
(3.1.2)
то для схемы рис. 3.1.2б.
При изменении порядка расположения четырехполюсников изменяется
схема соединения элементов результирующей цепи. Математически это
отражается в том, что:
56
[П]·[Г]≠[Г]·[П]
Формула
(3.1.3)
отражает
известное
(3.1.3)
свойство
некоммутативности
матричного произведения.
Для того, чтобы уравнение соответствовало действительности, надо
записывать матричное произведение в строгом соответствии с порядком
расположения четырехполюсников. Только такое матричное произведение
будет адекватно описывать данное соединение.
Пример 3.1.1. Рассмотрим каскадное соединение трех различных
четырехполюсников с Т, П и Г-образными схемами, порядок расположения
которых, эквивалентные схемы и их параметры отражены на рис. 3.1.3.
Рис. 3.1.3. Каскадное соединение Т, П и Г-образных четырёхполюсников
с параметрами R1  10 Ом, R2  20 Ом , R3  30 Oм , R4  40 Ом , R5  50 Ом ,
R6  60 Ом , R7  70 Ом , R9  90 Ом , RН  3 Ом .
Были рассмотрены все возможные варианты порядка расположения
четырёхполюсников (шесть вариантов): Т, П, Г;
Т, Г, П; П, Т, Г;
П, Г, Т;
Г, Т, П; Г, П, Т.
Результаты расчёта входного тока – I1 и выходного тока I 2 , входного
сопротивления Rвх , мощности источника и P1 и мощности в нагрузке P2 , а
также отношения входных и выходных токов и мощностей при одном и том же
входном напряжении U1  1000 В отраженны в таблице.
Значение входного сопротивления вычислялось также
по выражению
(3.1.4) для эквивалентной цепной схемы рис. 3.1.4, с помощью которой можно
представить каскадное соединение четырёхполюсников.
57
Рис. 3.1.4. Эквивалентная цепная схема каскадного соединения четырёхполюсников.
Rвх  R1 
1
G3 
1
R2 
1
G5 
1
R4 
1
G7 
1
R6 
1
G9 
1
RН
(3.1.4)
Результаты расчётов приведены в таблице 3.1.1.
Таблица 3.1.1. – Результаты расчётов каскадного соединения четырехполюсников
с различным порядком их расположения
расч. выч.
тип соед.
1. Т, П, Г
2. Т, Г, П
3. П, Т, Г
4. П, Г, Т
5. Г, П, Т
6. Г, Т, П
I1, A
I2, A
Rвх, Ом
Р1, Вт
Р2, Вт
I2/I1
P2/P1
34,835
30,313
36,136
32,993
12,408
12,319
2,714
2,911
2,847
2,764
1,899
1,996
28,707
32,989
27,673
30,31
80,595
81,172
3,483·104
3,031·104
3,614·104
3,299·104
1,241·104
1,232·104
22,098
25,413
24,311
22,916
10,817
11,957
0,078
0,096
0,079
0,084
0,153
0,162
6,344·10-4
8,384·10-4
6,728·10-4
6,946·10-4
8,718·10-4
9,706·10-4
Как видно из таблицы, входное сопротивление соединяются, изменяется
в пределах Rву  (27,675  81,172)Ом . Отношение выходного тока I 2 к
входному току I1 колеблется в пределах
I2
 (0.078  0.162) , а отношение к
I1
выходной мощности P2 к входному P1 – в пределах
58
P2
 (6.344  9.706 )  10 4 .
P1
Результаты
расчета
величин
выходных
характеристик
графически
представлены на рисунке 3.1.5.
I2/I1
0,18
(P2/P1)·10-4
10
0,16
9
0,14
8
0,12
7
0,10
6
0,08
5
0,06
4
0
0
1
2
3
4
5
6
№ соединения
Рис.3.1.5. Графическое представление результатов расчёта выходных характеристик.
Используя зависимость выходных характеристик каскадного соединения
четырехполюсников от порядка их расположения можно регулировать такие
важные величины, как отношение входных и выходных токов, величину
выходной мощности и другие при неизменных параметрах источника энергии
в первичной цепи.
Пример 3.1.2. Даны два четырехполюсника ( A/ и A// ), представленные
Т-образными схемами замещения. Сопротивления ветвей схем заданы в Омах
на рисунке 3.1.6. Четырехполюсники соединены каскадно. Определить
коэффициенты
эквивалентного
четырехполюсников
четырехполюсника.
в
А-форме
Коэффициенты
четырехполюсника определить двумя способами:
59
и
коэффициенты
эквивалентного
а) вычислением произведения матриц А-параметров соединенных
четырехполюсников;
б)
преобразованием
(упрощением)
схемы
соединения
четырехполюсников.
Рис. 3.1.6. Т-образные схемы замещения четырёхполюсников.
Решение:
Определим А-параметры каждого из соединенных четырехполюсников.
Для четырехполюсника в левой части схемы:
Z
 j10
A  1  1/  1 
 1 j ;
10
Z3
/
/
/
B  Z1  Z 2 
/
/
/
/
Z1 Z 2
/
Z3
С 
/
1
1

 0,1 См;
Z 3 10
  j10  j10  10  10 Ом;
/
D  1
/
Z2
/
Z3
 1 j .
Аналогично для четырехполюсника в правой части схемы:
A  1
//
C 
//
j10
 0,5 ;
 j 20
1
 j 0,05 ;
 j 20
B  j10  10
//
D  1
//
j10  10
 5  j10 ;
 j 20
10
 1  j 0,5 .
 j 20
Эквивалентная матрица AÝ  А-параметров двух каскадно-соединенных
четырехполюсников равна произведению матриц А-параметров отдельных
четырехполюсников.
60
 A/ B /   A// B //   A/ A//  B / C //
AЭ   A  A   / /    // //    / // / //
C D  C D  C A  D C
  
/
/
/ //
/
//
A B B D 

/ //
/
//
C B  D D 
(1  j )0,5  10 j 0,05 (1  j )(5  j10)  10(1  j 0,5)  0,5 25  j10 
0,1 0,5  (1  j )0,05 j 0,1(5  j10)  (1  j )(1  j 0,5)   j 0.5 1  j 2,5 ,

 

Откуда: АЭ = 0,05, ВЭ = 25+j10, СЭ = j0,05, DЭ = 1+j2,5.
Найдем коэффициенты эквивалентного четырехполюсника вторым
способом – упрощением схемы, для чего сначала преобразуем треугольник
сопротивлений R/, ( X L/  X L// ) , X C// в эквивалентную звезду:
Za 
10 j 20
j 20( j 20)
10( j 20)
 40 Ом, Z c 
  j 20 Ом.
 j 20 Ом, Z b 
10
10
10  j 20  j 20
После замены треугольника эквивалентной звездой получим следующую
электрическую схему:
Z1
m
- j10
Z2
j20
40
10
p
Z 3 - j20
n
q
Рис. 3.1.7. Эквивалентная схема Т-образного четырёхполюсника.
В соответствии со схемой рисунка 3.1.7 имеем:
Коэффициенты эквивалентной схемы: A Э  1 
BЭ  Z1  Z 2 
CЭ 
Z1
j10
 1
 0,5 ;
Z3
 j 20
Z1Z 2
j10  50
 j10  50 
 25  j10 ;
Z3
 j 20
1
1
Z
50

 j 0,05 ; D Э  1  2  1 
 1  j 2,5 .
Z3
 j 20
Z 3  j 20
Найденные значения коэффициентов совпадают с полученными ранее в
результате перемножения матриц.
61
3.2. Условие регулярности
Помимо
рассмотренного
в
п.
3.1
каскадного
соединения
четырехполюсников возможны и различные другие типы соединений (которые
будут рассмотрены далее). Для определения коэффициентов уравнений
результирующего
четырехполюсника,
эквивалентного
общей
схеме
соединения, применяют те же методы, которые используются для определения
коэффициентов отдельных (автономных) четырехполюсников: составление
уравнений состояния (по законам Кирхгофа, методу контурных токов и т. д.) и
применение метода холостого хода и короткого замыкания, которые, как
известно, упрощают уравнения четырехполюсника и тем самым облегчают
определение его коэффициентов (см. примеры).
Эти методы необходимо применять к общей эквивалентной схеме
соединения четырехполюсников, полученной в результате объединения по
законам реализуемого типа соединения схем исходных (соединяемых)
четырехполюсников.
Кроме перечисленных, существует метод преобразования полученной в
результате объединения (соединения) четырехполюсников сложной схемы с
целью ее упрощения и выделения четырехполюсников с известными
матрицами (см. пример 3.2.1).
Рассмотренные
методы
определения
параметров
эквивалентного
четырехполюсника являются универсальными, применимыми к любому
способу
соединения
четырехполюсников,
независимо
от
конкретных
внутренних схем соединения их элементов (см. пример 3.2.2).
Во многих случаях можно обойтись без применения этих методов. Это
относится к соединениям четырехполюсников, уравнения которых заданы в
матричной форме. В этих случаях (как будет показано далее) для определения
уравнений
результирующего
четырехполюсника
в
матричной
форме
необходимо просто выполнить определенные действия над матрицами
уравнений соединяемых четырехполюсников.
62
Однако, широко распространенные матричные формы записи уравнений
различных
соединений
четырехполюсников
справедливы
только
при
соблюдении определенных условий, называемых условиями регулярности.
Всегда регулярным является
только рассмотренное в предыдущем
параграфе каскадное соединение. При
последовательном,
параллельном,
параллельно-последовательном, последовательно-параллельном соединении
прежде, чем складывать матрицы, необходимо убедиться в том, что заданное
соединение четырехполюсников является регулярным.
Можно
выделить
общее
требование
к
четырёхполюсникам:
неизменность передаточных функций до и после соединений друг с другом
отдельных четырехполюсников или систем уравнений их описывающих, а
равенства токов входных Im/ = In/ и выходных Ip/ = Iq/ является одним из
следствий общего требования, что наиболее характерно при последовательных
соединениях. Кроме того, требованиями регулярности является требования,
чтобы токи, протекающие через оба первичных и оба вторичных зажимов
каждого из четырехполюсников были равны по величине и обратны по
направлению. Это положение плохо иллюстрируется в частности каскадным
соединением четырехполюсников (рис. 3.1.1).
Можно отметить, что при анализе схемы
на выполнение условия
регулярности следует обращать особое внимание на то, чтобы отдельные
проводники (или ветви) одного четырехполюсника не замыкали элементы
другого, то есть, чтобы при соединении четырехполюсников структура и
параметры соединенных четырехполюсников не нарушались бы в результате
их соединения. На рис. 3.2.1а представлена
схема нерегулярного
последовательного соединения Т и П-образных четырехполюсников, а на
рис. 3.2.1б изображена схема регулярного последовательного соединения
тех же четырехполюсников.
63
Рис. 3.2.1а. Нерегулярное последовательное соединение
Т и П-образного четырёхполюсников.
Рис. 3.2.1б. Регулярное последовательное соединение
Т и П-образного четырёхполюсников.
64
Как видно из схемы рис. 3.2.1а в результате последовательного
соединения четырехполюсников сопротивление R5 оказалось закороченным,
вследствие
изменились
не
только
параметры
элементов
П-образного
четырехполюсника (R5=0), но и его структура (вместо соединения резисторов
R4 R5 R6 в треугольник сопротивление R4 и R6 оказались соединены
параллельно).
На рис. 3.2.1б показано регулярное последовательное
соединение тех же четырехполюсников.
Можно сказать, что для выполнения условия регулярности при
последовательном соединении Т и П-образных четырехполюсников общие
зажимы их должны быть объединены, что выполняется в данном случае, если
использовать «перевернутый» П-образный четырехполюсник. Таким образом,
последовательное соединение четырехполюсников Т и П-образных схем с
общими закороченными выводами является регулярным.
Как уже
указывалось перед записью уравнений объединенного
эквивалентного четырехполюсника, образованного соединением в матричной
форме
двух
различных
четырехполюсников,
необходимо
проверить,
выполняется ли условие регулярности для заданного соединения. Проверка
проводится по схемам, приведенным ниже.
Рис. 3.2.2. Проверка условия регулярности при последовательном соединении:
а) прямая передача; б) обратная передача.
65
Рис. 3.2.3. Проверка условия регулярности при параллельном соединении:
а) прямая передача; б) обратная передача.
Рис. 3.2.4. Проверка условия регулярности при последовательно-параллельном соединении:
а) прямая передача; б) обратная передача.
Если при питании схемы рис. 3.2.2а со стороны зажимов m–n (прямое
питание) напряжения Uab=0 и при питании схемы рис. 3.2.2б со стороны
зажимов 2,2’ (обратное питание) напряжение Uсd=0, то условие регулярности
выполняется. Если же, например, U ab  0 , то соединение нерегулярно
(см. далее пример 3.2.1).
Условие
регулярности
при
параллельном
соединении
четырехполюсников проверяется по схемам рис. 3.2.3 а и б. Если при питании
со стороны первичных зажимов m–n (Uab=0)
и при питании со стороны
вторичных зажимов p–q напряжение Uсd=0, то условие регулярности
выполняется;
при
не
соблюдении
этих
условий
соединение
четырехполюсников нерегулярно.
Для проверки условия регулярности при последовательно-параллельном
соединении четырехполюсников используются схемы рис. 3.2.4 а и б. Если
66
при питании со стороны зажимов m-n (Uab=0) и при питании со стороны
зажимов p–q напряжение Uсd=0, то условие регулярности выполняется, в
противном случае соединение является нерегулярным.
Условие регулярности можно проверять как аналитически, так и
экспериментально, используя приведенные выше схемы и оценивая показания
вольтметров, включенных для измерения соответствующих напряжений. При
этом проверка регулярности может быть произведена и по оценке токов,
протекающих в цепях соединенных четырехполюсников.
Пример 3.2.1. Проверить условия регулярности последовательного
соединения Т и П-образного четырехполюсников, изображенных на рис. 3.2.5.
m
n
R3
R1
R3
а
b
R5
R6
R4
p
q
Рис. 3.2.5. Схема последовательного соединения
Т и П-образных четырехполюсников.
Проверим
условия
расчета
последовательного
соединения
Т
и
П-образных четырехполюсников.
Вычислим напряжение Uab для схемы, изображенной на рис. 3.2.5. Уже
качественный анализ схемы дает возможность сделать вывод о том, что
U ab  0
и, следовательно, соединение нерегулярно. Для количественного
определения Uab воспользуемся преобразованием схемы.
67
Rbx  R1  R3 
R
R4 ( R5  R6 )
E
.Ток I 1  I 2 
, ток I 5  I 2
.
R 4  R5  R 6
Rbx
R4  R5  R 6
Рассмотрим средний контур К. Проанализируем второй
вариант
соединения, изображенный на рис.3.2.1б. Как видно из схемы, участок «а–в»
оказывается в этом случае закороченным, следовательно, напряжение Uab=0.
Кроме того, при обратном питании т.е. при питании со стороны зажимов
2,2’ участок cd так же оказывается закороченным, т. е. Uсd=0.
Таким образом, выполняются оба условия регулярности, следовательно,
соединение, изображенное на рис. 3.2.1б является регулярным. Помимо
каскадного,
к
уравновешенных
регулярным
относится
четырехполюсников,
параллельное
подобных
соединение
четырехполюсников,
треугольных четырехполюсников, если их общие зажимы соединены
накоротко. Регулярным является последовательное соединение треугольных
четырехполюсников (например Т и П-образных), общие зажимы которых
объединены (см., на пример рис. 3.2.1б с «перевернутым» П-образным
четырехполюсником).
Регулярного соединения четырехполюсников можно добиться в цепях
переменного тока, используя промежуточные трансформаторы, причем в ряде
случаев можно принять коэффициент трансформации равный 1:1, т. е.
использовать
идеальный
трансформатор.
Далее
будут
использоваться
различные типы соединений четырехполюсников, удовлетворяющие условию
регулярности.
3.3. Последовательное соединение четырёхполюсников
Рассмотрим
так
называемое
последовательное
четырехполюсников Z/ и Z// (рис. 3.3.1).
68
соединение
двух
I1
I1/
U1/
U 1
I2
I2/
U 2/
Z/
I1//
U 2
I2//
U1//
U 2//
Z //
Рис. 3.3.1. Схема последовательного соединения
четырёхполюсников.
При таком соединении имеем:
U 1  U 1  U 1 ;
При
U 2  U 2  U 2
этом
целесообразно
и
I1  I1  I1 ;
I2  I2  I2 .
воспользоваться
уравнениями
четырехполюсника, записанными через Z-параметры:
U 1 '   Z 11 ' Z 12 '
 

U 2 '  Z 21 ' Z 22 ' 
 I1 ' 
  ;
 I 2 '
U 1 ' '   Z 11 ' ' Z 12 ' '
 

U 2 ' '  Z 21 ' ' Z 22 ' ' 
 I1 ' ' 
  .
 I 2 ' '
Получаем уравнение эквивалентного четырехполюсника:
U 1  U 1 '  U 1 "   Z 11 ' Z 12 '
   

U 2  U 2 ' U 2 "  Z 21 ' Z 22 ' 
 Z 11 ' Z 11 " Z 12 ' Z 12 "  I1 

  
 Z 21 ' Z 21 " Z 22 ' Z 22 "  I2  .
 I1 '   Z 11 ' ' Z 12 ' '
   

 I 2 '  Z 21 ' ' Z 22 ' ' 
Таким
последовательном
образом,
при
 I1 ' ' 
  
 I 2 ' '
соединении
двух
четырехполюсников матрица Z-параметров эквивалентного четырехполюсника
равна сумме матриц Z-параметров отдельных четырехполюсников.
Пример
3.3.1.
Рассмотрим
последовательное
соединение
четырёхполюсников (рис. 3.3.2.). Определить параметры эквивалентного
четырёхполюсника.
69
 j2
m/
p/
2
/
/
Z1
Z2
/
Z3
j4
n/
q/
//
//
Z1
Z2
p//
2
j4
 j2
//
Z3
n//
q//
Рис. 3.3.2. Т-образные схемы четырёхполюсников.
Решение
Регулярное соединение четырёхполюсников – это такое соединение, при
котором
токи,
протекающие
через
оба
первичных
зажима
каждого
четырехполюсника, будут равны и противоположны по направлению.
Аналогичное правило относится и к выходным зажимам.
На практике при регулярном соединении отдельные проводники одного
четырехполюсника не должны замыкать элементы другого, т. е. приводить к
изменению его параметров. Другими словами, после соединения параметры
каждого четырёхполюсника в отдельности не должны изменяться.
Применительно
к
соединениям
простейших
схем
Т-образных
четырехполюсников условие регулярности будет выполняться, если общий
провод каждого из четырехполюсников в соединении не замыкает собой
элементы
другого
четырехполюсника.
Для
того
чтобы
соединение
четырёхполюсников было регулярным, один из них надо «перевернуть».
70
Рис. 3.3.3. Регулярное соединение Т-образных четырёхполюсников.
При последовательном соединении четырёхполюсников складываются
их Z-матрицы.
Параметры первого простого четырёхполюсника представленного на
рисунке 3.3.2:
Z 11  Z 1  Z 3  j 2,
/
/
/
Z 12   Z 21   j 4,
/


Z 22   Z 2  Z 3  2  j 4.
/
/
/
Параметры второго простого четырёхполюсника представленного на
рисунке 3.3.2:
Z 11  j 2,
//
Z 12   Z 21  j 2,
//
//


Z 22   Z 2  Z 3  2  j 2.
//
//
//
Общая эквивалентная матрица схемы рисунка 3.3.3 будет иметь вид:
/
//
/
//
 Z 11
 Z 11 Z 12  Z 12   j 2  j 2
Z Ý    /

//
/
//
 Z 21  Z 21 Z 22  Z 22   j 4  j 2
 j 4  j 2  j 4  j 2 

.
 4  j 2   j 2  4  j 2
Откуда получаем параметры эквивалентной общей схемы:
Z 11  j 4,
Z 12   Z 21   j 2,
Z 22  4  j 2.
Непосредственно
из
рисунка
четырёхполюсника имеем:
71
3.3.3
для
эквивалентного
Z11  Z1  Z 3  j 2  j 2  j 4,
Z12   Z 21   Z 3   j 2,
Z 22  Z 2  Z 3   4  j 2.
Полученные двумя способами результаты совпадают.
Пример
3.3.2.
Определить
параметры
двух
последовательно
соединённых одинаковых четырёхполюсников с исходными параметрами:
Z 1  10 , Z 2  j10 , Z 3   j 20 , представленными на рисунке 2.1.2.
Решение
Определим Z-параметры простейших четырёхполюсников, входящих в
сложный четырёхполюсник, соединённый по схеме рисунка 2.1.3.
Из формулы (1.2.6.) и условий примера 2.1.1
применительно к
рассматриваемому четырехполюснику имеем:
Z 11 
U1
I1
Z 21 
U 2
I1
Z 12 
U1
I2
Z 22 
U 2
I2

I2  0



I1 Z 1  Z 3  I1 Z 1
 Z 3   j 20 Ом;
I1

 I2 Z 2  Z 3  I2 Z 2
  Z 3  ( j 20)  j 20 Ом;
I2
I2  0
I1  0
U1
 Z 1  Z 3  10  j 20 Ом;
U1
Z1  Z 3

I1  0


 U 2
  j10  ( j 20)   j10 Ом.
U 2
Z2  Z3
Получили Z -параметры простейших четырёхполюсников, входящих в
состав сложного:
 
/
/
 Z 11
Z 12  10  j 20
Z  /

/ 
 Z 21 Z 22    j 20
/
Z 
//
 Z //
  11
//
 Z 21
j 20  Z 1/  Z 3/

j10   Z 3/

,
 ( Z  Z )
//
//
//
Z 12  10  j 20 j 20   Z 1  Z 3


//
// 
Z 22    j 20  j10  Z 3
 Z3
/
/
1
/
3

.
 ( Z  Z )
Z3
//
//
1
Тогда уравнения простейших четырёхполюсников:
72
//
3
/
/
U1/  Z 11
 I1/  Z 12  I1/
 /
/
/
/
/
U 2  Z 21  I1  Z 22  I1
(3.3.1)
//
//
U1//  Z 11
 I1//  Z 12  I2//
  //
//
//
 //
 //
U 2  Z 21  I1  Z 22  I 2
(3.3.2)
Определим Z-параметры сложного четырёхполюсника. Для этого
преобразуем исходное соединение в эквивалентную схему, удобную для
дальнейших расчётов. Получаем схему, представленную на рисунке 3.3.4.
1
2
j10
10
 j 20
 j 20
10
1
j10
/
2/
Рис. 3.3.4. Эквивалентная расчетная схема
последовательного соединения четырёхполюсников.
Из схемы видно, что I1  I1/  I1// ; I2  I2/  I2// , а U1  U1/  U1// ; U 2  U 2/  U 2// ,
тогда для последовательного соединения четырёхполюсников, складывая на
основании II-ого закона Кирхгофа (3.3.1) и (3.3.2), получим:
/
//
/
//
 U1  U1/  U1//  ( Z 11
 Z 11 )  I1  ( Z 12  Z 12 )  I2  Z 11  I1  Z 12  I2

/
//
/
//
 /  //




U 2  U 2  U 2  ( Z 21  Z 21 )  I1  ( Z 22  Z 22 )  I 2  Z 21  I1  Z 22  I 2
Откуда Z-параметры сложного четырёхполюсника
Z   Z /  Z // .
Находим для заданного сложного четырёхполюсника
Z   Z /  Z //   
10  j 20 j 20 10  j 20 j 20 20  j 40


j10   j 20
j10    j 40
 j 20
Проведём
проверку
Z-параметров
сложного
j 40
.
j 20
четырёхполюсника
(рис. 3.3.4). По формулам (1.2.6.) рассчитаем параметры холостого хода
сложного четырёхполюсника:
73
Z 11 
U 1
I
1
I2 0

U 1
U
 Z 1  Z 3  20  j 40 Ом;
1
Z1  Z 3
Z 21 
U 2
I1
Z 22 
U 2
I2
I2  0
I1 0




 U 2
U 2
  j10  j 20  j 20  j10   j 20 Ом;
I1 Z 1  Z 3  I1 Z 1
 Z 3   j 40 Ом;
I1
Z2  Z3
Z 12 
U 1
I2
I1  0



 I2 Z 2  Z 3  I2 Z 2
  Z 3  j 40 Ом.
I2
Далее преобразуем исходную эквивалентную схему (рисунок 3.3.4) для
работы под нагрузкой с исходными параметрами U 2  10 В; Rн  10 Ом
(рисунок 3.3.5):
а)
б)
Рис. 3.3.5. Эквивалентная схема сложного четырёхполюсника
с нагрузкой: а) исходная, б) расчётная.
Находим:
U
10
I2  2 
 1 А;
Rн 10
74
U ab
10  j 20
1
1
U ab  I2  2  j  10  U 2  1  2  j  10  10  j 20 В; I3 

   j А;
 j 40
 j 40
2
4
I1  I2  I3  1  (0,5  j 0,25)  0,5  j 0,25 А;
U 1  I1  2  10  U ab  (0,5  j 0,25)  20  10  j 20  20  j 25 В;
Получили:
I1  0,5  j 0,25 А;
U 1  20  j 25 В;
I1 , I2 , U 1 , U 2
Подставим
в
уравнение
Z -параметров
сложного
четырёхполюсника:
U 1  Z 11  I1  Z 12  I2 ,

U 2  Z 21  I1  Z 22  I2 .
Z 11  I1  Z 12  I2  (20  j 40)  (0,5  j 0,25)  j 40  1  20  j 25  U 1
Z 21  I1  Z 22  I2   j 40  (0,5  j 0,25)  j 20  1  10  U 2 (верно!)
3.4. Параллельное соединение четырёхполюсников
Рассмотрим параллельное соединение двух четырехполюсников Y/ и Y//
(рисунок 3.4.1).
I1
I1
U 1
I2/
Y/
I1//
U1//
U 1 '
U 2/
I2//
Y//
U 2//
Рис. 3.4.1. Параллельное соединение четырёхполюсников.
75
I2
U2
При таком соединении имеют место равенства: U1  U1/  U1// и U 2  U 2/  U 2//
U1  U1 '  U1" 
или в матричной форме:       
.



U
U
'
U
"
 2  2   2 
Поэтому в качестве подходящей системы уравнений следует выбрать ту,
в которой токи выражаются через напряжения, т.е. систему Y-параметров.
Составим матрицы для простейших четырехполюсников:
 I1 '  Y 11 ' Y 12 ' U 1 ' 
   
  
 I 2 ' Y 21 ' Y 22 '  U 2 '
и
 I1 ' '  Y 11 ' ' Y 12 ' '
   

 I 2 ' ' Y 21 ' ' Y 22 ' ' 
U 1 ' ' 
 .
U 2 ' '
Так как I1  I1/  I1// , I2  I2/  I2// то:
 I1   I1 '   I1 ' '  Y 11 ' Y 12 ' U1 '  Y 11 ' ' Y 12 ' '

         
 
Y
'
Y
'
I
I
'
I
'
'
U
'
Y
'
'
Y
'
'


21
22
 2  2   2 
 2   21
22 
U1 ' ' 
  .
U 2 ' '
Имея в виду равенство матриц напряжений, получаем:
 I1   Y 11 ' Y 12 ' Y 11 ' ' Y 12 ' ' 
   = 
  Y ' ' Y ' ' 
Y
'
Y
'
I
22   21
22  
 2    21
U1  Y 11 'Y 11 ' ' Y 12 'Y 12 " 
  

U 2  Y 21 'Y 21 ' ' Y 22 'Y 22 "
U1 
  .
U 
2
Следовательно, при параллельном соединении четырехполюсников
матрица
есть
Y-параметров
четырехполюсников.
сумма
Рассмотрим
матриц
параллельное
Y-параметров
отдельных
соединение
подобных
четырёхполюсников.
Пример 3.4.1.
Пусть
четырёхполюсники
E и
F
представлены
П-образными эквивалентными схемами с параметрами Z 5/  3 Ом, Z 4/  j 3 Ом,
Z 6   j 3 Ом, Z 5  6 Ом, Z 4  j 6 Ом, Z 6   j 6 Ом (рис. 3.4.1.)
/
//
//
//
Определить параметры эквивалентного четырёхполюсника.
76
Рис. 3.4.1. Схема параллельного соединения
двух простых четырёхполюсников E и F.
Решение
Общее решение задачи через Y-параметры описывается системой
уравнений:
 I1  Y11U1  Y12U 2 ,

 I 2  Y21U1  Y22U 2 .
Для
этого,
определим
частные
коэффициенты
простых
четырёхполюсников E и F входящих в схем. Запишем для П-схемы
коэффициенты в общем виде:
Y 11 
 1
1
1
1
1 
.
 ; Y 12  
 Y21; Y 22  

Z4 Z5
Z4
 Z4 Z6 
Тогда для четырёхполюсника Е:
Y 11 
/
1
1
1 1 1 1
 /     j См,
/
Z 4 Z 5 j3 3 3 3
Y 12  Y 21 
/
/
1
1
 j См,
/
3
Z4
77
 1
 1
1 
1 
/
  0 .
Y 22   /  / .   
 j3  j3 
 Z4 Z6 
Аналогично для четырёхполюсника F:
Y 11 
//
1
1
1 1 1
1
 // 
   j См,
//
j6 6 6
6
Z4 Z5
Y 12  Y 21 
//
//
1
1
 j См,
//
6
Z4
 1
 1
1 
1 
//
  0 .
Y 22   //  // .   
 j6  j6 
 Z4 Z6 
После выполненных вычислений эквивалентная матрица схемы будет
 j 1 j 1
j
  
/
//
/
//
Y 11
 Y 11 Y 12  Y 12   3 3 6 6

иметь вид: Y Ý    /

3


//
/
//
Y 21  Y 21 Y 22  Y 22    j  j
0
 3 6
1 j
j
j  
2

6 
2 .

  j
0
 
 2
Откуда можем определить:
Y 11 
j 1
j
 , Y 12   Y21 , Y 22  0.
2
2
2
Найдём коэффициенты четырёхполюсника непосредственно из схемы
рисунка 3.4.1. предварительно упростив её по правилам преобразования
электрических схем (рисунок 3.4.2.)
Рис. 3.4.2. Преобразованная схема, эквивалентная параллельному соединению
четырёхполюсников E и F.
Тогда: Y Ý 11 
1
1
1 1
1 1
1
1
j


   j  См, Y Ý 12  

  См,
Z Ý4 Z Ý5
j2 2
2 2
ZÝ4
j2
2
 1
1   1
1 
   
  0 .
Y Ý 22  

 Z Ý 4 Z Ý 6   j2  j2 
Полученные двумя способами результаты совпадают.
78
Пример 3.4.2. Определить параметры двух одинаковых параллельно
соединённых четырёхполюсников с исходными параметрами: Z 1  10 , Z 2  j10 ,
Z 3   j 20 , представленными на рисунке 2.1.2.
Определим Y-параметры простого четырёхполюсника, входящего в
состав сложного. Рассмотрим режим короткого замыкания со стороны выхода
( U 2  0 ).
Тогда
Z
/
âõ1
/
/
/
Z 2  Z 3  / U1/  /  / Z 3

Z  /
,
; I1  / ; I 2  I1 /
/
/
Z2  Z3
Z âõ2
Z2  Z3
где
/
1
/
Z âõ1
–
сопротивление четырёхполюсника со стороны входных зажимов, I1/ и I2/ –
входной и выходной токи в режиме короткого замыкания.
После чего находим по формуле 1.2.6 – для П-образных:
Y
Y
/
11
/
21
I1/
 /
U1
I/
 2/
U1
U 2/  0
1
Z Z
 /  / / 2 / 3/
 0,02  j 0,04 См;
/
/
Z в х1 Z 1  Z 2  Z 1  Z 3  Z 2 Z 3
U 2/  0
1
Z
Z3
 /  / 3 /  / /
 0,04  j 0,08 См,
/
/
/
/
Z в х1 Z 2  Z 3 Z 1  Z 2  Z 1  Z 3  Z 2  Z 3
/
/
/
/
где Z 1/  Z 2/  Z 1/  Z 3/  Z 2/  Z 3/  200  j100 Ом.
Рассмотрим режим короткого замыкания со стороны входа ( U 1  0 )
Z âõ2  Z 2 
/
/
/
/
/
Z 1  Z 3 /
U 2/
 /  I / Z 3 .
I


;
I
;
2
1
2
/
/
/
/
/
Z âõ2
Z1  Z 3
Z1  Z 3
Тогда получим:
Y 12 
/
Y 22 
/
I1/
U 2/
/
//  
U 1/  0
/
1
Z
Z3
 / 3 /  / /
 0,04  j 0,08 См;
/
/
/
/
/
Z вх2 Z 1  Z 3
Z1  Z 2  Z1  Z 3  Z 2  Z 3
/
/
I2/
1
Z1  Z 3




 0,08  j 0,06 Ñì .
/
/
/
/
/
/
/
U 2/ U /  0
Z âõ2
Z1  Z 2  Z1  Z 3  Z 2  Z 3
1
Определяем
простейших
Y-параметры
рассматриваемых
четырёхполюсников:
 j 0,04
Y   Y   00,,02
04  j 0,08
/
//

 0,04  j 0,08
.
 0,08  j 0,06
Определяем Y-параметры сложного четырехполюсника, включающего в
себя два простых и соединённых параллельно по схеме рисунка 3.4.1.
Получаем Y-параметры сложного четырёхполюсника:
79
Y   Y /  Y //   
0.02  j 0.04
0.04  j 0.08
0.02  j 0.04

0.04  j 0.08
 0.04  j 0.08

0.08  j 0.06 
 0.04  j 0.08  0,04  j 0,08  0,08  j 0,16
.

0.08  j 0.06  0,08  j 0,016  0,16  j 0,12 
Рассмотрим работу схемы, приведённой на рисунке 3.4.1 под нагрузкой.
Пусть RH  10 Ом; U 2  10 В (см. рис. 3.4.3).
Рис. 3.4.3. Эквивалентная схема четырёхполюсника
для работы под нагрузкой.
Тогда
U
10
I2  2 
 1 А.
RH 10
Из
Y-формы
систем
уравнений
четырехполюсника, находим:
  I2  Y 22  U 2 1  (0,16  j 0,12) 10

 12,5  j10, Â;
U1 
Y21
0,08  j 0,16

I  Y  U  Y  U  (0,04  j 0,08)  (12,5  j10)  (0,08  j 0,16) 10  1  j1, À.
11
12
1
2
1
(3.4.1)
Произведём проверку. Рассчитаем эквивалентную электрическую цепь с
параметрами Z 1  10 Ом; Z 2  j10 Ом; Z 3   j 20 Ом; U 2  10 В; RH  10 Ом.
Необходимо определить: I2 ; I1; U 1 .
80
а)
б)
Рис. 3.4.4. Схемы цепи, эквивалентной параллельному соединению
четырёхполюсников: а) исходная, б) преобразованная.
Полагаем  C  0 (заземляем). Тогда 1   С  U 1  U 1 ,  2  Ñ  U 2  U 2 .
Для узлов (а) и (в) запишем уравнения по методу узловых потенциалов:
81
 1
 1
1
1 
1
1
1
1 
1
1
  1   2 
  1   2 

 0.


 0; â   
Z1
Z2
Z1
Z2
 Z1 Z 2 Z 3 
 Z1 Z 2 Z 3 
a  
1
1
U1
 U 2
Z2
Из (2.7) и (2.8) => a  â.. Находим a  b  Z 1
.
1
1
1


Z1 Z 2 Z 3
Для токов в схеме:
1
1


U1 
 U 2 



  2 в  2
  U 2
1
Z1
Z 2 U2 
I2  I2  I2  a

 2 a
 2 
 
1
1
1
Z2
Z2
Z2
Z2 
Z2




Z1 Z 2 Z 3
 1
1
1 

U1 
 U 2   
Z1
Z
Z
1
3 
 1
2

;
1
1
1
Z2


Z1 Z 2 Z 3
1
1

U1 
 U 2 

  a 1  в
U  a
1
Z1
Z2
I1  I1  I1  1

 2 1
 2   U1 

1
1
1
Z1
Z1
Z1
Z1



Z1 Z 2 Z 3







 1
1   1
 U2 
U1 

Z 2 Z 3 
Z2
1

 2 
.
1
1
1
Z1


Z1 Z 2 Z 3
Откуда:

1
 1
1
1 
  U 2


U 1  Z 1   I2 Z 2  
Z2
Z3 
 Z1

2


 1
1 
1

  U 2 
U 1 

Z3 
Z2

2
Z2

.
I1 
1
1
1
Z
1




Z
Z
Z3
1
2

Из формул (3.4.2) находим:
 1
1
 

Z3
 Z1
U1  12,5  j10
.

 I1  0,5  j1
(3.4.2.)
Результат полностью
совпадает с формулой (3.4.1), что и требовалось доказать.
82

;

Глава 4. СЛОЖНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ
4.1. Последовательно-параллельное соединение
Далее
рассмотрим
последовательно-параллельное
соединение
четырёхполюсников (рис. 4.1.1).
Рис. 4.1.1. Схема последовательно-параллельного
соединения четырёхполюсников.
Для приведённой схемы справедливы выражения:
U 1  U 1/  U 1// ,
U 2  U 2/  U 2// ,
I  I /  I // ,
1
1
1
I2/  I2//  I2 .
Упрощённая
схема
U1/   H11/ H12/   I1/ 
 I1/ 
/



H
 /   / /    / 
  / ,
 I 2   H 21 H 22  U 2 
U 2 
U1//   H11// H12//   I1// 
 I1// 
//



H
  //   // //    // 
  // .
 I 2   H 21 H 22  U 2 
U 2 
последовательно-параллельного
четырёхполюсников имеет вид:
I1
U1
I2
U 2
H
H  H /  H //
Рис. 4.1.2. Эквивалентная схема последовательно-параллельного
соединения четырёхполюсников.
83
соединения
Для данной эквивалентной схемы справедливо выражение:
U1 
 I1 

H
 
 .
 I 2 
U 2 
Пример
4.1.1.
Определить
(4.1.1)
параметры
двух
последовательно-
параллельно соединённых четырёхполюсников с исходными параметрами:
первый четырёхполюсник:
Z 1   j10 Ом, Z 2  j10 Ом, Z 3  10 Ом, второй
/
/
/
четырёхполюсник: Z 1//  j10 Ом, Z 2//  10 Ом, Z 3//   j 20 Ом, представленными
на рисунке 3.1.2 и соединённых по схеме, представленной на рисунке 4.1.1.
Определим Н-параметры простых четырёхполюсников, входящих в
состав сложного.
Рассчитаем Н-параметры первого простого четырёхполюсника:
Z2 Z3
/
H 11  Z 1 
/
/
/
/
Z Z
/
2
H 12 
/
3
/
Z3
/
;
; H 21 
Z3
/
Z Z
/
2
/
3
; H 22  
1
/
Z Z
/
2
/
3
Z  Z3
/
2
/
.
Вычисления дают:
H   05.5 j5j0.5
/

0.5  j0.5

.
 0.05  j0.05 
Рассчитаем Н-параметры второго простого четырёхполюсника:
Z2 Z3
//
H
//
11
Z 
//
1
//
Z2  Z3
//
//
//
;
H
//
12

//
Z3
Z2  Z3
//
//
;H
//
21
Z
1
//
.
 // 3 // ; H 22   //
//
Z2  Z3
Z2  Z3
 0.8  j0.4 
8  j 6
.
 0.8  j0.4  0.02  j0.04 
Вычисления дают: H //   
Чтобы
избавится
от
нерегулярности
при
последовательно-
параллельном соединении простых четырёхполюсников, соединяем их как
показано на рисунке 4.1.3.
84
I1
/
//
Z1
Z2
I2
H/
/
Z3
U 1
U 2
//
RH
//
Z1
Z2
//
Z3
H //
Рис. 4.1.3. Последовательно-параллельное регулярное соединение четырёхполюсников.
H-параметры сложного четырёхполюсника рисунок 4.1.3 определяем
по формуле:
H   H /  H //   
5  j5
0.5  j0.5
 8  j6

0.5  j0.5  0.05  j0.05  0.8  j0.4
 0.8  j0.4
 0.3  j 0.1 
 13  j
.


 0.02  j0.04   0.3  j0.1  0.07  j 0.01
(4.1.2)
Проведём проверку правильности вычислений, проведённых для
получения формулы (4.1.2). Для этого рассчитаем схему в режиме работы под
нагрузкой.
Пусть RH  10 Ом, а U 2  10 В. Тогда I2  1 А, а входные ток и
напряжения определим через Н-параметры:
I  H 22U 2
I1  2
 5  j 2 ,
H 21
U 1  H 11 I11  H 12U 2  70  j 20 .
85
U
 70  j 20
Тогда: Z âõ   1 
 13,44  j1.37 Ом.
 5  j2
I1
Проведём
проверку.
Преобразуем
схему
рис.
4.1.3
к
виду,
приведенному на рисунке 4.1.4.
I1
/
/
Z1
Z2
a
/
Z3
.
c
U1
b
RH
Z
//
3
//
//
Z1
Z2
Рис. 4.1.4. Эквивалентная схема последовательно-параллельного
соединения четырёхполюсников с нагрузкой.
Рис. 4.1.5. Преобразованная схема последовательно-параллельного
соединения четырёхполюсников с нагрузкой.
Преобразуем треугольник сопротивлений Z 2/ , Z 3/ и RH в звезду
сопротивлений Z 21 , Z 2 H Z 3H и рассчитаем вновь полученные сопротивления:
Z2 Z3
 2  j 4 Ом; где
Z
/
Z 23 
/
Z  Z
86
/
2
 Z 3  RH  20  j10 Ом;
/
Z 2  RH
Z R
 2  j 4 Ом; Z 3H  3 H  4  j 2 Ом;
Z
Z
/
/
Z 2H 
Далее определим входное сопротивление с учётом преобразования:
(Z  Z 3H )  (Z 2  Z 2 H )
 Z  Z  Z 23  //3
 13,44  j1.37 Ом.
//
(Z 3  Z 3H )  (Z 2  Z 2 H )
//
Z вх
/
1
//
//
1
Данный результат совпадает с полученным результатом по формуле
(4.1.1), что подтверждает правильность применяемой методики расчёта.
Рассмотрим случай, когда параметры первого и второго четырёхполюсника равны: Z 1/  Z 1//  10 Ом, Z 2/  Z 2//  j10 Ом, Z 3/  Z 3//   j 20 Ом.
Определим
Н-параметры
первого
простого
четырёхполюсника,
входящего в состав сложного.
Z2 Z3
;
/
/
Z2  Z3
/
H 11  Z 1 
/
/
/
H 12 
/
/
Z3
Z
1
/
/
.
; H 21  / 3 / ; H 22   /
/
/
/
Z2  Z3
Z2  Z3
Z2  Z3
Вычисления дают:
 j 20
H   10
2
/


 j 0,1
2
Определим параметры второго простого четырёхполюсника
H 
//
//
 // Z 2//  Z 3//
 Z3 
 Z 1  //

//
Z 2  Z 3 Z 2//  Z 3//  10  j 20  2 



.
//
//

 j0.1
 1   2
Z2 Z3
 Z 1  //
//
// 
//
Z 2  Z 3 Z 2  Z 3 

H-параметры сложного четырёхполюсника рисунок 4.1.3 определяем
по формуле:
H   H /  H //   
10  j 20 2
2
 10  j 20  2  20  j 40 0



.


 j 0.1  2
 j 0.1 0
 j 0.2
(4.1.3)
В выражении (4.1.3) на побочной диагонали стоят нули. Это вызвано
тем, что: Z 1/  Z 1// ; Z 2/  Z 2// и Z 3/  Z 3// , т.е. были взяты два одинаковых простых
четырёхполюсника.
Как следствие, для двух одинаковых простых четырёхполюсников при
соединении в сложный уравнение (4.1.1) принимает вид:
87
U 1  H 11 I1  H 12U 2  20  j 40I1

I 2  H 21 I1  H 22U 2   j 0.2U 2
Отсюда очевидно, что связь между токами и напряжениями на входе и
выходе
сложного
четырёхполюсника
вырождается
при
одинаковых
параметрах двух исходных четырёхполюсников.
4.2. Параллельно-последовательное
В
продолжение
темы
сложных
соединений
четырёхполюсника
рассмотрим параллельно-последовательное соединение четырёхполюсников
(рисунок 4.2.1)
I1
I1/
I2/
I2/
m
p
F'
U 1
U 2/
n
I1//
U 2
I2//
U 2//
F //
q
Рис. 4.2.1. Схема параллельно-последовательного
соединения четырёхполюсников.
U1  U1/  U1//
U  U /  U //
2
2
2
I2  I2/  I2//
I  I /  I //
1
Схематично
1
1
 I1/   F11/ F12/  U1/ 
U1/ 
/
  /    / /     /   F   / ;
U 2   F21 F22   I 2 
 I 2 
 I1//   F11// F12//  U1/ 
U1// 
/



F
  //   // //    / 
  // .
U 2   F21 F22   I 2 
 I 2 
упрощённая
схема
последовательно-параллельного
соединения четырёхполюсников имеет вид (рисунок 4.2.2.):
88
I1
I2
U1
U 2
F
F  F /  F //
Рис. 4.2.2. Упрощённая схема параллельно-последовательного
соединения четырёхполюсников.
Для данной упрощённой схемы справедливо выражение:
 I1 
U1 

F
 
 .
U 2 
 I 2 
Пример
4.2.1.
Определить
параметры
двух
параллельно-
последовательно соединённых четырёхполюсников с исходными параметрами:
первый четырёхполюсник: Z 1/   j10 , Z 2/  j10 , Z 3/  10 , второй четырёхполюсник:
Z 1  j10 , Z 2  10 , Z 3   j 20 , представленными на рисунке 3.1.2 и
//
//
//
соединённых по схеме рисунка 4.2.3.
Определим
F-параметры
первого
простого
четырёхполюсника
входящего в состав сложного четырёхполюсника. Из опыта холостого хода и
короткого замыкания, применив формулы (1.2.8) получим следующие Fпараметры простого четырёхполюсника:
 1
Z /  Z /
1
3
/
F 
/
 Z3
 /
/
 Z1  Z 3
 
Получим


  0,05  j 0,05 0,5  j 0.5 .

/
/
 5  j 5 
 / Z 1  Z 3  0,5  j 0.5



Z2  /
/
Z 1  Z 3 

/
Z3
/
/
Z1  Z 3
второго
F-параметры
простого
четырёхполюсника:
1

 Z //  Z //
1
3
//
F =
//
  Z3
 //
//
 Z1  Z 3
 



  j 0 .1  2
=
.

//
//
 // Z 1  Z 3    2  10  j 20

  Z 2  //
// 


Z

Z
1
3 

 Z3
//
//
Z1  Z 3
//
89
простейшего
/
Z1
/
I2
//
U 2
Z2
I1
/
Z3
U 1
//
Z1
Z2
RH
//
Z3
Рис. 4.2.3. Схема параллельно-последовательного соединения четырёхполюсников.
Тогда,
применяя
формулу
для
параллельно-последовательного
соединения четырёхполюсников, получаем:
F = F /  F //   
0.05  j 0.05 0.5  j 0.5  j 0.1  2

+
=

 5  j 5    2  10  j 20
0.5  j 0.5
0,05  j 0.15  1.5  j 0.5
.
 1.5  j 0.5  15  j 25 
=
Рассмотрим работу схемы параллельно-последовательного соединения
четырёхполюсников под нагрузкой.
Пусть RH  10 Ом, а U 2  10 В. Тогда I2  1 А, а входные ток и
напряжения выразим через F-параметры:
U  F 22 I 2
U 1  2
 10  j 20 ,
F 21
I1  F 11U 11  F 12 I2  1  j 2 .
90
Тогда:
Z вх 
U1  10  j 20

 6  j8.
I1
1  j2
(4.2.1)
Преобразуем исходную схему к виду (рисунок 4.2.4).
/
/
Z1
Z2
а
/
Z3
RH
с
Z вх1
//
Z3
//
//
Z1
Z2
b
Рис. 4.2.4. Расчетная схема параллельно-последовательного
соединения четырёхполюсников.
Рис. 4.2.5. Эквивалентная схема параллельно-последовательного
соединения четырёхполюсников.
91
Для схемы (рисунок 4.2.5.) преобразуем треугольник сопротивлений
Z 3 , Z 3 и Z 2 H  Z 2  Z 2  RH в эквивалентную звезду Z a , Z b , Z c . Тогда получим:
/
//
/
Z  Z
/
3
//
 Z 3  Z 2 H  30  j10;
//
Z 3  Z 2H
 5  j5;
Z
/
Z 3H 
/
Z  Z 2H
 3H
 10  j10;
Z
//
Z
//
3H
Z 3/  Z 3

 2  j 6.
Z
//
Z 23
Тогда входное сопротивление:
/
/
//
//
(Z 1  Z a )  (Z 1  Z b )
(Z  Z 3H )  (Z 1  Z 3H )
.
Z вх1  Z 33  /1
 6  j8  Z c  /
/
//
//
(Z 1  Z 3H )  (Z 1  Z 3H )
(Z 1  Z a )  (Z 1  Z c )
/
//
//
Данный результат полностью совпадает с формулой (4.2.1), откуда
вытекает корректность применения применяемой методики расчёта F-параметров параллельно-последовательного соединения четырёхполюсников.
Рассмотрим
случай,
когда
параметры
первого
и
второго
четырёхполюсника равны: Z 1/  Z 1//  10 , Z 2/  Z 2//  j10 , Z 3/  Z 3//   j 20 .
Тогда
получим
следующие
F-параметры
первого
простого
четырёхполюсника:
 1
Z /  Z /
1
3
/
F 
/
 Z
 / 3 /
 Z 1  Z 3
 


 0,02  j 0,04 0,8  j 0,4
.

/
/
 8  j 6 
 / Z 1  Z 3  0,8  j 0,4

  Z 2  /
/ 

Z

Z
1
3 

/
Z3
/
/
Z1  Z 3
F-параметры второго простого простейшего четырёхполюсника:
1

 Z //  Z //
1
2
//
F =
//
 Z3
 //
//
 Z 1  Z 3
 


 0,02  j 0,04  0,8  j 0,4
=
.
 // Z //  Z //   0,8  j 0,4  8  j 6

3 
  Z 2  //1
//


Z 1  Z 3 


 Z3
//
//
Z1  Z 3
//
92
F = F /  F //   
0,02  j 0,04 0,8  j 0,4 0,02  j 0,04  0,8  j 0,4
+
=
 8  j 6   0,8  j 0,4  8  j 6
0,8  j 0,4

0,04  j 0,08 0

.
 16  j12
0
=
Уравнение четырёхполюсника в F-форме принимает численный вид
 I1  F 11  U 1  F 12  I2  (0,04  j 0,08)  U 1 ;

U 2  F 21  U 1  F 22  I2  (16  j12)  I2 ;
Данное уравнение является вырожденным, т. к. оно не дает связи
между входными и выходными параметрами четырёхполюсников, что связано
с одинаковыми параметрами простейших четырёхполюсников входящих в
состав сложного: Z i/  Z i// (i  1,2,3).
4.3. Смешанное соединение четырёхполюсников
Любая применяемая на практике электрическая цепь состоит из
нескольких обязательных элементов: источника энергии, потребителя энергии,
соединительных проводов и т. д. При анализе сложной электрической цепи
всю цепь или отдельные её части можно представить четырёхполюсниками
или соединением четырёхполюсников. При этом в общем случае можно
говорить о смешанном соединении четырёхполюсников.
Смешанное соединение четырёхполюсников по аналогии со смешанным
соединением двухполюсников можно представить как объединение отдельных
групп параллельно или последовательно соединённых четырёхполюсников.
При этом сами группы могут быть соединены различным образом, в частности
– каскадно.
Рассмотрим
в
качестве
примера
смешанное
соединение
трёх
четырехполюсников M, N и К (рис. 4.3.1). Как видно из рисунка,
четырёхполюсники N и К соединены параллельно. Если их заменить одним
эквивалентным (обозначим его Nэ), то эквивалентный четырёхполюсник Nэ
окажется соединённым с четырёхполюсников М каскадно. Используя правила
93
параллельного и каскадного соединения четырёхполюсников, можно заменить
все три одним.
I2 A
I1 A
U 1
I2 B
I1B
N
М
RH
I3 A
I3 B
К
Рис. 4.3.1. Эквивалентная схема электрической цепи
при смешанном соединении.
Предположим, что уравнения каждого из трёх четырёхполюсников
U  A  U 2  B  I2
заданы в А-форме:  1
.
 I1  C  U 2  D  I2
На первом этапе упрощения схемы два параллельно соединённых
четырёхполюсника N и К заменим одним эквивалентным. При параллельном
соединении четырёхполюсников уравнения следует записать в Y-форме.
/
Y 11
Для четырёхполюсника N: Y   /
Y 21
/
/
1 
Y12  1  A22


,
/ 
/
 A11/ 
Y 22  A12 1
//
Y 11
//
//
1 
Y12  1  A22



.
//
//
 A11// 
Y 22  A12 1
/
Для четырёхполюсника К: Y //  
Y 21
//
94
Тогда
для
четырёхполюсника
Nэ,
эквивалентного
параллельному
соединению четырёхполюсников N и К, матрица YÝ определяется сложением
матриц Y / и Y / / :
/
Y 11
YÝ Y Y   /
Y 21
/
//
/
//
Y12  Y 11
   //
/
Y 22  Y 21
//
/
Y12 
1  A22  1 
+
 / 
/ 
//
Y 22  A12 1  A11 
1
A12//
 A22
1

//
1 
.
 A11// 
После всех выполненных преобразований, схему на рисунке 3.9 можно
заменить упрощённой (рисунок 4.3.2).
I1
I2
RH
U 1
U 2
NЭ
М
Рис. 4.3.2. Упрощённая эквивалентная схема электрической цепи.
Данное соединение четырёхполюсников является каскадным, для
которого, как известно, справедливы следующие уравнения.
U 1   A11 À12
   
 I1   À21 À22
  N Ý 11 N Ý 12  U 2   D11 D12  U 2 

     D D  I  ,
N
N
  Ý 21 Ý 22   I 2   21 22   2 
где:
D11  A11 ÀÝ 11  A12 ÀÝ 21, D12  A11 ÀÝ 12  A12 ÀÝ 22 , D21  A21 ÀÝ 11  A22 ÀÝ 21 , D22  A21 ÀÝ 12  A22 ÀÝ 22
т. е.
U1  D11U 2  D12 I 2 ,
I1  D21U 2  D22 I 2 .
(4.3.1)
Теперь исходная схема будет представлена одним четырёхполюсником
D, эквивалентным каскадному соединению четырёхполюсников М и Nэ
(рисунок 4.3.3).
95
I1
I2
U 1
U 2
D
RH
Рис. 4.3.3. Эквивалентный четырёхполюсник смешанного
соединения исходных четырёхполюсников.
Рассчитаем
реальную
электрическую
цепь
(так
называемую
электровзрывную цепь), изображённую на рисунке 4.3.4.
МП
РС
RH
СУ
Рис. 4.3.4. Электровзрывная цепь.
Составляющие цепи на рис. 4.3.4 (МП – магистральные провода, РС –
распределительная цепь, СУ – сосредоточенная утечка) представлены на
рисунке 4.3.5 в виде эквивалентных Т-образных четырёхполюсников, с
соответствующими практике числовыми значениями.
96
Четырёхполюсник N
I1
5 Ом
5 Ом
200 Ом
200 Ом
U2
Rн=3 м
5000 Ом
U=600
2000 Ом
I2
500 Ом
500 Ом
Четырёхполюсник М,
5000 Ом
Четырёхполюсник К
Рис. 4.3.5. Эквивалентная схема электровзрывной цепи
в виде смешанного соединения четырёхполюсников.
Зададимся
значениями
конкретных,
соответствующих
часто
встречающимся в практике электровзрывания параметров цепи: напряжением
на входе U=600 В и выполним расчёты.
Матрица коэффициентов четырёхполюсника М:
/
 A11
M    /
A 21
Z1/  Z 2/ 
 Z1/
/
/
Z

Z

1

1
2

/
Z 3/  1.001 10.005
A12   Z 3/

,

/
 0.0002 1.001 
Z 2/
A22   1
1 /

 /
Z3
 Z3

Матрица коэффициентов четырёхполюсника N:
Z1//  Z 2// 
 Z1//
//
//
1  // Z1  Z 2  Z /  1.1
420  A11/ A12/ 
Z
3


N    3
,
 0.0005 1.1   A / A / 
 1
Z 2//
 21 22 
1  //

 //
Z
Z

 3
3

97
Матрица коэффициентов четырёхполюсника K:
///
 Z1
1  Z ///
K    3
 1
 Z ///
 3
Z
Z
///
1
1
///
2
Z 2///
Z 3///
Z 1///  Z 2/// 


Z 3/  1.1

 0.0002


//
//
1050
A11 A12 
  // //  .
1.1 
 A21 A22 
Так как четырёхполюсники N и K соединены параллельно, то определим
их Y-параметры:
/
Y 11
Y N    /
Y 21
Y 11
| Y K    //
Y 21
//
Параметры
/
/
 1  0.00261  0.00238
Y12 
1  A22




,
/
/
 A11/  0.00238  0.00261
Y 22  A12 1
//
//
 1  0.00104  0.00952
Y12 
1  A22




.
//
//
 A11//  0.00952  0.00104
Y 22  A12 1
четырёхполюсника,
эквивалентного
параллельному
соединению двух четырёхполюсников N и K:
/
Y 11
N Э   YN   YK    /
Y 21
Y12  Y 11 Y 12 

=
//
Y 22  Y 21 Y 22 
/
//
Y12  Y 11
   //
/
Y 22  Y 21
//
0.00366  0.00333
.
0.00333  0.00366
=
Переведём полученные
значения
параметров
в
А-форму,
тогда
А-параметры эквивалентного четырёхполюсника:
 Аэ11
Aэ   Аэ
 21
12 
1  Yэ 22



Аэ
22  Yэ 21   det Y
 Аэ11
Aэ   Аэ
 21
Аэ
 Аэ11
1 

 Аэ
,
где:
det
Aэ

Yэ
 21
11

Аэ
Аэ
12   1.1

4
22   7  10
Рассчитаем
эквивалентного
Аэ
Аэ
12 

22 
,
300 

1.1 
каскадное
магистральным
соединение
проводам
двух
четырёхполюсников:
четырёхполюсника
М,
эквивалентного параллельному соединению двух четырёхполюсников Nэ:
 A M/
M   A M  A Э   
 A M
/
/
A M   A Э11

/
A M   А Э 21
А Э12   A11 А12  1,1081 311,3 


.
А Э 22   А 21 А22  0,00092 1,1611
98
и
Тогда систему уравнений для рассматриваемой цепи можно записать в
виде:
U1  1.1081U 2  311.3I 2 ,
(4.3.2)
I1  0.00092U 2  1.1611I 2 .
Проверка
другими
методами
расчёта
подтвердила
правильность
применяемой методики расчёта. При этом были получены следующие
значения токов и напряжений: I1  2.22 А, I 2  1.907 А, U 2  5.721В.
Подставим найденные значения в правую часть системы уравнений 4.3.2:
1.1081  5.721  311.3  1.907  600
0.00092  5.721  1.1611  1.907  2.22
.
Полученные результаты совпадают. Расчёт проведён верно.
99
Заключение
В настоящее время, в связи с развитием науки и техники применение
теории четырёхполюсников при расчёте электрических цепей становится всё
более актуальным. Данное утверждение базируется, в частности, на том, что
четырехполюсники как средство представления элементов тракта передачи
сигналов в сложных цепях автоматики, телемеханики и связи, ЛЭП и т.п.,
применяются в инженерных расчетах при проектировании этих цепей и в
процессе их эксплуатации. Теория четырехполюсников позволяет наиболее
рациональным способом рассматривать условия передачи электрических
сигналов и энергии по трактам любой сложности.
Кроме
того,
применение
матричной
формы
записи
уравнений
четырёхполюсника позволяет использовать универсальные пакеты программ
MathCAD, Math Lab для проведения расчётов сложных схем высокого
порядка.
В настоящее время теория четырехполюсников успешно применяется
при решении задач различных типов, например, при анализе свойств сложных
разветвленных электрических цепей и многих электронных приборов
(транзисторов, усилителей). Также эту теорию используют для создания
электрических цепей с определенными передающими свойствами.
Рассмотренные в монографии методики и примеры расчетов систем,
параметров и схем замещения четырехполюсников в ряде случаев дополняют
существующие методы анализа электрических цепей с четырёхполюсными
устройствами и могут быть использованы при решении как теоретических, так
и практических задач электротехники, в которых применяются реальные
устройства, представляемые четырёхполюсниками и их соединениями.
100
Приложение 1
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1. Прямоугольные
Матрицей
называется
прямоугольная
таблица,
состоящая
из
определённых элементов.
Элементами матрицы могут быть действительные числа, комплексные
числа, функции и т. д.
В общем виде матрицу можно записать следующим образом:
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a2 n
...
...
a11
.
(1)
a m1 a m 2 amn
Часто вместо двойных прямых скобок пишут квадратные или круглые
скобки.
В матрице (1) m строк и n столбцов. Поэтому её называют m  n -матрицей.
Числа aij , как и ранее, называются элементами матрицы. первый индекс
i указывает номер строки, а второй j -номер столбца, на пересечении которых
стоит элемент aij . Прямоугольные матрицы, как и квадратные, будем
обозначать
aij ,
указывая в контексте число строк и столбцов. Если
A1 , A2 ,...An – столбцы m  n матрицы, а A1/ , A2/ ,...An/ – её строки, то для
A1/
обозначения этой матрицы будем употреблять символы A1 , A2 ,...An и
A2/
...
.
An/
В частности, когда m  1, n  1 , мы имеем однострочечную матрицу
a1 , a 2 ,...a n , которую называют вектор-строкой. Если же m  1, n  1 , то имеем
одностолбцовую матрицу:
101
a1
a2
...
, которую называют вектор-столбцом.
an
Две m  n -матрицы равны (тождественны, совпадают), если равны
элементы, стоящие на одинаковых местах. Если матрицы A и B раны, то
пишут, используя обычный знак равенства A  B . Таким образом aij  bij ,
если aij  bij при всех i и j .
Подобно векторам, матрицы можно складывать, умножать на число и
друг на друга. Сумной двух m  n -матриц A  aij и B  bij называется новая
m  n -матрица C  C ij , элементы которой определяются равенством cij  aij  bij .
Обозначается сумма C  A  B .
Например:
1 23 7
+
4 5 6 10
9
8
11
12

8 10 12
.
14 16 17
Произведение матрицы A  aij на число k называется новая матрица
kA  kaij , то есть чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это
число все элементы матрицы.
Пусть A  aij – m  n -матрица, а B  bij – n  p -матрица (т. е. матрица
B имеет
столько
же
строк,
сколько
в
матрице
A -столбцов).
Тогда
произведением матриц A и B (обозначается AB ) называется n  p -матрица
C  C ij , элементы которой определяются равенствами:
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  ainbnj ,
(2)
где i  1,2,...m; j  1,2,..., p.
Или короче:
n
cij   a ik bkj , i  1,2,...m; j  1,2,..., p.
k 1
102
(3)
Эту формулу легко запомнить: элемент c ij матрицы C , стоящей на
пересечении i -ой строки и j -ого столбца, есть скалярное произведение i -ой
вектор-строки матрицы A и j -ого вектор-столбца матрицы B .
Например:
2 7 3 2
2  3   7  8 2  2   7   4 6  56 4  28
.



81
8  4 8  3  1 8
8  2  1   4
24  8 16  4
Часто
оказывается
удобной
краткая
запись
произведения:
если
C1 , C 2 ,..., C p обозначать столбцы матрицы C  AB , а B1 , B2 ,..., B p -столбцы матрицы
B,
то
легко
проверить
что
Ck  ABk , k  1,2,..., p.
Таким
образом
C  AB  A B1 B2 ...B p  AB1 AB2 ... AB p .
Ещё раз подчеркнём, что произведение AB определено только тогда,
когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B . В противном
случае, произведение не определено.
Легко проверить, что для суммы и произведение матриц справедливы
ассоциативный и дистрибутивный законы:
 A  B   C  A  B  C ;
 AB C  ABC ;
 A  B C  AC  BC ;
C  A  B   CA  CB.
Умножение матриц не подчиняется коммутативному закону.
Каждой прямоугольной m  n матрице A  aij
соответствие
n m
матрицу
A /  aij/ ,
можно поставить в
элементы которой определяются
равенством aij/  a ji .Матрица A / называется транспонированной по отношению
к матрице A . Из определения следует, что матрица A / получается, если в
матрице A строки и столбцы поменять ролями:
a11 a 21 ... a m1
.... a m 2
a a
A /  12 22
... ... ... ...
a1n a 2 n .... a mn
103
Например:
1 2
A
1357
34
, тогда A / 
.
2468
56
78
В
частности,
транспонированной
матрицей
к
вектор-строке
A  a1, a2 ,..., an будет вектор-столбец
a1
A/ 
a2
...
.
an
Вычёркивая отдельные столбцы или строки m  n -матрицы A , можно
образовать различные квадратные матрицы. Порядком матрицы называется
размер матрицы m n , где m – количество строк, n -количество столбцов.
Рангом матрицы называется наибольший порядок определителя,
отличного от нуля.
Как уже указывалось, элементами матрицы могут быть не только
действительные, комплексные числа, но и функции. Например все aij могут
зависеть
от
некоторого
аргумента
t.
При
этом,
если
все
aij t  ,
дифференцируемы, то и матрица aij называется дифференцируемой. При
этом, по определению, полагают:
daij t 
d
aij t  
, т.е. при дифференцировании матрицы каждый элемент
dt
dt
заменяется его производной. Матрицу
daij t 
dt
называют производной матрицы
aij t  .
Операция дифференцирования матриц обладает всеми обычными
свойствами. В частности,
d
 AB   dA B  A dB , если A и B -матрицы, которые
dt
dt
dt
можно перемножать.
Аналогично определяется интеграл от матрицы:
104
 a t  dt   a t dt
ij
ij
, т.е. при интегрировании матрицы каждый элемент
заменяется интегралом от него.
2. Квадратные
Если число строк матрицы равно числу её столбцов m  n , то матрица
называется квадратной. Рассмотрим их подробнее.
Прежде всего, необходимо отметить, что квадратные матрицы одного и
того же порядка n можно всегда складывать или умножать одна на другую в
любом порядке. Однако в общем случае произведение
произведению AB . Например, если A 
BA 
23 01
01 23

6 11
0 1
2 3
и B
2 3
0 1
, то AB 
BA не
01 2 3
23 01
равно
=
01
49
,а
.
23
Совокупность элементов a11, a22 ,..., ann квадратной матрицы aij называют
главной диагональю матрицы. Матрица, у которой все элементы, кроме
стоящей на главной диагонали, равный нулю, называется диагональной.
Если a1 , a2 ,..., an -элементы главной диагонали матрицы, то её обозначают
diag
a1, a2 ,..., an  .
Таким образом:
a1 0 ... ... 0
0 a 2 0 ... 0
diag a1 , a2 ,..., an  
.
... ... ... ... ...
(4)
0 0 ... 0 an
В частности, если все ai в диагональной матрице (4) равны единице, то
она называется единичной и обычно обозначается буквой E . Единичная
матрица обладает замечательным свойством: если A – произвольная m  n -матрица, а E – единичная матрица порядка m , то EA  A . Если же E – единичная
матрица порядка n , то AE  A , то есть умножение на единичную матрицу не
меняет матрицу A .
105
В частности: a1, a2 ,..., an E  a1, a2 ,..., an
a1
E
a2
...
an
a1

a2
...
an
Эти свойства матрицы E объясняют её название. Они доказываются
непосредственным вычислением произведения.
Обозначая квадратную матрицу одной буквой, например A , для ясности
будем обозначать её определитель символом A . Из контекста будет ясно, что
речь идёт не об абсолютной величине числа A , и не о модуле вектора A , а об
определителе матрицы A .
Из свойств определителя следует, что квадратная матрица
A
и
транспонированная матрица A/ имеют равные определители A  A/ .
В самом деле, написанное равенство получится, если определитель A
разложить по элементам первого столбца, а определитель A/ - по элементам
первой строки.
Равенство diag a1, a2 ,..., an   a1a2 ...an так же легко следует из свойств
определителя. В частности E  1 .
Если определитель матрицы A равен нулю, то матрица называется
вырожденной. Если же A  0 , то матрица называется невырожденной или
неособой. Каждой неособой матрице A можно поставить в соответствие
обратную ей матрицу A1 , обладающую свойством:
AA1  A1 A  E
(5)
В самом деле, определим элементы a ij обратной матрицы A1 равенством
a ij 
A ji
A
, где A ji -алгебраическое дополнение элемента a ji матрицы A .
Для того, чтобы построить обратную матрицу для матрицы A , нужно
сначала построить транспонированную матрицу A/ , а затем каждый элемент
A/ заменить его алгебраическим дополнением, делённым на A .
106
Пример 1.
2 1 1
Дано: A  1 1 2 . Найти A 1 .
3 2 4
Решение
2 1 1
A  1 1 2 = 2(4  1  4)  (4  6)  (2  3)  16  2  5  9 .
3 2 4
A  9  0 , т. е. A -невырожденная и A 1 -существует!
Найдём частные определители:
1
A11 
2
2 4
A21  
12
 2 , A22 
21
1 1
2 4
1 1
A31 
 8 , A12  
1 2
34
 2, A13 
34
 3, A32  
21
12
11
3 2
2 1
 5, A23 
3 2
 3, A33 
 5 ,
 1,
2 1
11
 3.
Составим матрицу B :
8
2
5
B 2 5 1
3 3 3
.
Запишем транспонированную матрицу:
8 2 3
2 3
1
1
B  2 5  3 ; тогда: A  2 5  3 .
9
51 3
51 3
8
*
8 2  3 2 1 1
1
Проверка: A A  2 5  3 ∙ 1 1 2 =
9
51 3
3 2 4
1
16  2  9
1
= 459
9
 10  1  9
8 2 6
256
5 1 6
8  4  12
000
1
2  10  12  0 0 0 .
9
 5  2  12
000
107
3. Матричная форма записи системы линейных уравнений
Рассмотрим систему n линейных уравнений относительно n неизвестных
x1 , x2 ,..., xn :
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2
a x  a x  ...  a x  b .
nn n
n
 n1 1 n 2 2
(6)
Обозначим B вектор-столбец правых частей:
b1
B
b2
...
x1
, а X – искомый вектор: X 
x2
...
bn
.
xn
Пусть, наконец, A  aij -матрица системы. Тогда, как легко видеть, левая
часть системы есть ни что иное, как произведение AX , а вся система (6) может
быть записана в виде:
AX  B
(7)
0
В частности, когда B -нулевой вектор B 
0
...
, мы получаем однородную
0
систему: AX  0
Эта компактная запись линейной системы очень удобна. Она называется
матричной формой системы. В частности, если A – невырожденная матрица,
( A  0 ), то существует обратная матрица A1 .
Умножив слева равенство (7) на A1 , получим: A1 AX  EX  X .
Так как A1 AX  EX  X , то из предыдущего равенства находится решение
системы: X  A1B .
Пример 2. Решить систему уравнений матричным способом:
2 x  y  z  0

x  y  2z  9
3x  2 y  4 z  3

108
Решение
2 1 1
0
Матрица A  1 1
2 , матрица B  9 , и матрица искомых параметров
3 2 4
3
x
X  y . Решение задачи в общем виде записывается форме: X  A1B .
z
8 2 3
1 * 1
Где A  A = 2 5  3 . Подставляя, получим:

9
51 3
1
0 8 0  2 9  33
9
2 3
1
9  2  0  5  9  3  3  36
1
X  2 5 3 ∙
.
9
3  5  0  1 9  3  3
18
9
51 3
8
Откуда окончательно: x  1, y  4, z  2.
109
Приложение 2
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Общие сведения
Комплексным числом называют числа вида a+jb, где «а» и «b» –
вещественные числа, а j= √ –1, (j2=–1) – мнимая единица. Хотя комплексные
числа не выражают количества, как это имеет место у действительных чисел
(понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует), они
широко применяются в математике, электротехнике, теории поля и т. п.
В электротехнике комплексные числа, соответствующие синусоидально
изменяющимся величинам, принято обозначать большими буквами с точками
．
．
．
над ними A=a+jb,B=c+jd и т. д. В комплексном числе A=a+jb составляющую
«а» называют действительной (вещественной) его частью, а «b» – мнимой.
．
．
Действительная часть сокращенно обозначается a=ReA, а мнимая b=JmA (Re
от латинского Realis – вещественный, реальный, Im – от латинского
．
Imaginarius – мнимый). Чисто мнимым называется комплексное число А такое,
．
у которого ReA=0. Вещественные числа можно считать частным случаем
комплексных, когда коэффициент при j равен нулю. Комплексное число
можно изобразить точкой на комплексной плоскости (с координатами a, b) или
вектором, исходящим из начала координат (рис. П.1).
Чтобы получить вектор, соответствующий комплексному числу a+jb,
достаточно построить точку А с координатами a, b и провести вектор,
соединяющий начало координат с этой точкой. Вещественные числа a и b
будут равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси.
110
+j
Ось мнимых значений
–1
A =a+jb A
b
α
+1
0
B
a
Ось вещественных значений
-j
Рис. П.1.
Модулем
А
комплексного
числа
называют
длину
вектора
АО
(независимо от его направления):
A= a+jb =√a2+b2
Угол α, образуемый вектором ОА с положительным направлением
вещественной оси, называют аргументом комплексного числа: α=arctg(b/a).
Положительное направление отсчета α – против часовой стрелки.
Главное значение аргумента заключено в промежутке – π≤α≤π. Для
каждого комплексного числа возможны три представления (три формы
записи): алгебраическое, тригонометрическое, показательное. Выражение
A =a+jb является алгебраической формой комплексного числа.
Если из прямоугольного треугольника ОАВ (рис. П.1) выразить
составляющие комплексного числа через его модуль и аргумент, тог получим:
A =a+jb=A cos α+jA sinα.
Полученное
выражение
называют
тригонометрической
формой
комплексного числа.
Если воспользоваться далее формулой Эйлера ejα=cosα+j sinα, то можно
перейти к показательной форме Aejα. Таким образом,
A =a+jb=A cosα+jA sinα=Aejα
111
Например, 1+j√3=2(cos π/3 + j sin π/3)=2ej(π/3),
3j=3(cos π/2 + j sin π/2)=3ej(π/2).
Для перехода от алгебраической формы комплексного числа к
показательной необходимо определить модуль комплексного числа и
аргумент. Два комплексных числа считаются равными, если равны отдельно
их вещественные части и отдельно их мнимые части.
Два
комплексных
числа
называют
сопряженными,
если
их
вещественные части равны, а мнимые части отличаются только знаком перед j.
Вектора,
изображающие
сопряженные
комплексные
числа,
являются
зеркальными изображениями друг друга по отношению к оси вещественных
значений.
Сопряженные комплексные числа обозначаются в электротехнике
*
символом со звездочкой A .
2. Действия над комплексными числами
Формально вычисления над комплексными числами производятся так
же, как над обыкновенными двучленами, учитывая, что j2 = –1. Вычисления
можно производить, используя различные формы записей комплексных чисел.
Четыре арифметических действия, выполняемые над комплексными числами,
заданные в алгебраической форме, в общем виде постулируются следующим
образом:
(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)
(a+jb)–(c+jd)=(a–c)+j(b–d)
(a+jb)(c+jd)=ac+jbc+jad+j2bd=(ac–bd)+j(ad+bc)
a  jb (a  jb)(c  jd ) ac  jbc  jad  j 2 bd



c  jd (c  jd )(c  jd )
c2  j 2d 2
ac  bd
bc  ad
 2
 j 2
2
c d
c d2
112
Первые три действия (сложение, вычитание и умножение) производятся
так же, как с обычными двучленами. При делении комплексных чисел,
выраженных в алгебраической форме, необходимо сначала делимое и делитель
умножить на комплексное число, сопряженное делителю (после чего делитель
становится вещественным положительным числом), а затем произвести
деление вещественной и мнимой частей отдельно.
Рассмотрим числовые примеры.
(4-j)+(3+j2)=(3+3)+j(-1+2)=7+j
(4-j)-(3+j2)=(4-3)j+(-1-2)=1-j3
(4-j)(3+j2)=12-j3+j8-j22=14+j5
14  j 5 (14  j 5)(3  j 2) 42  j 28  j15  j 2 10



3  j2
(3  j 2)(3  j 2)
3 2  ( j 2) 2
42  j13  10

4 j
94
что равно сомножителю предыдущего произведения.
Следует отметить, что произведение двух сопряженных комплексных
чисел является положительным вещественным числом, равным квадрату
модуля этих чисел: (a+jb)(a-jb)=a2-(jb)2=a2+b2=A2.
Умножение и деление при тригонометрическом и показательном
способе записи производится следующим образом:
Если A  Ae j  A(cos   j sin ) и B  Be j  B(cos   j sin ),
то
A  B  A  B  e j (   )  AB[cos(   )  j sin(   )]
A A j (   ) A
 e
 [cos(  )  j sin(   )]
B B
B
В ряде случаев бывает полезным применение формулы Муавра:
(cosφ+j sinφ)n=cos nφ+j sin nφ
При выполнении вычислений сложение и вычитание комплексных чисел
проще выполнить, если комплексные числа выражены в алгебраической
форме, а умножение и деление комплексных чисел – если эти числа
представлены в показательной форме. Возведение в степень и извлечение
113
корня
проще
выполнить,
комплексного числа:
A  e 
m
Используя
Ae
используя
j m
 A m e jm ;
j
m
 A e
изображение
j
показательную
форму
записи
векторами,
можно

m
.
комплексных
чисел
геометрически интерпретировать действия над комплексными числами.
Сложению двух комплексных чисел соответствует сложение двух векторов,
исходящих из начала координат (радиусов-векторов); вычитанию двух
комплексных чисел соответствует вычитание двух векторов (рис.П.2):
． ． ．． ． ．
．
D=A+B→OA+OB;
． ．． ． ．
C=A-B→OA-OB
Геометрическая интерпретация произведения состоит в следующем:
радиус-вектор произведения двух комплексных чисел
поворотом радиуса-вектора
A  B получается
A на угол ψ против часовой стрелки и
растяжением его в │ B │раз (│ B │=В).
Аналогично интерпретируется деление (рис. П.3).
+j
D  A  B
Мнимая
ось
B
ОА+ОВ
ОВ
A
ОА
-1
ОВ
действительная ось
ОА-ОВ
С  A  B
- B
-j
Рис. П. 2.
114
+1
Мнимая
j
A  B
ось
A B
A
B
φ+ψ
-j
ψ
0
φ
+1
φ-ψ
A
B
-j
действительная ось
A
B
Рис. П. 3.
Поле комплексных чисел является расширением поля действительных
чисел.
115
ЛИТЕРАТУРА
1. Атабеков Г. И. Основы теории цепей : учебник [для вузов] / 3-е изд.,
стер. СПб., М. Краснодар: Лань, 2009.
2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Учебник для
вузов. Издание 10, 2002.
3. Голуб Д. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.
4. Демирчян К. С., Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники.
Серия: Учебник для вузов Издательство Феникс, СПб., 2003.
5. Попов В. П. Основы теории цепей : учебник для вузов 4-е изд.,
перераб. и доп. М.: Высшая школа, 2006. 575 с.
6. Татур Т. А. Основы теории электрических цепей М.: Высш. шк., 2000.
7. Шебес М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей.
Учеб. пособ. для электротехнич., радиотехнич. спец. вузов. 4-е изд., перераб. и
доп. М.: Высш. шк., 1990.
116
Научное издание
ПЕТРОВ Юрий Сергеевич,
РОГАЧЁВ Леонид Викторович,
МАСКОВ Сергей Петрович,
САХАНСКИЙ Юрий Владимирович
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
И ИХ СОЕДИНЕНИЯ
Монография
Книга издается в авторской редакции,
пунктуации и орфографии.
Компьютерная верстка Меркушевой О. А.
Подписано в печать 21.08.14. Формат бумаги 60841/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс».
Печать на ризографе. Усл. п. л. 6,74 п. л. Уч.-изд. л. 4,88. Тираж 30 экз. Заказ № 194.
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический
университет). Изд-во «Терек».
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
117
Ю. С. Петров, Л. В. Рогачев,
С. П. Масков, Ю. В. Саханский
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
И ИХ СОЕДИНЕНИЯ
Монография

ВЛАДИКАВКАЗ 2014
118