частицы в одномерной прямоугольнрй потенциальной

Министерство образования Украины
НТУУ “КПИ”
Решение типичных задач в курсе квантовой
механики
часть 1
Киев 2002
стр. 1
11.02.2016 18:46:00
Рецензенты
Д-р ф.-м. наук Олейник В.П.
Канд. ф.-м. наук Гусева О.А.
Терентьева Ю.Г.
Решение типичных задач в курсе квантовой механики.
НТУУ «КПИ» 2002
стр. 2
11.02.2016 18:46:00
Содержание
Введение………………………………………………………………………...3
Часть 1. Постулаты квантовой механики. Операторы.……………………....4
Уравнение Шредингера……..……………………...…….…..……..8
Соотношение неопределенностей. …………….……………………
Раздел 2. Типичные задачи.
Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с
бесконечными стенками. …..…………………….…………….…12
Частица в сферической потенциальной яме……………………...22
Туннельный эффект………………………………………………..27
Самостоятельная расчетная работа «Определение коэффициента туннелирования частицы через потенциальный барьер»….31
стр. 3
11.02.2016 18:46:00
Введение.
В процессе изучения общего курса физики студентам технических
специальностей приходится относительно поверхностно знакомиться с общими
положениями, особенностями и математическим аппаратом квантовой физики.
Учитывая стремительное развитие электроники, четко выраженную
направленность технологий на микромизацию размеров электронных элементов
и, как следствие, выход за рамки описания с помощью только классических
представлений о строении вещества, возрастает потребность в более глубоком и
основательном изучении студентами квантовых процессов. Поэтому для
качественного усвоения методов квантовой механики на начальном этапе очень
большое значение имеет грамотный и всесторонний анализ простейших задач.
Он, во-первых, позволяет студенту легче перестроиться на "язык" квантовой
механики и оторваться от таких привычных понятий, как "точный момент
времени", "точное местоположение частицы", приучая оперировать новым
понятием "функция состояния", а во-вторых, дает возможность студенту
сориентироваться в случае более сложных систем.
Поскольку
основой
для
решения
практически
любой
квантовомеханической задачи является уравнение Шредингера, от студентов
требуется глубокое понимание физического содержания этого уравнения.
Поэтому в пособии приведено его обоснование и анализ.
Цель данного методического пособия состоит, в частности, и в том, чтобы
максимально подробно и всесторонне изучить некоторые типичные
квантовомеханические задачи, которые включены в курс общей физики и
обязательны для понимания. Кроме того, рассмотрены вопросы, связанные с
новым для студентов понятием квантования энергии частицы.
В пособии проведен подробный анализ поведения частицы в случае двух
наиболее простых моделей потенциальных полей - прямоугольного одномерного
и сферически-симметричного. В качестве основы использованы задачи из
базового задачника И. Е. Иродова "Задачи по общей физике" (раздел 6.2 волновые свойства частиц ), а также "Сборника задач по общему курсу физики"
под редакцией Д. В. Сивухина ( раздел "Атомная физика, физика ядра и
элементарных частиц").
Наконец, в данном пособии проведен анализ поведения частицы при
прохождении ее через потенциальный барьер. Необходимость такого анализа
продиктована тем, что базовые учебники, как правило, содержат лишь
математическое описание туннельного эффекта, мало останавливаясь на
физической сути, что приводит к сложностям в понимании студентами одного из
наиболее ярких проявлений квантовой природы вещества.
стр. 4
11.02.2016 18:46:00
Раздел 1
Постулаты квантовой механики. Операторы.
Микромир для нас непосредственно не наблюдаем. О движении микрочастиц
можно судить лишь по тем макроскопическим эффектам, которые они вызывают.
Наукой, описывающей поведение микрочастиц, является квантовая механика.
Как и любая научная дисциплина, квантовая механика имеет свои постулаты.
Следствия, вытекающие из постулатов квантовой механики, многократно
подтверждены экспериментально, и это является подтверждением их
правильности. Рассмотрим постулаты квантовой механики.
1. Вся информация о физической системе содержится в функции состояния.
Функцию состояния называют также волновой функцией и обозначают через .
Под физической системой понимают то, что подлежит изучению: электрон,
нуклон, фотон и т.п. или любую их комбинацию. В результате изучения
физической системы получают набор действительных чисел: значения
координат, импульса, энергии и т.п. В квантовой механике предполагается, что
информация об этих числах, то есть о поведении физической системы,
содержится в волновой функции . О явном виде функции состояния изначально
известно только, что она каким-то образом зависит от координат частиц,
составляющих систему, и от времени. Для одной частицы
=( x,y,z,t),
(1)
.
.
где x,y,z – декартовы координаты, t- время. Произведение dx dy dz=dV называется
элементарным объемом. На -функцию накладываются следующие
ограничения: она должна быть в своей области определения непрерывной,
однозначной и квадратично интегрируемой. Эти требования являются
органичными следствиями того, что квадрат волновой функции есть плотность
вероятности нахождения частицы в бесконечно малой окрестности некоторой
точки с координатами (x,y,z), а вероятность не может иметь разрывов, не может
иметь несколько значений при одном и том же наборе аргументов и вычисляется
путем интегрирования плотности вероятности по объему всего пространства.
Задача состоит в том, чтобы извлечь требуемую информацию из функции
состояния . Способ извлечения информации из -функции устанавливается
следующими постулатами.
2. Каждой физической величине (энергии, импульсу и т.д.) ставится в
соответствие определенный оператор.

- ОПЕРАТОР - Под оператором O понимают действие, производимое над
некоторой функцией. Этим действием может быть любое математическое
действие – умножение на число, извлечение корня, дифференцирование,
интегрирование и т.д.
- ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР - В квантовой механике используются только
линейные операторы, то есть такие, которые подчиняются правилу



O(C1 f1  C2 f 2 )  C1Of1  C2Of 2
(2)
стр. 5
11.02.2016 18:46:00
где С1 и С2 – произвольные постоянные, а f1 и f2 – произвольные функции.
Простейшим примером такого оператора может служить наиболее часто
используемый в квантовой механике оператор дифференцирования.
Действительно, производная от суммы функций есть сумма производных этих
функций. А вот, например, оператор извлечения корня не является линейным.
В квантовой механике каждой физической величине ставится в соответствие
линейный оператор. Основными являются следующие операторы:
- оператор координаты, который есть умножение на саму координату:



x  x, y  y , z  z
(4)
- оператор импульса.
Импульс – вектор. Обозначим проекции импульса на оси координат через
px, py, pz. Этим составляющим соответствуют следующие
- операторы проекции импульса






p x  i , p y  i , p z  i ,
x
y
z
(5)
где i   1 ,  = 1,05.10-34 Дж.с – постоянная Планка.
Оператор полного импульса является вектором, как и сам импульс. Если
обозначить единичные вектора вдоль декартовых осей через ex,ey,ez, тогда
вектор импульса равен р=expx+eypy+ezpz Тогда
- оператор полного импульса




p  i(e x
 ey
 e z )  i
x
y
z


- оператор энергии E  i
t
(6)
Ввиду исключительной важности линейных операторов для квантовой
механики остановимся на их свойствах подробнее. Пусть имеется линейный

оператор O . Подберем такую функцию n , чтобы результат действия на нее

оператора O сводился к умножению функции n на постоянный множитель  n,

чтобы выполнялось соотношение On  n n . В этом случае n – собственная

функция оператора O , а число  n – собственное значение, соответствующее этой
собственной функции. Обычно у оператора существует несколько (а в квантовой
механике – бесконечно много) собственных функций и собственных значений. В
общем случае собственные значения могут быть любыми – и комплексными, и
вещественными. В квантовой механике рассматриваются лишь такие операторы,
собственные числа которых вещественны. Это и понятно, поскольку физическое
содержание собственных чисел – это те самые значения физической величины
(соответствующей
данному
оператору),
которые
можно
измерить
экспериментально. Например, если в результате действия оператора импульса на
волновую функцию состояния, скажем, электрона, получим собственное число р,
то это число и есть значение импульса этого электрона в этом состоянии.
Достоинство квантовой механики состоит в том, что абстрактные, казалось бы,
действия операторов с абстрактной волновой функцией позволяют получить
набор чисел, которые могут быть измерены и проверены экспериментально.
стр. 6
11.02.2016 18:46:00
Далее, любая физическая величина, которая может быть измерена
экспериментально, является вещественной. В связи с этим – следующий
постулат:
3. Единственно возможными значениями физической величины являются
собственные значения ее оператора. В классической механике физические
величины могут принимать любые значения. Например, энергия колеблющейся
частицы E=mv2/2+kx2/2 может быть любой в зависимости от величины скорости v
и координаты x. В квантовой механике дело обстоит иначе. Третий постулат
утверждает, что для определения возможных значений физической величины


надо найти собственные значения  n уравнения On  n n , где O - оператор,
соответствующий интересующей нас физической величине, а - функция
состояния. Этот постулат дает способ построения уравнений квантовой механики
и решения наиболее важной задачи – определения возможных значений
физической величины. Чтобы определить, какие значения может принимать
данная физическая величина, необходимо составить для нее уравнение
классической механики (уравнение сохранения), заменить величины, входящие в
уравнение классической механики соответствующими операторами и найти
собственные значения полученного оператора.
4. Поскольку волновая функция является функцией принципиально комплексной,
то согласно правилам ТФКП (теории функции комплексной переменной) квадрат
ее модуля определяется, как
2
 ( x, y , z , t )   * ( x, y , z , t )  ( x , y , z , t ) ,
(7)
где через ψ* обозначают функцию комплексно сопряженную к ψ. А постулат
звучит так:
Квадрат модуля функции состояния есть плотность вероятности того,
что частица находится внутри малого объема dV=dx.dy.dz. в окрестности
точки (x,y,z). Например, в одномерном случае (когда    (x) ) вероятность
нахождения частицы в интервале (х1,х2) вычисляется, как
P( x1  x  x 2 ) 
x2
  ( x)
2
dx
(8)
x1
Если точно известно, что некая частица в пространстве существует, то
вероятность того, что она находится внутри этого пространства, равна единице,
тогда


2
dV  1
(9)

Последнее равенство является условием нормировки волновой функции. Следует
подчеркнуть, что сама волновая функция физического смысла не имеет, это
«всего лишь» функция, правда, содержащая в себе всю возможную физическую
информацию о частице.
Таким образом, в соответствии с изложенными выше положениями
квантовой механики, состояние микрочастицы или системы микрочастиц носит
вероятностный характер и описывается вероятностными законами. В
стр. 7
11.02.2016 18:46:00
классической статистической физике при описании системы, состоящей из
многих частиц, также используются вероятностные законы. Имеется, однако,
принципиальное различие между вероятностными предсказаниями классической
статистической физики и квантовой механики. В статфизике вероятностные
распределения являются результатом взаимодействия большого числа частиц,
поведение же каждой отдельной частицы подчиняется законам классической
механики. В квантовой механике поведение даже одной частицы описывается
вероятностными законами.
Уравнение Шредингера
Центральной задачей квантовой механики является задача о нахождении
энергии частицы, движущейся в поле с заданной потенциальной энергией U.
Следуя третьему постулату, очевидно, следует записать классический закон
сохранения энергии,
p2
 U ( x, y , z )  E
2m
(10)
а затем заменить физические величины соответствующими им операторами.
Итак, классический импульс заменим оператором импульса, действующим на
волновую функцию частицы,
p  i ( x, y, z, t )
(11)
потенциальную энергию – оператором потенциальной энергии, действующим на
волновую функцию,

(12)
U ( x, y, z )  U ( x, y, z )( x, y, z, t )
а полную энергию частицы - оператором полной энергии, действующим на все
ту же волновую функцию частицы
E  i
Теперь подставим все
энергии и получим

( ( x, y, z , t ))
t
(13)
замены в классическое уравнение закона сохранения
 2   2  ( x, y , z , t )  2  ( x, y , z , t )  2  ( x, y , z , t )  

  U ( x, y, z ) ( x, y, z, t ) 



2m 
x 2
y 2
z 2

 ( x, y, z , t )
i
t
(14)
Это и есть нестационарное уравнение Шредингера.
В каждом конкретном случае, для каждого конкретного потенциала,
аналитический вид которого задается в условии задачи, можно попытаться
решить это уравнение и найти волновую функцю частицы.
Известно (см., например, Савельев т.3), что волновую функцию свободной
частицы можно представить в виде
 iEt 
 ( x, y, z , t )   ( x, y, z , ) exp 

  
стр. 8
(15)
11.02.2016 18:46:00
Тогда, подставив волновую функцию в нестационарное уравнение, после
сокращения экспонент получим так называемое стационарное уравнение
Шредингера

 2   2 ( x, y, z )  2 ( x, y, z )  2 ( x, y, z )  

  U ( x, y, z )( x, y, z )  E( x, y, z, t )


2m 
x 2
y 2
z 2

(16)
В результате его решения можно определить не только вид волновой функции
частицы в конкретном потенциале, но и возможные значения энергии частицы.
Стационарное решение другими словами означает «неизменное во времени
распределение вероятности нахождения частицы в пространстве» – где-то в
пространстве вероятность найти частицу большая, где-то эта вероятность
наиболее велика, где-то равна нулю.
Попутно в ходе решения этого уравнения определяется набор чисел Еn –
возможных значений энергии, который называется энергетическим спектром
частицы. Как уже отмечалось выше, энергетический спектр может быть и
сплошным, например, в случае свободного движения частицы В классической
статистической физике при описании системы, состоящей из многих частиц,
также используются вероятностные законы., и дискретным – в случае, если на
свободное движение частицы накладываются ограничения в виде внешнего
потенциального поля.
Соотношение неопределенностей
В классической механике при изучении движения частицы по траектории
предполагается, что в каждый данный момент времени у частицы существует
определенная координата х и определенный импульс р (или скорость v). Однако,
для микрочастиц это положение несправедливо. Частице с импульсом р
соответствует длина волны λ, определяемая из соотношения
р = ħk=ħ2π/λ
(17)
(Это соотношение, изначально записанное для фотона, впервые применил
к микрочастицам де Бройль) . Поскольку длину волны невозможно определить в
точке, координата и импульс не могут одновременно иметь определенных
значений.
Подобная неопределенность существует между энергией E и временем t. В
каждый данный момент времени энергия не определена точно из-за того, что в
фиксированный момент времени нельзя определить частоту ν, а, следовательно, и
энергию, связанную с частотой соотношением
E=hω=ħ2πν.
(17а)
При фиксированном х или t нельзя судить о величине импульса или
энергии не потому, что эти величины неизвестны, а потому, что эти понятия
лишены смысла так же, как "длина волны в точке" или "частота в определенный
момент времени" (для определения длины волны требуется некоторая область
пространства, а для определения частоты - некоторый интервал времени).
Рассмотрим теперь закономерно возникающий вопрос :
стр. 9
11.02.2016 18:46:00
когда же имеется возможность для одновременного определения точного
значения каких-либо двух физических величин ?
Предположим, что нас интересуют одновременно значения двух
физических величин А и G, описывающих состояние микрочастицы. В квантовой
механике им соответствуют операторы Â и Ĝ. Для одновременного точного
определения двух физических величин требуется, чтобы их операторы Â и Ĝ
имели общую собственную функцию. Это возможно, когда операторы Â и Ĝ
являются комутирующими, т.е.
ÂĜ = ĜÂ.
(18)
Так, например, одновременно могут иметь определенные значения следующие
величины :
- разные проекции импульсов на оси координат,
- координата и проекция импульса на другую ось координат.
Если операторы не являются коммутирующими, то соответствующие им
значения не могут иметь одновременно определенных (точных) значений. Тогда
неопределенность величин А и G можно охарактеризовать среднеквадратическими отклонениями ΔА и ΔG, для которых существует (см. Приложение в конце)
неравенство
ΔАΔG ≥ | <K> | /2,
(19)
называемое соотношением неопределенностей, где <K> - среднее значение
коммутатора, определяемого выражением

iK  ÂĜ - ĜÂ .
(20)
Если ΔА=х, ΔG= Δрх , то коммутатор К=ħ, поэтому
хΔрх≥ ħ/2.
(21)
Аналогично этому величины t и E связаны соотношением
tΔE ≥ ħ/2.
(22)
Соотношение неопределенностей показывает, что координата и импульс не
могут быть одновременно точно измерены : так как при уменьшении разброса в
значении его координаты (=х→0) возрастает разброс в значениях импульса (Δрх
→∞) и наоборот. Сравним соотношения неопределенностей для микрочастиц и
макротел.
Пример 1. Положение электрона в атоме невозможно определить точно.
Примем в качестве меры разброса его координаты радиус атома, приближенно
равный 10 -10 м. Пользуясь соотношением неопределенностей , найдем
неопределенность в определении скорости. Т.к. Δр=mΔv , то
v 

1,05  10 34

 0.5  10 6 м/с.
30
10
2mx 2  0,9  10  10
Это - значительная величина.
Пример 2. Пусть положение шарик массой в 1 г определено с
погрешностью 10 -6 м , тогда минимальная погрешность в скорости
v 
1,05  10 34
 0.5  10 25 м/с.
3
6
2  10  10
Это чрезвычайно маленькая величина, можно считать, что Δv=0.
стр. 10
11.02.2016 18:46:00
Таким образом, для тел макроскопических размеров соотношение
неопределенностей практически не имеет никакого значения, однако, как мы
увидим далее, оно имеет огромное значение при изучении микрочастиц.
Хорошо известно, и целый ряд экспериментов с элементарными частицами,
например, с электронами, это подтверждает, что в некоторых случаях эти
«частицы» обнаруживают волновые свойства, в других случаях –
корпускулярные
свойства,
присущие
обыкновенным
микрочастицам.
Корпускулярные свойства электронов обнаруживаются, например, когда
электроны вызывают сцинтилляции на флуоресцентном экране, или дают следы
в камере Вильсона. Наоборот, явление дифракции электронов не может быть
понято, если представить электроны как обычные частицы, движущиеся по
определенным траекториям. Это явление указывает на наличие у электрона
волновых свойств.
В настоящее время экспериментально установлено, что волновые свойства
присущи не только пучку электронов, но и каждому отдельному электрону. В
опыте Бибермана, Сушкина и Фабриканта фотографировались дифракционные
кольца от мелкокристаллического порошка при очень малой интенсивности
электронного пучка. «Очень малая интенсивность» – это еще очень слабо
сказано, потому что перерыв между двумя последовательными попаданиями
электронов на фотопластинку в 104 раз превышал время, которое электрон тратил
на то, чтобы пролететь по всему прибору! Таким образом, дифракционная
картина создавалась фактическими отдельным электронами, попадавшими
последовательно один за другим на фотопластинку. И что же наблюдалось?
Оказалось, что положение дифракционных колец на экране вообще не зависит
от интенсивности пучка, даже при условии, что электроны проходят через
прибор по одному и «в час по чайной ложке». Из сказанного вытекает, что
характеризовать микрочастицу параметрами, свойственными обыкновенной
классической частице (например, координатой или скоростью), нельзя. Описание
микрочастиц должно существенно отличаться от описания частицы в
классической механике. Такое описание дается в квантовой механике, где
состояние микрочастицы определяется с помощью волновой функции. Причем
это описание учитывает условия, в которых находится рассматриваемая
микрочастица. Например, если микрочастица находится в условиях, когда ее
скорость вполне определена и по величине, и по направлению, то
соответствующая ей волновая функция имеет вид
  r  p E 
  0 exp i
 t 
 
 
(23)
Если условия таковы, что частица проявляет себя в малой части
пространства (например, в потенциальной яме), то волновая функция имеет вид,
который приведен в разделе 2.
Таким образом, в квантовой механике описание реальных свойств частицы
дается в соответствии с условиями, в которых она находится.
Однако, в ряде вопросов мы можем приближенно описывать микрочастицу
в понятиях, строго говоря, ей не свойственных, например, характеризовать
микрочастицу одновременно задавая определенные интервалы координат и
стр. 11
11.02.2016 18:46:00
скоростей. Степень пригодности этих понятий для характеристики микрочастиц
определяется математическим соотношением, установленным Гейзенбергом и
носящим название «соотношение неопределенностей». Это соотношение можно
обосновать, например, анализируя явление дифракции.
Для простоты рассмотрим дифракцию, вызываемую одной щелью.
Представим себе пучок электронов, летящих вдоль оси OY с определенной
скоростью v. На рис.1 экран АВ со щелью шириной d расположен
перпендикулярно к пучку. На втором экране CD наблюдается дифракционная
картина. С точки зрения волновой теории явление выглядит следующим образом:
плоская волна, падая на щель, испытывает дифракцию; на экране CD получается
распределение интенсивности, совпадающее с картиной распределения
интенсивности при дифракции света от одной щели.
Это распределение представлено на рисунке пунктирной линией. Основная
доля интенсивности относится к центральному максимуму, поэтому его и будем
в дальнейшем рассматривать.
Если пытаться рассматривать электроны в виде классических частиц,
которые летят строго вдоль оси OY, то, в момент прохождения сквозь щель, они
имеют положение вдоль оси ОХ, которое можно определить с точностью до
ширины щели. Следовательно, допуск (погрешность) в определении положения
произвольного электрона равен х=d. В то же время, вследствие дифракции,
меняется направление скорости частиц. Для электронов, попадающих в область
центрального максимума, проекция импульса на ось ОХ будет теперь лежать в
пределах
0рхрsin где sin=/d.
(24)
Следовательно, допуск, с которым можно приписать пучку электронов,
проходящих через щель, импульс в направлении оси ОХ, будет:
p x  p

(25)
d
А так как длина волны  связана с импульсом электрона соотношением (17), то
p x 
h
. Если учесть, что ширина щели равна допуску в определении координаты
d
х, то окончательно получается
x  p x  h
(26)
Последнее соотношение может быть обобщено на все остальные координаты.
Следует отметить, что подобные соотношения могут быть получены в
результате анализа любого другого опыта с элементарными частицами, а также
математическим путем из уравнения Шредингера.
Смысл подобных соотношений в следующем:
Если мы хотим характеризовать микрочастицу с помощью физических
величин, присущих классической макрочастице, то, строго говоря, этого
сделать нельзя. Описание свойств микрочастиц должно существенно отличаться
от описания частицы в классической механике. Такое описание дается в
квантовой механике, где состояние микрочастицы определяется с помощью
волновой функции. Характеризовать микрочастицу с помощью физических
стр. 12
11.02.2016 18:46:00
величин, присущих классической макрочастице можно лишь с определенным
приближением. В некоторых случаях оказывается возможным приближенно
описывать микрочастицу в понятиях, ей не свойственных. При этом степень
пригодности этих понятий для характеристики микрочастиц как раз и
определяется при помощи математических соотношений, установленных
Гейзенбергом, и носящих название " соотношений неопределенностей ".
Возвращаясь к явлению дифракции электронов, делаем вывод, что
- комутатор [х,рх]=ħ , следовательно, координата и проекция импульса на
эту же ось не имеют одновременно точных значений, каким бы ни было
состояние частицы;
- чем точнее мы будем пытаться определять координату частицы х ( Δх мало), тем с меньшей точностью, по условиям опыта, мы сможем
определить ее проекцию количества движения, а, следовательно, и
скорости.
Соотношение неопределенностей
неоднократно являлось темой
философских дискуссий, поскольку из его анализа напрашивается вывод об
абсолютной непознаваемости мира. Чем точнее определяется одна величина
(координата), тем большая неточность в определении другой (импульса). Однако,
дело не в познаваемости мира, а в границах применимости физических моделей.
Явления микро- и макромира по-разному протекают в пространстве и времени.
Рис.1
К обоснованию "соотношения неопределенностей"
стр. 13
11.02.2016 18:46:00
Литература
стр. 14
11.02.2016 18:46:00
стр. 15
11.02.2016 18:46:00
стр. 16
11.02.2016 18:46:00