1 Измерение физических величин в квантовой механике

1
Лекция 4. Измерение физических величин в квантовой механике
Содержание
1. Вероятность результатов измерения физической величины.
2. Условие возможности одновременного измерения разных физических величин.
3. Соотношения неопределенностей и их физические следствия.
4. Волновая функция и измерения. Редукция волновой функции.
1. Вероятность результатов измерения физической величины
На прошлой лекции мы научились вычислять среднее F физической величины F и
находить возможные значения этой величины.
Поставим следующую задачу. Пусть квантовая система находится в произвольном
состоянии  , и мы хотим измерить величину F в этом состоянии. Если бы функция 
совпадала с собственной функцией оператора F̂ , скажем, n , ( Fˆn  Fn n ) , то это
означало бы, что в состоянии  величина F имеет строго определённое значение Fn . Но
если  - произвольная функция? Какие значения Fi мы будем получать при измерении в
этом случае?
Чтобы ответить на этот вопрос, разложим  по полной системе функций {n } :
 ( x)   C n n ( x)
(1)
n
(обобщенный ряд Фурье), где n - собственные функции оператора F̂ , отвечающие
собственному значению Fn .
Подставим разложение (1) в выражение для среднего значения F (для простоты
рассмотрим одномерный случай):
F   * Fˆ  dx   Cm* Cn  m * Fˆ n dx .
n,m
Если {n } - ортонормированная система функций, то получаем:
F   C n Fn .
2
(2)
n
 *  dx  1 даёт:
С другой стороны, условие нормировки
C
2
n
 1.
(3)
n
Из теории вероятности известно, что если Pn - вероятность того, что случайная
величина F принимает значение Fn , то среднее значение вычисляется по формуле
F   Fn Pn ,
n
причём полная сумма вероятностей
P
n
1.
n
Из сравнения последних равенств с (2) и (3) видно, что
2
Pn  C n .
(4)
Значит, коэффициенты разложения (1) имеют следующий смысл: их квадрат модуля даёт
вероятность того, что при измерении величины F будет получено значение Fn . Величина
C n называется амплитудой вероятности.
2
Если величина F изменяется непрерывно (совокупность собственных значений
оператора F̂ образует непрерывный спектр), то вместо суммы в (1) появится
интегрирование:
 ( x)   dF C F F ( x) ,

где F F  FF . При этом

F
* F dx   ( F  F ),
2
F   dF F CF ,
2
1   dF C F .
2
Значит, C F dF - это вероятность того, что при измерении величины F в состоянии  эта
величина будет обнаружена в интервале ( F , F  dF ).
2. Условие возможности одновременного измерения
разных физических величин
Рассмотрим состояние частицы с определённым значением координаты. Такое
состояние описывается волновой функцией
(5)
x ( x)   ( x  x)
(в самом деле, так как  ( x  x ) -  -функция Дирака, то xˆx ( x)  xx ( x) ). Поставим
вопрос: какие значения может принимать импульс в состоянии с волновой функцией (5)?
Состояние частицы с определённым значением импульса p x описывается волновой
функцией  p x (x) , подчиняющейся уравнению:
pˆ x  p x ( x)  p x  p x ( x);
pˆ x  i

.
x
Очевидно, что решением этого уравнения будет плоская волна
 p x ( x)  c e
Разложим  ( x  x ) по плоским волнам (6):
 ( x  x )   dp x C p e
x
i px x

i
px x

.
;
(6)
Cpx 
1 i
e
2
p x x

.
2
В силу вероятностной интерпретации волновой функции величина C px dp x представляет
собой вероятность того, что при измерении x  компоненты импульса будет обнаружено
значение импульса в интервале ( p x , p x  dp x ) .
Значит, в состоянии (5), в котором координата имеет определённое значение, импульс
может принимать любое значение, т.е. он не определён. Справедливо и обратное
утверждение: в состоянии с определенным значением импульса координата частицы не
определена.
Этот результат означает, что не существует таких состояний, в которых импульс
частицы и соответствующая ему координата имеют одновременно строго
определённые значения.
Теперь перейдем к общему случаю, когда измеряются какие-нибудь две величины F
и G . Очевидно, что величины F и G имеют строго определённые значения лишь в таком
состоянии, волновая функция которого является собственной функцией операторов F̂ и Ĝ
одновременно. Запишем задачи на собственные значения для этих операторов:
3
FˆF  FF ,
Gˆ G  GG .
Вообще говоря, G  F . Величины F и G имеют одновременно строго определённые
значения только в состоянии G  F .
Возникает вопрос: В каком случае величины
F и G имеют всегда строго
определённые значения? Очевидно, что это будет лишь в том случае, если операторы F̂ и
Ĝ имеют общую систему собственных функций. Обозначим через {F } такую систему. Из
соотношений
Gˆ FˆF  Gˆ FF  GFF ,
FˆGˆ   FˆG  FG
F
F
F
видно, что для любых F выполняется равенство ( FˆGˆ  Gˆ Fˆ )F  0 . Это значит, в силу
полноты системы собственных функций F , что
FˆGˆ  Gˆ Fˆ  0 .
Следовательно, две величины могут иметь одновременно определённые значения лишь
в том случае, если соответствующие им операторы коммутируют между собой.
Замечание: когда мы говорим, что невозможно одновременно измерить импульс и
соответствующую координату некоторой частицы, то мы имеем в виду, что микрочастица
является точечной структурой. Но существуют ли точечные частицы в природе? Очевидно,
что понятие «точечная микрочастица» - абстракция, не более. Достаточно ли хорошо
описывает она реальность?
3. Соотношения неопределенностей и их физические следствия
Рассмотрим отклонение результата измерения координаты от среднего значения, т.е.
абсолютную погрешность координаты: x  x  x . Так как x  0 , то за меру отклонения
индивидуальных измерений от среднего значения принимают не x , а среднее квадратичное
отклонение
(x) 2  x 2  x 2 .
Принимая для простоты, что x  0 , получаем:

(x)  x 
2
2
 * ( x) x
2
 ( x) dx
(7)

(здесь мы рассматриваем состояние микрочастицы с волновой функцией  ( x ) ).
Аналогичное выражение получаем для среднего квадратичного отклонения импульса
(считаем, что p  0 ):

(p ) 2  p 2   2  * ( x)

d2
 ( x) dx .
dx 2
(8)
Рассмотрим вспомогательную величину
2

d
   x ( x )  dx ( x ) dx  I ( ) ,
где  - действительная величина. Раскрывая в (9) квадрат модуля, найдём:

d*
(p) 2
d
I ( )   (x) 
   x(*

)dx  0 .
2

dx
dx
  





A
2
2
C
d*
dx
Далее учтем равенство (интегрируем по частям и зануляем подстановку):
(9)
4


d* 
dx  x*     *  dx  1.
dx


В результате получаем неравенство
(10)
I ( )  A 2    C  0 .
Это неравенство выполняется лишь в том случае, если корни 1 ,  2 уравнения I ( )  0
комплексны, т.е. если дискриминант квадратного трехчлена (10) отрицательный:
2
(11)
D  1  4 AC  0  (x) 2  (p) 2  .
4
Отсюда

(x) 2  (p ) 2  ,
(12)
2
т.е. произведение дисперсий координаты и одноимённой компоненты импульса не

может быть меньше, чем
. Аналогичные соотношения имеют место и для других
2
проекций радиуса-вектора и импульса.
Соотношения
неопределенностей
представляют
собой
принципиальные
ограничения на точность измерения физических величин. Эти ограничения вытекают из
того, что микросистемы подчиняются корпускулярно-волновому дуализму: они обладают
как корпускулярными, так и волновыми свойствами.
Из соотношений неопределенностей видно, что невозможно одновременно
измерить координату и одноименную компоненту импульса: если одна из этих величин
измерена точно, то другая совершенно не определена.
Следствием соотношений неопределенности является отсутствие траектории
движения микрочастицы. Действительно, если бы траектория движения существовала, то в
каждый момент времени можно было бы указать точное местоположение и импульс
частицы, но это противоречит соотношениям неопределенностей.
Имеется еще одно следствие соотношений неопределенностей, которое
формулируется так: одинаковые квантовые частицы принципиально неразличимы. Это
утверждение часто называют принципом тождественности одинаковых квантовых
частиц.
Напомним, что состояние движения классической частицы однозначно определяется
координатами и импульсами, которые могут быть измерены точно. Если имеется система
одинаковых частиц, то за каждой частицей можно проследить, наблюдая за ее траекторией.
Можно сказать, что в классической механике одинаковые частицы сохраняют свою
индивидуальность.
Но в квантовой физике, из-за отсутствия понятия траектории движения,
частицы теряют индивидуальность. Действительно, пусть в момент времени t
координаты двух частиц составляют x1 (t ) и x2 (t ) , и эти координаты известны с точностью,
соответственно, x1 (t ) и x2 (t ) (это неопределенности координат), причем эти
неопределенности не перекрываются. Тогда в момент времени t мы можем уверенно
сказать, что одна частица находится в окрестности точки x1 (t ) , а вторая – в окрестности
точки x2 (t ) . Из равенства
xn (t  t )  xn (t )  v n (t )t ,
где v n (t ) - скорость частицы n в момент времени t , видно, что
xn (t  t )  xn (t )  v n (t )t.
(*)
Но из соотношений неопределенностей следует, что с уменьшением
неопределенности координаты возрастает неопределенность скорости. Поэтому, чем точнее
известно положение частицы в момент времени t , тем больше неопределенность скорости
x
5
частицы в этот момент и, следовательно, тем быстрее возрастает, в силу (*),
неопределенность координаты частицы в следующий момент времени t  t . В результате
возрастания неопределенностей координат частиц со временем, окрестности точек, в
которых находятся частицы, в конце концов перекроются. Но в области перекрытия этих
окрестностей невозможно указать, какую именно частицу мы регистрируем; частицы
становятся неразличимыми.
Таким образом, если в начальный момент времени положение квантовой частицы
известно точно, то уже в бесконечно близкий момент времени ее координаты не имеют
никакого определенного значения. Поэтому, если мы перенумеруем частицы в некоторый
момент, то уже в следующий момент мы не сможем их различить.
4. Волновая функция и измерения. Редукция волновой функции
Измерение физической величины представляет собой процесс взаимодействия
системы, над которой проводят измерение, с прибором. Нас интересует квантовая система. В
результате этого взаимодействия прибор переходит из начального в некоторое другое
состояние, и по этому изменению состояния прибора мы судим о состоянии квантовой
системы. Пусть состояние прибора характеризуется величиной g (показания прибора).
Волновую функцию прибора обозначим через  g ( ) ,  - совокупность координат прибора.
Прибор будем считать классическим, т.е. подчиняющимся классической механике.
Следует подчеркнуть важную особенность измерения в квантовой механике:
измеряемая система подчиняется законам квантовой механики, а прибор – классической.
Пусть  g0 ( ) и  (q ) - волновые функции прибора и электрона, соответственно, в
начальном состоянии (до измерения), q - координата электрона. Так как состояния прибора
и электрона до измерения независимы, то начальная волновая функция всей системы равна
 g0 ( )(q) . Далее электрон и прибор взаимодействуют друг с другом, в результате
взаимодействия волновая функция всей системы изменяется и уже не будет произведением
функции от  и функции от q . Разлагаем её по собственным функциям прибора:
(13)
 An (q) gn ( ) ,
n
где An (q) - коэффициенты разложения, которые являются некоторыми функциями q .
Теперь на сцену выступает классичность прибора, которая проявляется в том, что в
каждый момент времени показания прибора g n должны иметь строго определённые
значения. Это значит, что состояние всей системы после измерения должно описываться не
всей суммой, а лишь определённым слагаемым в (13), например, An (q) gn ( ) . Отсюда
видно, что величина An (q ) пропорциональна волновой функции электрона после
измерения. В силу линейности уравнений в квантовой механике, связь между An (q) и
начальной   функцией электрона должна быть линейной:
An (q )   K n (q, q) (q)dq ,
(14)
где ядро интегрального оператора K n характеризует процесс измерения. Функция An (q)
содержит информацию как о свойствах состояния, возникшего в результате измерения, так
и о вероятности появления n -го показания прибора, которая зависит от начального
состояния системы.
Величина An (q) должна иметь вид:
An (q)  an n (q) ,
где  n (q) - определённая функция, a n - постоянная, зависящая от начального состояния.
Отсюда видно, что ядро Kn ( q, q) должно иметь вид:
6
K n (q, q)   n (q)n* (q) ,
где n (q) - некоторые функции, зависящие от процесса измерения. Действительно,
подставляя эти выражения в (14), получаем:
an  n (q)   K n (q, q) (q)dq   n (q)  n * (q) (q) dq ,
т.е.
an   n * (q) (q) dq .
В соответствии с общей интерпретацией, a n
2
(15)
- это вероятность того, что в результате
измерения, проведенного над квантовой системой, получен n -ый результат; при этом,
2
очевидно,  a n  1 .
n
Если начальная волновая функция электрона совпадает с одной из n , то, очевидно,
an =1, а все другие коэффициенты a m  0, (m  n) , т.е. измерение, проводимое над
электроном, с достаточной точностью даст n -ый результат. При этом n (q) не совпадает с
 (q) . Если электрон находится в состоянии  ( Fˆ (q)  F  (q) ), то произведённое над
n
n
n
n
n
ним измерение даст с достоверностью Fn . Но после измерения, в результате
взаимодействия электрона с прибором, электрон окажется в состоянии  n , отличном от
n , в котором величина F не имеет строго определённого значения. Это означает
невоспроизводимость результатов измерения в квантовой механике. Если бы сразу же
за первым измерением величины F мы произвели повторное измерение, то получили
бы значение F , не совпадающее с Fn .
Как видно из изложенного, информация, содержащаяся в  -функции, имеет
статистический характер. Мы можем определить лишь вероятность получения в результате
измерения того или иного значения физической величины.
Далее: состояние микрочастицы, над которой производится измерение, изменяется по
сравнению с начальным состоянием. Поэтому для воспроизведения большого числа
измерений над одним и тем же состоянием нужно приготовить большое число частиц,
которые независимо друг от друга находятся в одном и том же состоянии, Такой набор
частиц называется чистым статистическим ансамблем. Выполнив измерение над какойлибо частицей, мы изменяем ее состояние и выбрасываем её из рассмотрения. В результате
2
большого числа измерений мы получаем набор чисел an  pn , дающих распределение
вероятностей различных значений Fn . Зная a n , мы тем самым знаем и волновую функцию
   a n n состояния, над которым проводилось измерение, и чем большее число
n
измерений проведено, тем точнее мы знаем состояние  частицы в нашем ансамбле. Таким
образом, по результатам измерений мы можем восстановить волновую функцию.
Часто на опыте мы встречаемся со смешанным ансамблем: когда ансамбль содержит
частицы в различных состояниях 1 , 2 ,... , причём указаны вероятности p1 , p2 ,... каждого
из этих состояний.
Укажем на существенное различие между чистым и смешанным ансамблями. Из
состояний 1 , 2 ,... образуем волновую функцию
   c n n .
n
Если каждая из частиц находится в этом состоянии, то это чистый ансамбль.
Пусть теперь известно, что система может находиться в состоянии 1 с вероятностью
p1 , в состоянии 2 - с вероятностью p2 и т.д. Тогда это смешанный ансамбль.
7
В случае чистого ансамбля плотность вероятности нахождения частицы в точке x
составляет:
2
2
2
( x)   cn n   cn* cm n* m .
nm
n
В смешанном же ансамбле pn - вероятность того, что частица находится в состоянии n (x ) ,
а n (x ) - вероятность того, что частица находится в точке x , будучи в состоянии n .
Поэтому полная плотность вероятности выражается формулой
2
 pn n .
2
n
Таким образом, в чистом ансамбле имеется интерференция между отдельными
частными состояниями, в отличие от смешанного. В чистом ансамбле складываются
амплитуды, а в смешанном – интенсивности.
Замечание: В результате измерения величины F в состоянии    a n n , это
n
состояние переходит в одно из состояний вида n , где n - собственная функция оператора
F̂ . Такое изменение волновой функции   n , возникающее при измерении, называется
редукцией волнового пакета. В результате измерения чистый ансамбль превращается в
смешанный, который характеризуется величинами:
2
2
a1 , a 2 ,...
1 , 2 ,...
Действие прибора сводится, таким образом, к тому, что он осуществляет спектральное
разложение волновой функции чистого ансамбля, превращая чистый ансамбль в
смешанный.
Контрольные вопросы
1. Что такое амплитуда вероятности?
2. Как вероятность результатов измерений связана с амплитудой вероятности?
3. Как вычислить вероятность отдельных результатов измерения физической
величины в квантовой системе, находящейся в некотором состоянии?
4. При каком условии можно одновременно измерить две различные физические
величины?
5. Можно ли одновременно измерить координату микрочастицы и одноименную
компоненту импульса?
6. Сформулировать соотношения неопределенностей для координат и импульсов.
7. Каковы физические следствия соотношений неопределенности?
8. Можно ли определить понятие траектории микрочастицы?
9. Сохраняют ли квантовые частицы свою индивидуальность в системах одинаковых
частиц?
10. В чем проявляется классичность прибора при измерениях, проводящихся над
квантовой системой?
11. Что означает невоспроизводимость результатов измерения в квантовой механике?
12. Что такое статистический ансамбль? Можно ли проводить измерения над
микросистемой, не приготовив статистический ансамбль ее состояний?
13. Чем отличается чистый ансамбль от смешанного?
14. Что такое редукция волнового пакета?
15. Почему действие прибора сводится к спектральному разложению волновой
функции чистого ансамбля?