Приложение 1. Деятельность учителя.

Приложение 1.
Деятельность учителя. Организационный момент.
Выявление уровня знаний учащихся по домашнему заданию; определение
типичных недостатков в знаниях и причины их появления; устранение обнаруженных
пробелов; использование учителем системы приемов, позволяющих проверить
выполнение задания всеми (большинством) обучающихся, организация фронтальной
проверки, устный счет.
Деятельность учащихся. Быстрое включение всех учащихся в деловой ритм;
полная готовность класса к уроку; оперативная готовность обучающихся всех групп
(сильных, средних, слабых) к одномоментной проверке домашнего задания по
разноуровневым карточкам у доски, с места, по предварительным записям на доске
учителя с преднамеренно внесенными в них ошибками. Консультанты каждого ряда
проверяют наличие и правильность заданных на дом упражнений. Один из учащихся
оформляет наиболее сложные из них на доске, а затем рассказывает с пояснениями
решение домашних задач. Учащиеся проверяют правильность выполненного ими
домашнего задания, при необходимости вносят исправления. Двое учащихся работают у
доски (каждый из них получает свое задание на карточке). На выполнение задания дается
5 минут.
Примерное содержание задания.
а) Приведите уравнение 4 y (5 - 3 y ) = ( y - 1)(2 - 5 y ) к стандартному виду и определите
a, b и c .
б) Решите уравнение 2 x 2 - 5 = ( x  5)(2 x - 1) .
В это время весь класс принимает участие во фронтальной работе по повторению
вопросов предыдущей темы «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные
уравнения»:
Дайте определение квадратного уравнения.
Как можно объяснить требование a  0 ?
Почему c называется свободным членом уравнения?
Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
Какие из следующих уравнений могут быть приведены к стандартному виду?
а) ( x - 4) 2 - 16 = 0 ;
x3
5
=
б)
;
2
x3
в) 9 x 2 = 3 ;
г) x  5x - 16 = 0 ;
д) 12 x 2 - x 3 - 8 = 0 ;
е) 2 x 2 - 5 x  3 = 0 .
Учитель просит записать вызванного к доске учащегося разные типы квадратных
уравнений.
Затем учитель открывает заранее заготовленные на закрытой доске записи и
предлагает учащимся установить соответствие между неполными квадратными
уравнениями и их корнями.
После этого учитель просит учащихся связно и логично сформулировать
алгоритмы решения неполных квадратных уравнений.
Далее ученики класса слушают ответы учащихся, работавших по карточкам у
доски, исправляют допущенные ошибки, задают дополнительные вопросы. Ответы
учащихся, работавших у доски, а также принимавших активное участие в устной работе
оцениваются учителем.
Учитель. Предлагает учащимся тестовые задания для текущего контроля знаний.
Так, первый вариант позволяет определить уровень знаний учащихся в соответствии с
требованиями Государственного стандарта, а второй вариант включает более сложные
задания, в частности, использующие понятие «модуль числа».
Тест по теме «Квадратное уравнение и его корни» (1 вариант)
1. Какое из уравнений является квадратным:
2
1) 3x 2 - = 0 ;
x
2
2) 2,4 x - 7 x - 1 = 0 ;
3) 5  7 x = 0 ;
4) x 2  4 x 3  8 = 0 ;
2. В квадратном уравнении 5 x  9 - 3x 2 = 0 укажите его коэффициенты:
1) a = 5, b = 9, c = -3 ;
2) a = -3, b = 9, c = 5 ;
3) a = 5, b = -3, c = 9 ;
4) a = -3, b = 5, c = 9 ;
5) нет правильного ответа.
3. Определите, какое из приведенных уравнений является равносильным уравнению
x 2  (3x  2)(1 - x) = 0 :
1) 4 x 2  5 x  2 = 0 ;
2) - 2 x 2  x  2 = 0 ;
3) 2 x 2  x - 2 = 0 ;
4) - 2 x 2 - x  2 = 0 ;
5) такого уравнения нет.
4. Найдите корни уравнения 2m 2 - 32 = 0 :
1) 4 ; 2) 0 , 4 ; 3) - 4 , 4 ; 4) не имеет корней; 5) нет правильного ответа.
5. Какие из чисел - 4,-2,-1,0,2 являются корнями квадратного уравнения
2x 2  4x = 0 :
1) - 4,0 ; 2) 0,2 ;
3) - 4,-1 4) - 2,0 ; 5) нет правильного ответа?
6) Решите уравнение - 3 - 2n  5n 2 = n 2 - 2n  13 :
1) - 2,2 ; 2) 2 ; 3) - 2,0 ; 4) 0 5) нет правильного ответа.
Тест повышенного уровня (2 вариант)
1. Какое из уравнений является квадратным:
6
1) 2 x 2  - 11 = 0 ;
x
2
2) x - 15 x 3  4 = 0 ;
x  3 x2
=
3)
;
x-3 2
4) 12 - 3x  x 2 = 0 ;
x  4 2x - 3
=
2. Найдите уравнение, равносильное данному:
x6
x -1
2
1) x  12 x - 14 = 0 ;
2) 3x 2  12 x - 22 = 0 ;
3) x 2  6 x - 14 = 0 ;
4) x 2  4 x - 22 = 0 ;
5) нет правильного ответа.
3. Дано уравнение ( x  2)(3x - 1) = 5 . Назовите коэффициенты квадратного уравнения,
равносильного данному:
1) a = -3, b = -5, c = -7 ;
2) a = 5, b = 3, c = 7 ;
3) a = 5, b = 3, c = -7 ;
4) a = 3, b = 5, c = -7 ;
5) нет правильного ответа.
4. Найдите корни уравнения x 2 - 5 x = 0 :
1) - 5,0,5 ;
2) - 5,5 ;
4) - 5,0 ; 5) нет правильного ответа.
1 1
5. Установите, какие из чисел - 3;- ;0; ;3 являются корнями квадратного уравнения
3 3
2
(3x - 1) = 2 - 6 x :
1 1
1
1
1
1) - ,
; 2) ,3 ; 3) - 3,- ; 4) 0, ; 5) нет правильного ответа.
3 3
3
3
3
x
6. Решите уравнение 4 x 2  = 0 :
x
1
1 1
1
1
1) ; 2) - ,2 ; 3) - ; 4) - , ; 5) нет правильного ответа.
2
2 2
2
2
Учитель открывает заранее заготовленные на закрытой части доски ответы к тестам, и
каждый учащийся уже может выставить себе предварительную оценку.
Учитель. Целью сегодняшнего урока является выведение формулы корней
квадратного уравнения, ввод понятия дискриминанта квадратного уравнения и
зависимости между знаком дискриминанта и числом корней уравнения. В результате
изучения этого материала вам необходимо уметь выводить формулу корней квадратного
уравнения, находить по коэффициентам уравнения значение дискриминанта и определять,
имеет ли уравнение корни или не имеет их. Кроме того, необходимо научиться решать
квадратные уравнения с числовыми коэффициентами по формуле, выполняя
предварительно в необходимых случаях приведение уравнения к виду ax 2  bx  c = 0 . Но
сначала проведем небольшую вводную беседу о роли квадратных уравнений (сообщение
заранее готовит один из учеников).
Ученик. Неполные квадратные уравнения и частные виды неполных квадратных
уравнений x 2 - x = a умели решать вавилоняне (примерно за 2 тысячи лет до новой эры).
Некоторые виды квадратных уравнений решали и греческие математики, сводя их
решение к геометрическим построениям. Среди них было принято выражать все
алгебраические утверждения в геометрической форме. Так, вместо сложения чисел они
говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь
прямоугольника, а произведение трех чисел – как объем прямоугольного
параллелепипеда. Алгебраические формулы принимали вид соотношений между
площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на
сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках. С
того времени и были введены термины «квадрат числа», «куб числа», «среднее
геометрическое».
Также геометрическую форму приняло у греческих математиков и решение
квадратных уравнений, поскольку стороны прямоугольника они находили по заданным
периметру и площади. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду
ax 2  bx  c = 0 , где a  0 , дал индийский ученый Брахмагупта. Вывод формулы корней
квадратного уравнения имеется и у Виета, однако он признавал только положительные
корни. Итальянские математики в дальнейшем охватили кроме положительных и
отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и
других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Затем учитель приступает к выводу на доске формулы нахождения корней
квадратного уравнения.
3) 0,5 ;
Учитель. Познакомимся с еще одним способом решения, который позволит быстро
находить корни квадратного уравнения (раньше мы это делали выделением полного
квадрата двучлена). Выведем формулу для нахождения корней квадратного уравнения
ax 2  bx  c = 0 , a  0 . ( Учитель показывает вывод формулы на доске)
Учащиеся записывают в тетрадях алгоритм решения квадратного уравнения.
1. Выделить в квадратном уравнении коэффициенты.
2. Вычислить дискриминант D .
3. Если D  0 , то сделать вывод: уравнение не имеет действительных корней. Если
же D  0 , то вычислить корни по формуле.
Далее учитель может записать данный алгоритм решения квадратного уравнения в
виде блок-схемы.
Затем учитель вместе с учащимися подробно разбирает на доске решение
квадратного уравнения 5 x 2 - 7 x  2 = 0 . Учащиеся делают записи в тетрадях.
Учитель вызывает к доске сильного ученика и предлагает ему решить следующее
уравнение (остальные учащиеся работают в тетрадях): 3x 2 - 8 x  19 = 0 .
Учитель вызывает к доске еще одного ученика, который разбирает решение такого
уравнения: x 2 - 16 x  64 = 0 .
Учитель проводит дифференцированную работу с материалом учебника на двух
уровнях: задания 1 уровня более простые, а задания 2 уровня – сложнее. На доске
написано задание для двух уровней. Каждый ученик выполняет задание того уровня,
который он выбрал.
Решите уравнения:
1 уровень.
а) x 2  2 x - 35 = 0
б) 2 x 2  5 x  7 = 0
2 уровень.
2
4
2
- x  x2 = 0
а)
45 15
5
б) (2 x - 3) 2 = 11x - 19 .
Учитель по желанию может вызвать к доске учеников, выбравших задания 1
уровня, проконтролировать их решение и помочь справиться с затруднениями. Учащимся,
выбравшим 2 уровень задания, было бы правильнее дать возможность самостоятельно
справиться с заданием и проконтролировать правильность его решения по заранее
заготовленным учителем ответам. При этом первым правильно решившим в качестве
поощрения можно выставить оценки в журнал.
Контроль и самопроверка знаний: всесторонняя проверка сформированности
показателей
математической
образованности
учащихся
через
проверочную,
самостоятельную работу или тестирование в соответствии с требованиями Госстандарта.
Деятельность учителя Проверка учителем полноты, осознанности, действенности
и прочности ЗУН (компетенций); выявление положительных и отрицательных моментов в
знаниях учащихся; использование нестандартных ситуаций в применении проверяемых
знаний.
Деятельность ученика. Взаимопроверка и контроль знаний через тестирование,
проверочные, самостоятельные и контрольные работы, уроки-зачеты, уроки-практикумы,
коллоквиумы и т.д.
В заключение урока можно предложить самостоятельную работу, направленную на
отработку навыка распознавания функции по заданной формуле. Учитель еще раз вместе
со всеми учащимися повторяет алгоритм решения квадратных уравнений.
Проверка самостоятельной работы осуществляется учителем на уроке с помощью
кодоскопа. При этом каждый ученик может сам себе поставить оценку по критериям:
оценка «5» - за два верно выполненных задания;
оценка «4» - за два выполненных задания, но допущена одна вычислительная ошибка;
оценка «3» - за два выполненных задания. но допущена одна грубая ошибка;
оценка «2» - за одно правильно выполненное задание или не выполнено ни одного
задания.