z2_otvx

Подготовить следующие теоретические сведения:
а) Теорема Пифагора.
б) Признаки равенства треугольников.
в) Признаки подобия треугольников.
г)
Определение, признаки и свойства трапеции.
д) Свойства углов, вписанных в окружность.
е) Свойства дуг окружности.
ж) Свойство четырехугольника, вписанного в окружность.
з)
Теорема синусов.
и) Признаки параллельности прямых в плоскости.
к) Свойство отрезков касательных к сфере, проведенных из одной точки.
л) Чему равна градусная мера угла между касательной к сфере и ее радиусом,
проведенным в точку касания?
м) Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
н) Способы задания плоскости.
о) Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью.
п) Алгоритм нахождения угла между двумя плоскостями.
Ответы:
а) Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
б) Признаки равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними
одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы
одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника
равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
в) Признаки подобия треугольников.
Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между
этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника
пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
г)
Определение, признаки и свойства трапеции.
Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие
стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две
другие — боковыми сторонами.
Свойство трапеции: если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований
равна сумме боковых сторон, а средняя линия – полусумме боковых сторон.
Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать
окружность, так как окружность можно описать около четырехугольника, только если
сумма противоположных углов равна.
д) Свойства углов, вписанных в окружность.
Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла,
опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается, либо
дополняет половину центрального угла до 180°.
Следствия:
- Через вершину треугольника проведена касательная к описанной окружности
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- Угол, опирающийся на диаметр, – прямой.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около
него окружности.
е) Свойства дуг окружности:
-
Равные дуги стягиваются равными хордами.
-
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
ж) Свойство четырехугольника, вписанного в окружность: четырехугольник
можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих углов
равны 180°.
з)
𝑎
𝑏
𝑐
Теорема синусов. Для произвольного треугольника sin 𝛼 = sin 𝛽 = sin 𝛾 = 2 ∙ 𝑅,
где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника, 𝑎, 𝛽, 𝛾 – соответственно противолежащие им
углы, а 𝑅 – радиус окружности, описанной около треугольника.
и) Признаки параллельности прямых в плоскости.
Если при пересечении двух прямых секущей: накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые
параллельны.
к) Свойство отрезков касательных к сфере, проведенных из одной точки: отрезки
касательных, проведенных из одной точки (лежащей вне сферы) к сфере, равны.
л) Чему равна градусная мера угла между касательной к сфере и ее радиусом,
проведенным в точку касания?
Градусная мера угла между касательной к сфере и ее радиусом, проведенным в
точку касания равна 90°.
м) Признак
перпендикулярности
прямой
и
плоскости:
если
прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна
самой плоскости.
н) Способы задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть
определено:
1) Тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2) Прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
3) Двумя пересекающимися прямыми;
4) Двумя параллельными прямыми.
5) Точкой и прямой, перпендикулярной данной плоскости.
о) Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью.
1) Выбрать на прямой произвольную точку, отличную от точки пересечения с
плоскостью;
2) Из точки опустить перпендикуляр на плоскость;
3) Построить проекцию данной прямой на данную плоскость – по двум точкам:
точке пересечения прямой и плоскости и перпендикуляра и плоскости;
4) Угол между данной прямой и ее проекцией на данную плоскость и есть
искомый.
п) Алгоритм нахождения угла между двумя плоскостями.
1) Выбрать произвольную точку на линии пересечения плоскостей;
2) Из этой точки в каждой плоскости восстановить перпендикуляр к линии
пересечения;
3) Угол между построенными перпендикулярами и есть искомый.