Задачи на построение.

Задачи на построение.
Учитель: Иванова
Татьяна Сергеевна
Что такое задачи на построение.
В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с
помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще
всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в
построении фигуры, сколько в решении вопоса о отм, как это сделать, и
соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан
способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения
указанных построений действительно получается фигурв с требуемыми
свойствами.
Какие бывают задачи на
построение?





Построение треугольника с данными сторонами.
Построение угла, равного данному.
Построение биссектрисы угла.
Деление отрезка пополам.
Построение перпендикулярной прямой.
Построение треугольника с данными сторонами.
a
Дано: стороны a, b, c
b
c
Надо: построить треугольник с данными сторонами.
Построение
1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на
ней произвольную точку В
2. Раствором циркуля, равным c, описываем окружность с центром B и
радиусом c. Пусть А – точка её пересечения с прямой.
3. Раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра А.
4. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность из центра В.
5. Пусть точка С – точка пересечения этих окружностей.
6. Проведем отрезки ВС и АС. Треугольник АВС имеет стороны,
равные a, b, c.
Анализ
С
a
b
.
С
В
c
А
.
В
.
А
Построение угла, равного данному.
Дано: полупрямая , угол
.
А
В
.
С
Надо: отложить от данной
полупрямой в данную
полуплоскость угол, равный
данному углу.
Построение
1. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А
данного угла.
2. Пусть В и С – точки пересечения окружности со сторонами
угла.
3. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О –
начальной точке данной полупрямой.
4. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой
обозначим В1
5. Опишем окружность с центром В1 и радиусом ВС.
6. Точка С1 пересечения построенных окружностей в указанной
полуплоскости лежит на стороне искомого угла.
7. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и
ОВ1С1 равны как треугольники с соответственно равными
сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих
треугольников.
С1
.
О
В1
Построение биссектрисы угла.
Построение
1. Из вершины А данного угла как из центра описываем
окружность любого радиуса.
Дано: угол
2. Пусть точки В и С – точки её пересечения со сторонами
угла.
. .
.
В
А
D
С
Надо: построить
его биссектрису.
3. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности.
4. Пусть D – точка пересечения, отличная от А. Проводим
полупрямую AD.
5. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол ВАС
пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и
ACD , у которых углы DAB и DAC являются
соответствующими.
Деление отрезка пополам.
Построение
Дано: отрезок АВ.
Надо: разделить отрезок пополам.
.
А
.
С
.
О
.
С1
.
В
1. Из точек А и В радиусом АВ описываем окружность.
2. Пусть точки С и С1 – точки пересечения этих
окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях
относительно прямой АВ.
3. Отрезок СС1 пересекает прямую АВ в некоторой точке О.
Эта точка есть середина отрезка АВ.
4. Действительно, треугольники САС1 и СВС1 равны по
третьему признаку равенства треугольников. Отсюда
следует равенство углов АСО и ВСО. Треугольники АСО и
ВСО равны по первому признаку равенства треугольников.
Стороны АО и ВО этих треугольников являются
соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом,
О – середина отрезка АВ.
Построение перпендикулярной прямой.
Дано: прямая, точка О.
Надо: провести перпендикуляр к прямой через точку О.
1-й случай: точка О лежит на прямой.
Построение
.
С
.
А
1. Из точки О любым радиусом описываем
окружность. Она пересекает прямую в точках
А и В.
. .
О
В
2. Из точки А и В радиусом АВ описываем
окружности. Они пересекаются в точке С
(выбираем одну полуплоскость).
3. Перпендикулярность прямых ОС и АВ
следует из равенства углов при вершине
О треугольников АСО и ВСО. Эти
треугольники равны по третьему
признаку равенства треугольников.
2 –й случай: точка О лежит вне прямой.
Построение
1. Из точки О проводим окружность,
пересекающую прямую. Точки А и В – точки
пересечения.
.
2. Из точек А и В тем же радиусом проводим
окружности. Точка О1 – точка их пересечения,
лежащая в полуплоскости, отличной от той, в
которой лежит точка О.
О
3. Искомая прямая проходит через точки О
и О1 .
4. Докажем это.
.
А
.
С
.
О1
.
В
Обозначим через С точку пересечения
прямых АВ и ОО1. Треугольники АОВ и
АО1В равны по третьему признаку.
Поэтому угол ОАС равен углу О1АС. А
тогда треугольники ОАС и О1АС равны по
первому признаку. Значит, их углы АСО и
АСО1 равны. А так как они смежные, то
они прямые. Таким образом, ОС –
перпендикуляр, опущенный из точки О
на прямую.