9 класс 1) Известно, что и что уравнение ax 2 bx c 0 действительных корней. Определить знак коэффициента с. не имеет 2) Доказать, что из любых пяти целых чисел можно найти три, сумма которых делится на 3. Пусть а1, а2, а3, а4, а5 - различные пять натуральных чисел и в1, в2, в3, в4, в5 их остатки от деления на 3 соответственно. 1. Если среди чисел в1, в2, в3, в4, в5 есть хотя бы три одинаковых, например: 3, 3, 3, то сумма этих трех чисел делится на три (9:3) 2. Если среди чисел в1, в2, в3, в4, в5 нет трех одинаковых, а значит, найдутся три различных числа, имеющие остатки 0, 1 и 2 и тогда их сумма, также делится на три. 3) Решить уравнение: x 2 10 x 15 3x x 2 6 x 15 x 2 8 x 15 . 4) Упростить выражение: ( 5 2 6 5 2 6)* 3 . 2 5) Найти сумму: 1 1 1 ... . 1* 2 * 3 * 4 2 * 3 * 4 * 5 n(n 1)( n 2)( n 3) 6) Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день ее рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было каждой дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью 495? 7) Найти двухзначное число, равное неполному квадрату суммы его цифр. 81 8) Найти последние две цифры числа 9) Сократите дробь: x3 5 x 2 4 x 20 x 2 3x 10 7 99 9 . 10) Докажите, что среди любых шести человек найдутся трое знакомых или трое незнакомых между собой людей. Рассмотрим произвольного человека Д. Среди 5 других найдутся трое, знакомых с Д, или трое, незнакомых с Д. Действительно, если так не будет, то людей, знакомых с Д , максимум двое; людей, незнакомых с Д, также максимум двое. Получим, что всего мы рассматриваем 1+2+2=5 человек, а по условию, людей 6. Получили противоречие с условием. Т.о. найдутся трое, знакомых с Д, или трое, незнакомых с Д. Для определенности положим, что эти трое знакомы с Д. Если из этих троих какие-то двое знакомы друг с другом, то вместе с человеком Д они составляют тройку попарно знакомых. Если среди этих троих нет знакомых, то они составляют тройку незнакомых между собой людей.