Минибаев Альбертx

Минибаев Альберт Финатович
Решения
2-го тура дистанционной олимпиады по математике
для учащихся 9 класса
1) Известно, что 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 0 и что уравнение ax 2  bx  c  0
действительных корней. Определить знак коэффициента с.
не имеет
Решение:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 < 0 значит, парабола ax 2  bx  c  0 лежит ниже оси 0𝑥. Значит c<0
Ответ: c<0
2) Доказать, что из любых пяти целых чисел можно найти три, сумма которых
делится на 3.
Доказательство:
Пусть а1, а2, а3, а4, а5 - различные пять натуральных чисел и в1, в2, в3, в4, в5 - их
остатки от деления на 3 соответственно.
1-ый случай: Если среди чисел в1, в2, в3, в4, в5 есть хотя бы три одинаковых,
например: 3, 3, 3, то сумма этих трех чисел делится на три (9:3)
2-ой случай: Если среди чисел в1, в2, в3, в4, в5 нет трех одинаковых, а значит,
найдутся три различных числа, имеющие остатки 0, 1 и 2 и тогда их сумма,
также делится на три.
А это значит, что всегда из любых пяти целых чисел можно найти три, сумма
которых делится на 3.
Что и требовалось доказать
3) Решить уравнение:
x 2  10 x  15
3x

.
x 2  6 x  15 x 2  8 x  15
Решение:
Пусть x 2 +15=a, тогда
a − 10x
3x
=
a − 6x
a − 8x
3x(a − 6x) = (a − 10x)(a − 8x)
2
a − 8ax − 10ax + 80x 2 − 3ax + 18x 2 = 0
𝑎2 − 21𝑎𝑥 + 98𝑥 2 = 0
𝐷 = (21𝑥)2 − 4 ∗ 1 ∗ 98𝑥 2 = 441𝑥 2 − 392𝑥 2 = 49𝑥 2
21x + √49x 2 21x + 7x 28x
a1 =
=
=
= 14𝑥
2
2
2
21𝑥 − √49𝑥 2 21𝑥 − 7𝑥 14𝑥
a2 =
=
=
= 7x
2
2
2
При 𝑥 2 + 15 = 14x
x 2 − 14x + 15 = 0
D = 142 − 4 ∗ 1 ∗ 15 = 196 − 60 = 136
14 + √4 ∗ 34 14 + 2√34
x1 =
=
= 7 + √34
2
2
14 − √4 ∗ 34 14 − 2√34
x2 =
=
= 7 − √34
2
2
При x 2 + 15 = 7x
x 2 − 7x + 15 = 0
D = 72 − 4 ∗ 1 ∗ 15 = 49 − 60 = −11 Нет корней
Ответ: 7 ± √34.
4) Упростить выражение:
( 5 2 6  5 2 6)*
3
.
2
Решение:
√3
(√5 + 2√6 + √5 − 2√6) ∗ 2 =
2
2
2
2
= (√(√2) + 2√2 ∗ √3 + (√3) + √(√2) − 2√2 ∗ √3 + (√3) ) ∗
2
2
= (√(√2 + √3) + √(√2 − √3) ) ∗
= (|√2 + √3| + |√2 − √3|) ∗
= 2√3 ∗
√3
=
2
√3
=
2
√3
=
2
√3
=3
2
Ответ: 3.
5) Найти сумму:
1
1
1

 ... 
.
1* 2 * 3 * 4 2 * 3 * 4 * 5
n(n  1)( n  2)( n  3)
6) Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день ее рождения, начиная с пяти
лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют
арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было
каждой дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью 495?
Решение:
Известно, что Мать дарит дочерям книги с 5-ти лет, возрасты пяти дочерей
составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Из этого
следует, что старшая дочь на 8 лет старше младшей дочери.
Вычисляя сколько книг в библиотеке было через каждый год, можно сделать
вывод, что дочерям 10, 12, 14, 16, 18 лет.
Ответ: 10, 12, 14, 16, 18 лет.
7) Найти двухзначное число, равное неполному квадрату суммы его цифр.
Решение:
Требуется найти двухзначное число x, представим его в виде 10a+b, где a –
ненулевая цифра десятков, b – цифра единиц. По условию
10a + b = 𝑎2 + ab + b 2 . Подставляя числа вместо a, можно найти числа
подходящие под условия задачи:
Если, а=1
10 + b = 12 + b + 𝑏 2
𝑏2 − 9 = 0
b=3
Если, a=2
20+b=4+2b+𝑏 2
𝑏 2 +b-16=0
D=1+64=65 целых корней нет
Если, а=3
30а+b=9+3b+𝑏 2
𝑏 2 +2b-21=0
D=4+84=88 целых корней нет
Если, а=4
40+b=16+4b+𝑏 2
𝑏 2 +3b-24=0
D=9+96=105 целых корней нет
Если, а=5
50+b=25+5b+𝑏 2
𝑏 2 +4b-25=0 целых корней нет
Если, а=6
60+b=36=6b+𝑏 2
𝑏 2 +5b-24=0
D=25+96=121
𝑏1 =
−5+11
𝑏2 =
2
−16
2
=3
=-8 не подходит под условия задачи
Если, а=7
70+b=49+4b+𝑏 2
𝑏 2 +3b-21=0
D=9+84=93 целых корней нет
Если, а=8
80+b=64+8b+𝑏 2
𝑏 2 +7b-16=0
D=49+64=128 целых корней нет
Если, а=9
90+b=81+9b+𝑏 2
𝑏 2 +8b-9=0
D=64+36=100
𝑏1 =
−8+10
2
=1
Ответ: 13, 63, 91.
8) Найти последние две цифры числа
7
99
9
.
Решение:
9
99
3
33
33
3
33
33
3
7 =7
= 343
При дальнейшем возведении 343 в степень 5 раз
последние две цифры равны 07.
Ответ: 07
9) Сократите дробь:
Решение:
x3  5 x 2  4 x  20
x 2  3x  10
=
x2 (x+5)−4(x+5)
(x−2)(x+5)
Но 𝑥 ≠ 2 и 𝑥 ≠ −5
=
(x2 −4)(x+5)
(x−2)(x+5)
=
x2 −4
x−2
=x+2
Ответ: x + 2, где 𝑥 ≠ 2 и 𝑥 ≠ −5.
10)
Докажите, что среди любых шести человек найдутся трое знакомых или
трое незнакомых между собой людей.
Доказательство:
Рассмотрим любого из этих людей. Очевидно, что среди пяти остальных у него
есть либо трое знакомых, либо трое незнакомых. Можно считать, что он знаком,
по крайней мере, с тремя другими: A, B и C. Если хоть какие-то два из них
знакомы между собой, то мы получаем тройку попарно знакомых людей.
Если же они все незнакомы между собой, то мы получаем тройку попарно
незнакомых: A, B и C.
Что и требовалось доказать
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия____________Минибаев_____________________
Имя_________ ____ __Альберт_______________________
Отчество____________Финатович____________________
Класс______________ 9 А__________________________
Школа______________МБОУ СОШ___________________
Город (село) ________с. Карамалы-Губеево_____________
Район______________Туймазинский район_____________
Ф.И.О. учителя______Шарафутдинова Рабига Лутфуловна