КДР 10-3

КДР – 10 – 3
Вариант 1
Часть 1
Ответом на задания В1 — В15 является целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.
B 1. В летнем лагере на каждого участника полагается 50 г сахара в день. В лагере 163 человека.
Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 7 дней?
В 2. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 35%
не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
В 3. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой
нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).
В 4. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжённостью 500 км. В
таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды.
Автомобиль Топливо
Расход топлива (л на 100 км)
Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А
Дизельное 7
3700
Б
Бензин
3200
В
10
Газ
14
3200
Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Цена дизельного
топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рубля за литр, газа — 14 рублей за литр. Сколько
рублей заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?
В 5. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1
см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность
того, что орел выпадет ровно два раза.
В 7. Найдите корень уравнения
В 8. В треугольнике ABC
.
,
. Найдите высоту AH.
,
В 9. На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
Определите промежуток возрастания функции, в ответ запишите длину наибольшего из
промежутков.
1
.
В 10. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с
диагоналями, равными 5 и 12, и боковым ребром, равным 16.
В 11. Найдите значение выражения
.
В 12. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена
зависимость температуры от времени работы:
, где — время в минутах,
К,
К/мин ,
К/мин. Известно, что при температуре нагревательного
элемента свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через
какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в
минутах.
В 13. В правильной четырехугольной пирамиде
точка
— центр основания, вершина,
,
. Найдите длину отрезка
.
В 14. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между
которыми равно 80 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч больше
прежней. По дороге он сделал остановку на 2 часа. В результате он затратил на обратный путь
столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
Ответ дайте в км/ч.
В 15. Найдите наибольшее значение функции у  3  2 х  х 2 .
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1 ― С6 используйте бланк ответов №2.
Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и
ответ.
C 1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
C 2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение
через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.
C 3. Решите систему неравенств:
C 4. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D,
причём AD= R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.
C 5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
не имеет решений.
C 6. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
2
КДР – 10 – 3
Вариант 2
Часть 1
Ответом на задания В1 — В15 является целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.
B 1. В летнем лагере 219 детей и 28 воспитателей. Автобус расчитан не более чем на 48
пассажиров. Какое наименьшее количество автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти
всех из лагеря в город?
В 2. Среди 40000 жителей города 30% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков
70% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч
по телевизору?
В3. На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой
олова на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).
В 4. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжённостью 600 км. В
таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды.
Автомобиль Топливо
Расход топлива (л на 100 км)
Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А
Дизельное 6
3500
Б
Бензин
3100
В
9
Газ
10
3300
Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Цена дизельного
топлива — 16 рублей за литр, бензина — 17 рублей за литр, газа — 14,5 рублей за литр. Сколько
рублей заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?
В 5. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1
см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность
того, что орел не выпадет ни разу.
В 7. Найдите корень уравнения
.
В 8. В треугольнике ABC
, AH — высота,
,
. Найдите BH.
В 9. На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
.
Определите промежуток убывания функции, в ответ запишите длину наименьшего из
промежутков.
3
В 10. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с
диагоналями, равными 20 и 21, и боковым ребром, равным 45.
В 11. Найдите значение выражения
.
В 12. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена
зависимость температуры от времени работы:
, где — время в минутах,
К,
К/мин ,
К/мин. Известно, что при температуре
нагревательного элемента свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно
отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить
прибор. Ответ выразите в минутах.
В 13. В правильной четырехугольной пирамиде
точка
— центр основания, вершина,
,
. Найдите боковое ребро
.
В 14. Заказ на 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько
деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше?
В 15. Найдите наименьшее значение функции у  2 х
2
 4 х 3
.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1 ― С6 используйте бланк ответов №2.
Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и
ответ.
С 1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
C 2. В правильной четырёхугольной пирамиде
с основанием
проведено сечение
через середины рёбер
и
и вершину Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро
пирамиды равно а сторона основания равна
C 3. Решите систему неравенств
C 4 № 502316. В треугольник
вписана окружность радиуса
точке
причём
а) Докажите, что треугольник
прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон
и
в точках и
ка
если известно, что
и
касающаяся стороны
в
Найдите площадь треугольни-
C 5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет единственное решение.
C 6. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую
прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 123.
4
КДР – 10 – 3
Вариант 3
Часть 1
Ответом на задания В1 — В15 является целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.
В 1. В летнем лагере на каждого участника полагается 70 г сахара в день. В лагере 163 человека.
Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 7 дней? В 2. В городе N
живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 30% не работает
(пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
В 3. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой
нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).
В 4. Клиент хочет арендовать автомобиль на двое суток для поездки протяжённостью 1000 км. В
таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды.
Автомобиль Топливо Расход топлива (л на 100 км)
Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А
Дизельное 7
3700
Б
Бензин
3200
В
10
Газ
14
3200
Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Цена дизельного
топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рубля за литр, газа — 14 рублей за литр. Сколько
рублей заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?
В 5. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1
см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность
того, что орел не выпадет ни разу.
В 7. Найдите корень уравнения
.
В 8. В треугольнике ABC
,
. Найдите высоту AH.
,
В 9. На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
Определите промежуток возрастания функции, в ответ запишите длину наибольшего из
промежутков.
5
.
В 10. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с
диагоналями, равными 12 и 16, и боковым ребром, равным 8.
В 11. Найдите значение выражения
.
В 12. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена
зависимость температуры от времени работы:
, где — время в минутах,
К,
К/мин ,
К/мин. Известно, что при температуре
нагревательного элемента свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно
отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить
прибор. Ответ выразите в минутах.
В 13. В правильной четырехугольной пирамиде
точка
— центр основания, вершина,
,
. Найдите боковое ребро
.
В 14. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между
которыми равно 108 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч
больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный
путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А
в В. Ответ дайте в км/ч.
В 15. Найдите наибольшее значение функции у  log 5  х 2  8 х  9
.


Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1 ― С6 используйте бланк ответов №2.
Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и
ответ.
C 1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
C 2. В правильной треугольной призме
стороны основания равны 6, боковые рёбра
равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины
и середину ребра
Найдите
его площадь.
C 3. Решите систему неравенств:
C 4. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении
BO:OD = 3:1 и AC = 2a.
C 5. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
C 6. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
6
КДР – 10 – 3
Вариант 4
Часть 1
Ответом на задания В1 — В15 является целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания,
начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и десятичную запятую пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.
В 1. В летнем лагере 249 детей и 28 воспитателей. Автобус рассчитан не более чем на 48
пассажиров. Какое наименьшее количество автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти
всех из лагеря в город?
В 2. Среди 40000 жителей города 50% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков
80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч
по телевизору?
В 3. На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во
все рабочие дни с 14 по 28 июля 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой
олова на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).
В 4. Клиент хочет арендовать автомобиль на двое суток для поездки протяжённостью 2100 км. В
таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды.
Автомобиль Топливо
Расход топлива (л на 100 км)
Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А
Дизельное 7
3700
Б
Бензин
3200
В
10
Газ
14
3200
Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Цена дизельного
топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рубля за литр, газа — 14 рублей за литр. Сколько
рублей заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?
В 5. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1
см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность
того, что орел выпадет ровно один раз.
В 7. Найдите корень уравнения
.
В 8. В треугольнике ABC
, AH — высота,
,
. Найдите BH.
В 9. На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
Определите промежуток убывания функции, в ответ запишите длину наименьшего из
промежутков.
7
.
В 10. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с
диагоналями, равными 9 и 40, и боковым ребром, равным 54.
В 11. Найдите значение выражения
.
В 12. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена
зависимость температуры от времени работы:
, где — время в минутах,
К,
К/мин ,
К/мин. Известно, что при температуре
нагревательного элемента свыше 1850 К прибор может испортиться, поэтому его нужно
отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить
прибор. Ответ выразите в минутах.
В 13. В правильной четырехугольной пирамиде
точка
— центр основания, вершина,
,
. Найдите длину отрезка
.
В 14. Заказ на 240 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько
деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

В 15. Найдите наименьшее значение функции у  х 2  6 х  5

3
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1 ― С6 используйте бланк ответов №2.
Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и
ответ.
C 1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
C 2. В правильной треугольной призме
стороны основания равны , боковые рёбра
равны
. Изобразите сечение, проходящее через вершины
его площадь.
и середину ребра
. Найдите
C 3. Решите систему неравенств
C 4. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.
а) Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении
BO : OD = 3 : 1 и AC = 2m.
C 5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
C 6. Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
8