Задания С4 в формате ЕГЭ-2014 Условиязаданий С4.1а Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В . Через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности ещё в точках К и М . Известно, что площадь треугольника АКМ равна 35 , а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 56 . 1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны. 2) Найдите длину отрезка КМ . С4.1б Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В . Через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности ещё в точках К и М . Известно, что длина отрезка КМ равна 32 , а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 16 . 1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны. 2) Найдите площадь треугольника АКМ . С4.1в Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В . Через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности ещё в точках К и М . Известно, что длина отрезка КМ равна 8 , а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 16 . 1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны. 2) Найдите площадь треугольника АКМ . С4.1г Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В . Через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности ещё в точках К и М . Известно, что площадь треугольника АКМ равна 1260 , а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 56 . 1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны. 2) Найдите длину отрезка КМ . С4.2а В трапеции АВСТ основания ВС и АТ равны соответственно 7 и 26 , а боковые стороны АВ и СТ равны соответственно 23 и 12 . К – точка пересечения биссектрис углов А и В , а М – точка пересечения биссектрис углов С и Т . 1) Покажите, что КМ параллельно АТ . 2) Найдите длину отрезка КМ . С4.2б В трапеции АВСТ основания ВС и АТ равны соответственно 21 и 11 , а боковые стороны АВ и СТ равны соответственно 9 и 15 . К – точка пересечения биссектрис углов А и В , а М – точка пересечения биссектрис углов С и Т . 1) Покажите, что КМ параллельно АТ . 2) Найдите длину отрезка КМ . Ответыиуказания С4.1 1) Достаточно показать, что углы ВКМ и АО1О2 , ВМК и АО2О1 измеряются половинами соответствующих дуг АВ . 2а) Покажите, что центры окружностей расположены по разные стороны от прямой АВ , а точка В лежит между на продолжении отрезка КМ . Площадь треугольника АО1О2 равна 560 , коэффициент подобия треугольников ВКМ и АО1О2 равен Поэтому КМ = , то есть . О1О2 = 14. 2б) Покажите, что центры окружностей расположены по одну сторону от прямой АВ , от прямой АВ , а точка В лежит между точками К и М . Площадь треугольника АО1О2 равна 160 , коэффициент подобия треугольников ВКМ и АО1О2 равен , то есть 2 . Поэтому площадь треугольника АКМ = 160 = 640. 2в) Покажите, что центры окружностей расположены по одну сторону от прямой АВ , а точка В лежит между на продолжении отрезка КМ . Площадь треугольника АО1О2 равна 160 , коэффициент подобия треугольников ВКМ и АО1О2 равен , то есть Поэтому площадь треугольника АКМ = . 160 = 40. 2г) Покажите, что центры окружностей расположены по разные стороны от прямой АВ , а точка В лежит между точками К и М . Площадь треугольника АО1О2 равна 560 , коэффициент подобия треугольников ВКМ и АО1О2 равен Поэтому КМ = , то есть . О1О2 = 84. С4.2 1) Достаточно показать, что равны расстояния от точек К и М до оснований трапеции, так что эти точки лежат на средней линии трапеции. 2) Покажите, что всегда Поэтому в 4.2а КМ = 1 , а в 4.2б КМ = 4 . .