Решение олимпиады по математике 11 класс(1 тур)

Дистанционная олимпиада по математике 11 класс (I тур)
ВЫПОЛНИЛА
Фамилия_Дильмухаметова____________
Имя_Зарина___________________________
Отчество Рафаильевна_________________________
Класс____11__________________________
Школа__МБОУ лицей имени Мухаметши
Бурангулова___________________________
Город (село)__Раевский_______________________
Район__________Альшеевский_____________________
Ф.И.О. учителя_Новикова Любовь
Васильевна_____________________
Вариант 1
1)Решить уравнение
+
=
Решение:
x2+x=t
+
=
t+4+t+1+2*
=2t+9
2t+5+2*
2*
(
(t+4)*(t+1)=4
t2+4t+t+4-4=0
t2+5t=0
t*(t+5)=0
t=0
t=-5
1)x2+x=0
x*(x+1)=0
)=2t+9
=4
)2=(2)2
x=0
x=-1
2)x2+x=-5
x^2+x+5=0
D<0,нет
корней
Ответ:х=0;x=-1
2)Найти значение a и b, при которых значение многочлена
наименьшее, если a+b=1.
a3+b3=(a+b)*(a2-ab+b2)+ab=a2-ab+b2+ab=a2+b2
a2≥0
b2≥0
Если а=0,b=0
a2+b2=02+02=0
Наим.значение,если а=0;b=0
Ответ:a=0;b=0
3)Сколько корней имеет уравнение sinx =
Решение:
+
+ab
График синуса и график функции y =
симметричны относительно начала
координат. Рассмотрим правую часть графиков.
Sinmax=1,поэтому точки пересечения графиков будут находиться в пределах тех
значений x , для которых
не превосходит 1. Будут находиться пределах от
0 до 100.На этом промежутке 100/2пи периодов sinx.
100/2π 15,9
В каждом периоде для sinx график прямой y=100/x и синусоида имеют две
точки пересечения(причём в первой половине периода).Значит в пределах 15,5
периодов будет содержаться 32 точки пересечения графиков. Столько же точек
пересечения графиков будет находиться слева от начала координат. Начало
координат считается нами два раза. Поэтому данное уравнение имеет 63 корня.
Ответ:63 корня
4)Доказать, что если квадраты сторон треугольника составляют
арифметическую прогрессию, то треугольник, сторонами которого служат
медианы данного, подобен данному
В
А
С
5) В шахматном турнире принимали участие учащиеся двух классов, причем
учащихся одного класса было в 10 раз больше, чем учащихся другого класса.
Каждый участник турнира встречался с любым другим только один раз. При
подведении итогов турнира оказалось, что учащиеся класса с большим
числом участников набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все
учащиеся другого класса. Сколько очков набрали учащиеся класса с
меньшим числом участников?
Решение:
Пусть х-число учеников первого класса
10х-число учеников второго класса
10х+х=11х-число всех участников.
(11x(11x-1))/2-число сыгранных партий в отношении 1: 4,5=2:9
(11x(11x-1))/2·2/11=11x2-x-число очков, набранных учащимися
первого класса
(x(x-1))/2+10x2- число всех сыгранных партий учащимися первого
класса
Это число не меньше числа очков, полученных учащимися первого
класса: 11x2-x
(x(x-1))/2+10x2;x=1
Ответ: число набранных очков 10.