Ответы на задачи для старшей возрастной группы.

Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
ЗАДАНИЯ ОБУЧАЮЩЕГО ТУРА (старшая группа)
Задача 1. В угловой клетке таблицы 5х5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы.
Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противоположные.
Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами?
Решение:
Возьмём квадрат 2Х2 (один плюс и три минуса). Можно ли сделать все знаки плюсами?
Нельзя! Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате 5Х5 квадратик 2Х2,
содержащий один плюс. Про него уже известно, что сделать все знаки плюсами
невозможно. Значит, в квадрате 5Х5 и подавно этого сделать нельзя.
Ответ: нельзя.
Задача 2. На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам
всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни - солнечно. Утром какого дня
недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и
захватить при этом как можно больше солнечных дней?
( A ) в понедельник; (B) в среду; (C) в четверг; ( D ) в пятницу; ( E ) во вторник
Решение:
В 44 днях 6 полных недель и еще 2 дня. В течении 6 недель число солнечных дней
постоянно и не зависит от выбора дня начала отдыха.
Два оставшихся дня выбираем четверг и пятницу - солнечные дни. Следовательно,
отправляем туристов утром в четверг. То есть верный ответ - (С).
Ответ: верный ответ - (С).
Задача 3. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями
проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на
вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:
o Россия — "Проект не наш, проект не США";
o США — "Проект не России, проект Китая";
o Китай — "Проект не наш, проект России".
Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза
говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.
Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный
министры.
Решение:
Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:
Россия — "Проект не наш" (1), "Проект не США" (2);
США — "Проект не России" (3), "Проект Китая" (4);
Китай — "Проект не наш" (5), "Проект России" (6).
Узнаем, кто из министров самый откровенный.
Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил
китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не
может быть по условию.
Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что победил
китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не
может быть по условию.
Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того,
что (5) и (6) справедливы, следует, что победил российский проект. А тогда получается,
что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же
утверждения министра США неверны.
____________________________________________________________________________________________
1
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский, скрытнее — министр
США.
Задача 4. В шахматном турнире принимали участие 6 партнеров разных профессий: токарь,
слесарь, инженер, учитель, врач и шофер. Известно:
1. в первом туре Андреев играл с врачом, учитель с Борисовым, а Григорьев с
Евдокимовым;
2. во втором туре Дмитриев играл с токарем, а врач с Борисовым;
3. в третьем туре Евдокимов играл с инженером;
4. по окончании турнира места распределились так — Борисов I место, Григорьев и
инженер поделили II и III места, Дмитриев занял IV Место, а Золотарев и слесарь
поделили пятое и шестое места.
Какие профессии имели Григорьев, Дмитриев и Евдокимов?
Решение:
Решим эту задачу с помощью графов. По 1, 2, 3 и 4 условию составим графы (рис.1)
Рис.1.
Рис. 2
Можно построить и общий для всех условий граф (рис. 2). На последнем графе
независимо друг от друга можно провести три сплошных отрезка ИА, ВЗ и БШ, что
свидетельствует об избыточности условия задачи. Для того чтобы получить ответ
задачи, проводим сплошные отрезки ГТ, ДУ и ЕС.
Ответ: Григорьев – токарь, Евдокимов – слесарь, Дмитриев – учитель.
Задача 5. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов (Брауна, Смита и
Вессона), умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.
Известно, что:
o Смит самый высокий;
o играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;
o играющий на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;
o когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;
o Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.
На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя
инструментами?
Решение:
Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки
цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее
высказывание. Так как музыкантов трое, инструментов шесть и каждый владеет только
двумя инструментами, то получается что каждый музыкант играет на инструментах,
которыми остальные не владеют. Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте,
____________________________________________________________________________________________
2
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и
гобое. Следовательно, инструменты Брауна – альт и кларнет. Занесём это в таблицу, а
оставшиеся клетки столбцов «альт» и «кларнет» заполним нулями.
Браун
Смит
Вессон
скрипка
0
флейта
0
альт
1
0
0
кларнет
1
0
0
гобой
0
труба
0
0
Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон. Из условий 1 и 2 следует,
что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом
является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, определены, поэтому
остальные клетки строки «Вессон» можно заполнить нулями:
Браун
Смит
Вессон
скрипка
0
флейта
0
1
0
альт
1
0
0
кларнет
1
0
0
гобой
0
0
Из таблицы видно, что играть на флейте и гобое может только Смит:
скрипка
флейта
альт
кларнет
гобой
Браун
0
0
1
1
0
Смит
1
0
0
1
Вессон
1
0
0
0
0
труба
0
0
1
труба
0
0
1
Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит на флейте и гобое, Вессон – на скрипке и трубе.
____________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
3
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
Задача 6. Имеются 9 монет, среди которых одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета
легче других. Как с помощью чашечных весов за два взвешивания найти фальшивую монету?
Решение:
Разложим монетки на три
равные кучки
Взвесим две
кучки
Одна кучка
легче другой
Вес равный
Фальшивая
монетка в
третьей кучке
Фальшивая
монетка в
третьей кучке
Взвесим две
монеты из
кучки
Монеты
имеют
равный вес
Одна из
монет легче
Третья монета
фальшивая
Рис. 3
Более легкая
монета
фальшивая
Ответ: см.Рис.3
Задача 7. В отделе НИИ работают несколько человек, причём каждый из них знает хотя бы
один иностранный язык. Английский язык знают 21 человек, немецкий – 15 человек,
французский – 11 человек. Английский и немецкий знают пятеро, немецкий и французский –
четверо, французский и английский – семеро. Трое знают все три языка. Сколько человек
работает в отделе и сколько знает только английский?
Решение:
Решим эту задачу графически. Изобразим множество людей, знающих языки в виде трёх
пересекающихся кругов Эйлера: английский – кругом с горизонтальной штриховкой,
немецкий – с вертикальной штриховкой, а французский – с наклонной. Тогда область,
где все три круга пересекаются, содержит трёх человек, знающих по три языка. Так как
английский и немецкий знают пятеро, то только английский и немецкий знают двое (на
рисунке эта область покрыта горизонтальной и вертикальной штриховкой, см. рисунок
4).
Так как французский и английский знают семеро, то только французский и английский
знают четверо (на рисунке эта область покрыта горизонтальной и наклонной
____________________________________________________________________________________________
4
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
штриховкой). Область, покрытая только горизонтальной штриховкой, содержит людей,
знающих только английский язык. Их имеется 21-2-3-4=12 – человек. Область, покрытая
только вертикальной штриховкой, содержит людей, знающих только немецкий язык. Их
количество равно 15-2-3-1=9 – человек. Область, покрытая только наклонной
штриховкой, содержит людей, знающих только французский язык. Таких всего 11-4-31=3 – человека. Таким образом, если сложить всех людей во всех непересекающихся
областях, то получится, что в отделе работает 34 человека.
Рис. 4.
Ответ: В отделе работает 34 человека, 12 - знающих только английский язык.
Задача 8. В
первенстве класса по теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор,
Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводилось по круговой системе: каждый из
участников играет с каждым из остальных один раз. Некоторые игры уже проведены:
Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой, Борис с Галиной, Виктор с Галиной,
Дмитрием и Еленой. Сколько пар проведено и сколько ещё осталось?
Решение:
Изобразим данные задачи в виде схемы (Рис 5). Участников будем изображать точками,
Андрея – А, Бориса – Б и т.д.. Если двое участников уже сыграли между собой, то будем
соединять их точки отрезками.
Б
Б
В
А
Г
Е
Е
В
А
Д
Рис.5
Г
Е
Д
Рис.6
Число игр, уже проведённых, равно числу рёбер, т.е.7.
Чтобы найти число игр, которые осталось провести, построим ещё один граф с теми же
вершинами (Рис.6), но рёбрами будем соединять тех участников, которые ещё не играли
друг с другом. (Если точки из одного множества соответствуют точкам из другого,
будем соединять их сплошной линией, а если не соответствуют – пунктирной). Рёбер у
графа с пунктирными линиями оказалось 8, значит, осталось провести 8 игр.
Ответ: 7 и 8.
____________________________________________________________________________________________
5
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
Задача 9. Имеется кран, в котором достаточно много воды, и раковина, куда можно сливать
лишнюю воду. Можно ли с помощью а) 7-литровой банки и 11-литровой банки; б) 6-литровой
банки и 9-литровой банки набрать из крана ровно 2 литра воды?
Ответ:
а) Минимальное число переливаний равно 14.
б) Нет, так как объемы банок не взаимно просты.
Задача 10. В аптеку поступило сильнодействующее лекарство - 8 упаковок по 150 таблеток.
Следом пришло сообщение, что в этой партии есть несколько упаковок с бракованными
таблетками - их вес на 1 мг больше нормальной дозы. Как за одно взвешивание выявить все
упаковки с бракованными таблетками? Упаковки можно вскрывать.
Решение:
Следует учинить непересекающиеся подмножества таблеток от разных упаковок: взять
из первой упаковки одну таблетку, из второй - две, из третьей - четыре, из четвёртой восемь, из пятой - 16, из шестой - 32, из седьмой - 64, из восьмой - 128. Всё это взвесить.
Вычесть из полученного веса идеальный вес (идеальный вес каждой таблетки известен
из документации, но можно обойтись и без него - подумайте как). Полученный излишек
веса (он уже нормализован за счёт единичного излишка веса каждой таблетки) перевести
в двоичный вид (ведь мы сформировали подмножества по двоичному закону). В этом
числе номера разрядов, равные единице, и будут показывать номера бракованных
упаковок.
Ответ: (см. в решении)
Задача 11. Даны две параллельные прямые. На одной из них имеется 10 точек, а на другой - 20.
Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках?
Решение:
Заметим, что здесь будет два типа треугольников, расположенных вершинами вверх и
вершинами вниз. Для треугольника первого типа вершину выбираем 10 способами, а
основание (2 точки из 20) 10·
способами. Всего, по правилу произведения, получается
треугольников. Аналогично, треугольников второго типа будет 20·
применив правило суммы, получим общее количество треугольников: 10·
Ответ: 2800 треугольников.
. Наконец,
+ 20·
Задача 12. Выпуклый многоугольник имеет 90 диагоналей. Сколько у него сторон?
Решение:
Обозначим количество сторон многоугольника через n. Вершин у него тоже будет n.
Соединим вершины попарно отрезками, которых будет
. Среди этих отрезков будет n
сторон, остальные - диагонали. Составим уравнение по условию задачи:
Отсюда получается квадратное уравнение:
n2-3n-180=0, корни которого n1=15, n2= - 12. По смыслу задачи подходит n=15
Ответ: 15 сторон.
.
Задача 13. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый участник сыграл с
каждым по одной партии, а партий было сыграно в 10 раз больше числа участников.
Решение:
Если участников - n человек, партий будет сыграно
____________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
6
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
штук. Составим уравнение
, решив которое, найдем: n =21.
Ответ: 21 шахматист.
Задача 14. В контрольной работе будет пять задач – по одной из каждой пройденной темы.
Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем.
При подготовке к контрольной Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:
а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы;
б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;
Решение:
а) Так как в контрольную работу войдут по 1 заданию из каждой темы, то по правилу
умножения общее число всех возможных вариантов контрольной работы:
10*10*10*10*10= 100000.
б) Аналогично, по правилу умножения, число вариантов, в которых Вова умеет
решать все пять задач равно 8*8*8*8*8=32768.
Ответ: 100000, 32768.
Задача 15. В государстве система авиалиний устроена таких образом, что любой город
соединён авиалиниями не более чем с тремя другими, и из любого города в любой другой
можно проехать, сделав не более одной пересадки. Какое максимальное число городов может
быть в этом государстве?
Решение:
Пусть существует некоторый город А. Из него можно добраться не более чем до трёх
городов, а из каждого из них ещё не более чем до двух (не считая А). Тогда всего
городов не более 1+3+6=10. Значит всего городов не более 10. Пример на рисунке 7 (его
ещё называют графом Петерсона) показывает существование авиалиний.
Рис 7.
Ответ: всего городов не более 10.
Задача 16, 17. В ящике находится 15 шаров: 8 белых, 5 красных, 2 зеленых. Наугад вынимается
один шар. Найти вероятность того, что он окажется: а) белым, б) красным, в) зеленым, г) либо
красным, либо зеленым, д) либо красным, либо белым, е) черным?
Решение:
Опыт состоит в вынимании одного шара из ящика. Общее число равновозможных исходов
данного опыта - это общее число шаров в ящике: n=15.
а) Событие С состоит в том, что вынутый шар - белый. Так как в ящике находится 8
белых шаров, то число исходов, благоприятствующих событию C, равно 8: m=8. Найдем
вероятность события C: P(C)=m/n=8/15.
____________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
7
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
б) Событие А состоит в том, что вынутый шар - красный. Так как в ящике находится
5 красных шаров, то число исходов, благоприятствующих событию А, равно 5: m=5.
Найдем вероятность события А: P(А)=m/n=5/15.
с) Событие В состоит в том, что вынутый шар - зелёный. Так как в ящике находится
2 зелёных шара, то число исходов, благоприятствующих событию В, равно 2: m=2.
Найдем вероятность события В: P(В)=m/n=2/15.
г) Событие N – наугад выбранный шар окажется либо красным, либо зелёным.
Очевидно, что произойдёт любое из двух равновозможных событий: «А – вынутый шар –
красный» либо «В – вынутый шар – зелёный». По теореме сложения вероятностей
несовместных событий, P(N) = P(A)+P(B) = 5/15 + 2/15 = 7/15.
д) Событие N – наугад выбранный шар окажется либо красным, либо белым.
Очевидно, что произойдёт любое из двух равновозможных событий: «А – вынутый шар –
красный» либо
«С – вынутый шар – белый». По теореме сложения вероятностей
несовместных событий, P(N) = P(A)+P(С) = 5/15 + 8/15 = 13/15.
е) Событие Е состоит в том, что вынутый шар - чёрный. Так как в ящике нет чёрных
шаров, то число исходов, благоприятствующих событию Е, равно 0: m=0. Найдем
вероятность события Е: P(Е)=m/n=0/15=0.
Ответ: 8/15, 5/15, 2/15, 7/15, 13/15, 0.
Задача 18. Лотерея состоит из 10000 билетов, среди них
а) разыгрывается 150 выигрышных. Наугад вынимается один билет. Чему равна
вероятность того, что этот билет - выигрышный?
б) разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей.
Чему равна вероятность выигрыша, безразлично, денежного или вещевого, для владельца
одного лотерейного билета?
Решение:
а) Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов,
благоприятствующих получению выигрыша (событие А), составляет m= 150. По
классическому определению вероятности получим, P(A)= m/n = 150/1000 = 0,15.
б) Событие N – выигрыш для владельца одного лотерейного билета, безразлично,
денежного или вещевого. Событие С состоит в том, что выпал денежный выигрыш. Его
вероятность P(C)=50/1000=0,05. Событие M состоит в том, что выпал вещевой выигрыш.
Его вероятность P(M)=150/1000=0,15. Тогда по теореме сложения вероятностей
несовместных событий, P(N) = P(М)+P(С)=0,15 + 0,05 = 0,2.
Ответ: а) 0,15; б) 0,2.
Задача 19. Опыт состоит в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков. Какова
вероятность, что а) одновременно выпадут две четверки?; б) на обоих кубиках появится
одинаковое количество очков?
Решение:
Опыт состоит в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков. Так как на
каждом кубике может выпасть от одного до шести очков, то число исходов данного
опыта равно n=36.
Все исходы данного опыта наглядно изображаются в виде матрицы 6 x 6 (рис. 8).
Каждый элемент матрицы представляет собой пару чисел. Первое число означает число
очков, выпавшее на первом кубике, а второе - число очков, выпавшее на втором кубике.
____________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
8
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
Например, элементу матрицы (3,4) соответствует следующий исход опыта: на первом
кубике выпало 3 очка, а на втором кубике выпало 4 очка.
Рис.8
а) Исходы, благоприятствующие выпадению на двух кубиках двух четвёрок,
выделены на рис.8 красным цветом. Этих исходов 1. Всего же исходов опыта n=36.
Таким образом, вероятность выпадения двух четвёрок равна P(A)=1/36=1/36.
б) Исходы, благоприятствующие выпадению на обоих кубиках одинакового
количества очков, выделены на рис.8 синим и красным цветом. Этих исходов 6. Всего
же исходов опыта n=36. Таким образом, вероятность выпадения двух четвёрок равна
P(A)=6/36=1/6.
Ответ: а)1/36; б)1/6.
Задача 20. В одной урне находятся 4 белых и 8 чёрных шаров, в другой – 3 белых и 9 чёрных.
Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение:
Пусть А – появление белого шара из первой урны, а В – появление белого шара из
второй урны. Очевидно, что события А и В независимы. Найдем Р(А) = 4/12=1/3,
Р(В)=3/12=1/4. По формуле вероятности совместного появления двух независимых
событий получим:
Р(АВ)=Р(А)  Р(В)=(1/3)  (1/4)=1/12=0,083.
Ответ: 0,083.
Задача 21. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры
одинаковы?
Решение:
Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые
цифры имеют 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). В данном случае m = 9, n = 90:
P( A) 
9
 01
,
90
,
где A — событие “число с одинаковыми цифрами”.
Ответ: вероятность равна 0,1.
Задача 22. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани
каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число
очков.
Решение:
Обозначим это событие буквой A. Событию A благоприятствуют 6 элементарных
исходов: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6). Всего равновозможных элементарных
исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n = 6 2 = 36. Значит,
____________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
9
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
искомая вероятность
P( A ) 
6
1

36 6 .
Ответ: искомая вероятность равна 1/6.
Задача 23. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних
гранях. Что вероятнее — получить в сумме 7 или 8?
Решение:
Обозначим события: A — “выпало 7 очков”, B — “выпало 8 очков”. Событию A
благоприятствуют 6 элементарных исходов, а событию B — 5 исходов. Всех
равновозможных элементарных исходов — 36, что видно из той же таблицы. Значит:
P( A ) 
6
5
P( B) 
36 ,
36 .
Итак, P( A)  P( B) , т. е. получить в сумме 7 очков — более вероятное событие, чем
получить в сумме 8 очков.
Ответ: получить в сумме 7 очков — более вероятное событие.
Задача 24. A, B и С участвуют в треугольной дуэли на пистолетах. Все знают, что вероятность
того, что A попадет, равна 0.3. Вероятность того, что попадет С - 0.5, а B никогда не
промахивается. Они стреляют по своим выбранным целям по очереди (раненый выбывает) пока
не останется только один человек.
Какую стратегию должен применить A? (A стреляет первым)
Решение:
Выстрел в воздух. После этого B невыгодно стрелять в A, потому что после смерти A, B
будет убит с вероятностью 0.5, а после смерти C - только с вероятностью 0.3. Поэтому B
убивает C, а затем A стреляет в B и выигрывает с вероятностью 0.3. Если же в начале А
выстрелит в B или в C, то его шансы на выигрыш ниже.
Ответ: (см. в решении)
Задача 25. Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое
или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть
может, в разные годы)?
Решение:
Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна
364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают).
Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых
двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека
вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех
людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы
увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных
двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23
дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения
различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей,
мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней
мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23
случаях из 50.
____________________________________________________________________________________________
10
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год
может быть високосным - то есть в феврале может быть 29 дней - и что дни рождения
чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает
вероятность интересующего нас события, второе - увеличивает.
Ответ: 27/50.
Задача 26. В таблице приведены расходы студента за 4 дня:
День
Понедельник
Вторник
Среда
Четверг
Расходы
18
25
24
25
Определить какая статистическая характеристика находится в каждом задании:
а) 18+25+24+25=92; 92:4=23; ___=23 р.
б) 18, 24, 25, 25; (24+25):2 = 24,5; ___=24,50.
в) 18, 25, 24, 25;___=25 р.
г) 25-18=7; ___=7 р.
Ответ:
а) среднее арифметическое; б) медиана; в) мода; г) размах.
Задача 27. Столбчатая диаграмма №1, показывает число книг, прочитанных каждым из ребят за
летние каникулы. Ответьте на вопросы:
а) Кто из ребят прочел больше всех книг?
б) Найдите размах этих данных.
в) Кто за летние каникулы не прочел ни одной книги?
г) Найдите среднее арифметическое этого ряда данных.
д) Найдите медиану этого ряда данных.
диаграмма №1
кол-во прочитанных книг
12
10
8
6
4
2
0
Аня
Витя
Игорь
Оля
Петя
Катя
Лена
Саша
Ответ:
а) Витя; б)10-0=10; в) Петя; г) (8+10+6+1+0+8+5+3)/8=5,125. Т.е. в среднем прочитано 5 книг;
д) 5,5.
Задача 28. В городе планируется построить метрополитен, в котором три линии – Южная,
Западная и Кольцевая. Художнику поручено нарисовать схему будущего метрополитена,
причем каждая линия должна иметь свой цвет. Художник использует три цвета – красный,
синий и зеленый.
а) Сколько существует возможных вариантов распределения цветов?
б) Перечислите все варианты с помощью таблицы.
Решение:
а) Количество всех возможных исходов – это число перестановок трех элементов, а оно
равно 3! = 6.
____________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
11
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
б)
Южная
Западная
Кольцевая
красный
красный
синий
синий
зеленый
зеленый
синий
зеленый
красный
зеленый
синий
красный
зеленый
синий
зеленый
красный
красный
синий
Ответ: а) 6 вариантов; б) см таблицу.
Задача 29. В таблице указано количество проданной минеральной воды (в тыс. бутылок) в
весенние и летние месяцы за три года (по данным компании-производителя).
а) Вычислите моду и медиану данных за все летние месяцы.
б) Вычислите моду и медиану данных за все весенние месяцы.
в) Дайте возможное объяснение тому, что найденные показатели существенно
отличаются друг от друга.
Ответ: а) мода данных за все летние месяцы равна 120, медиана 121.
б) мода данных за все весенние месяцы равна 109, медиана 109.
Математические задачки - шутки
1. На верёвке висели и спокойно сохли 8 выстиранных наволочек. 6 наволочек стащила с
верёвки и сжевала коза Люська. Сколько наволочек спокойно высохли на верёвке?
2. Коза Люська забодала забор, который держался на 7 столбиках. 3 столбика упали вместе с
забором, а остальные остались торчать самостоятельно. Сколько столбиков торчат
самостоятельно?
3. Коза Люська имеет 4 кривые ноги, а её хозяйка Уля – только 2. Сколько всего ног у них
обеих?
4. У первого петуха было 59 жён, а у второго – в 3 раза больше. На сколько жён больше, чем у
первого петуха, стало у второго, после того, как первый женился ещё на трёх курицах?
5. В одной квартире преступники украли одну правую тапочку и две левые, а в другой – только
одну правую. Сколько пар тапочек украли преступники в обеих квартирах?
6. В песочнице сидят 11 малышей.9 малышей лепят куличики, а остальные лупят друг друга
совочками. Сколько малышей лупят друг друга совочками?
____________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
12
Дистанционная Обучающая Олимпиада по Математике. 2010-2011 учебный год
________________________________________________________________________________________________
7. На одной жужаре к нам прижакали 70 лямзиков, а на другой – на 3 лямзика больше. Сколько
лямзиков прижакали к нам на обеих жужарах?
8. Одна фляка стоит 17 хмуриков. Сколько фляк можно купить на 85 хмуриков?
9. Мляша коллекционирует млянечки, а Пляша – плянечки. У Мляши млянечков в 3 раза
больше, чем у Пляши плянечков. Сколько у Пляши плянечков, если у Мляши 69 млянечков?
10. Мряка и Бряка поссорились. Мряка 7 раз фрякнул Бряку марфуфочкой по чему попало, а
Бряка фрякнул Мряку той же марфуфочкой по чему попало 9 раз. Спрашивается, сколько раз
хватали бедную марфуфочку за хвост и фрякали ею по чему попало?
11. Если Хрямзика обозвать слюником, он начинает бодаться и не перестаёт, пока не боднет
обозвавшего по 5 раз каждым рогом. Однажды Бряка именно так его и обозвала, и Хрямзик
боднул её 35 раз. Сколько рогов у Хрямзика?
12. У трёх бабушек было по одному серенькому козлику. Бабушки козликов очень любили.
Пошли козлики в лес погулять, а там их волк съел. Остались от козликов рожки да ножки.
Сколько осталось рожек и сколько ножек?
13. Один дедушка охотился в кухне на тараканов и убил пятерых, а ранил – в три раза больше.
Трёх тараканов дедушка ранил смертельно, и они погибли от ран, а остальные тараканы
выздоровели, но обиделись на дедушку и навсегда ушли к соседям. Сколько тараканов ушли к
соседям навсегда?
14. Сколько дырок окажется в клеёнке, если во время обеда 12 раз проткнуть её вилкой с 4
зубчиками?
15. В комнате веселилось 47 мух. Дядя Гоша открыл форточку, размахивая полотенцем, выгнал
из комнаты 12 мух. Но прежде, чем он успел закрыть форточку, 7 мух вернулось обратно.
Сколько мух теперь веселится в комнате?
16. У бабы Яги на носу 3 бородавки, а у Кощея Бессмертного – на 6 бородавок больше. Сколько
бородавок теснится на носу у кощея Бессмертного?
17. У Змея Тугарина – одна голова, а у Змея Горыныча целых 3. На сколько голов Змей
Горыныч умнее Змея Тугарина?
Ответы.
1
2
2
4
3
6
4
515
5
2
6
2
7
143
8
5
9
23
10
16
11
7
12
6,
12
13
12
14
48
15
32
16
9
____________________________________________________________________________________________
МОУ ДПОС Центр информационных технологий, г.о. Тольятти
Web-сайт ДООM: http://www.itc.tgl.ru/wiki, или http://www.tgl.net.ru/wiki
e-mail: doom@itc.tgl.ru
тел.: (8482)327340
17
2
13