Домино-6-7ноября

0–0. На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё наименьшее количество промежуточных
делений так, чтобы ею можно было отмерять любое целочисленное (в см) расстояние от 1 до 9 см
за одно прикладывание линейки. (Достаточно нанести 3 промежуточных деления в точках 1 см,
4 см, 7 см. Тогда все целочисленное расстояния от 1 до 9 см легко отметить: 1=10, 2=97,
3=74, 4=40, 5=94, 6=71, 7=70, 8=91, 9=90. Если мы нанесём 1 деление, то сможем
отмерить только 2 отрезка, а если нанесём 2 деления, то сможем отмерить не более 6
различных отрезков (по 2 от этих точек до концов линейки, 1 отрезок между точками
деления и 1 между концами линейки.)
0–1. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 10 больше другого острого угла.
Найдите меньший из этих углов. (40, т.к. сумма этих двух острых углов равна 90=x+(x+10),
где x – нужный нам меньший острый угол)
0–2. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 и 4 встречаются
ровно по 1 разу, и при этом в записи любые две подряд идущие цифры не могут отличаться ровно
на 1? (2 числа – 2413 и 3142. Цифры 2 и 3 могут стоять только по краям, а уже по ним
однозначно ставятся цифры 1 и 4.)
0–3. Входные билеты на аттракцион стоят 38 рублей, но в дождливый день цену снижают в 2 раза. За
неделю продано 800 билетов общей стоимостью 19057 рублей. Сколько билетов продано по
льготной цене? (597 билетов. Если все билеты продать по полной цене, то выручка составит
80038=30400 рублей. Недостающие 11343 рубля образовались за счёт льготных билетов,
каждый из которых дешевле полного на 19 рублей, значит, льготных билетов было
11343/19=597.)
0–4. На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число 7 для того,
чтобы получить число, записывающееся одними девятками? (142857. Будем
искать это число с помощью деления числа 999… на 7, пока не разделится
нацело.)
0–5. Магараджа – это шахматная фигура, которая бьёт как ферзь и как конь.
Поставьте 5 магарадж на доску 77 так, чтобы они не били друг друга.
(например так, как показано на рисунке)
0–6. Петя и Вася за месяц получили по 48 отметок, причём Петя получил столько же пятёрок, сколько
Вася – четвёрок, столько же четвёрок, сколько Вася – троек, столько же троек, сколько Вася –
двоек, и столько же двоек, сколько Вася – пятёрок. Кроме того, оказалось, что средние баллы Пети
и Васи за месяц одинаковы. Сколько двоек получил Петя? (12 двоек. Пусть Вася получил a
пятёрок, b четвёрок, с троек и d двоек, тогда по условию задачи можно составить систему
уравнений a+b+c+d=48, (5a+4b+3c+2d)/48=(5d+4a+3b+2c)/48. Из второго уравнения найдём, что
a+b+c=3d; подставим это соотношение в первое уравнение и получим, что 4d=48.)
1–1. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором любые две подряд
идущие цифры образуют нечётное двузначное число. (897531)
1–2. Найдите наибольшее десятизначное число, в котором любые две подряд идущие цифры образуют
чётное двузначное число. (9888888888)
1–3. Разрежьте прямоугольник 36 на два равных шестиугольника с
целочисленными сторонами. (см. рис.)
1–4. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причём у 60%
мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 20% девочек сосед по
парте – тоже девочка. Какую часть учащихся этой школы
составляют девочки? (1/3. Заметим, что у 40% мальчиков сосед по
парте – девочка, а у 80% девочек сосед по парте – мальчик. Следовательно, 40% от
количества всех мальчиков равно 80% от количества всех девочек, значит, мальчиков в
школе в два раза больше, чем девочек. Таким образом, девочки составляют одну треть.)
1–5. В ряд выписаны пять неотрицательных чисел. Сумма любых двух соседних не превосходит 1.
Какое наибольшее значение может принимать сумма всех пяти чисел? Приведите ответ и пример.
(3, например, для ряда: 1, 0, 1, 0, 1. Обозначая наши числа a, b, c, d, e получаем, что
a+b+c+d+e=(a+b)+(c+d)+(d+e)d3.)
1–6. Даша и Таня живут в одном подъезде. Даша живёт на 6 этаже. Выходя от Даши, Таня,
задумавшись, пошла не вниз, как ей было нужно, а вверх. Дойдя до последнего этажа, Таня поняла
свою ошибку и пошла вниз на свой этаж. Оказалось, что Таня прошла в полтора раза больше, чем
если бы она сразу пошла вниз. Сколько этажей в доме? (7 этажей. Пусть с шестого этажа Тане
надо было спуститься на n этажей. Тогда Таня прошла «лишний путь» вверх до последнего
этажа и обратно до шестого. Длина лишнего пути 1,5n−n=0,5n этажей. Половину этого
лишнего пути Таня шла вверх, а половину  вниз. Значит, вверх она поднялась на n/4
этажей. Если она поднялась на один этаж (n/4=1), то Таня живет на 4 этажа ниже Даши и в
доме 7 этажей. Если же n/42, то Тане пришлось бы спуститься с шестого этажа минимум на
8 этажей вниз, что невозможно.)
2–2. В турнире юных математиков участвовало 119 человек. Каждый участник был на турнире либо
впервые, либо во второй раз, либо в третий раз. Эмпирическим путем было обнаружено, что одни
участники всегда говорят правду, а другие всегда лгут. Каждому участнику задали 3 вопроса: «Ты
на турнире в первый раз?», «Ты на турнире во второй раз?», «Ты на турнире в третий раз?». На
первый вопрос утвердительно ответили 67 человек, на второй – 41, а на третий – 15. Сколько
лгунов приехало на турнир? (4 лгуна. Каждый, кто говорит правду ответит “да” на один
вопрос, каждый лгун отвечает “да” ровно на два вопроса. Таким образом, число лгунов
равно 67+41+15–119=4.)
2–3. Сколькими способами в классе из 23 человек можно выбрать двух дежурных?
( С 232  23!  23  22  253 , т.к. выбор любых двух дежурных – это выбор из 23 элементов2!21!
2
школьников 2 элемента-дежурных, т.е. сочетание из 23 по 2)
2–4. Найдите наибольшее десятизначное число, в котором сумма любых трёх подряд идущих цифр
делится на 4. (9969969969)
2–5. Какое наибольшее количество клеток доски 55 можно закрасить так, что никакие
*
две нельзя было бы накрыть пентамино любого из 4 видов, представленных на *
рисунке? (Пентамино можно поворачивать и переворачивать.) Приведите ответ и
пример. (5 клеток, см. рисунок. Если
*
мы закрасим не менее 6 клеток, то,
по крайней мере, на одну из фигур *
*
на рисунке попадёт 2 закрашенных.)
2–6. В клетках доски 88 расположены фишки (в каждой клетке  не более одной
фишки) так, что во всех вертикалях фишек поровну, а в любых двух
горизонталях  не поровну. Сколько фишек могло быть на доске? (32 фишки, см
пример на рисунке. Т.к. во всех вертикалях фишек поровну, то общее число
фишек кратно 8. Если в любых двух горизонталях разное число фишек,
то фишек не меньше, чем 0 + 1 + 2 +...+ 7 = 28 и не больше, чем 1+2+…+8=36.
Значит, количество фишек может быть равно только 32, т.к. в интервале от 28 до 36 только
число 32 делится на 8.)
3–3. Сколькими способами в классе из 23 человек можно выбрать трёх дежурных?
( С 233 
23!
23  22  21

 1771 , т.к. выбор любых двух дежурных – это выбор из 23 элементов3!20!
1 2  3
школьников 3 элемента-дежурных, т.е. сочетание из 23 по 3)
a
b
c
1
1
1
. (3,4.


 0,8 . Найдите сумму:


bc ca a b
ab bc ca
abc abc abc
Перемножим почленно данные верные равенства:


 6,4 
ab
bc
ca
c
a
b
a
b
c
1
1
1
 6,4 


 3,4 .)
bc ca ab
ab
bc
ca
3–4. Известно, что а+b+c=8, а
3–5. На какое наименьшее число квадратов можно разрезать по линиям сетки
клетчатый квадрат 77? Приведите ответ и пример. (9, см. рис.)
3–6. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором любые
две подряд идущие цифры образуют двузначное число, делящееся на 3. (875421.
Для выполнения признака делимости на 3 соседние цифры либо вместе
делятся на 3, тогда это число не более 9630, либо их остатки (1 и 2) при
делении на 3, дополняют друг друга, т.е. чередуются, тогда это число не
более, чем 6-значное. А наибольшим таким число и будет 875421.)
4–4. В некоторые 20 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее
количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться? Приведите
ответ и пример. (24 пары. Заметим, что если в строке a ладей, то в ней есть
(a1) пара ладей, которые бьют друг друга. Но тогда количество пар ладей,
бьющих друг друга по горизонтали, не меньше, чем число ладей минус число занятых ими
горизонталей, т.е. не меньше 12. Аналогично, количество пар ладей, бьющих друг друга по
вертикали, не меньше 12. Пример для 24 пар ладей, представленный на рисунке, можно
построить методом «пропеллера».)
4–5. Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на 4 треугольника и 3 четырёхугольника.
Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см. Сумма периметров четырёх треугольников
равна 20 см. Периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин
жирных отрезков. (13. Сумма периметров всех треугольников и четырёхугольников равна
периметру большого треугольника плюс удвоенная сумма длин жирных отрезков. Значит,
25+20=19+2x , где x  сумма жирных отрезков. Отсюда x=13.)
4–6. Книга состоит из 30 рассказов объёмом 1, 2, 3, …, 30 страниц соответственно. Рассказы
печатаются с первой страницы, каждый рассказ печатается с новой страницы. Какое наибольшее
количество рассказов может начинаться с нечётной страницы? (23 рассказа. Предположим, что
рассказы каким-то образом упорядочены. Назовём блоком подряд идущие рассказы,
начинающиеся со страниц одинаковой четности. Тогда каждый блок может содержать любое
число рассказов с чётным числом страниц и не более одного рассказа (последнего в блоке) с
нечётным числом страниц. Таких блоков 15, если последний рассказ в сборнике имеет
нечётное число страниц (т.к. число рассказов с нечётным числом страниц – 15, а каждый
блок заканчивается таким рассказом) или 16, если последний рассказ в сборнике имеет
чётное число страниц. Так как первый рассказ начинается с нечётной страницы №1, то
каждый блок с чётным номером начинается с чётной страницы. Чтобы как можно больше
рассказов начиналось с нечётной страницы, надо уменьшить число рассказов в блоках с
чётными номерами. В каждом блоке, кроме 16-го не менее одного рассказа, блок №16 может
отсутствовать. Значит, с чётной страницы начинается минимум 7 рассказов (блоки 2, 4, 6, 8,
10, 12, 14). Таким образом, максимальное число рассказов, которые можно напечатать с
нечётной страницы равно 23.Это можно сделать, например, так: 15 рассказов, имеющих
чётное число страниц, можно напечатать вначале. А затем напечатать рассказы с нечётным
числом страниц. Восемь из них будут напечатаны с нечётной страницы.)
5–5. Вася при сложении двух натуральных чисел ошибся и записал в одном из слагаемых лишний ноль
на второе с конца место. При этом вместо суммы 2013 он получил 3003. Сколько вариантов пар
сложенных Васей чисел могло быть? (10 вариантов. Обозначим последнюю цифру одного числа
b, тогда само число будет равно 10a+b. При добавлении 0 в одно из слагаемых, получим, что
число будет иметь вид 100а+b. Пусть второе число равно с. Получаем систему:
10a  b  c  2013
. Решив её, получаем а=11, тогда b+c=1903. Т.к. b – цифра числа, то для неё

100a  b  c  3003
есть 10 вариантов, тогда Вася мог складывать 110 и 1903, 111 и 1902, 112 и 1901,…, 119 и
1894.)
5–6. Найдите наибольшее 65-значное число, произведение цифр которого равно сумме его цифр.
...1 . Заметим, что это число подходит. Пусть есть большее число. Тогда его сумма
( 99 11

63 единицы
цифр не превосходит 965, и при этом первые две цифры  девятки. Тогда произведение всех
остальных цифр не превосходит 965/(99)<8. Это означает, что кроме девяток, в числе не
более двух цифр, превосходящих 1. Тогда на самом деле сумма цифр не превосходит
94+61=97, и произведение всех цифр, кроме первых девяток, не превосходит 97/(99)<2, т.е.
все остальные цифры  единички.)
6–6. Найдите сумму всех цифр, которыми записываются все натуральные числа от 1 до 9999. (180000.
Добавим 0 и разобьём все 10000 чисел на 5000 пар ((0, 9999), (1, 9998), (2, 9997), …, (n, 9999-n),
…, (4999, 5000)) с одинаковой суммой цифр, равной 94=36. Значит, искомая сумма всех цифр
равна 365000=180000.)