ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА» УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой В.А. Рыгин Задание и методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса сокращенной формы обучения специальности 100101 «Сервис» группы НЗС-101,102, АЗС-101, КЗС-102 2 семестр Преподаватель Журавлева Ю.А. Волгоград 2010-2011 учебный год. В контрольной работе представлены задачи из следующих разделов математики: кратные интегралы, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей, математическая статистика. Работа выполняется самостоятельно в течение семестра и сдается не позднее, чем за две недели до начала сессии. К зачету или экзамену студент допускается только после того, как будет зачтена его контрольная работа. Указания по выбору варианта. Номер варианта совпадает с числом после точки в номере задачи и соответствует последней цифре номера зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки 214, то следует выполнить задачи четвертого варианта: 1.4, 2.4, 3.4, 4.4, 5.4. Правила оформления контрольной работы. 1. Работу следует выполнять в отдельной тонкой тетради, оставляя поля для замечаний рецензента. 2. В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Работа, содержащая не все задачи, или задачи не своего варианта, не зачитывается. 3. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Перед решением надо полностью выписать условие, решение излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. 4. Если работа не зачтена или сделаны замечания по решению задач, следует сделать работу над ошибками в той же тетради. Задачи 1.1-1.10. Вычислить двойные интегралы по указанным областям. Предварительно надо сделать чертеж области. 1.1. xydxdy, область D ограничена линиями y=x2, x=y2. D 1.2. ( x 2 y)dxdy , область D ограничена линиями y=x2, y=1. D 1.3. D 1.4. x2 dxdy , y2 область D ограничена линиями y=x, x=2, xy=1. xy(1 x y)dxdy , область D ограничена линиями x=0, y=0, x+y=1. D 1.5. (2x y )dxdy , 2 область D ограничена линиями y=x, y=2x, xy=4. D 1.6. ( x y)dxdy , область D ограничена линиями y=(1/2)x, y=1, y= x . D 1.7. ( x 2 y 2 )dxdy , ( x 2 y)dxdy , область D ограничена линиями y=x2, x=y2 x dxdy , y2 область D ограничена линиями y=(x2/2), y=x. область D ограничена линиями x=0, y=0, x-y=2. D 1.8. D 1.9. x 2 D 1.10. x D 4 ydxdy , область D ограничена линиями xy=1, y-x=0, x=2. Задачи 2.1-2.10. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка . y x2 , x 2.1. y 2.3. y 2 xy 2 x 2.4. 2.5. y y cos x sin 2 x, 2.6. 2.7. y 2.9. 2.2. y x 1 , x x xy y xy2 , 2.8. 2.10. 4 xdx 3 ydy 3x 2 ydy 2 xy 2 dx 3y x, x 3y y x 3e x , x 1 y y cos x sin 2 x, 2 4 xdx 3 ydy 3x 2 ydy 2 xy 2 dx y Задачи 3.1-3.10. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее данным начальным условиям. 3.1. 3.2. 3.3. y 4 y 4 y e 3 x y 2 y y e x y 4 y 4 sin x 3.4. y 5 y 6 y x 3.5. 3.6. 3.7. y y sin 2 x y 4 y 5 y 5 x 3 y 4 y 4 x 3.8. y y cos 2 x 3.9. y 2 y 3 y e 2 x 3.10. y y 2 x Задачи 4.1-4.10. y (0) 8 y (0) 0, y (0) 2 y (0) 0, y (0) 2 5 1 y (0) , y (0) 36 6 y (0) 0, y (0) 0 y (0) 2, y (0) 1 y (0) 0, y (0) 3 1 y (0) , y (0) 1 3 1 y (0) , y (0) 0 3 y (0) 1, y (0) 8 y (0) 1, Найти область сходимости степенного ряда. 4.1. 4.2. xn 2 n 1 n ( x 3) n n 1 4.3. n n 4n x n n2 1 2n ( x 5) n n n 1 4.7. 4.8. n 1 4.4. n3 ( x 2) n 2n n 1 n 1 ( x 5) n 3n 8 ( x 3) n n n 1 5 ( n 1) 4.9. 4.5. n( x 5) n 5n n 1 ( x 1) n n2 2n n 1 4.6. 4.10. (1) n n 1 ( x 4) n 3n Задачи 5.1-5.10. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, а также вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал. при x 0; 0 1 F ( x) x 3 при 0 x 2; 5.1. (0,5; 1,5) 8 при x 2 1 5.2. при x 1; 0 2 x x F ( x) при 1 x 2; 2 при x 2 1 5.3. 0 при x 0; 1 F ( x) 3x 2 2 x при 0 x ; 3 1 при x 1 3 5.4. при x 0; 0 1 F ( x) x 2 при 0 x 3; 9 при x 3 1 (0,5; 2) 5.5. при x 1; 0 F ( x) ( x 1) 3 при 1 x 2; 1 при x 2 (1,5; 2) 5.6. при x 2; 0 F ( x) ( x 2) 2 при 2 x 3; 1 при x 3 (2,2; 2,8) 5.7. при x 3; 0 ( x 3) 2 F ( x) при 3 x 5; 4 при x 5 1 (3,5; 4,5) 5.8. при x 0; 0 2 2 x 3x F ( x) при 0 x 1; 5 при x 1 1 (0,3; 0,8) (1,5; 2) (0,1; 0,3) 5.9. при x 0; 0 2 3x 5 x F ( x) при 0 x 1; 8 при x 1 1 (0,3; 0,8) 5.10. при x 2; 0 2 x 4 F ( x) при 2 x 3; 5 при x 3 1 (2,2; 2,8) Задачи 6.1-6.10. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, если известно выборочное среднее x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. x x x x x x x x x x 75,17, 75,16, 75,15, 75,14, 75,13, 75,12, 75,11, 75,10, 75,09, 75,08, n 36, 6 . n 49, 7 n 64, 8 n 81, 9 n 100, 10 n 121, 11 n 144, 12 n 169, 13 n 196, 14 n 225, 15 Список литературы. 1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс высшей математики. Т. 1,2 . Висагинас, «Alfa», 1998г. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. М., ЮНИТИ—ДАНА, 2002г.— 543 с. 3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ТФКП.. Ростов-на-Дону, «Феникс», 1997г. 4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в примерах и задачах. Ч.2. М., 2005. 5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., : Высшая школа, 1977. 6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., : Высшая школа, 1979. 7. Журавлева Ю.А. Петикова Т.Н. Ряды. Методические указания и варианты индивидуальных заданий. . ГОУВПО «МГУС», Волгоградский филиал, 2005. 8. Журавлева Ю.А. Периодические процессы. Ряды Фурье. Методические указания и варианты индивидуальных заданий. . ГОУВПО «МГУС», Волгоградский филиал, 2007. 9. Журавлева Ю.А. Комплексные числа. Методические указания и варианты индивидуальных заданий. . ГОУВПО «МГУС», Волгоградский филиал, 2007. Вопросы для подготовки к экзамену. 1. Определение двойного интеграла. Его свойства и геометрический смысл. 2. Переход от двойного интеграла к повторному. 3. Приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры; объем тела; масса, статические моменты и координаты центра тяжести пластинки 4. Определение обыкновенного дифференциального уравнения. Основные понятия: решение, общее решение, частное решение, решение задачи Коши, интегральная кривая. 5. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли. 6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 7. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 8. определение числового ряда. Общий член ряда. Определение суммы ряда. 9. Необходимый признак сходимости. 10. Признаки сходимости знакоположительных рядов. 11. Абсолютная и условная сходимости знакочередующихся рядов. Признак Лейбница. 12. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. 13. Ряд Тейлора и Маклорена. 14. Случайные события. Сумма и произведение событий. Несовместные и независимые события. Противоположные события. Полная группа событий. 15. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. 16. Вероятность суммы и произведения событий. 17. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. 18. Функция распределения. Плотность распределения непрерывной случайной величины. 19. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. 20. Точечные и интервальные оценки параметров распределения случайной величины.