Задание 1. Вычислить пределы: 1. 4n 6 n 5 ; lim 6 3 n n 3n 1 1 2 3 n 2 n2 ; n 3n 2. lim 3. 3x lim 1 x 1 x x 0 4. ; lim ln( 3x 1) ln( 3x 2); x 5. lim 1 cos x x lim x 0 8. 3 x ; tgx sin x ; x sin x x( x 1) lim x (1 x 0 9. lim ч 0 10. ; 2 x 4 6. lim x x 8 7. 3 cos x ; x 1 x2 tg ; x 2 lim 7 x x x) x 2 9x 6 2 10 x 4 5 x . Задание 2. Используя правило Лопиталя, вычислить пределы: 1. e2x 1 lim ч 0 ln 1 2 x 2. lim x 1 x 1 x 1 3. lim (2 x x) 1 x Х 0 Найти точки экстремума функции: 4. y = x ln x; 5. y 1 3 ( x 4) 2 ; 6. y 3 x2 . x2 Найти абсциссы точек перегиба графика функции: 7. y 1 2 2; 4 x x 8. y e ln x ; x Найти вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты функции: 9. y 3 4x 2 ; x2 10. y 2arctg x x 2 3x . x4 Задание 3. 1. Найти предел функции двух переменных sin x 3 y 3 . lim x2 y2 x 0 y 0 U U x y 3 3 2. Пусть U = x y – у x. Найти U U x y . x 1 y 2 3. Пусть U = x2y – у2x и х = U cos V, y = U sin V. Найти U V U 1 . V 0 4. Найти полный дифференциал первого порядка функции U=arctg (xy). 5. Найти полный дифференциал третьего порядка функции U=x2y. 6. Найти величину градиента функции U = x2 + y2 + z2 в точке (2; -2; -1). 7. Найти уравнение касательной к поверхности U = sin x * cos y в точке 1 М ; ; . 4 4 2 8. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (0;0) до членов третьего порядка включительно функцию U (x; y) = ex sin y. 9. Найти максимум функции: U 1 x y xy 45 x y . 2 3 4 10. Найти наименьшее значение функции U = x2 + y2 в круге: x 2 y 2 2 2 9. Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы. 2 х arcsin x 1. 2. 3. x e 1 x2 х dx 3 x 2 43 x 2 x dx , -1 < x < 1. , x > 0. ln 2 x dx , x >0. 4. x 3 ch3 xdx . dx 5. 5 4 sin x 3 cos x . 6. sin 7. x 1 x 8. 9. dx 2 x 2 cos 2 x dx 3 3 2 . , x 0, x 1 . x 3 x 4 dx, x 0 . x 9 dx x 10. 4 x 1 2 , x 1 . xdx 2 3x 2 x 2 4 x 3 , x 1 x 3. Задание 5. 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами: у2 + 8х = 16, у2 – 24х = 48. 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, уравнение которой задано в параметрической форме x = 2 acos t – asin 2t, a > 0. 3. Вычислить площадь четырехлепестковой розы, уравнение которой задано в полярных координатах: a sin 2 , a 0 . 4. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в декартовой системе координат x 1 2 1 y ln y, 1 y e . 4 2 5. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в параметрической форме: x e t cos t , y e t sin t , 0 t ln . 6. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в полярной системе координат а (1 cos ), a 0 . 7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной кривыми y = sin x, y = 0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0у. 8. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки циклоиды (уравнение циклоиды задано в параметрической форме) x a (t sin t ), y a (1 cos t ), a 0 . 9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением эллипса x2 y2 1 вокруг малой оси (эллипсоид вращения). 25 9 10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x a (t sin t ), y a (1 cos t ), a 0 вокруг оси 0у.