Моделирование внеклеточного потенциала в слое

ISBN 5-7262-0634-7. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2006. Часть 1
А.Н. ПОКРОВСКИЙ
Санкт-Петербургский государственный университет
anpokr@petrodvorets.spb.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНЕКЛЕТОЧНОГО ПОТЕНЦИАЛА
В СЛОЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ДЕНДРИТОВ*
Аннотация
Вычисляется оператор преобразования токов синапсов как функций
координаты и времени в распределение потенциала и обратный оператор.
Дендриты заменяются случайно расположенными бесконечными цилиндрами, направленными поперёк слоя. Расположение синапсов и изменение их проводимостей предполагается идентичным для всех цилиндров.
Рассмотрены примеры.
Предполагаем, что оси одинаковых дендритов параллельны оси Oz
прямоугольной системы координат ( x, y, z ) , а точки пересечения осей с
плоскостью z  0 распределены на этой плоскости равномерно с плотностью p . Предположим также, что расположение синапсов по оси z и изменение их проводимостей во времени идентично для всех цилиндров.
При этих предположениях среднее значение (математическое ожидание)
вытекающих из дендритов токов I ( z, t ) и внеклеточный потенциал
( z, t ) связаны уравнением  2 ( z , t ) / z 2  pI ( z , t ) / 4 , где  –
средняя проводимость внеклеточной среды, и зависят только от координаты z и времени t [1]. С другой стороны, плотность вытекающих из
дендритов токов I ( z, t ) в первом приближении пропорциональна второй
производной по z от внутриклеточного потенциала u ( z, t ) [2]. Поэтому
внеклеточный потенциал пропорционален внутриклеточному потенциалу:
( z, t )   Au ( z, t ) , A  1 .
(1)
Внутриклеточный потенциал u ( z, t ) отсчитывается от потенциала
равновесия той же мембраны дендрита без синапсов. Обозначения: r –
радиус дендрита, R i – удельное сопротивление протоплазмы ( ом  м ),
R m – удельное сопротивление мембраны дендрита ( ом  м 2 ), C m –
*
Работа поддержана РФФИ проект 04-01-00048.
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
118
ISBN 5-7262-0634-7. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2006. Часть 1
удельная ёмкость мембраны ( ф/м 2 ), T  Cm Rm – характеристическое
время разряда мембраны,  
g 0  2  2 r 3 / R m Ri
r R m / 2 Ri – характеристическая длина,
– характеристическая проводимость ( Сименс );
 (z) – дельта-функция Дирака; K 0 ( z , t )  (1 / 2 t )  exp( t  z 2 / 4t ) –
функция
Грина
оператора
L   / t   2 / z 2  1;
K j ,k (t ) 
 K 0 (| z j  z k |, t ) ; ток через синапсы равен
I s ( z, t ) 
N
 ( z  z j ) I sj (t ) ;
j 1
I sj (t ) 
M
 a, j g  (t )[u ( z j , t )  V ] ;
(2)
 1
N – число синапсов; V j – потенциал реверсии для j -го синапса;
a , j g  (t ) – безразмерная проводимость (в долях g 0 ), g  (t )  0 ,
a , j  0 ,
N
 a2, j
j 1
 1 ; z j – координата, z j 1  z j ; V – потенциал ре-
версии синапсов типа  , M – число типов синапсов, I m ( z , t ) – ток через мембрану вне синапсов, I ( z , t )  I m ( z , t )  I s ( z , t ) .
Предположим, что g  (t )  0 при t  0,   1, M и u ( z, t )  0 при
t  0 . Если время измерять в единицах T , расстояния в единицах  и
проводимость в единицах g 0 , и пренебречь ( z, t ) по сравнению с
u ( z, t ) , то уравнение для u ( z, t ) и его решение имеют вид:
Lu ( z , t )   I s ( z , t );
t
u ( z, t )   d K 0 ( z  , t  ) I s (, )d; z  R.
(3)
0
Токи через синапсы. Подставляя (2) в (3), после очевидных преобразований получаем:
N t
u ( z, t )     K 0 ( z  z j , t  )I sj ()d .
(4)
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
119
j 1 0
ISBN 5-7262-0634-7. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2006. Часть 1
Обозначим  j (t )   A I sj (t ) , j  1, N . Полагая в (4) и (1) z  z k ,
k  1, N , получаем систему уравнений для функций  j (t ) :
N t
 k (t )     K k , j t    j ()d , k  1, N .
(5)
j 1 0
Для решения системы уравнений (5) используем преобразование
K 0 ( z, t )
Лапласа. Образ
равен
K 0 ( z, p) функции Грина
exp(  z
p  1) / 2 p  1 . Образы функций  k (t ) и  k (t ) обозначим
 k ( p ) и  k ( p ) . В правой части системы (5) находятся интегралы
свёртки, которые преобразуются в произведения. Преобразованная система (5) примет вид
N
 k ( p)    K k , j ( p)  j ( p) ;
k  1, N .
(6)
j 1
Обозначим  k ( p)  (1  p)k ( p) ,  k (t )   k (t )  d k (t ) / dt . Решение систем (5), (6) имеет вид
N
N t
k 1
k 10
 j ( p)    R j ,k ( p)  k ( p);  j (t )     R j ,k (t  ) k ()d . (7)
Вычисления  k (t ) требуют регуляризации. Матрицы R ( p) и R(t )
трёхдиагональные, их элементы приведены в Приложении.
Проводимость синапсов и потенциалы реверсии. Эти величины из
внеклеточных измерений можно оценить лишь с точностью до постоянного множителя A . Обозначая w   AV , из (1) и (2) получаем:
 j (t ) 
M
 a, j g  (t )[ j (t )  w ] ,
j  1, N .
(8)
 1
В уравнениях (8) нужно определить M функций g  (t ) , M констант
w и MN неотрицательных констант a, j , удовлетворяющих M условиям нормировки, если считать известными (измеренными или вычисленными) 2 N функций  j (t ),  j (t ) . Масштабированные потенциалы реУДК 004.032.26(06) Нейронные сети
120
ISBN 5-7262-0634-7. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2006. Часть 1
версии w непосредственно при внеклеточных измерениях получить невозможно, и задачу (8) не всегда можно решить однозначно. Для существования решения этой задачи необходимо, чтобы число типов синапсов
M (т.е. число проводящих путей различного происхождения) было бы
меньше числа N точек измерения внеклеточных потенциалов.
Пример 1. Пусть N  1, z1  0 , т.е. на дендрите есть только один
синапс, расположенный в начале координат. Тогда система (5) и её решение (7) сводятся к уравнениям
t
1 (t )   K 0 (0, t  ) 1 ()d ;
0
t
1 (t )  4 K 0 (0, t  )1 ()d ,
0
и (8) имеет вид: 1 (t )  g1 (t )[1 (t )  w1 ] . Из двух известных функций
1 , 1 невозможно однозначно определить неизвестную функцию g 1 (t )
и константу w1 .
Пример 2. Синапсы одного типа синхронно активируются на нескольких уровнях z j (возможно, не на всех). Измеряются N функций  j (t ) и
вычисляются ещё N функций  j (t ) (некоторые из них могут быть равны нулю). Требуется определить одну функцию g 1 (t ) , одну константу
w1 , и N констант a1, j , удовлетворяющих одному условию нормировки.
Для таких j , для которых  j (t )  0 , полагаем a1, j  0 . Для осталь-
k, j рассмотрим при 0  t  T1 функции
Fk , j (t , w)  [ j (t )( k (t )  w)] /[ k (t )( j (t )  w)] , их средние величи-
ных
пар
индексов
ны Fk , j ( w) 
1
T1
T1
 Fk , j (t , w) dt
и среднеквадратические отклонения от
0
среднего Qk , j ( w) . Оценку w1 константы w1 найдём из условия минимума Qk , j ( w) . Разброс оценок w1 для разных пар k, j будет отражать
неточность модели, погрешности измерений и вычислений.
Очевидно, Fk , j (t , w1 )  a1, j / a1,k  const. при 0  t  T1 . Определив
из условия нормировки ненулевые константы a1, j , и имея оценку числа
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
121
ISBN 5-7262-0634-7. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2006. Часть 1
w1 , из любого из уравнений (8) 1 (t )  g1 (t )[1 (t )  w1 ] найдём проводимость синапсов g 1 (t ) при 0  t  T1 .
Заключение. Рассмотрена простейшая модель преобразования проводимости синапсов в средний внеклеточный электрический потенциал слоя
идеализированных параллельных дендритов. Оператор этого преобразования представлен как композиция двух операторов: преобразования (2),
(8) проводимости синапсов в токи через эти же синапсы, и линейного
оператора (4), (5) преобразования токов синапсов в внутриклеточный потенциал (или в пропорциональный ему внеклеточный потенциал). Внеклеточный потенциал измеряется лишь в конечном числе точек (по глубине коры мозга). Предполагается, что проводимости синапсов сосредоточены в тех же точках по глубине коры. Заменой масштабов токи через
синапсы  j (t ) и потенциалы реверсии w приведены к масштабу измеряемого внеклеточного потенциала  j (t ) . В результате преобразование
(2), (8) является билинейной формой векторов g и  , а (5) является матрицей интегральных операторов достаточно простого вида, что и позволило найти обратный оператор.
Как показывает пример 1, полное однозначное решение обратной задачи восстановления проводимостей синапсов как функций времени по
измеряемому среднему внеклеточному потенциалу не всегда возможно.
Однако даже частичное решение, т.е. вычисление токов через синапсы
 j (t ) , полезно, потому что  j (t )  0 при a, j  0 (когда нет проводимости синапсов, нет и токов через синапсы). Это обстоятельство снижает размерность задачи.
Работа поддержана РФФИ проект 04-01-00048а.
Приложение
Формулы (7) для вычисления функций  j (t ) имеют вид:
t 
1 (t )  4
 K 0 (2n | z 2  z1 |, )1 (t  )d 
0 n 0
t 
 4
 K 0 [(2n  1) | z 2  z1 |, ] 2 (t  )d ;
0 n 0
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
122
ISBN 5-7262-0634-7. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2006. Часть 1
 j (t )  4
t 
  K 0 [(2n  1) | z j  z j 1 |, ] j 1 (t  )d 
0 n 0
t

 4 
0
t
 4 
 K 0 [(2n  1) | z j  z j 1 |, ]  j (t  )d 
n 0

 K 0 [(2n  1) | z j 1  z j |, ]  j (t  )d 
0 n 1
t 
 4
 K 0 [(2n  1) | z j 1  z j |, ] j 1 (t  )d;
j  2, N  1 .
0 n 0
t 
 N (t )  4
 K 0 ( 2n | z N
0 n 0
t 
 4
 z N 1 |, ) N (t  )d 
 K 0 [(2n  1) | z N
0 n 0
 z N 1 |, ] N 1 (t  )d .
Список литературы
1.
2.
3.
4.
Покровский А.Н.// Биофизика, 1970. Т. 15. Вып. 5. С. 881-887.
Покровский А.Н., Прохоренко Ю.П.// Биофизика, 1975. Т. 20. Вып. 1. С. 113-117.
Экклс Дж. Физиология синапсов. М.: Мир, 1966.
Покровский А.Н.//Проблемы нейрокибернетики. Ростов-на-Дону, 1999. С.229-231.
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
123