ЗАДАНИЕ Д12-00 Дано: m1= 12 кг, m2= 16 кг, m4= 8 кг, с1= 1200 Н/м. R1= 0.4 м, r1=0,2 м, R2= 0,5 м, r2=0,3 м,. Найти: частоту k и период малых колебаний системы около положения равновесия и значение ст. РЕШЕНИЕ: 1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота колеса 2 от равновесного положения (при равновесии =0, s4=0, SK ст z2 z1 sK=0). Рассматривая малые колебания считаем угол малым. z4 Т.к. все действующие на систему силу потенциальны (силы тяжести и упругости), выразим обобщенную силу через потенциальную энергию системы. Тогда K 1 С1 d T T П Q , где Q dt 2. Кинетическая энергия системы T T1 T2 T4 . Т.к. колесо 1 и 2 вращается вокруг оси , а груз 4 движется поступательно, то T1 1 1 1 I С112 ; T2 I С 2 22 ; T4 m 4 v 42 , 2 2 2 I C1 m1 R12 P1 (1) / 2 , I C 2 m2 R22 /2. скорости обобщенную где 1 2 4 P2 P4 2 S4 v4 . Тогда 2 , 1r1 2 R2 и R R RR 1 2 2 2 . Ввиду малости можно считать, что v 4 1 R1 1 2 . Следовательно, r1 r1 r1 Выразим все 2 через скорость 2 R R 1 1 1 1 T m1 R22 1 2 m2 R22 2 m4 R22 1 2 2m1 0,5m2 2m4 R22 2 4 4 2 2 r1 r1 T 0,5a 0 2 , где a 0 2m1 0,5m2 2m4 R22 . Отсюда T T и a 0 , 0 или d T a 0 . dt (2) 2 3. Потенциальная энергия системы. Для пружины П 0,5с , где – удлинение (сжатие) пружины, а для поля сил тяжести П mgzC , где z C – координата ц. тяжести (ось Z направлена вертикально вверх). П 0,5с12 m4 gzC 4 R R Учтем, что ст s K ст R2 , а z C 4 1 2 . Таким образом r1 RR П 0,5с1 ст R2 2 m4 g 1 2 . r1 RR П 4. Определим обобщенную силу Q и ст. Q с1 R2 ст R2 m4 g 1 2 . r1 RR Т.к. при равновесии, когда =0 должно быть и Q=0, то с1 R2 ст m4 g 1 2 и отсюда r1 m gR ст 4 1 . с1 r1 Для всей системы (3) Тогда Q с1R22 5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляем в (1) значения производных (2) с учетом (3) получаем с1 R22 с1 R22 c1 2 0 . Обозначим k или и уравнение а0 а0 2m1 0,5m2 2m4 Лагранжа примет вид (4) k 2 0 . а 0 с1 R22 Из теории колебаний известно, что когда уравнение приведено к виду (4), то в нем k является круговой 2 . Таким образом k c1 1200 2 2 3,14 1,15 (с); k 5.477 (1/с); k 5,477 2m1 0,5m2 2m4 2 12 0,5 16 8 частотой, а период колебаний ст m4 g R1 8 9,81 0,4 0,131 м = 13,1 см. (пружина растянута) с1 r1 1200 0,2