Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Министерство образования и науки Российской Федерации
Владивостокский государственный университет
экономики и сервиса
________________________________________________________
И.Ю. ГРЕКОВА
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2012
УДК 51
ББК 22.11
Г 80
Г 80
Грекова, И.Ю.
МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для
слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2011. – 232 с.
Пособие содержит необходимые рекомендации учащимся для
курсовой и самостоятельной подготовки к Единому государственному экзамену по математике в 2013 г.
ББК 22.11
2
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено для выпускников средних общеобразовательных учебных заведений и абитуриентов вузов.
Пособие содержит необходимый материал рекомендаций учащимся
для самостоятельной подготовки к Единому государственному экзамену
по математике.
В настоящее время такая информация широко представлена на различных сайтах web-сети и других носителях. В данный сборник включены наиболее удачные из этих материалов, а также авторские разработки, позволяющие повторить и обобщить необходимые разделы математики, проанализировать типичные ошибки заданий ЕГЭ, отработать
навыки решения всех типов задач: от В1 до С6.
Задания для самостоятельного решения составлены в соответствии
с нормативными требованиями к Единому государственному экзамену
по математике.
В сборнике также содержится справочный материал.
Как и где готовиться к ЕГЭ?
Можно заниматься индивидуально или в группах с преподавателями высших учебных заведений, сейчас такую подготовку активно предлагают подготовительные курсы различных вузов. Во Владивостокском государственном университете экономики и сервиса подготовку к ЕГЭ можно осуществить на:
– 8-месячных подготовительных курсах (с 1 октября);
– 4-месячных подготовительных курсах (с 1 февраля);
Подготовка к ЕГЭ предполагает не столько изучение (или повторение) содержания, сколько анализ тестовых заданий. Преподаватели курсов максимально эффективно помогут подготовиться к ЕГЭ. Почему
такая подготовка не проводится во время школьных уроков? Потому
что сейчас программа по предмету дается без учета формы аттестации.
Подготовка к ЕГЭ проводится в виде занятий, на которых Вы не
будете заново изучать всю программу по предметам. Вы узнаете о тех
особенностях тестирования, которые позволят Вам получить максимум
баллов. На курсах подготовка ориентирована не просто на экзамен, а
именно на сдачу ЕГЭ. Это значит, что Вы во время обучения:
 получите навыки тестирования;
 поймете особенности формулировок заданий;
 научитесь распределять время на выполнение тестовых заданий;
 узнаете о самых распространенных ошибках;
3
 узнаете, какими критериями руководствуются эксперты при проверке тестовых заданий;
 узнаете, по каким темам больше всего вопросов в тестах
 сможете проследить эффективность подготовки к экзамену, благодаря индивидуальному МОНИТОРИНГУ работы по каждому предмету.
Занятия сопровождаются Интернет-поддержкой и мониторингом
обучения.
Как подготовиться к сдаче ЕГЭ
Накануне экзамена. Многие считают, для того, чтобы полностью
подготовиться к экзамену, не хватает всего одной, последней перед ним
ночи. Это неправильно. Ты уже устал, и не надо себя переутомлять.
Напротив, с вечера перестань готовиться, прими душ, соверши прогулку. Выспись как можно лучше, чтобы встать отдохнувшим, с ощущением своего здоровья, силы «боевого» настроя. Ведь экзамен – это своеобразная борьба, в которой нужно проявить себя, показать свои возможности и способности. В пункт проведения экзамена ты должен явиться,
не опаздывая, лучше за полчаса до начала тестирования. При себе нужно иметь пропуск, паспорт и несколько (про запас) гелевых или капиллярных ручек с черными чернилами.
Несколько универсальных рецептов для более успешной тактики
выполнения тестирования.
Сосредоточься!
После выполнения предварительной части тестирования (заполнения бланков), когда ты прояснил все непонятные для себя моменты,
постарайся сосредоточиться и забыть про окружающих. Для тебя должны существовать только текст заданий и часы, регламентирующие время выполнения теста. Торопись не спеша! Жесткие рамки времени не
должны влиять на качество твоих ответов. Перед тем, как вписать ответ,
перечитай вопрос дважды и убедись, что ты правильно понял, что от
тебя требуется.
Начни с легкого!
Начни отвечать на те вопросы, в знании которых ты не сомневаешься, не останавливаясь на тех, которые могут вызвать долгие раздумья. Тогда ты успокоишься, голова начнет работать более ясно и четко,
и ты войдешь в рабочий ритм. Ты как бы освободишься от нервозности,
и вся твоя энергия потом будет направлена на более трудные вопросы.
Пропускай! Надо научиться пропускать трудные или непонятные задания. Помни, в тексте всегда найдутся такие вопросы, с которыми ты
обязательно справишься. Просто глупо недобрать очков только потому,
что ты не дошел до «своих» заданий, а застрял на тех, которые вызывают у тебя затруднения.
4
Читай задание до конца!
Спешка не должна приводить к тому, что ты стараешься понять
условия задания «по первым словам» и достраиваешь концовку в собственном воображении. Это верный способ совершить досадные ошибки в самых легких вопросах.
Думай только о текущем задании!
Когда ты видишь новое задание, забудь все, что было в предыдущем. Как правило, задания в тестах не связаны друг с другом, поэтому
знания, которые ты применил в одном (уже, допустим, решенном тобой), как правило, не помогают, а только мешают сконцентрироваться и
правильно решить новое задание. Этот совет дает тебе и другой бесценный психологический эффект – забудь о неудаче в прошлом задании
(если оно оказалось тебе не по зубам). Думай только о том, что каждое
новое задание – это шанс набрать очки.
Запланируй два круга!
Рассчитай время так, чтобы за две трети всего отведенного времени
пройтись по всем легким заданиям («первый круг»). Тогда ты успеешь
набрать максимум очков на тех заданиях, а потом спокойно вернуться и
подумать над трудными, которые тебе вначале пришлось пропустить
(«второй круг»).
Не огорчайся!
Стремись выполнить все задания, но помни, что на практике это
нереально. Учитывай, что тестовые задания рассчитаны на максимальный уровень трудности, и количество решенных тобой заданий вполне
может оказаться достаточным для хорошей оценки
Подготовка к ЕГЭ по математике
С 2009 года Единый Государственный Экзамен – основная форма
государственной аттестации выпускников школ Российской Федерации,
результаты которой принимают все вузы России. Поэтому, чтобы стать
студентом, необходимо успешно сдать ЕГЭ. В 2013 году ЕГЭ по математике, так же как и в прошлом году, состоит из двух частей, которые
различаются по содержанию, сложности и числу заданий. В Части 1
ученик должен дать краткий ответ, а в Части 2 – развернутый.
Часть 1 экзаменационной работы определяет математическую компетентность выпускника. Часть 2 включает 6 заданий, в числе которых 4
задания повышенного и 2 задания высокого уровня сложности, эта часть
помогает вузам дифференцировать абитуриентов.
Все тестовые задания по математике можно сгруппировать по основным разделам школьной математики:
5
Раздел I
Раздел II
Раздел III Раздел IV Раздел V Раздел VI Раздел VII
ПоказательПрактиченые, логаские задачи, рифмические, Тригоно- Производ- Геомет- Параметтеория ве- иррациональ- метрия
ная
рия
ры
роятности ные выражения
В1
В2
В4
В10
В12
В13
В5
В7
В3
В6
В7
В8
В14
Комбинированные уравнения, неравенства, системы
С1
С3
Теория
чисел
В4
В6
В9
В11
С2
С4
С5
С6
Повторение математики и подготовку к экзамену можно осуществлять по этим разделам, продвигаясь «от простого к сложному» и развивая умения выполнять задания более высокого уровня сложности.
Ниже мы приводим основные типы задач B1 – B14, С1 – С6, методы их решения, задачи для самостоятельного выполнения.
6
Раздел І. ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ
Задание B1
В задании B1 ученик должен продемонстрировать умение применять
математические методы для решения содержательных задач из различных
областей науки и практики. Для этого он должен уметь правильно оценить
поставленную задачу и безошибочно выполнить расчеты по формулам.
Важно правильно интерпретировать полученный результат с учетом реальных жизненных ограничений. Для успешного решения задания B1 ученик
должен выполнить простые арифметические действия и оперировать целыми числами, использовать дроби, проценты, рацио
Типичные ошибки.
1. Механически округляют полученный результат без учета условия задачи. Нужно помнить, что: округляем в меньшую сторону (с недостатком), если надо найти количество предметов, например, купленных на заданную сумму, и в большую сторону (с избытком) – если надо
рассчитать количество каких-либо предметов, которых должно хватить
на заданное количество человек;
2. Путаница с процентами: когда надо повышать – понижают и
наоборот. Здесь лучше всего составить соотношение между заданными
величинами и затем перейти к пропорции.
Рекомендации:
1. Прочитайте в справочных материалах раздел «Обыкновенные
дроби. Пропорции. Процент»
2. Разберите предложенные ниже решения типовых задач;
3. Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.
1. Округление с недостатком
Задача 1. № 26641. В университетскую библиотеку привезли новые
учебники по геометрии для 1–3 курсов, по 360 штук для каждого курса.
Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой
полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью
заполнить новыми учебниками?
Решение. Всего привезли 360 · 3 = 1080 учебников по геометрии.
В книжном шкафу помещается 25 · 9 = 225 учебников.
Разделим 1080 на 225:
1080 24
4

4
225
5
5
Значит, полностью можно будет заполнить 4 шкафа.
О т в е т : 4.
7
2. Округление с избытком
Задача 2. № 26625. Для приготовления маринада для огурцов на 1
литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить
хозяйке для приготовления 6 литров маринада?
Решение. Для приготовления 6 литров маринада потребуется
12 6 = 72 г лимонной кислоты. Разделим 72 на 10:
72 36 35  1 35 1
1



 7
10
5
5
5 5
5
Значит, нужно будет купить 8 пакетиков.
О т в е т : 8.
Задача 3. № 26617. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и
25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить
70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех
пассажиров и всех членов команды?
Решение. Всего на теплоходе 775 человек. Разделим 775 на 70:
775 770  5 770
5
1



 11
70
70
70 70
14
Значит, на судне должно быть 12 шлюпок.
О т в е т : 12.
Задача 4. B1 № 26627. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?
Решение. Оптовую цену учебника принимаем за 100%. Можно вычислить розничную цену, составив пропорцию:
170 руб. – 100%
х руб. – (100 + 20)%
Отсюда:
170  120
 240 ( руб.)
100
Разделим 7000 на 204:
7000 1750 1734  16 1734 16
16




 34
204
51
51
51
51
51
Значит, можно будет купить 34 учебника.
О т в е т : 34.
х
8
Задача 5. № 26645. Розничная цена учебника 180 рублей, она на
20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников
можно купить по оптовой цене на 10 000 рублей?
Решение. Вновь принимаем за 100% оптовую цену учебника, которая фактически неизвестна. Розничную цену можно выразить, составив
пропорцию:
х руб. – 100%
180 руб. – (100 + 20)%
180  100
Отсюда: х 
 150 ( руб.)
120
Поскольку 10000: 150  66
2
,
3
то по оптовой цене на 10 000 рублей можно купить 66 учебников.
О т в е т : 66.
3. Разные задачи
Задача 6. № 77336. Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в
15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское).
Сколько часов поезд находится в пути?
Решение.
В
день
отправления
поезд
едет
(24 – 15) · 60 − 20 = 9 · 60 – 20 = 520 минут, а на следующий день до
момента прибытия он едет 4 · 60 + 20 = 260 минут.
Всего в пути поезд проведет 520 + 260 = 780 минут.
Разделим 780 на 60:
780 78

 13
60
6
Значит, поезд находится в пути 13 часов.
О т в е т : 13.
Примечание. Через 12 часов от момента отправления поезда будет
3:20, значит, поезд идет 13 часов.
Задача 7. № 77334. В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70
копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.
Решение. За 3 кг помидоров отдыхающие заплатили 4 · 3 = 12 гривен.
Значит, в рублях они заплатили: 12 · 3,7 = 44,4 рубля.
Округляем до целого числа, получаем 44.
О т в е т : 44.
9
Задание B2
Задание B2 направлено на чтение графических функций (график характеризует изменение в зависимости от времени некоторой величины), обычно,
в задании требуется найти наибольшее или наименьшее значение этой величины. В этом задании ученик демонстрирует использование математических
знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни.
Для успешного решения задания B2 ученик должен уметь:
• определять значение функции при различных способах задания
функций,
• находить по графику функции, диаграмме наибольшие и
наименьшие значения заданных величин, их соотношения,
• описывать с помощью функций различные зависимости и читать
их графики,
• пользоваться информацией, представленной в виде таблиц, графиков и диаграмм.
Типичные ошибки:
1. Учащиеся путают оси абсцисс и ординат;
2. Находят значение величины без учета заданного интервала;
3. Неправильно вычисляют масштаб: не учитывают, что не всегда
одно деление соответствует одной единице;
4. При нахождении количества дней (часов, месяцев и т.д.), соответствующих заданным условиям, просто отнимают от более поздней
даты более раннюю и теряют один день (час, месяц и т.д.).
Рекомендации:
1. Разберите предложенные ниже решения типовых задач;
2. Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.
1. Вычисление величин по графику
Задача 1. На графике показано изменение температуры воздуха на
протяжении трех суток, начиная с 0 часов 11 июля. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику, до какой наибольшей температуры прогрелся воздух 13 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение. Вертикальными линиями отмечено интересующее нас 13 июля. Горизонтальная линия проведена к
наибольшей температуре, до
которой прогрелся воздух в
этот день, это 9°С.
Ответ: 9°С.
10
Задача 2. Первый посев семян петрушки рекомендуется проводить
в апреле при дневной температуре воздуха не менее +6°С. На рисунке
показан прогноз дневной температуры воздуха в первых трех неделях
апреля. Определите, в течение скольких дней за этот период можно
производить посев петрушки.
Решение.
Горизонтальной
линией отмечено 6°С. В дни, когда температура выше этой линии,
можно сеять петрушку.
Такие дни отсечены вертикальными линиями, с 9 по 19 апреля, т.е. 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19 апреля = 11 дней.
Ответ. 11 дней.
Задача 3. На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций нефтедобывающей компании в
первые две недели сентября. 3 сентября бизнесмен приобрел 10 акций
этой компании. Шесть из них он продал 10 сентября, а 12 сентября продал остальные 4. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих
операций?
Решение. 3 сентября. Цена акций
(определяем по графику) составляет 800
рублей. Куплено 10 акций.
800 · 10 = 8000 (руб.)
10 сентября. Цена акций – 400 рублей. Продано 6 акций:
400 · 6 = 2400 (руб.)
12 сентября. Цена акций – 600 рублей. Продано 4 акции:
600 · 4 = 2400 (руб.)
В результате этих операций потеряно:
800 – 2400 – 2400 = 3200 (руб.).
Ответ: 3200 рублей.
Задача 4. № 263865. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со
временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах,
прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат – масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три
минуты?
11
Решение. Из графика видно,
что в начальный момент времени
было 20 граммов реагента, а через три минуты его стало 8 граммов. Следовательно, прореагировало 12 граммов.
О т в е т : 12.
2. Вычисление величин по диаграмме
Задача 4. № 27511. На диаграмме показана среднемесячная
температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц
1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую
среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Из диаграммы видно,
что наименьшая среднемесячная
температура
составляет -14 °C (см.
рисунок).
О т в е т : -14.
Задача 5. № 28765. На диаграмме показано количество посетителей
сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – количество посетителей
сайта за данный день. Во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.
Решение.
Из
графика видно, что
наибольшее количество
посетителей
больше,
чем
наименьшее количество посетителей за
день в 2 раза (см. рисунок).
Ответ: 2.
12
Задание B4
Задание B4 на преобразование выражений и выполнение простых
арифметических операций. Для успешного выполнения задания необходимо продемонстрировать навыки применения математических методов
для решения прикладных задач, в том числе социально-экономического
и физического характера. Важно правильно интерпретировать полученный результат с учетом жизненных ограничений.
Типичные ошибки:
1. Неверный перевод единиц измерения или отсутствие его;
2. Игнорирование дополнительных условий (бесплатных бонусов:
доставка, скидки)
3. Анализ только одного из предложенных условий.
Рекомендации:
1. Разберите предложенные ниже решения типовых задач;
2. Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.
1. Выбор варианта из двух возможных
Задача 1. № 77362. В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт ч электроэнергии в месяц, а в ночное время – 185 кВт ч
электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный
счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за
кВт ч. Год назад А. установил двухтарифный счётчик, при этом дневной
расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,40 руб. за кВт ч, а
ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВт ч.
В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.
Решение. Рассмотрим оба типа счётчиков.
При использовании однотарифного счётчика, гражданин А. платил
в месяц
(120 кВт ч + 185 кВт ч) · 2,4 руб. за 1 кВт ч = 732 руб.
Поэтому за 12 месяцев он платил 732 · 12 = 8784 руб.
При использовании двухтарифного счётчика, гражданин А. платит
в месяц
120 кВт ч · 2,4 руб. + 185 кВт ч · 6 руб. = 399 руб.
Поэтому за 12 месяцев он заплатит 399 руб.·· 12 = 4788 руб.
Установка нового типа счётчика позволяет экономить 8784 руб. −
4788 руб. = 3996 руб. в год.
13
Ответ. 3996
Задача 2. № 26681. Для строительства гаража можно использовать
один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны
щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2450 рублей,
щебень стоит 620 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей.
Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый
вариант?
Решение. Рассмотрим различные варианты.
Стоимость фундамента из пеноблоков складывается из стоимости
пеноблоков 2 · 2450 = 4 900 руб., а также стоимости цемента 4 · 230 =
920 руб. и составляет 920 + 4900 = 5820 руб.
Стоимость бетонного фундамента складывается из стоимости цемента 20 · 230 = 4600 руб., а также стоимости щебня 2 · 620 = 1240 руб.
и составляет 4600 + 1240 = 5840 руб.
Первый вариант дешевле второго.
О т в е т : 5820.
2. Выбор варианта из трех возможных
Задача 3. № 26685. В таблице даны тарифы на услуги трех фирм
такси. Предполагается поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?
Стоимость 1 минуты
сверх продолжительности
минимальной поездки
Фирма
такси
Подача машины
Продолжительность
и стоимость
минимальной поездки *
А
350
Нет
13
Б
Бесплатно
20 мин. – 300 руб.
19
В
180
10 мин. – 150 руб.
15
* Если поездка продолжается меньше указанного времени, она
оплачивается по стоимости минимальной поездки.
Решение. Рассмотрим различные варианты.
1. Стоимость поездки на такси фирмы A будет складываться из
стоимости 70 минут поездки,
т.е. 70 · 13 = 910 руб.,
14
а также стоимости подачи такси и будет составлять 350 + 910 =
1260 руб.
2. Стоимость поездки на такси фирмы Б будет складываться из
стоимости минимальной поездки, а также стоимости 50 минут поездки
сверх минимальной,
то есть 300 + 50 · 19 = 300 + 950 = 1250 руб.
3. Стоимость поездки на такси фирмы В будет складываться из
стоимости минимальной поездки, а также стоимости 60 минут поездки
сверх минимальной и стоимости подачи машины,
то есть 150 + 60 · 15 + 180 = 330 + 900 = 1230 руб.
О т в е т : 1230.
Задача 4. Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет
грузовик со средней скоростью 44 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 50 км/ч. Третья дорога – без промежуточных пунктов, и по
ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 62 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам. Все
три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до
D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.
Решение. Время нахождения в пути
грузовика:
(48 + 73): 44 = 2,75(ч.)
Время нахождения в пути автобуса:
(75 + 50): 50 = 2,5 (ч.)
Время нахождения в пути легкового автомобиля: 124: 62 = 2 (ч.)
Дольше всех в пути был грузовик, затратил на дорогу 2,75 часа.
Ответ: 2,75.
Задача 5. № 26686. В таблице даны условия банковского вклада в
трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет
10 000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется
наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
Банк
Обслуживание счета *
Процентная ставка (% годовых) **
Банк А
40 руб. в год
2
Банк Б
8 руб. в месяц
3,5
Банк В
Бесплатно
1,5
* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в
уплату за ведение счета
15
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.
Решение. Рассмотрим различные варианты.
В банке A после снятия суммы в уплату за ведение счета на счету
останется
10 000 − 40 = 9960 руб.
К концу года на счету окажется 9960 + 0,02 9960 = 10 159,2 руб.
В банке Б в качестве платы за ведение счета за год снимается со
счета 12 × 8 = 96 руб.
Таким образом, проценты начисляются на сумму 10 000 − 96 = 9904 руб.
К концу года на счету окажется 9904 + 0,035 · 9904 = 10 250,64 руб.
В банке В плата за ведение счета не взимается, таким образом, проценты будут начисляться на первоначальную сумму.
К концу года на счету окажется 10 000 + 0,015 · 10 000 = 10 150 руб.
О т в е т : 10 250,64.
Задача 6. № 77361. В таблице указаны средние цены (в рублях) на
некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).
Наименование продукта
Тверь
Липецк
Барнаул
Пшеничный хлеб (батон)
11
12
14
Молоко (1 литр)
26
23
25
Картофель (1 кг)
9
13
16
Сыр (1 кг)
240
215
260
Мясо (говядина)
260
280
300
Подсолнечное масло (1 литр)
38
44
50
Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым
следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
Решение. Рассмотрим все варианты.
В Твери стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля,
1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит
11 · 2 + 9 · 3 + 1,5 · 260 + 1 · 38 = 477 руб.
В Липецке стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля,
1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит
12 · 2 + 13 · 3 + 1,5 · 80 + 1 · 44 = 527 руб.
16
В Барнауле стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля,
1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит
14 · 2 + 16 · 3 + 1,5 · 300 + 1 · 50 = 576 руб.
Самый дешёвый набор продуктов можно купить в Твери по цене
477 руб.
О т в е т : 477.
Задача 7. № 77363. Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя загружает файл размером
28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за 32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на
компьютер с наибольшей скоростью загрузки?
Решение. Рассмотрим все случаи.
30
1
 1 мб / с
28
14
28
1
 1 Мб / с
Скорость интернета Пети составляет
14
6
38
3
 1 Мб / с
Скорость интернета Миши составляет
32
16
Значит, с наибольшей скоростью может скачать файл Миша. На
скачивание 665 Мб ему понадобится
19
16
665 :  665   56 (с).
16
19
О т в е т :560
Скорость интернета Васи составляет
3. Выбор варианта из четырех возможных
Задача 8. № 77357. Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы,
вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.
Фирма-производитель
Процент от выручки,
поступающий в доход салона
Примечания
«Альфа»
5%
Изделия ценой
до 20 000 руб.
«Альфа»
3%
Изделия ценой
свыше 20 000 руб.
«Бета»
6%
Все изделия
«Омикрон»
4%
Все изделия
17
В прейскуранте приведены цены на четыре дивана. Определите,
продажа какого дивана наиболее выгодна для салона. В ответ запишите,
сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого дивана.
Фирма-производитель
Изделие
Цена
«Альфа»
Диван «Коала»
15 000 руб.
«Альфа»
Диван «Неваляшка»
28 000 руб.
«Бета»
Диван «Винни-Пух»
17 000 руб.
«Омикрон»
Диван «Обломов»
23 000 руб.
Решение. Рассмотрим все варианты.
При продаже дивана «Коала» по цене 15 000 руб. доход салона составит:
15 000 · 0,05 = 750 руб.
При продаже дивана «Неваляшка» по цене 28 000 руб. доход салона
составит:
28 000 · 0,03 = 840 руб.
При продаже дивана «Винни-Пух» по цене 17 000 руб. доход салона составит:
17 000 · 0,06 = 1020 руб.
При продаже дивана «Обломов» по цене 23 000 руб. доход салона
составит:
23 000 · 0,04 = 920 руб.
Поэтому для салона наиболее выгодна продажа дивана «ВинниПух» фирмы «Бета», доход от которой составит 1020 рублей.
Ответ: 1020.
Задание B12
В задании В12 ученик должен показать умение составлять неравенство
или уравнение с помощью предложенных в задаче формул и дополнительных условий. Реальные задания условно можно разделить на 2 группы:
– экономические;
– физические.
Причем во вторую группу включены задачи из различных разделов
школьной физики: от механики до астрономии. Поэтому для правильного выбора ответа необходимо уметь оценивать физический смысл полученных результатов либо соответствие их реальным условиям.
Математически все задания В12 можно сгруппировать по темам: Линейные, квадратичные и степенные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.
18
Числа в результате часто не очень красивые, но ответ в любом случае должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной
дроби, либо в условии будет оговорена необходимость округления.
Типичные ошибки:
1. Неверная оценка полученных результатов: неправильно выбран
один из корней квадратного уравнения, не найдена разность корней;
2. Вычислительные ошибки в подсчетах.
3. Неверный перевод единиц измерения или отсутствие его.
Рекомендации:
1. Повторите правила знаков, действия с дробями, действия со
степенями, решение квадратных неравенств;
2. Разберите предложенные ниже решения типовых задач;
3. Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.
1. Линейные уравнения и неравенства
Задача 1. № 28019. При температуре 0°С рельс имеет длину
lo =10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону
l(t°) = l0(1 + α·t°),
где α = 1,2·10 -5 (°С)-1 – коэффициент теплового расширения,
t – температура (в градусах Цельсия).
При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в
градусах Цельсия.
Решение. Нужно найти при какой температуре рельс удлинится на
6 мм.
l – l0 = l (1 + αt) – l0 = l0·α·t
l0·α·t = 0,006
0,006
0,006
t

 50 o C
Lo
10  1,2  10 5
Ответ: 50°C.
Задача 2. № Некоторая компания продает свою продукцию по цене
p = 700 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной
единицы продукции составляют v = 300 руб., постоянные расходы
предприятия f = 500 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль
предприятия (в рублях) вычисляется по формуле: π(q) = q(p – v) – f.
Определите наименьший месячный объем производства q (единиц
продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия
будет не меньше 700 000 руб.
19
Решение. Найдем наименьший объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия
будет не меньше 700 000 руб.
π(q) = q(p – v) – f ≥ 700000
Подставим значения из условия задачи.
q(700 – 300) – 500000 ≥ 700000
200q ≥ 1200000
q ≥ 3000
Ответ: 3000.
2. Квадратичные и степенные уравнения и неравенства
Задача 3. Камень был подброшен вверх вертикально. Пока он не
упал, высота, на которой находится камень, описывается формулой:
h(t) = -5t2 + 18t,
где h – высота в метрах, t – время в секундах, которое прошло с момента
броска. Определить, сколько времени камень был на высоте более 9
метров.
Решение. Очевидно, что камень может не долететь до отметки
9 метров, перелететь (и тогда отметку 9 метров он пролетит дважды –
когда будет лететь вверх и когда вниз), либо один раз – если высота его
полета составит ровно 9 метров. Составим и решим уравнение:
- 5² + 18t = 9
5² – 18t + 9 = 0
D = 324 – 180 = 144
18  12
t1, 2 
10
t1 = 3 t2 = 0,6
Таким образом, отметку в 9 метров камень пролетает дважды: на
0,6 и 3 секундах. Отсюда следует, что на высоте более 9 метров камень
находился 2,4 секунды:
3 – 0,6 = 2,4 (с.).
Ответ. 2,4.
Задача 4. Для одного из предприятий-монополистов зависимость
объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.)
задаётся формулой: q = 140 – 10p.
Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее
480 тыс. руб.
Решение. Подставим в значение выручки: r = q · p зависимость
объёма спроса на продукцию q от её цены p: q = 140 – 10p. Получим
20
зависимость выручки от цены: r = (140 – 10p)· p. По условию задачи
выручка больше 480 тыс. руб.
(140 – 10p)· p ≥ 480
-10p² + 140p – 480 ≥ 0
p² – 14p + 48 ≤ 0
Корни соответствующего квадратного уравнения: 6 и 8.
Отрезок [6;8] удовлетворяет условию неравенства. А 8 – максимальная цена, при которой неравенство выполняется.
Ответ: 8.
Задача 5. № 27955. После дождя уровень воды в колодце может
повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в
колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t², где h –
расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень
воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ
выразите в метрах.
Решение. Пусть h1 – расстояние до воды до дождя, h2 – расстояние
до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится,
расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет
равным: t = 0,6 – 0,2 = 0,4 с.
Уровень воды поднимется на h2 – h1 метров: h2 – h1 = 5· 0,6² – 5 × 0,4² = 1
О т в е т : 1.
Задача 6. № 27958. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться.
При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не
будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной
во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной
нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна
 v2

  m  q  , где m – масса воды в килограммах, скорость движения
 L

ведeрка в м/с, L – длина верeвки в метрах, g – ускорение свободного
падения (считайте g = 10 м/с2). С какой наименьшей скоростью надо
вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна
40 см? Ответ выразите в м/с.
Решение. Задача сводится к решению неравенства P ≥ 0.
При заданной длине верёвки L = 0,4 м:
21
О т в е т : 2.
Задача 7. № 27960. В боковой стенке высокого цилиндрического
бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает
вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в
метрах, меняется по закону
H(t) = at² + bt + H0, где H0 = 4 – начальный уровень воды,
2
1
а=
м/мин2 и b =  м/мин постоянные, t – время в минутах,
5
1000
прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода
будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
Решение. Формулой, описывающей уменьшение высоты столба
воды с течением времени является
H(t) = 0,01t² – 0,4t + 4
Вода будет вытекать из бака, пока её начальный уровень не понизится
до нуля. Определим требуемое на это время, решая уравнение H(t) = 0:
H(t) = 0
0,01t² – 0,4t + 4= 0
t² – 40t + 400 = 0
t = 20
Это означает, что по прошествии 20 минут вся вода вытечет из бака.
О т в е т : 20.
Задача 8. № 27962. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была
получена экспериментально и на исследуемом интервале температур
определяется выражением
T(t) = T0 + bt + at²,
где t – время в минутах, T0 = 1400 K, a = -10 K/мин², b = 200 К/мин.
Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может
испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое
наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ
выразите в минутах.
Решение. Найдем, в какой момент времени после начала работы
температура станет равной 1760 К.
Задача сводится к решению уравнения T(t) = 1760 при заданных
значениях параметров a и b:
1400 + 200t – t² = 1760
t²– 20t + 36 = 0
t1 = 2; t2 = 18
22
Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и
далее будет нагреваться, и может испортиться. Таким образом, прибор
нужно выключить через 2 минуты.
О т в е т : 2.
3. Рациональные уравнения и неравенства
Задача 9. № 27970. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d1от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от
линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране
будет четким, если выполнено соотношение
1
d1
+
1
d2
=
1
f
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ
выразите в сантиметрах.
Решение. Поскольку f = 30 см имеем:
1
d1
1
d1
+
=
1
d2
1
30
=
–
1
30
1
d2
Наименьшему возможному d1 значению соответствует наибольшее
значение левой части полученного равенства, и, соответственно,
наибольшее возможное значение правой части равенства.
Разность
1
30
–
1
d2
в правой части равенства достигает наибольшего значения при
наибольшем возможном значении знаменателя d2. Поэтому d2 = 180,
откуда
1
1
=
–
d1
30
1
5
=
d1
180
1
1
=
d1
36
d1 = 36 cм.
1
180
По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 30 до 50
см от линзы. Найденное значение d1 min = 36 см удовлетворяет условию.
23
О т в е т : 36.
Задача 10. № 27979. К источнику с ЭДС ε = 55 В и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением
R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся
формулой
U=
εR
R+r
При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в Омах.
Решение. Задача сводится к решению неравенства U ≥ 50 В при известных значениях внутреннего сопротивления r = 0,5 Ом и ЭДС ε = 55 В:
55 R
R + 0,5
≥ 50
R ≥ 50 Ом.
О т в е т : 5.
Иррациональные уравнения и неравенства
Задача 11. № 263802. Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй, до наблюдаемой им
линии горизонта вычисляется по формуле
l  2Rh
где R = 6400 км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на
расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.
Решение. Задача сводится к решению уравнений l = 4 при заданном значении R:
Примечание. Заметим, что полученная величина равна 1,25 метра,
т.е. соответствует уровню глаз ребенка.
Ответ: 0,00125
4. Показательные уравнения и неравенства
Задача 12. № 27993. Установка для демонстрации адиабатического
сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ.
При этом объeм и давление связаны соотношением pV1,4 = const, где
p(атм.) – давление в газе, V – объeм газа в литрах. Изначально объeм
24
газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии
с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального
объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
Решение. Пусть p1 и V1 – начальные, а p2 и V2 – конечные значения
объема и давления газа, соответственно. Тогда задача сводится к решению неравенства:
,
где p1 = 1 атм., V1 = 1,6 л., p1 = 128 атм.
Тогда
.
О т в е т : 0,05.
5. Логарифмические уравнения и неравенства
Задача 13. № 27994. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 2 × 10-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением R = 5 × 106 Ом. Во время работы телевизора
напряжение на конденсаторе U0 = 16 кВ. После выключения телевизора
напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время,
определяемое выражением
U0
t = αRС log2
,
U
где α = 0,7 – постоянная.
Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на
конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с?
Решение. Задача сводится к решению неравенства t ≥ 21при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе, сопротивления
резистора и ёмкости конденсатора С = 2 · 10-6 Ф:
0,7 · 2 · 10-6 · 5 · 106 · log2
log2
25
16
≥ 21
U
16
≥3
U
16
≥8
U
U ≤ 2 кВ.
Ответ: 2.
Задача 14. № 27995. Для обогрева помещения, температура в котором равна Тп = 20°С, через радиатор отопления, пропускают горячую
воду температурой Тв = 60°С. Расход проходящей через трубу воды
m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние х (м), вода охлаждается до
температуры Т(°С):
сm
х=α
Тв – Тп
log2
γ
γ = 21
Вт
м · °С
Т – Тп
, где с = 4200
Дж
Кг · °С
– теплоемкость воды,
– коэффициент теплообмена, а α = 0,7 – постоянная.
До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если
длина трубы 84 м?
Решение. Задача сводится к решению уравнения:
сm
γ
4200 · 0,3
21
α
0,7
Тв – Тп
Т – Тп
60 – 20
Т – 20
40
Т – 20
40
Т – 20
log2
log2
log2
= 84
= 84
=2
=4
Т = 30°С
О т в е т : 30.
6. Тригонометрические уравнения и неравенства
Задача 15. B12 № 28014. Скорость колеблющегося на пружине груза
меняется по закону v(t) = 5sin πt (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с?
Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Решение. Задача сводится к решению неравенства v ≥ 2,5 cм/с при
заданном законе изменения скорости: 5sin πt ≥ 2,5
sin πt ≥
1
2
При 0 ≤ πt ≤ π:
1
6
Таким образом,
≤t≤
5
6
π
6
≤ πt ≤
5
6
1
–
=
6
26
5π
6
2
= 0,666…
3
первой секунды после начала движения скорость груза превышала
2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.
О т в е т : 0,67.
Задача 16. № 28013. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со
скоростью, меняющейся по закону v(t) = 0,5 cos πt, где t – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле
mv2 ,
2
где m – масса груза (в кг),
v – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет
не менее 5 · 10-3Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно,
округлите до сотых.
Е=
Решение. Задача сводится к решению неравенства Е ≥ 5 · 10-3 Дж
при заданных значении массы груза m = 0,08 кг и законе изменения
скорости:
mv2
≥ 5 · 10-3
2
0,08 · 0,25 cos² πt
≥ 5 · 10-3
2
1
Cos2 πt ≥
2
√2
√2
Cos πt ≥
Cos πt ≥ –
2
2
0 < πt < π
π
3π
0 ≤ πt ≤
≤ πt ≤ π
4
4
1
3
0≤t≤
≤t≤
1
4
4
Таким образом, 0,5 c из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 · 10-3 Дж. Это составляет 0,5
первой секунды.
О т в е т : 0,5.
Задача 17. № 27998. Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли.
Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле
t=
2v0sinα
.
g
27
При каком наименьшем значении угла α (в градусах) время полeта
будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью
v0 = 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Решение. Задача сводится к решению неравенства t(α) ≥ 3 на интервале (0°; 90°) при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:
2 · 30 · sin α
≥3
10
Sin α
≥
1
2
0° < α < 90°
30° ≤ α < 90°
О т в е т : 30.
Задание В13
При решении задания B13 от ученика потребуется навык работы с
задачами на составление уравнений и систем уравнений. Основные
группы задач, представленные в ЕГЭ:
1. Задачи на движение
 по прямой (навстречу и вдогонку)
 по замкнутой трассе
 по воде
 на среднюю скорость
 протяженных тел
2. Задачи на производительность
 задачи на работу
 задачи на бассейны и трубы
3. Задачи на проценты, концентрацию, части и доли
 Задачи на проценты и доли
 Задачи на концентрацию, смеси и сплавы
4. Задачи на прогрессии.
Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно
некоторые специфические особенности.
5. Алгоритм решения текстовых задач
 Ввод переменных, т.е. обозначение буквами x, y, z,... величины,
которые требуется найти по условию задачи.
 Перевод условий задачи на язык математических соотношений,
т.е. составление уравнений, неравенств, введение ограничения.
 Решение уравнений или неравенств.
 Проверка полученных решений на выполнение условий задачи.
6. Указания к решению текстовых задач
28
 Набор неизвестных должен быть достаточным для перевода
условий задачи на язык математических соотношений. Как правило, за
неизвестные следует принимать искомые величины.
 Выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в
уравнения или неравенства необходимо использовать все данные и
условия задачи.
 При составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из требования о решении задачи в общем виде.
 В составленных уравнениях надо проверить размерность членов уравнений
 В процессе решения задачи, надо избегать результатов, противоречащих физическому смыслу.
1. Задачи на движение
При решении задач на движение принимают такие допущения:
 движение считается равномерным, если нет специальных оговорок; изменение направления движения и переходы на новый режим
движения считаются происходящими мгновенно;
 если два тела начинают движение одновременно (если одно тело догоняет другое), то в случае, если они встречаются, каждое тело с
момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время;
 если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них
затрачивает время больше то, которое выходит раньше;
 все величины, как правило, положительные (в природе скорость
расстояние и время положительны), поэтому можно смело умножать,
делить и возводить в квадрат получающиеся уравнения и неравенства,
не делая необходимых в таких случаях оговорок;
Скорость v
1 объект
2 объект
Время t
s
Расстояние s
s
v =
t
t
=
S=v×t
v
После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие
искомую величину, исходя из условий задачи.
Задача 1. № 5643. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из
города А в город В, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 4 км/ч больше
прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.
Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
29
Решение. Пусть скорость велосипедиста в первый день – x км/ч.
Составим таблицу для каждого дня с учетом всех условий задачи:
Скорость
Время
I день
х
II день
х+4
77
х
77
+4
(х + 4)
Расстояние
77
77
Приравняем время, потраченное на дорогу в первый и во второй
день, так как он затратил на обратный путь столько же времени, сколько
на путь из А в В.
77(х + 4) = 77х + 4х(х + 4)
4х² + 16х – 308 = 0
77
х
=
77
(х + 4)
+4
Получили корни: -11 и 7. Корень -11 не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно,
скорость велосипедиста равна 7 км/ч.
Ответ: 7 км/ч.
Задачи на движение навстречу друг другу и движение вдогонку
В первой модели рассматривается совместная скорость сближения,
как сумма двух скоростей и поэтому время сближения считается по
формуле (1):
S
t =
v1 + v2
Во второй модели время, за которое объект, идущий сзади с большей скоростью v1, догонит другой объект, идущий с меньшей скоростью
v2, считается по формуле (2):
S
t =
v1 — v2
где S – расстояние между объектами в начальный момент времени.
Задача 2. Из городов А и В, расстояние между которыми 480 км,
навстречу друг другу выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние
от города А где они встретятся.
Решение. Так как автомобили двигаются навстречу друг другу,
время до встречи рассчитаем по первой формуле:
t =
480
= 4(км)
30
55 + 65
Расстояние от города А до места встречи равно S = 4 × 55 = 220 км.
Ответ. 220 км.
Задача 3. Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по набережной. Скорость первого на 0,5 км/ч больше
скорости второго. Найдите время в минутах, когда расстояние между
ними станет 200 м.
Решение. Разность скоростей пешеходов (v1 – v2) задана условием
задачи и равна 0,5 км/ч. Поэтому время (в часах), за которое расстояние
между пешеходами будет равно 200 м, т.е. 0,2 км, рассчитаем по второй
формуле:
0,2
t =
= 0,4(ч)
0,5
Переведем время из часов в минуты:
0,4ч. =
4
10
=
24
= 24 (мин.)
60
Значит, через 24 минуты расстояние между пешеходами будет равно 200 м.
Ответ. 24 минуты.
Движение по замкнутой трассе (например, по стадиону) похоже
на движение вдогонку. Если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями, соответственно v1 и v2, то
первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью (v1 – v2) и в
момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, то первый бегун
как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так же. Как и в случае прямолинейного движения вдогонку (т.е. по
формуле (2)).
Задача 4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна
16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго
автомобиля.
Решение. Примем скорость второго автомобиля за x км/ч и учтем,
что 40 минут составляют 2/3 часа, тогда
t
=
2
3
=
S
v1 – v2
16
80 – x
31
2(80 — x) = 16 · 3
x = 56
Ответ. 56 км/ч.
В задачах на движение по воде скорость реки считается постоянной и неизменной.
При движении по течению скорость реки прибавляется к собственной
скорости плывущего тела, так как скорость реки помогает двигаться телу.
При движении против течения от собственной скорости вычитается
скорость реки (реально собственная скорость тела больше скорости реки), так как в этом случае скорость реки мешает движущемуся телу.
Скорость плота считается равной скорости реки.
Скорость перемещения тела v по воде, при скорости течения реки
vр и собственной скорости движения vс, выражается:
v по течению = vс + vр при движении тела по течению реки.
v против течения = vс−vр при движении тела против течения реки.
Замечание 1.
Разность скоростей по течению и против течения реки равна удвоенной скорости течения
v по течению − v против течения = 2Vр.
Замечание 2.
Формула нахождения собственной скорости тела.
v с = 0,5(2v по течению + v против течения)
Задача 5. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна
25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 часов, а в
исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из
него. Определить сколько километров теплоход прошел за весь рейс.
Решение. Заполним таблицу данными из условия задачи:
собственная скорость теплохода vс = 25км/ч,
скорость течения реки vр = 3 км/ч,
v по течению = vс + vр = 28 км/ч,
v против течения = v − vр = 22 км/ч.
Скорость v
Время t
Расстояние s
по течению
v по течению = 28
t по течению
=
х
28
x
против течения
v против течения
= 22
t против
течения
=
х
22
x
32
Зная, что стоянка длилась 5 часов, а на весь путь затрачено 30 часов, составим уравнение:
х
х
=
+ 5 = 30
28
22
Решая его, получим х = 308 км. Это путь туда и обратно. Следовательно, искомый путь вдвое короче, т.е. 616 километров.
Ответ. 616 км.
В задачах на движение протяжных тел требуется определить
длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины
поезда проезжающего мимо
 придорожного столба
 идущего параллельно путям пешехода
 лесополосы определенной длины
 другого двигающегося поезда
Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине.
Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.
Задача 6. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.
Решение. Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое он проезжает мимо столба t = 30 сек. = 21мин, можно
найти длину поезда как пройденное расстояние:
S = v · t = 1000 · 21 = 500 (м).
Ответ. 500 метров.
Задача 7. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту.
Найти длину поезда в метрах.
Решение. Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за
t = 1 мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние
S = v · t = 1500 · 1 = 1500 (м) плюс длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 2300 метра.
Ответ. 2300 метра.
Задача 8. № 99611. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда,
скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда,
если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
33
Решение. Относительная скорость поездов равна:
(90 – 30)
км
= 60
ч
км
ч
=
50
3
м
с
За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние равное сумме их длин
50
· 60 с = 1000 м.
3
Значит, длина пассажирского поезда: (1000 – 600) = 400 м.
О т в е т : 400.
Задачи на нахождение средней скорости движения
Если S – путь пройденный телом, а t – время за которое этот путь
пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле:
S
v =
t
Если путь состоит из нескольких участков, то для нахождения
средней скорости на всем пути, надо весь пройденный путь разделить
на сумму времени, затраченного на каждый участок пути. Например,
если путь состоит из трех участков S1, S2, S3,
скорости на которых были соответственно равны v1, v2, v3,
расстояния: S = S1 + S2 + S3.
Сумма времени:
S1
t = t1 + t2 + t3 =
v1
S2
+
+
v2
S3
v3
Тогда средняя скорость на всем пути находится по формуле:
v =
S1 + S2 + S3
t1 + t2 + t3
=
S1 + S2 + S3
t
Задача 9. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью
12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со
скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.
Решение: Пусть весь путь равен 3S, тогда время, потраченное на
весь путь:
t
= t1 + t2 + t3 =
S
12
+
S
16
+
и поэтому средняя скорость вычисляется так:
34
S
24
=
9S
48
3S
9S
48
v =
= 16 км/ч.
Ответ. 16.
2. Задачи на производительность
Задачи на выполнение определенного объема работы по своему
решению очень схожи с задачами на движение: объем работы выполняет роль расстояния, а производительность выполняет роль скорости. В
тех случаях, когда объем работы не задан, его принимают за единицу.
Большого разнообразия таких задач нет, во всех задачах идет речь о
выполнении определенного объема работы, без уточнения характера
самой работы.
При решении задач, связанных с выполнением определенного объема работ, используют следующие соотношения:
 A = V · t, где A – количество всей работы,
t – время выполнения всего количества работы,
V – производительность труда, т.е. количество работы, выполняемой в единицу времени.
 Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется
одним работником за t1, а вторым за t2 времени, то производительность
труда при их совместной работы равна
1
1
1
t1·t2
Vсовм =
+
и
tсовм =
=
t1
t2
Vсовм
t1+t2
 Задачи, связанные с выполнением определенной работы удобно
решать, если занести исходные данные в таблицу:
Производительность V
1 объект
2 объект
V
=
A
t
Время t
t
=
A
V
Работа A
A=V×t
После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие
искомую величину, исходя из условий задачи.
Задача 11. Работая вместе, двое рабочих выполнят работу за
12 дней. Первый рабочий за два дня выполняет такую же часть работы,
как второй за три дня. За какое количество дней эту работу выполнит
первый рабочий?
Решение. Примем за x – ту часть работы, которую выполняет первый рабочий, а за y – часть работы, которую выполняет второй рабочий
за 1 день. В условии задачи выделим два условия:
35
1) Первый рабочий за два дня выполняет такую же часть работы,
как второй за три дня.
2) Работая вместе, двое рабочих выполнят работу за 12 дней.
Из первого условия получим первое уравнение системы: 2х = 3у, а
из второго: 12(х + у)
2
Выразим из первого уравнения y и подставим во второе: у = х
3
2
2(х +
)х=1
3
1
Из полученного уравнения выразим x: х =
20
То есть, первый рабочий за один день выполняет одну двадцатую
часть работы. Очевидно, что на выполнение всей работы ему потребуется 20 дней.
Ответ. 20.
Задача 12. Две трубы наполняют бассейн за 4 часа, а одна первая
труба наполняет бассейн за 5 часов. Найдите время наполнения бассейна одной второй трубой.
Решение. Заполним таблицу
Производительность
Время
Работа
х+у
4
1
одна первая труба
х
1
одна вторая труба
у
5
1
у
две трубы
1
Производительность обеих труб обратно пропорциональна времени
совместной работы:
х+у=¼
Производительность первой трубы обратно пропорциональна времени ее самостоятельной работы:
х = 1/5
решая совместно оба эти уравнения, получаем:
1/5 + у = ¼
отсюда у = 1/20.
Значит, время наполнения бассейна одной второй трубой 20 часов.
Ответ. 20 часов.
36
3. Задачи на проценты, концентрацию, части и доли
В задачах на проценты необходимо показать умение находить
процентное содержание компонентов в сплавах, смесях, рассчитывать
сложные проценты, начисляемые несколько раз.
Сложные проценты.
Пусть некоторая величина А увеличивается в n раз и каждый раз на P%.
Тогда ее значение А1 после первого увеличения находится по формуле
P
P
 A(1 
)
100
100
P 2
A2  A(1 
)
100
А1  А  А 
……
An  A(1
P n
)
100
(1)
Пусть некоторая величина А увеличивается nраз последовательно
на P1 %, P2 %,... Pn % .
Тогда ее окончательное значение:
An  A(1 
P1
P
P
)(1  2 )...(1  n )
100
100
100
(2)
Это формулы сложных процентов.
Пусть Aн – начальное, а Ак – конечное значение некоторой величины.
Тогда процентный прирост р% этой величины находится по формуле
р% 
Ак  Ан
 100
Ан
(3)
Задача 12. Сбербанк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма вклада удвоится?
Решение. Пусть x – искомое число лет,
А – первоначальная сумма,
2А – удвоенная сумма,
Тогда по формуле (1) получаем:
3 x
2 A  A  (1 
) ;
100
2  1.03 x ;
log1.03 2  x ;
x  23 .
Ответ. Около 23 лет.
37
Задача 13. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число
процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов.
В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?
Решение. Пусть x – искомое число. Тогда по формуле (2) имеем:
х
х
21,6 = 51,2 · (1 +
)
(1 –
)
100
100
27
x 2 3
 (1  (
) ) ;
64
100
1 (
(
x 2 3
)  ;
100
4
x 2 1
)  ;
100
4
x = 50.
Ответ. 50%.
Задача 14. Вкладчик открыл в банке счет и положил на него
S0 = 150 000руб. сроком на 4 года по ставке 18% в год. Какой будет
сумма S4, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько
рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?
Решение. S0 = 150000 рублей, р = 18, n = 4.
18 4
По формуле (1) имеем: S 4  150 000  (1 
)  258 000 ;
100
За 4 года вклад увеличится на 108 000 рублей = 258 000 руб. –
150 000 руб.
Коэффициент наращивания равен:
S
( 4 )  1.72 , т.е. первоначальный вклад увеличится в 1,72 раза.
S0
Ответ. 1,72 раза.
Задача 15. Какую сумму положили в банк под 22% годовых, если
через 5 лет вклад достиг величины S5 = 94500 рублей?
Решение. По условию р = 22, n = 5, S5 = 94500
22 5
94500  S0  (1 
) ;
100
61
94500  S0  ( )5 ;
50
38
94500  50 5
;
615
S0  34965 рублей;
Ответ. Первоначальная сумма вклада была 34965 рублей.
Рассмотрим несколько задач из раздела «Сплавы, смеси».
S0 
Задача 16. Сплав меди и цинка весом 20кг содержит 30% меди. Добавили 22кг цинка. Сколько нужно добавить меди, чтобы в сплаве стало
60% цинка.
Решение. I способ:
30% 70%
20 кг = 6 кг + 14 кг
Cu
Zn
Добавили цинка (+22 кг):
42кг = 6 кг + 36 кг
Cu
Zn
100% = 40% + 60%
36кг составляет 60%.
36: 0,6 = 60кг – новый сплав.
60(кг) = 6(кг) + 36(кг) + x(кг)
Cu
Zn
х = 18 (кг).
II способ (табличный):
Очень удобно в задачах на сплавы, смеси, концентрации составлять
таблицу по условию задачи (жирным шрифтом), а затем заполнять пустые клетки, руководствуясь законом сохранения массы(объема) и формулами расчета «Процент от числа».
Для начала нужно определить количество объектов, которые участвуют в условии задачи (в нашем случае их 4), затем занести в таблицу
все, что говорится о каждом объекте.
По вопросу задачи вводится переменная. Пусть x кг – масса меди.
Объекты
I
масса (кг)
20
% меди
30
% цинка
Добавили
цинка
22
Добавили
меди
x
Получили
сплав
20 + 22 + x
100
100
масса меди (кг)
масса цинка (кг)
39
60
Теперь начинаем заполнение пустых клеток:
Добави- Добавили цинка ли меди
Объекты
I
Получили сплав
масса (кг)
20
22
x
20 + 22 + x = 42 + x
% меди
30
0
100
100 – 60 = 40
% цинка
100 – 30 = 70
100
0
60
масса меди (кг)
20·30
100
0
x
масса цинка (кг)
20·70
100
100
0
(42 + х) · 40
=
100
20·30
+0+х
100
Нам, в принципе, достаточно заполнения четырех строк, чтобы составить уравнение.
Обратим внимание на «выделенную» клетку – эта клетка является
ключом составления уравнения задачи, т.к. мы ее можем заполнить по
формуле «40% от числа 42 + x», а также по закону сохранения массы:
(20·30)/100 + 0 + x.
Следовательно, имеем уравнение:
40 (42 + х)
20·30
=
+0+х
100
100
4(42 + х) = 60 + 10х
6х = 108
х = 18
Ответ. 18.
Задача 17. Из 50т руды получают 20т металла, который содержит
12% примесей. Сколько процентов примесей содержит руда?
Решение. 1) Сколько примесей содержится в металле?
20·0,12 = 2,4(т)
2) 50т = 20т + 30т = (17,6 + 2,4) + 30 = 17,6 + (2,4 + 30)
металл
примеси
металл
примеси чистый
металл
составим пропорцию:
3) 50 т – 100%
32,4 т – x%
Составляем пропорцию:
50
100
=
32,4
х
примеси
Отсюда x = 64,8%
Табличный способ: По первому предложению составляем таблицу
40
Объект
I
II
Смесь
m (кг)
x
3
3+x
% серебра
p
100
90
mсеребра
(кг)
x·p
100
3·100
100
(3 + х) × 90
100
=
x·p
100
+
3·100
100
По второму предложению составляем таблицу
Объект
m (кг)
% серебра
mсеребра (кг)
I
II
Смесь
x
2
2+x
p
100
86
x·p
100
3·100
100
(2 + x)·86
x·p
=
100
2·100
+
100
100
В результате в «выделенных» клетках имеем уравнения для системы:
 xp  300  90 (3  x)
 270  90 x  172  86 x  100  4 x  2  x  0,5

 xp  200  86 (2  x)
Тогда 0,5 p  15  p  30
Ответ: 0,5 кг; 30% серебра.
Задача 18. Сплав меди и цинка весом 60 кг содержит 40% меди.
Сколько нужно добавить цинка, чтобы в сплаве его концентрация достигла 80%.
Решение.
Объект
m (кг)
% цинка
mцинка (кг)
I
II
Получили
60
x
60 + x
100 – 40 = 60 100
60·60
100
x
80
(60 + x)·80
=
100
Имеем: (60 + x)·0,8 = 36 + x
48 + 0,8x = 36 + x
41
60·60
+ х
100
x = 60 кг цинка нужно добавить.
Ответ. 60 килограммов.
Задача 19. К 15 литрам 10%-ого раствора соли добавили 5%-ный
раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%ного раствора добавили?
Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли.
(15 + х)л – столько стало нового раствора
(15 + х)· 0,08л – столько в нем содержится соли
В 15 литрах 10%-ного раствора содержится
15·0,1 = 1,5(л) соли
В х л 5%-ного раствора содержится 0,05 х л соли
х = 10. Добавили 10л 5%-ного раствора соли.
Табличный способ:
Объект
m (л)
% соли
mсоли (л)
I
II
Получили
15
х
15 + х
5
8
10
15·10
х· 5
100
100
(15 + х)·8
=
100
15·10
+
100
5х
100
Имеем:
8(15 + х) = 150 + 5х
3х = 30
х = 10
Ответ. 10 литров.
В некоторых случаях можно применить правило смешения растворов с заданными концентрациями (диагональную модель «конверта
Пирсона», или, что то же самое, правило креста).
Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Обозначим: 1). Массу первого раствора через m1, а второго – через m2, то при смешивании общая масса
смеси будет слагаться из суммы этих масс.
2). Пусть массовая доля растворенного вещества в первом растворе – ω1, во втором – ω2, а в их смеси – ω3.
3). Тогда общая масса растворенного вещества в смеси будет слагаться из масс растворенного вещества в исходных растворах:
m1· ω1 + m2· ω 2 = ω 3(m1 + m2).
Отсюда m1(ω1 – ω 3) = m2(ω 3 – ω 2),
42
m1
ω3 – ω2
=
m2
ω1 – ω 3
Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворенного вещества
в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в
первом растворе и в смеси.
При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще
всего применяют диагональную схему правила смешении. При расчетах
записывают одну над другой массовые доли растворенного вещества в
исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего
меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли
для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу.
Задача 20. Определите концентрацию раствора, полученного при
слиянии 150 г 30%-го и 250 г 10%-го растворов какой-либо соли.
Дано: m1 = 150 г, m2 = 250 г,
ω 1 = 30%, ω 2 = 10%.
Найти: ω 3.
Решение. 1-й способ (метод пропорций).
Общая масса раствора: m3 = m1 + m2 = 150 + 250 = 400 г.
Массу вещества в первом растворе находим методом пропорций, исходя из определения: процентная концентрация раствора показывает,
сколько граммов растворенного вещества находится в 100 г раствора:
100 г 30%-го р-ра – 30 г в-ва,
150 г 30%-го р-ра – х г в-ва,
150 · 30
х=
= 45 г.
100
Для второго раствора составляем аналогичную пропорцию:
100 г 10%-го р-ра – 10 г в-ва,
250 г 10%-го р-ра – y г в-ва,
250 · 10
у=
= 25 г.
100
Следовательно, 400 г нового раствора содержит 45 + 25 = 70 г растворенного вещества.
43
Теперь можно определить концентрацию нового раствора:
400 г р-ра – 70 г в-ва,
100 г р-ра – z г в-ва,
100 · 70
z=
= 17,5 г.
400
2-й способ (алгебраический).
m1· ω 1 + m2· ω 2 = ω 3(m1 + m2).
m1· ω 1 + m2· ω 2
Отсюда ω 3 =
m1 + m2
В результате находим: ω 3 =
150·30 +
250·10
150 + 250
= 17,5%.
3-й способ (правило креста).
ω3 =
ω 3 – 10
30 – ω 3
=
150
250
Тогда (30 – ω 3)·150 = (ω 3 – 10)·250,
4500 – 150 ω 3 = 250 ω 3 – 2500,
4500 – 2500 = 250 ω 3 – 150 ω 3,
7000 = 400 ω3,
7000 = 17,5%.
ω3 =
400
Ответ. 17,5%.
Теперь решим задачи посложнее.
Задача 21. Определите, сколько нужно взять 10%-го раствора соли
и 30%-го раствора этой же соли для приготовления 500 г 20%-го раствора.
Дано: ω 1 = 10%, ω 2 = 30%, ω 3 = 20%,
m3 = 500 г.
Найти: m1, m2.
Решение. Используем правило креста.
44
Для приготовления 500 г 20%-го раствора соли нужно взять по
10 частей растворов исходных концентраций.
Проверим правильность нашего решения, учитывая, что 1 часть
равна 500/(10 + 10) = 25 г.
250 г 10%-го р-ра – х г соли,
100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,
250·10
х=
= 25 г.
100
250 г 30%-го р-ра – y г соли,
100 г 30%-го р-ра – 30 г соли,
250·30
y=
= 75 г.
100
m(р-ра) = 250 + 250 = 500 г.
m(соли) = 25 + 75 = 100 г.
Отсюда находим ω 3: 500 г р-ра – 100 г соли,
100 г р-ра – ω 3 г соли,
100·100
ω3 =
= 20г, или 20%
500
Ответ. m1 = 250 г, m2 = 250 г.
Задача 22. Определите, сколько нужно взять растворов соли 60%-й и
10%-й концентраций для приготовления 300 г раствора 25%-й концентрации.
Дано: ω 1 = 60%, ω 2 = 10%, ω 3 = 25%, ω 3 = 300 г.
Найти: m1, m2.
Решение.
Масса одной части: х =
300
= 6 г.
50
45
Тогда m1 = 6·15 = 90 г, m2 = 6·35 = 210 г.
Проверим правильность решения.
100 г 60%-го р-ра – 60 г соли,
90 г 60%-го р-ра – х г соли,
х = 54 г.
100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,
210 г 30%-го р-ра – y г соли,
y = 21 г.
m(соли) = 54 + 21 = 75 г.
Находим концентрацию нового раствора:
300 г р-ра – 75 г соли,
100 г р-ра – z г соли,
100 · 75
z=
= 25 г. или 25%
50
Ответ. m1 = 90 г, m2 = 210 г.
Задача 23
В лаборатории есть раствор соли 4-х различных концентраций. Если смешать I, II, III растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится
15%-ный раствор. II, III, IV растворы в равной пропорции дают при
смешивании 24%-ный раствор, и, наконец, раствор составленный из
равных частей I и III растворов, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении II и IV растворов в пропорции 2:1?
Решение.
1) Пусть в 1 кг I р-ра – х кг соли
II р-ра – y кг соли
III р-ра – z кг соли
IV р-ра – t кг соли
2) В условии говорится, что если мы смешаем 3кг I раствора, 2кг II
раствора и 1кг III раствора, то в получившихся 6кг р-ра будет 6·0,15 =
0,9кг соли.
Но в 3-х кг I р-ра имеется (3х)кг соли, в 2кг II р-ра ее (2y)кг и в одном кг III р-ра – z кг.
Отсюда получается первое уравнение 3x + 2y + z = 0,9
3) Рассуждая аналогично, получим, что
y + z + t = 0,72
x + z = 0,2
3x  2 y  Z  0.9

Т.е. получим систему:  y  Z  t  0.72
 x  Z  0.2

Из этой системы нам нужно вычленить 2y + t.
46
1
3
(3x  2 y  Z )  ( y  Z  t )  ( x  Z ) 
2
2
 0,5  0,9  0,72  1,5  0,2  0,87 .
Значит, если смешать 2 кг второго раствора и 1кг четвертого, то в
получившихся 3 кг смеси будет 0,87 кг соли, что составляет 29%, что и
требовалось найти.
3 кг – 100%
0,87 кг – x%
3
100
=
0,87
х
x = 29%.
Ответ. 29%
Задача 24
Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70% серебра. Второй весит 3 кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава надо
сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить r %-ный сплав серебра? При каких r задача имеет решение?
2y  t 
Решение.
В первом сплаве – 2,8 кг серебра. Пусть надо взять x (кг) второго
сплава, чтобы сплавив его со всем первым сплавом, получить такой
сплав, как требуется. Весь сплав будет весить (x+ 4) кг. Серебра в нем
будет (2,8 + 0,9x) кг.
2,8  0,9 x
r
По условию

x4
100
(x + 4) кг – 100%
4r  280
2,8 + 0,9x – r%, откуда x 
. Задача имеет решение тогда и
90  r
только тогда, когда 0  x  3 (только в таких пределах можно что-либо
4r  280
взять из куска весом в 3кг), т.е. 0 
 3 , откуда 70  r  80 .
90  r
4r  280
Ответ. x 
, задача имеет решение при 70  r  80 .
90  r
В задачах на прогрессии необходимо грамотно использовать формулы n-го члена арифметической прогрессии, а также суммы n первых
членов прогрессии.
Задача 25
Турист идет из одного города в другой, каждый день, проходя
больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно,
что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько
47
километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за
6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.
Решение.
В первый день турист a1 = 10км, во второй – а2, …, в последний а6
км. Всего он прошел Sn = 120 км. Каждый день турист проходил больше,
чем в предыдущий, на d км,
= 2 a1 + d(n – 1) × n
2
n = 6 дней. Таким образом,
2·10 + 3d
S6 =
×6
2
120 = (20 + 3d) ·3
d=4
а3 = а1 + 2 d
а3 = 10 + 2·4 = 18 (км)
Ответ. 18
Sn
Задача 26
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день.
Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей
сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на
весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
Решение.
Пусть улитка проползла в первый день a1 метров, во второй – а2,
…, в последний – аn м.. Тогда a1 + а2 = 10 м, а за n дней проползла:
a1 + а2
Sn =
· n = 5n метров
2
Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: 5n = 150
n = 30
Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.
Ответ. 30
48
Задачи для самостоятельного решения
Задание В1
Задача 1.
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза
в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по
0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
Задача 2.
Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется
12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по
10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?
Задача 3.
Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество
процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей.
Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?
Задача 4.
Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую
скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)
Задача 5.
Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при
покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит
держатель дисконтной карты за эту книгу?
Задача 6.
Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет
тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у
него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?
Задача 7.
При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия
5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую
минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?
49
Задача 8.
Среди 40000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди
футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги
чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч?
Задача 9.
В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
Задача 10.
В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже
находится по 6 квартир. Петя живет в квартире № 50. На каком этаже
живет Петя?
Задача 11.
В доме, в котором живет Маша, 9 этажей и несколько подъездов.
На каждом этаже находится по 4 квартиры. Маша живет в квартире
№130. В каком подъезде живет Маша?
Задача 12.
27 выпускников школы собираются учиться в технических вузах.
Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?
Задача 13.
В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие
обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за
1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до
целого числа.
Задача 14.
Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает
в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд
находится в пути?
Задача 15.
В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых жителей 45 % не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
Задача 16.
Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина –
20 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров.
Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?
50
Задача 17.
Клиент взял в банке кредит 1200 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
Задание В2
Задача 1.
На рисунке изображен график осадков в г.Калининграде с 4 по
10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат –
осадки в мм.
Определите по графику, сколько дней из данного периода осадков
выпало между 2 и 8 мм.
Задача 2.
На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются
дни месяца, по вертикали – количество посетителей сайта за данный
день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей
сайта РИА Новости было наименьшим за указанный период.
51
Задание В4
Задача 1.
В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается
поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ
будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?
Подача машины
Продолжительность и стоимость
(минимальной
поездки*)
Стоимость 1 минуты
сверх продолжительности минимальной
поездки
А
350
Нет
13
Б
Бесплатно
20 мин. – 300 руб.
19
В
180
10 мин – 150 руб.
15
Фирма
такси
*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки
Задача 2.
В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 1000 рублей на срок 1
год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе
укажите сумму этого вклада в рублях.
Банк
Обслуживание счета*
Процентная ставка (% годовых)**
Банк А
40 руб. в год
2
Банк Б
8 руб. в месяц
3,5
Банк В
Бесплатно
1,5
* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату
за ведение счета
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.
Задача 3.
При строительстве сельского дома можно использовать один из
двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 9 мешков цемента. Для
бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента.
Тонна камня стоит 1600 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а
мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?
52
Задача 4.
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила
предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своем регионе, либо скидку 5% на
звонки в другие регионы, либо 15% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 300 рублей на звонки абонентам других компаний в
своем регионе, 200 рублей на звонки в другие регионы и 400 рублей на
мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце
затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Какую скидку выбрал клиент? В ответ запишите,
сколько рублей составит эта скидка.
Задача 5.
Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов шерсти
синего цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 60 рублей за 50 г, а
можно купить неокрашенную пряжу по цене 50 рублей за 50 г и окрасить ее. Один пакетик краски стоит 10 рублей и рассчитан на окраску
200 г пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите,
сколько рублей будет стоить эта покупка.
Задача 6.
Для строительства гаража можно использовать один из двух типов
фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента
из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 4 мешка цемента.
Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков
цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2450 рублей, щебень стоит
620 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?
Задача 7.
Строительной фирме нужно приобрести 75 кубометров пенобетона
у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в
таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?
Поставщик
Стоимость пенобетона
(руб. за за 1 м²)
Стоимость
доставки
A
2650
4500 руб.
Б
2700
5500 руб.
При заказе на сумму больше
150000 руб. доставка бесплатно
В
2680
3500 руб.
При заказе более 80 1м³ доставка бесплатно
53
Дополнительные условия
Задача 8.
Из пункта А в пункт D ведут три
дороги. Через пункт В едет грузовик
со средней скоростью 35 км/ч, через
пункт С едет автобус со средней скоростью 30 км/ч. Третья дорога – без
промежуточных пунктов, и по ней
движется легковой автомобиль со
средней скоростью 40 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние
между пунктами по дорогам. Все
три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в
дороге.
Задание В12
Задача 1.
Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 500 руб.
за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб., постоянные расходы предприятия
f = 700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия
(в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q(p – v) – f. Определите
наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при
котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше
300000 руб.
Задача 2.
Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой
q = 100 – 10 p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q × p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Задача 3.
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик
измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t², где h – расстояние в метрах,
t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя,
чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
54
Задача 4.
Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону
h (t) = 1,6 + 8t – 5t², где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?
Задача 5.
Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону
v(t) = 5sin π t (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из
первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Задача 6.
Трактор тащит сани с силой F = 80кН, направленной под острым
углом α к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S = 50м вычисляется по формуле А = FScos α. При каком максимальном угле α (в градусах) совершeнная работа будет не менее
2000 кДж?
Задача 7.
При нормальном падении света с длиной волны λ = 400нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол φ (отсчитываемый от перпендикуляра к
решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k
связаны соотношением dsin φ = k λ. Под каким минимальным углом φ
(в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом,
не превосходящим 1600 нм?
Задача 8.
Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv²sin ² α. Под каким наименьшим острым углом α
(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Задача 9.
Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч²,
вычисляется по формуле v² = 2la. Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое
им ускорение не меньше 5000 км/ч². Ответ выразите в км/ч.
55
Задание В13
Задача 1.
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша – за
20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Задача 2.
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая.
Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут
наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Задача 3.
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на
8 вопросов текста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отвечать на
вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут.
Сколько вопросов содержит тест?
Задача 4.
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Задача 5.
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Задача 6.
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй – за 30 минут, а
третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая
одновременно?
Задача 7.
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот
же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов
мальчики покрасят забор, работая втроем?
Задача 8.
Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие
180 км – со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км – со скоростью 100 км/ч.
Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
56
Задача 9.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо
придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Задача 10.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо
лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите
длину поезда в метрах.
Задача 11.
По морю параллельными курсами в одном направлении следуют
два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй – длиной 80 метров.
Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент
времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз
отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до
носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость
первого сухогруза меньше скорости второго?
Задача 12.
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны
соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
Задача 13.
Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К
этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной
воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задача 14.
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью
20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480
км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего
пути. Ответ дайте в км/ч.
Задача 15.
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью
15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в
том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после
этого – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала
он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого.
Ответ дайте в км/ч.
57
Задача 16.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость
первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он
опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Задача 17.
Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько
минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Задача 18.
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч,
проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный
пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из
него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Задача 19.
Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда.
Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?
Задача 20.
Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше,
чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем
скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ в км/ч.
Задача 21.
Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью
90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул
обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
Задача 22.
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько
долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к
концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
58
Задача 23.
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя
больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно,
что за первый день турист прошел 8 километров. Определите, сколько
километров прошел турист за четвертый день, если весь путь он прошел
за 10 дней, а расстояние между городами составляет 215 километров.
Задача 24.
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день.
Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей
сложности 11 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на
весь путь, если расстояние между деревьями равно 33 метрам.
Задача 25.
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000
рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по
сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за
2003 год?
Задача 26.
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив
10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы
вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты,
то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30процентного раствора использовали для получения смеси?
Задача 27.
Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то
получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные
массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Задача 28.
Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов
винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?
Задача 29.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй —
30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200
кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого
сплава меньше массы второго?
Задача 30.
Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять
рубашек дороже куртки?
59
Раздел ІІ. ЗАДАНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ,
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
Задание В5
В задании B5 ученик должен продемонстрировать умение решать
рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и
логарифмические уравнения.
Типичные ошибки ЕГЭ:
Неграмотное использование определение логарифма при решении
простейших логарифмических уравнений. Выпускники часто забывают,
что логарифм – это степень, в которую возводят основание, чтобы получить подлогарифмическое выражение, а не наоборот (возводят значение логарифма в степень, равную основанию логарифма);
Неграмотное использование свойства отрицательной степени при
решении простейших показательных уравнений. Выпускники не умеют
приводить левую и праву части показательного уравнения к одинаковому виду;
Неверное использование правил действий с дробями при решении
дробно-рациональных уравнений;
Неверный выбор верного решения из полученных корней квадратного уравнения;
Не учитывают ОДЗ при решении иррационального уравнения.
Рекомендации:
Еще раз повторите правила действий с дробями, решения пропорций.
Повторите определение логарифма.
Прочитывайте формулировку задания до конца. Четко понимайте,
что вам нужно найти.
Разберите предложенные ниже решения типовых задач;
Прорешайте задачи, помещенные в конце раздела.
1. Линейные, квадратные, кубические уравнения
Задача 1. № 26663. Найдите корень уравнения:
-
2
9
х=1
1
9
60
Решение.
2
1
х =1
9
9
-
2
х=
10
9
9
-2х = 10
х = -5
Ответ. -5.
Задача 2. № 77368. Решите уравнение (2х + 7)² = (2х – 1)².
Решение.
(2х + 7)² = (2х – 1)²
4х² + 28х + 49 = 4х² – 4х + 1
32х = -48
х = -1,5
Ответ. -1,5.
Задача 3. № 282849. Найдите корень уравнения (х – 1)³ = -8
Решение.
Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем:
х – 1 = -2
откуда х = -1
Ответ. -1.
2. Рациональные уравнения
Задача 4. №26665. Найдите корень уравнения:
6х – 15
х=
х–2
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Решение.
Область допустимых значений: х – 2 ≠ 0. т.е. х ≠ 2
На ОДЗ домножим на знаменатель:
6х – 15
х=
х–2
х(х – 2) = 6х – 15
х² – 8х + 15 = 0
8+2
х=
=5
2
61
х=
8–2
=3
2
Оба корня лежат в ОДЗ. Больший из них равен 5.
О т в е т : 5.
3. Иррациональные уравнения
Задача 4. №26660. Найдите корень уравнения
6
1

4 х  54 7
Решение.
6
1

4 х  54 7
Возведем в квадрат левую и правую части уравнения:
6
1
=
4х – 54
49
294 = 4х – 54
4х = 348
х = 87
Ответ. 87.
Задача 5. № 26668. Найдите корень уравнения
6  5х  х
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из
них.
Решение. По определению арифметическим квадратным корнем из
числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Значит, в данном случае х ≥ 0.
Возведем в квадрат левую и правую части уравнения:
6 + 5х = х²
х1 = -1
х2 = 6
Единственным корнем является х = 6.
Ответ. 6.
Задача 6. № 27466. Найдите корень уравнения:
3
х4 3
Решение. Возведем обе части уравнения в третью степень:
х – 4 = 27,
отсюда х = 31.
Ответ. 31.
62
4. Показательные уравнения
Задача 7. Найти корень уравнения 3х – 2 = 27.
Решение.
Схема решения этого и подобных ему уравнений проста.
1) Привести левую и правую части уравнения к одному основанию.
2) Решить уравнение, приравняв показатели левой и правой частей
уравнения.
В данном случае замечаем, что 27 = 33.
Сделаем в исходном уравнении замену: 3х – 2 = 33
x–2=3
x = 5.
Ответ. 5
Задача 8. № 26650. Найдите корень уравнения 24 – 2х = 64.
Решение.
24 – 2х = 64
24 – 2х = 26
4 – 2х = 6
х = -1
Ответ. -1.
Задача 9. № 26655. Найдите корень уравнения:
1
 
9
х13
3
Решение. Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 3:
3 = 31
1
1
= 2 = 3-2
9
3
Теперь исходное уравнение имеет вид: (3-2)х — 13 = 31
3-2х + 26 = 31
Основания обеих частей уравнения одинаковые, значит, показатели
степеней равны:
-2х + 26 = 1
х = 12,5
Ответ. 12,5.
Задача 10. № 77379. Решите уравнение 23 + х = 0,4 · 5 3 + х
Решение. Разделим левую и правую части уравнения на 5 3 + х:
2 3+х
5 3+х
= 0,4
63
3 х
1
 2
 2
   
 5
 5
Отсюда 3х = 1
х = -2
Ответ. -2.
5. Логарифмические уравнения
Задача 11.
Найдите корень уравнения: log2 (15 + x) = log2 3
Решение.
По определению логарифма: 15 + x = 3
x = – 12
Ответ: x = – 12.
Задача 12. № 26648. Найдите корень уравнения log5(5 – х) = log53.
Решение.
Логарифмы в левой и правой частях уравнения имеют одинаковые
основания, значит, подлогарифмические выражения:
log5(5 – х) = log53
5–х=3
х=2
Ответ. 2
Задача 13. № 77381. Решите уравнение log5(7 – х) = log5(3 – х) + 1
Решение. log5(7 – х) = log5(3 – х) + 1
log5(7 – х) = log5(3 – х) + log55
log5(7 – х) = log5(3 – х)·5
log5(7 – х) = log5(15 –5 х)
7 – х = 15 – 5х при 3 – х = 0
х = 2 при х = 3
Ответ. 2.
Задача 14. № 77382. Решите уравнение logх–5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:
logх – 5 49 = 2
(х – 5)2 = 49 при х – 5 = 0, х – 5 ≠ 1
х – 5 = ± 7 при х = 5, х ≠ 6
х–5=7
х = 12
Итак, на уравнение имеет только один корень.
Ответ. 12.
64
6. Тригонометрические уравнения
Задача 14. № 26669. Найдите корень уравнения:
ответе запишите наибольший отрицательный корень.
В
Решение.
Решим уравнение:
где
– целое число.
Значениям
соответствуют положительные корни.
Если
, то
и
.
Если
, то
и
.
Значениям
соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число
.
О т в е т : −4.
Задача 15. № 77376. Решите уравнение
шите наибольший отрицательный корень.
. В ответе напи-
Решение.
О т в е т : −1.
Задача 16. № 77377. Решите уравнение
напишите наименьший положительный корень.
Решение.
Решим уравнение:
Наименьшим положительным решением является 0,5.
О т в е т : 0,5.
65
. В ответе
Задание В7
В задании В7 проверяется умение выпускника выполнять преобразования числовых и буквенных выражений: рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических. Поэтому необходимо повторить:
– формулы сокращенного умножения;
– действия с натуральными, целыми, рациональными степенями;
– действия с дробями;
– действия с корнями;
– свойства логарифмов.
1. Преобразования числовых рациональных выражений
Задача 1. № 26900. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 80,625.
Задача 2. № 77389. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 5.
Задача 3. № 77390. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : -136.
Задача 4. № 77392. Найдите значение выражения
Решение.
Умножим числитель и знаменатель на 10 000:
.
О т в е т : 10.
66
.
2. Преобразования алгебраических выражений и дробей
Задача 5. № 26807. Найдите
Решение.
, если
,
.
=
.
О т в е т : 2.
Задача
6.
№
26808.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 2.
Задача 7. № 26819. Найдите значение выражения
,а
.
, если
Решение.
О т в е т : 6.
Задача
8. № 26822.
.
Найдите
,
если
Решение.
Подставляя аргументы в формулу, задающую функцию, получаем:
.
О т в е т : 14.
Задача 9. № 26823. Найдите
, если
.
Решение.
=
.
О т в е т : -17.
Задача
10
№
26898.
Найдите
при
.
67
значение
выражения
Решение.
.
О т в е т : 333.
Задача
11.
№
77386.
Найдите
при
значение
выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 346.
3. Преобразования числовых иррациональных выражений
Задача 11. № 26735. Найдите значение выражения
.
Решение.
О т в е т : 33.
Задача 12. № 26743. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 7.
Задача
13.
№
26744.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 2.
68
Задача 14. № 26750. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 2.
Задача 15. № 77405. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 7.
4. Преобразования буквенных иррациональных выражений
Задача
16.
№
при
26824.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 5.
при
Задача 17. № 26829. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
;
при
.
О т в е т : 2.
при
Задача 18. № 26829. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
;
при
.
О т в е т : 2.
69
Задача
19.
№
26830.
при
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
Воспользуемся тождеством
отрезке [6; 10]:
и раскроем модули на
.
О т в е т : 4.
Задача 20. № 26833. Найдите значение выражения
при
.
Решение.
=
.
О т в е т : 9.
Задача
21.
№
при
Найдите
26838.
значение
выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 4.
Задача 22. № 26839. Найдите
.
, если
при
Решение.
Покажем, что числитель дроби равен знаменателю:
Таким образом,
.
О т в е т : 1.
Задача
23.
№
.
26840.
Найдите
70
,
если
Решение.
.
О т в е т : 0.
Задача
25.
№
при
77388.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
О т в е т : 12.
5. Преобразования числовых степенных выражений
Задача 26. № 26738. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 5.
Задача 27. № 26741. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 1,5.
Задача 28. № 26742. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 1,4.
Задача 29. № 26747. Найдите значение выражения
Решение.
.
О т в е т : 2.
71
.
Задача 30. № 26882. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 250.
Задача 31. № 26897. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 121.
Задача 32. № 26899. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 243.
Задача
33.
№
77406.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 5.
Задача 34. № 77407. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 4.
Задача 35. № 77408. Найдите значение выражения
Решение.
.
О т в е т : 2.
72
.
6. Преобразования буквенных степенных и показательных
выражений
Задача
36.
№
26798.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
Используем свойства степеней:
=
.
О т в е т : 2.
Задача
37.
№
26813.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 5.
Задача 38. № 26827. Найдите значение выражения
при
.
Решение.
=
.
О т в е т : 3,5.
Задача 39. № 26831. Найдите значение выражения
.
при
Решение.
=
.
О т в е т : 6.
Задача 40. № 26834. Найдите значение выражения
73
при
.
Решение.
=
.
О т в е т : 32.
Задача 41. № 77396. Найдите значение выражения
.
при
Решение.
.
О т в е т : 15.
Задача 42. № 77401. Найдите значение выражения
.
, если
Решение.
.
О т в е т : 64.
7. Преобразования числовых логарифмических выражений
Задача 43. № 26843. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 8.
Задача
44.
№
.
26855.
Найдите
значение
выражения
Решение.
О т в е т : 1.
Задача 45. № 26856. Найдите значение выражения
Решение.
=
.
О т в е т : 2.
74
.
Задача 46. № 26857. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 6.
Задача 47. № 26858. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 1.
Задача 48. № 26859. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 0.
Задача 49. № 26862. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 16.
Задача 50. № 26885. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 3.
Задача 51. № 26889. Найдите значение выражения
.
Решение.
=
.
О т в е т : 0,5.
Задача 52. № 26893. Найдите значение выражения
75
.
Решение.
=
.
О т в е т : -0,5.
8. Преобразования буквенных логарифмических выражений
Задача 53. № 77415. Найдите значение выражения
, если
.
Решение.
.
О т в е т : 22.
Задача 54. № 77416. Найдите
, если
.
Решение.
.
О т в е т : -14.
Задача 55. № 77417. Найдите
, если
.
Решение.
.
О т в е т : -4.
9. Вычисление значений тригонометрических выражений
Задача 56. № 26775. Найдите
, если
и
.
Решение.
Поскольку угол альфа лежит в третьей четверти, его тангенс отрицателен. Поэтому
.
О т в е т : -3.
Задача 56. № 26776. Найдите
, если
76
и
Решение.
Т.к.
, то
. Поэтому
.
Тогда
.
О т в е т : 5.
Задача
56.
№
26777.
Найдите
,
если
и
.
Решение.
Поскольку угол лежит в четвертой четверти,
;
, =>
.
О т в е т : 1.
Задача 56. № 26779. Найдите
, если
.
Решение.
Используем формулу косинуса двойного угла
Имеем:
.
.
О т в е т : 22,08.
Задача 56. № 26780. Найдите
, если
.
Решение.
Выполним преобразования:
7
=
О т в е т : 4.
Задача
58.
.
№
26783.
, если
.
Найдите
значение
выражения
Решение.
Выполним преобразования:
.
О т в е т : -28.
77
Задача 59. № 26784. Найдите
, если
и
.
Решение.
Выполним преобразования:
;
Поскольку угол
лежит в второй четверти,
.
О т в е т : 0,6.
Задача 60. № 26785. Найдите
, если
и
.
Решение.
Поскольку угол лежит в четвертой четверти,
;
.
О т в е т : -10.
Задача 61. № 26786. Найдите
, если
Решение.
Пользуемся периодичностью тангенса и используем формулу приведения:
О т в е т : -2,5.
Задача 62. № 26787. Найдите
Решение.
Выполним преобразования:
, если
,
.
.
О т в е т : 7.
78
Задача 63. № 26788. Найдите
, если
Решение.
Способ 1:
.
. Тогда:
.
Способ 2: поделим числитель и знаменатель дроби на
. Тогда:
.
О т в е т : -9.
Задача 64. № 26789. Найдите
, если
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на
:
.
.
О т в е т : 5.
Задача 65. № 26790. Найдите
Решение.
Сократим дробь на
, если
.
:
.
.
О т в е т : 8.
Задача 66. № 26791. Найдите
, если
.
Решение.
Используем свойство пропорции:
.
О т в е т : 2,25.
Задача
67.
№
26793.
Найдите
, если
79
значение
.
выражения
Решение.
В силу нечетности и периодичности синуса
.
Далее по формулам приведения имеем:
.
О т в е т : 4.
Задача 68. № 26794. Найдите
, если
.
Решение.
Выполним преобразования:
.
О т в е т : -7.
10. Преобразования числовых тригонометрических выражений
Задача 69. № 26760. Найдите значение выражения
.
Решение.
Выполним преобразования:
О т в е т : -16.
Задача 70. № 26763. Найдите значение выражения
.
Решение.
Выполним преобразования:
.
О т в е т : 18.
Задача
71.
№
26764.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
Выполним преобразования:
.
О т в е т : -12.
80
Задача 72. № 26769. Найдите значение выражения
.
Решение.
Воспользуемся периодичностью синуса:
.
О т в е т : 14.
Задача 73. № 26771. Найдите значение выражения
.
Решение.
Выполним преобразования:
.
О т в е т : 7.
Задача 74. № 26774. Найдите значение выражения
.
Решение.
Выполним преобразования:
.
О т в е т : 12.
Задача 75. № 77413. Найдите значение выражения
.
Решение.
.
О т в е т : 10.
Задача
76.
№
77414.
Найдите
значение
выражения:
.
Решение.
.
О т в е т : -3.
Задача 77. № 245169. Найдите значение выражения
81
.
Решение.
Используем формулу синуса двойного угла и формулу приведения:
О т в е т : 2.
Задача
78.
№
245170.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
Используем формулу косинуса двойного угла и формулу приведения:
О т в е т : -1,5.
Задача 79. № 245172. Найдите значение выражения
.
Решение.
Используем формулу косинуса двойного угла и формулу приведения:
О т в е т : -1,5.
11. Преобразования буквенных тригонометрических выражений
Задача
80.
№
26781.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
В силу периодичности косинуса
ем формулы приведения:
использу-
.
О т в е т : 2.
82
Задача
81.
№
26782.
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
Выполним преобразования:
.
О т в е т : 1.
Задание С3
В задании С3 предлагается логарифмическое или иррациональное
неравенство, имеющее повышенный уровень сложности.
Критерии оценивания заданий с развернутым ответом.
Содержание критерия
Баллы
Обосновано получен верный ответ
3
Обосновано получен ответ, отличающийся от верного конечным
количеством значений переменной, при которых определена
левая часть исходного неравенства
2
Решение содержит верный переход от исходного неравенства к
рациональным неравенствам или верно найдены все значения
переменной, при которых определена левая часть исходного
неравенства
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3
В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств
и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств
f(x) > g(x),
g(x) > 0.
83
Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x)
равносильно системе неравенств
f(x) < g(x),
f(x) > 0.
Утверждение 3. Неравенство logh(x)f(x) > logh(x)g(x) равносильно совокупности систем неравенств
h(x) > 1,
f(x) > g(x) > 0,
0 < h(x) < 1,
0 < f(x) < g(x).
Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака >
может фигурировать любой из знаков ≥, <, ≤. В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
Задача 1. Решить неравенство log3(x2 – x) ≥ log3(x + 8);
Решение.
Используя утверждение 1, получим
x2 – x ≥ x + 8,
log3(x2 – x) ≥ log3(x + 8) 
x+8 > 0,

x2 – 2x – 8 ≥ 0,
x > -8,

x ≤ -2,

x ≥ 4,
 x  (-8;-2][4;+).
x > -8,
Ответ. x  (-8;-2][4;+).
Задача 2. Решить неравенство:
Решение.
Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому,
используя утверждение 2, получим:
84
Ответ. x  (2; 3)(4; 5).
Задача 3. Решить неравенство:
Решение.
Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим
Запишем
и, используя утверждение 2, получим
Ответ. x  (1; 2)
Задача 4. Решить неравенство:
Решение.
Используя утверждение 3, получим

x  (3;4),

x  ,
 x  (3;4).
Решение первой системы совокупности:
85
Решение второй системы совокупности:
Ответ. Решений нет.
Неравенства вида F(logax) > 0 сводятся подстановкой t = logax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.
Задача 5. Решить неравенства:
Решение.
a) Обозначив
, получим квадратное неравенство t2 + t – 2 ≥
0, откуда t ≤ -2 или t ≥ 1. Таким образом,
b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство
.
Используя метод интервалов, получим
Следовательно,
lgx < -1,
0 < x < 1/10,
2 < lgx < 3,  100 < x < 1000,  x  (0;1/10)(100;1000)(105;+).
lgx > 5,
x > 105,
В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью
86
равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.
Задача 6. Решить неравенства
Решение.
a) ОДЗ неравенства – множество (5; +). Используя свойство суммы логарифмов, получим неравенство
lg(x – 2)(x – 5) < lg4.
Используя утверждение 1, получим
(x – 2)(x – 5) < 4,
(x – 2)(x – 5) > 0.
Решаем систему
x2 – 7x + 6 < 0,
x < 2,
x > 5,

1 < x < 6,
x < 2,
 x  (1;2)(5;6)
x > 5,
и, учитывая ОДЗ, получим x  (5;6).
e) Определим ОДЗ неравенства
Приведя все логарифмы к основанию 3, получим
Используя свойство суммы логарифмов, получим
87
Обозначив log3x = t, решим полученное неравенство методом интервалов
Следовательно,
откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:
Ответ.
c) Определим ОДЗ неравенства
Поскольку
неравенство равносильно следующему:
откуда следует
Обозначив
t ≥ 0, получим квадратное неравенство
(t – 1)2 > t + 11,
t2 – 3t – 10 > 0,
откуда t < -2 или t > 5.
Поскольку t ≥ 0, остается t > 5 или
 x > 5.
Учитывая ОДЗ, получим x  (5;+).
Ответ. x  (5;+).
ОДЗ неравенства есть множество (1;2)(2;+).
Используя обобщенный метод интервалов, получим
88
,
Так как в ОДЗ log2(x-1) > 0 при x > 2 и log2(x-1) < 0 при 1 < x < 2,
следует, что
для любого x из ОДЗ,
при x  (1;2)(2;3) и
при x > 3,
значит,
получим x  (1;2)(3;+).
Ответ. x  (1;2)(3;+).
Задача 7. Решите неравенство:
Решение.
ОДЗ:
Найдем, при каких x выражение обращается в 0.
Ответ: x = -1/3
Стандартный метод решения иррациональных неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в
неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень
третьей степени − в куб и т.д. Однако возводить в квадрат, не нарушая
равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых
имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные
исходному, так и неравносильные ему.
Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство,
89
(-1)² < 3²
1< 9 − тоже верное неравенство.
Несмотря на то, что – 4 < –1 − неравенство верное, неравенство
(-4)² < (-1)²
16 < 1 уже верным не является.
Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.
I. Неравенства вида √f (x) < g (x)
Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются
решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:
Задача 8.
Решите неравенство
Решение.
Сразу перейдём к равносильной системе
Ответ. x  (-2; 0)(6;+).
II. Неравенства вида
f ( x)  g ( x)
ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g
(x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая
часть определена (x ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая
часть g (x) < 0.
Для других x из ОДЗ g(x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: f (x) > g² (x) Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:
90
Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0.
Оно и не нужно, так как выполняется автоматически: f (x) > g² (x) ≥ 0,
ибо полный квадрат всегда неотрицателен.
Задача 9. Решите неравенство
Решение.
ОДЗ неравенства: x ≥ –3.
Если х + 1 < 0, то х < -1; все эти х  ОДЗ.
Таким образом, х  [-3; -1) − первая часть ответа.
Если х + 1 ≥ 0, то х ≥ -1то обе части неравенства неотрицательны, и
его можно возвести в квадрат. Имеем:
Получаем, что решениями являются все х  [-1; 1).
Объединяя результаты, получаем:
Ответ. х  [-3; 1)
III. Неравенства вида
ОДЗ данного неравенства:
Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему:
Заметим, что из неравенства f (x) ≥ g (x) ≥ 0 следует, что g (x) ≥ 0 то
есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему
не нужно.
Отметим полезное следствие.
Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему:
а та система, которой это неравенство равносильно,
91
может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде f (x) — g (x) ≤ 0. Следовательно, в ОДЗ
Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥.
Отсюда можно сделать полезное заключение:
Знак
разности
совпадает
со
знаком
выражения
.
Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:
в ОДЗ:
Задача 10. Решите неравенство
Решение.
ОДЗ данного неравенства:
Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует √2х и значит,
Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и
потому существуют выписанные в последней строчке корни.
Кроме того, мы вынесли за скобку
который по вышесказанному существует.
Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может
ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль,
являются решениями неравенства.
Таким образом, в ответ необходимо включить число x=5.
При x = 6 корень
( х  5)( х  6) обращается в ноль, но x = 6 не
входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности
корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:
92
Учтём теперь ОДЗ и получим:
Ответ.
Рассмотрим пример решения иррационального неравенства, содержащего модуль.
Задача 12. Решить неравенство:
Решение.
Рассмотрим
на ОДЗ
получаем промежуток значений функции
Видно, что
Аналогично, рассмотрим функцию
т.е. функция может быть как больше, так и меньше нуля. Итак, раскрываем модуль в левой части со знаком минус
Вспоминаем формулу раскрытия модуля.
93
Рассмотрим правое неравенство.
Это неравенство вида
решается с помощью системы
и опять используем тот же способ решения иррациональных неравенств
94
Учитывая область определения
Рассмотрим правую систему, полученную при раскрытии модуля
Итак, решение второго неравенства
Объединяем промежутки
и
95
получаем ответ.
Задачи для самостоятельного решения
Задание В3
Задача 1. Найдите корень уравнения
.
Задача 2. Найдите корень уравнения
.
Задача 3. Найдите корень уравнения
.
Задача 4. Найдите корень уравнения
.
Задача 5. Найдите корень уравнения
Задача 6. Найдите корень уравнения
Найдите корень уравнения:
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.
Задача 7. Найдите корень уравнения
.
Задача 8. Найдите корень уравнения
Задача 9. Найдите корень уравнения
.
Задача 10. Найдите корень уравнения
.
Задача 11. Найдите корень уравнения
.
Задача 12. Найдите корень уравнения
.
Задача 13. Найдите корень уравнения
Задача 14. Найдите корень уравнения
.
Задача 15.
Найдите корень уравнения
.
Задача 16.
Найдите корень уравнения
.
Задача 17.
Найдите корень уравнения
.
Задача 18.
Найдите корень уравнения
.
Задача 19.
Найдите корень уравнения
.
Задача 20.
Найдите корень уравнения
.
Задача 21.
Найдите корень уравнения:
Задача 22.
Найдите корень уравнения:
Задача 23.
Найдите корень уравнения:
.
96
Задача 24.
Найдите корень уравнения:
Задача 26.
Найдите корень уравнения:
Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе укажите больший из
них.
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.
Задача 25.
Найдите корень уравнения:
Задание В7
Задача 1.
Найдите значение выражения
.
Задача 2. Найдите значение выражения
.
Задача 3. Найдите значение выражения
.
Задача 4. Найдите значение выражения
.
Задача 5. Найдите значение выражения
.
Задача 6. Найдите значение выражения
.
Задача 7. Найдите значение выражения
.
Задача 8. Найдите значение выражения
.
Задача 9. Найдите значение выражения
.
Задача 10. Найдите значение выражения
при
.
Задача 11. Найдите значение выражения
при
.
Задача 12. Найдите значение выражения
при
.
Задача 13. Найдите значение выражения
при
.
Задача 14. Найдите значение выражения
при
.
Задача 15. Найдите значение выражения
при
Задача 16. Найдите значение выражения
.
Задача 17. Найдите значение выражения
.
Задача 18. Найдите значение выражения
97
.
Задача 19. Найдите значение выраже- Задача 31. Найдите значение выражения
.
ния
Задача 32. Найдите значение выражеЗадача 20. Найдите значение выражения
.
Задача 33. Найдите значение выражения
при
.
ния
.
Задача 21.
Задача 34. Найдите значение выражеНайдите значение выражения
ния
.
Задача 35. Найдите значение выражепри
.
ния
.
Задача 22. Найдите значение выражеЗадача 36. Найдите значение выражения
, если
ния
при
.
.
Задача 37. Найдите значение выражеЗадача 23. Найдите
, если ния
, если
,
.
при
.
Задача 38. Найдите значение выражеЗадача 24. Найдите
ния
, если
, если
.
.
Задача 39. Найдите значение выражеЗадача 25. Найдите значение выражения
, если
.
ния
при
.
Задача 26. Найдите значение выраже- Задача 40. Найдите
, если
ния
при
.
Задача 27. Найдите значение выражеЗадача 41. Найдите значение выражения
при
ния
.
.
Задача 42. Найдите значение выражеЗадача 28. Найдите значение выражения
.
ния
Задача 29. Найдите значение выражения
.
Задача 30. Найдите значение выражения
.
98
Задание С3
Задача 1. Решите неравенство
Задача 2. Решите неравенство
Задача 3. Решите неравенство
Задача 4. Решите неравенство
log2x(x2 – 5x + 6) < 1.
Задача 5. Решите неравенство
log 0,1(х2 + х – 2) ˃ log 0,1(х2 + 3)
Задача 6. Решите неравенство
Задача 7. Решите неравенство
99
Раздел ІΙІ. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрические задания в тесте ЕГЭ по математике: В5, В7,
С1. Прототипы заданий В5, В7 рассмотрены выше. Тригонометрические
функции также используются в геометрических заданиях части В. Разберем некоторые примеры из задания В3, С1.
Задание В6
Задача 1. № 27217. В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin
7
А=
. Найдите cos А.
25
Решение. Имеем:
О т в е т . 0,96.
Задача 2. № 27218. В треугольнике АВС угол С равен 90°,
sin А =
17
. Найдите tg А.
17
Решение.
О т в е т . 0,25.
Задача 3. № 27219. В треугольнике АВС угол С равен 90°, sin
7
А=
. Найдите sin В.
25
Решение.
О т в е т . 0,96.
100
Задача 5. № 27221. В треугольнике АВС угол С равен 90°,
17
sin А =
. Найдите tg В.
17
Решение.
О т в е т . 0,25.
Задача 4. № 27336. В треугольнике АВС угол С равен 90º, СН –
высота, ВС = 8, ВН = 4. Найдите sin А.
Решение.
Углы А и НСВ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
.
Ответ: 0,5
Задача 5. № 27386. В треугольнике АВС угол С равен 90º, синус
внешнего угла при вершине А равен 0,1. Найдите sin А.
Решение.
Так как sin А = sin Авнеш.= 0,1.
Ответ. 0,1.
Задача 6. № 27400. В треугольнике АВС угол С равен 90°, тангенс
внешнего угла при вершине А равен -0,1. Найдите tg А.
Решение.
Так как
Ответ. 0,1.
Задача 7. № 27401.
В треугольнике АВС угол С равен 90°, тангенс внешнего угла при
24
вершине А равен 
. Найдите sin В.
7
101
Решение.
Так как cos А =
СА
АВ
= sin В.
имеем
Ответ. 0,28.
Задание С1
Задача 1. № 485932. а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
Используем формулу приведения и синуса двойного угла:
Тогда
или
,
откуда
или
б) С помощью единичной
окружности отберём корни на отрезке
Находим:
Ответ:
а)
б)
.
Задача 2. № 485942. а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
102
Решение.
а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла:
Тогда
или
Откуда
б) С помощью единичной
окружности отберём корни на от-
или
резке
Это числа
Ответ:
и
(см. рис.).
а)
б)
Задача 3. № 500346. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Запишем уравнение в виде
Значит, или
Или
,
, откуда
,
,
откуда
или
,
б) С помощью числовой окружности
отберем корни, принадлежащие отрезку
Получим числа:
Ответ: а)
б)
,
103
Отбор корней на заданном промежутке можно производить не
только с помощью единичной окружности, но и различными другими
способами, например, вычислив значение k с помощью двойного неравенства.
Задача 4. № 485964
а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
.
Если
, то из уравнения следует
Значит, на множестве корней уравнения
Разделим обе части уравнения на
:
, что невозможно.
.
.
б)
Составим
двойное
неравенство:
,
откуда
.
Следовательно,
.
Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень
.
О т в е т : а)
; б)
.
104
Задачи для самостоятельного решения
Задание В6
Задача 1. № 28839
В треугольнике ABC угол C равен
,
. Найдите
,
. Найдите
.
Задача 2. № 28843
В треугольнике ABC угол C равен
Задача 3. № 4817
В треугольнике ABC угол C равен
cosА = 0,8. Найдите AH.
, CH – высота,
Задача 4. № 19841
В треугольнике ABC угол C равен
5,
, CH – высота,
,
. Найдите AH.
Задача 5. № 28885
В треугольнике ABC угол C равен
. Найдите
,
Задача 6. № 28887
В треугольнике ABC угол C равен
.
.
. Найдите
,
Задача 7. № 29143
В треугольнике ABC угол C равен
. Найдите
,
Задача 8. № 29149
В треугольнике ABC угол C равен
,
.
. Найдите
.
Задача 9. № 29169
В треугольнике ABC угол C равен
105
,
. Найдите
.
Задача 10. № 29171
В треугольнике ABC угол C равен
,
. Найдите
,
,
.
Задача 11. № 29443
В треугольнике ABC угол C равен
. Найдите
BC.
Задача 12. № 29655
В треугольнике ABC угол C равен
,
. Найдите
,
AB.
Задача 13. № 29657
В треугольнике ABC угол C равен
те AB.
Задача 14. № 30121
В треугольнике ABC угол C равен
.
Задача 15. № 30123
В треугольнике ABC угол C равен
.
,
. Найди-
,
,
,
Задача 16. № 30309
В треугольнике ABC угол C равен
,
. Найдите
,
. Найдите
, CH – высота,
,
, CH – высота,
,
. Найдите AH.
Задача 17. № 30311
В треугольнике ABC угол C равен
. Найдите AH.
Задача 18. № 30653
В треугольнике ABC угол C равен
высоту CH.
,
. Найдите
,
Задача 19. № 30657
В треугольнике ABC угол C равен
высоту CH.
Задача 20. № 31027
В треугольнике ABC угол C равен
. Найдите BH.
106
,
,
, CH – высота,
. Найдите
,
Задача 21. № 31031
В треугольнике ABC угол C равен
, CH – высота,
,
, CH – высота,
,
. Найдите BH.
Задача 22. № 31275
В треугольнике ABC угол C равен
. Найдите BH.
Задача 23. № 31793
В треугольнике ABC
,
Задача 24. № 31995
В треугольнике ABC
. Найдите высоту CH.
,
Задача 25. № 31997
В треугольнике ABC
. Найдите AB.
,
. Найдите высоту CH.
Задание С1
Задача 1. 484540. Решите уравнение cos 2 x  sin x  0 .
7
sin( x  )
4
Задача 2. 484541. Решите уравнение
Задача
3.
484542.
Решите
.
систему
Задача 4. 484543. Решите уравнение
Задача
5.
484544.
уравнений
.
Решите
уравнение
.
Задача 6. 484545. Решите уравнение
.
Задача 7. 484546. Решите уравнение
Задача 8. 484547. Решите уравнение
107
.
.
Задача 9. 484548. Решите уравнение
.
Задача 10. 484549. Решите уравнение
Задача
11.
484550.
.
Решите
систему
Задача 12. 484551. Решите уравнение
уравнений
.
Задача 13. 484552. Решите уравнение
.
Задача 14. 484553. Решите уравнение
.
Задача 15. 484554. Решите уравнение
.
Задача
16.
484555.
.
Решите
уравнение
Задача
17.
484556.
.
Решите
уравнение
Задача 18. 484557. Решите уравнение
.
Задача 19. 485932. а) Решите уравнение
;
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Задача 20. 485935. Решите уравнение
Укажите его корни, принадлежащие отрезку
.
Задача 21. 485940. Решите уравнение
Укажите корни, принадлежащие отрезку
Задача 22. 485954. Решите уравнение
жите корни, принадлежащие отрезку
108
. Ука.
Задача
23.
а)
485964.
Решите
уравнение
. б) Укажите корни этого
уравнения, принадлежащие промежутку
Задача
24.
а)
485965.
Решите
уравнение
. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Задача
25.
щие отрезку
.
Задача
26.
.
485967.
а)
Решите
уравнение.
. б) Укажите корни уравнения, принадлежа-
а)
Решите
уравнение
б) Найдите все корни этого
485977.
уравнения, принадлежащие промежутку
Задача
27.
а)
485986.
Решите
уравнение
б) Найдите все корни этого
уравнения, принадлежащие промежутку
Задача 28. 485987. а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Задача
29.
а)
485991.
Решите
уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Задача
30.
485996.
а)
Решите
уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадле-
жащие отрезку
Задача
31.
а)
500000.
Решите
данное
уравнение
. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку
.
109
Задача 32. 500006. а) Решите данное уравнение
.
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку
.
Задача 33. 500012. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Задача
34.
.
500018.
а)
Решите
уравнение
. б) Найдите все корни этого уравнения, при-
надлежащие отрезку
.
Задача 35. 500063. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Задача 36. 500111. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Задача 37. 500131. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Задача 38. 500192. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Задача
39.
а)
500212.
Решите
уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
.
Задача 40. 500366. а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Задача
41.
а)
500386.
Решите
уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие отрезку
.
110
Раздел ІV. ПЛАНИМЕТРИЯ
Планиметрические задачи в тесте ЕГЭ размещены в заданиях В3 и
В6. При этом рассматриваются одни и те же фигуры: треугольники, четырехугольники, многоугольники, окружность, круг и их элементы. Но
в задании Вз требуется найти какой-либо элемент заданной фигуры, а
задании В6 – ее площадь. Достаточно много задач, где в прямоугольном
треугольнике необходимо найти значения тригонометрических функций
угла.
Типичные ошибки выпускников:
1. Неверно применяют формулы для вычисления тех или иных элементов плоских фигур, и их площадей;
1. Неверно записывают отношение сторон при определении тригонометрических функций;
2. Путают катеты и гипотенузу в прямоугольном треугольнике.
3. Не знают простейших формул вычисления площадей геометрических фигур;
4. Неправильно определяют цену деления клеток или координат.
Рекомендации.
1. Повторите основные соотношения в прямоугольном треугольнике;
2. Повторите формулы площадей геометрических фигур;
3. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;
4. Прорешайте нижеперечисленные задачи.
1. Треугольник
Задача 1. № 27543. На клетчатой бумаге с клетками размером
1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
Поэтому
см2.
О т в е т . 6.
111
Задача 2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см
изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь треугольника ABC складывается из площадей двух прямоугольных
треугольников ADB и BDC.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Площадь прямоугольного треугольника ADB равна:
(2·7): 2 = 7
Площадь прямоугольного треугольника BDC равна:
(2·2): 2 = 2
Площадь треугольника ABC:
7+2=9
Ответ: 9 см ².
Задача 3. № 27548. На клетчатой бумаге с клетками размером
1 см × 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь треугольника равна разности
площади прямоугольника и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому
см2.
О т в е т : 10,5.
Задача 4. № 27549. На клетчатой бумаге с клетками размером
1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь треугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника.
Поэтому
112
см2.
О т в е т : 12.
Задача 5. № 27566. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10).
Решение.
Площадь треугольника равна разности
площади прямоугольника и трех прямоугольных треугольников. Поэтому
см2.
О т в е т . 25,5.
Задача 8. № 27588. Площадь прямоугольного треугольника равна
16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его
катетов. Пусть неизвестный катет равен a.
Тогда
см2, откуда a = 8 см.
О т в е т . 8.
Задача 9. № 27589. Угол при вершине, противолежащей основанию
равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому
см2.
О т в е т . 25.
Задача 10. № 27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус
угла между ними. Поэтому
113
см2.
О т в е т . 100.
Задача 11. № 27591. Найдите площадь треугольника, две стороны
которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.
Решение.
Площадь треугольника равна половине
произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому
см2.
О т в е т . 24.
Задача 12. № 27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE –
средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Решение.
Треугольник CDE подобен треугольнику
CAB с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
см2.
О т в е т . 1.
Задача 13. № 27618. Площадь прямоугольного треугольника равна
24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.
Решение.
Пусть x – меньший катет, тогда
x + 2 – больший. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
О т в е т . 6.
Задача 14. № 27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.
114
Решение.
Площадь треугольника равна половине
произведения его основания на высоту, опущенную на это основание. Высота в равнобедренном треугольнике, опущенная на основание, делит равнобедренный треугольник
на два равных прямоугольных треугольника.
По теореме Пифагора высота будет
определяться соотношением
h2 = 25 − 9 = 16,
откуда h = 4. Поэтому
О т в е т . 12.
.
Задача 15. № 27621. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.
Решение.
Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата его боковой стороны
и синуса угла между боковыми сторонами, следовательно,
,
где a – искомая боковая сторона треугольника.
Поэтому a = 20.
О т в е т . 20.
Задача 16. № 27622. Площадь остроугольного треугольника равна
12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите угол между этими сторонами.
Ответ дайте в градусах.
Решение. По формуле площади треугольника S = ½ ab sin α.
2S
2 × 12
1
Поэтому sin α =
=
=
ab
6×8
2
Поскольку угол острый, он равен α = 30º.
О т в е т . 30.
Задача 17. № 27623. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены
высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна
4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
115
Решение.
.
О т в е т . 6.
Задача 18. № 27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус
вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Решение.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус
вписанной окружности:
.
О т в е т . 6.
Задача 19. № 27704. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2; 2), (8; 10), (8; 8).
Решение.
Найдем стороны:
Полупериметр треугольника равен
Воспользуемся формулой Герона:
О т в е т . 6.
2. Прямоугольник
Задача 1. № 27551. Найдите площадь
квадрата ABCD, считая стороны квадратных
клеток равными 1
116
Решение.
Площадь квадрата равна разности площади прямоугольника и четырех равных
прямоугольных треугольников, гипотенузы
которых являются сторонами исходного
квадрата. Поэтому
см2.
О т в е т . 10.
Задача 2. № 27582. Найдите площадь квадрата, если его диагональ
равна 1.
Решение.
Пусть сторона квадрата равна a.
Тогда его диагональ равна
, а площадь равна a².
Поэтому:
,
,
см2.
О т в е т . 0,5.
Задача 3. № 27584. Найдите сторону квадрата, площадь которого
равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.
Решение.
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину:
S = 4 × 9 = 36.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Поэтому сторона квадрата, площадь которого равна 36, равна 6.
О т в е т . 6.
Задача 4. № 27605. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.
Решение. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b.
Периметр прямоугольника равен
сумме длин всех сторон:
P = 2a + 2b = 28.
Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника: АВС
и СDА.
По теореме Пифагора: a2 + b2 = 100.
Решая одновременно эти два уравнения, получаем:
117
a1 = 6, a2 = 8, b1 = 8, b2 = 6.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Поэтому S = ab = 48.
О т в е т . 48.
Задача 5. № 27608. Даны два квадрата, диагонали которых равны
10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности
площадей данных квадратов
Решение.
Пусть а – сторона первого квадрата,
в – сторона второго квадрата.
По теореме Пифагорадля первого
квадрата: а² + а² = 10²,
Т.е. 2 а² = 100
и а² = 50.
Аналогично для второго квадрата:
в² = 18.
То есть площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.
Значит, квадрат искомой диагонали
равен 64, а сама она равна 8.
О т в е т . 8.
Задача 6. № 27609. Во сколько раз площадь квадрата, описанного
около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
Решение.
Площадь квадрата равна квадрату его
стороны.
Пусть радиус окружности равен R.
Тогда сторона вписанного в окружность
квадрата равна
, сторона описанного около окружности квадрата равна 2 R.
Площади соответственно буду равны:
S1 = 2 R², S2 = 4 R².
Поэтому
О т в е т . 2.
.
Задача 7. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной
плоскости.
118
Решение. Площадь квадрата равна
d²
Sкв
=
2
где d – диагональ квадрата.
Площадь закрашенной фигуры равна площади большого квадрата минус
площадь маленького.
Ответ. 112 см².
3. Ромб
Задача 1. № 27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали
равны 4 и 12.
Решение.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Поэтому
.
О т в е т . 24.
Задача 2. № 27851. Найдите периметр четырехугольника
если стороны квадратных клеток равны
.
,
Решение.
По теореме Пифагора найдем сторону
четырехугольника.
.
тогда периметр равен
О т в е т : 24.
.
4. Параллелограмм
Задача 1. № 27825. Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены
две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
119
Решение.
Так как прямые, проведенные из основания
треугольника АВС параллельны его сторонам,
то углы в треугольниках AFD и BDE равны углам треугольника ABC.
Треугольники подобны, соответственно,
они равнобедренные. Противоположные стороны параллелограмма FCED попарно равны,
значит
.
О т в е т : 20.
Задача 2. № 27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Решение.
Пусть x – искомая высота. Площадь
параллелограмма равна произведению
его основания на высоту, опущенную на
это основание. Вычислим площадь параллелограмма двумя способами:
S = 9 × 10 = 15 x.
Из полученного уравнения находим x = 6.
О т в е т : 6.
5. Произвольный четырехугольник
Задача 1. № 27845. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.
Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются
середины сторон данного четырехугольника.
Решение.
Стороны искомого четырехугольника равны
средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,
.
О т в е т : 9.
120
Задача 2. № 245003.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см 1 см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна
разности площади большого прямоугольника, четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому
.
Примечание.
Заданный четырёхугольник можно
рассматривать как два треугольника с общим основанием, равным длине квадратной клетки. Высоты этих треугольников
равны 1, поэтому их площади 0,5, а сумма
этих площадей равна 1.
6. Трапеция
Задача 1. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Решение: Площадь трапеции
равна
1
S=
(a + b)·× h
2
где a, b основания трапеции, а h – высота.
1
S =
(2 + 4) × 3 = 9
2
Ответ. 9 см².
Задача 2. № 27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.
121
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Пусть высота равна h, тогда
,
отсюда h = 4.
Высота в трапеции отсекает прямоугольный треугольник.
Высота в прямоугольном треугольнике является катетом и равна половине
гипотенузы, соответственно угол напротив высоты равен 30°.
О т в е т . 30.
Задача 3. № 27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и
13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение.
,
.
О т в е т : 5.
Задача 4. № 27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с
основанием угол 45°.
Решение.
проведем высоту
. Треугольник
–
прямоугольный с
, значит, он также равнобедренный:
.
.
О т в е т . 16.
Задача 5. № 27629. Высота трапеции равна 10, площадь равна 150.
Найдите среднюю линию трапеции.
122
Решение.
О т в е т . 15.
7. Многоугольники
Задача 1. № 27595.
Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5.
Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.
Решение.
Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их периметров.
Пусть периметр и площадь меньшего
многоугольника соответственно равны P1 и S1,
периметр и площадь большего многоугольника соответственно равны P2 и S2. Поэтому
,
Отсюда S2 = 50.
О т в е т . 50.
Задача 2. № 27639. Около окружности, радиус которой равен 3,
описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.
Решение.
Радиус вписанной в многоугольник
окружности равен отношению его площади
к полупериметру. Пусть площадь равна S,
периметр равен P, радиус окружности равен R. Тогда
.
Поэтому P = 22.
О т в е т . 22.
123
8. Окружность, круг, элементы круга
Задача 1. № 27562.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена
фигура (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. S
В ответе запишите
π
Решение.
Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которого равен
4 см. Поэтому
см2.
О т в е т . 12.
Задача 2. № 27596. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна
.
Решение.
Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой
S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому
, значит,
О т в е т . 0,25.
Задача 3. № 27598. Найдите площадь сектора круга радиуса
центральный угол которого равен 90°.
Решение. Площадь сектора круга, центральный угол которого равен 90ºn° равна четверти площади круга. Поэтому
,
.
О т в е т . 0,25.
Задача 4. № 27599.
Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого
равна 2.
124
Решение.
Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади
окружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной
окружности, т.е. 360°, следовательно,
.
Длина дуги сектора определяется формулой:
, тогда
.
Подставляя полученное выражение в формулу для площади сектора
круга, получаем:
.
О т в е т . 1.
Задача 5. № 27642. Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны
и
.
Решение. Площадь круга определяется формулой S = πR2.
Площадь кольца равна разности площадей первого и второго круга.
Тогда
,
.
Поэтому площадь кольца:
S = S1 − S2 = 16 − 4 = 12
О т в е т . 12.
Задача 6. № 27643. Найдите центральный угол сектора круга радиуса
, площадь которого равна 1. Ответ дайте в градусах.
125
Решение. Площадь сектора круга с дугой
n° равна произведению площади окружности
с радиусом R на отношение угла сектора n° к
углу полной окружности, т. е. 360°. Поэтому
.
Поэтому n° = 22,5°.
О т в е т . 22,5.
Задача 7. № 27644. Площадь сектора круга радиуса 3 равна 6.
Найдите длину его дуги.
Решение.
Площадь кругового сектора равна половине произведения радиуса
круга на длину дуги сектора:
. Поэтому
, откуда
.
О т в е т . 4.
Задача 8. № 27646.
Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите
Решение. Площадь круга определяется
формулой:
S = πR².
Радиус окружности определяется из
прямоугольного треугольника с катетами 2 и
1, тогда
. Поэтому S = πR²
=π×5
О т в е т . 5.
Внимание! Как увидеть треугольник:
1. Найдите точку, в которой окружность пересекает узел сетки;
2. Прочертите линию от неё к центру;
3. Посмотрите, в какой прямоугольный треугольник входит эта линия в качестве гипотенузы.
126
Задача 9. № 245008. Найдите (в см2)
площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.
В ответе запишите .
Решение.
Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов.
Радиус большого круга равен 2, а малого – 1, откуда
S = π·2² – π·1² = 3π
Поэтому
.
Ответ. 3
9. Векторы
Задача 1. Найдите длину вектора
(6; 8).
Решение.
Длина вектора определяется следующим
выражением:
.
О т в е т . 10.
Задача 2. № 27664. Найдите квадрат длины вектора
.
Решение.
Длина вектора определяется следующим
выражением:
,
Поэтому
О т в е т . 40.
Задача 3. № 27735. Найдите угол между векторами
дайте в градусах.
127
.
и
. Ответ
Решение.
Скалярное
равно
произведение
векторов
.
С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.
Найдем длины векторов и :
,
.
Тогда
справедливо
равенство:
, откуда
О т в е т . 45.
и
.
Задача 4. № 27720. Стороны правильного треугольника
равны
. Найдите длину вектора
+
.
Решение.
Достраиваем треугольник до ромба. Поскольку
необходимо найти
длину большей диагонали ромба, равную
удвоенной длине медианы равностороннего
треугольника.
Таким образом, имеем:
.
О т в е т . 6.
Задача 5. № 27712.
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6
и 8. Диагонали пересекаются в точке О.
Найдите длину разности векторов
128
и
.
Решение.
Разность векторов
и
равна вектору
.
О т в е т . 8.
129
. Длина вектора
Раздел ІV. ПЛАНИМЕТРИЯ
Планиметрические задачи в тесте ЕГЭ размещены в заданиях В3 и
В6. При этом рассматриваются одни и те же фигуры: треугольники, четырехугольники, многоугольники, окружность, круг и их элементы. Но
в задании Вз требуется найти какой-либо элемент заданной фигуры, а
задании В6 – ее площадь. Достаточно много задач, где в прямоугольном
треугольнике необходимо найти значения тригонометрических функций
угла.
Типичные ошибки выпускников:
1. Неверно применяют формулы для вычисления тех или иных элементов плоских фигур, и их площадей;
1. Неверно записывают отношение сторон при определении тригонометрических функций;
2. Путают катеты и гипотенузу в прямоугольном треугольнике.
3. Не знают простейших формул вычисления площадей геометрических фигур;
4. Неправильно определяют цену деления клеток или координат.
Рекомендации.
1. Повторите основные соотношения в прямоугольном треугольнике;
2. Повторите формулы площадей геометрических фигур;
3. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;
4. Прорешайте нижеперечисленные задачи.
1. Треугольник
Задача 1. № 27543. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см
1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в
квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Поэтому
см2.
О т в е т . 6.
Задача 2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см
изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
130
Решение.
Площадь треугольника ABC складывается из площадей двух прямоугольных треугольников ADB и BDC.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Площадь прямоугольного треугольника ADB равна:
(2·7): 2 = 7
Площадь прямоугольного треугольника BDC равна:
(2·2): 2 = 2
Площадь треугольника ABC:
7+2=9
Ответ: 9 см ².
Задача 3. № 27548. На клетчатой бумаге с клетками размером
1 см × 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Решение. Площадь треугольника равна
разности площади прямоугольника и трех
прямоугольных треугольников, гипотенузы
которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому
см2.
О т в е т : 10,5.
Задача 4. № 27549. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см
1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в
квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь треугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех
прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника.
Поэтому
см2.
О т в е т : 12.
131
Задача 5. № 27566. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10).
Решение.
Площадь треугольника равна разности
площади прямоугольника и трех прямоугольных треугольников. Поэтому
см2.
О т в е т . 25,5.
Задача 8. № 27588. Площадь прямоугольного треугольника равна
16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его
катетов. Пусть неизвестный катет равен a.
Тогда
см2, откуда a = 8 см.
О т в е т . 8.
Задача 9. № 27589. Угол при вершине, противолежащей основанию
равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому
см2.
О т в е т . 25.
Задача 10. № 27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус
угла между ними. Поэтому
см2.
О т в е т . 100.
132
Задача 11. № 27591. Найдите площадь треугольника, две стороны
которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.
Решение.
Площадь треугольника равна половине
произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому
см2.
О т в е т . 24.
Задача 12. № 27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE –
средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Решение.
Треугольник CDE подобен треугольнику
CAB с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
см2.
О т в е т . 1.
Задача 13. № 27618. Площадь прямоугольного треугольника равна
24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.
Решение.
Пусть x – меньший катет, тогда
x + 2 – больший. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
О т в е т . 6.
Задача 14. № 27619. Боковая сторона
равнобедренного треугольника равна 5, а
основание равно 6. Найдите площадь этого
треугольника.
133
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, опущенную на это основание. Высота в равнобедренном
треугольнике, опущенная на основание, делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
По теореме Пифагора высота будет определяться соотношением
h2 = 25 − 9 = 16,
откуда h = 4. Поэтому
О т в е т . 12.
.
Задача 15. № 27621. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.
Решение.
Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата его боковой стороны и
синуса угла между боковыми сторонами, следовательно,
,
где a – искомая боковая сторона треугольника.
Поэтому a = 20.
О т в е т . 20.
Задача 16. № 27622. Площадь остроугольного треугольника равна
12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите угол между этими сторонами.
Ответ дайте в градусах.
Решение.
По формуле площади треугольника S = ½ ab sin α.
2S
2 × 12
1
Поэтому sin α =
=
=
ab
6×8
2
Поскольку угол острый, он равен α = 30º.
О т в е т . 30.
Задача 17. № 27623. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены
высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна
4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
134
Решение.
.
О т в е т . 6.
Задача 18. № 27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус
вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Решение.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной
окружности:
.
О т в е т . 6.
Задача 19. № 27704. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2; 2), (8; 10), (8; 8).
Решение.
Найдем стороны:
Полупериметр треугольника равен
Воспользуемся формулой Герона:
О т в е т . 6.
2. Прямоугольник
Задача 1. № 27551. Найдите площадь квадрата
ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1
135
Решение.
Площадь квадрата равна разности площади
прямоугольника и четырех равных прямоугольных
треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного квадрата. Поэтому
см2.
О т в е т . 10.
Задача 2. № 27582. Найдите площадь квадрата, если его диагональ
равна 1.
Решение.
Пусть сторона квадрата равна a.
Тогда его диагональ равна
, а площадь
равна a².
Поэтому:
,
,
см2.
О т в е т . 0,5.
Задача 3. № 27584. Найдите сторону квадрата, площадь которого
равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.
Решение.
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину:
S = 4 × 9 = 36.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Поэтому сторона квадрата, площадь которого равна 36, равна 6.
О т в е т . 6.
Задача 4. № 27605. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.
Решение.
Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b.
Периметр прямоугольника равен
сумме длин всех сторон:
P = 2a + 2b = 28.
Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника: АВС
и СDА.
По теореме Пифагора: a2 + b2 = 100.
136
Решая одновременно эти два уравнения, получаем:
a1 = 6, a2 = 8, b1 = 8, b2 = 6.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Поэтому S = ab = 48.
О т в е т . 48.
Задача 5. № 27608. Даны два квадрата,
диагонали которых равны 10 и 6. Найдите
диагональ квадрата, площадь которого равна
разности площадей данных квадратов.
Решение.
Пусть а – сторона первого квадрата, в –
сторона второго квадрата.
По теореме Пифагорадля первого квадрата: а² + а² = 10²,
Т.е. 2 а² = 100
и а² = 50.
Аналогично для второго квадрата: в² = 18.
То есть площадь квадрата равна половине
квадрата его диагонали.
Значит, квадрат искомой диагонали равен
64, а сама она равна 8.
О т в е т . 8.
Задача 6. № 27609. Во сколько раз площадь квадрата, описанного
около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
Решение.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Пусть радиус окружности равен R.
Тогда сторона вписанного в окружность
квадрата равна
,
сторона описанного около окружности квадрата равна 2 R.
Площади соответственно буду равны:
S1 = 2 R², S2 = 4 R².
Поэтому
О т в е т . 2.
.
137
Задача 7. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной
плоскости.
Решение.
Площадь квадрата равна
d²
Sкв =
2
где d – диагональ квадрата.
Площадь закрашенной фигуры равна
площади большого квадрата минус площадь маленького.
Ответ. 112 см².
3. Ромб
Задача 1. № 27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали
равны 4 и 12.
Решение.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Поэтому
.
О т в е т . 24.
Задача 2. № 27851. Найдите периметр четырехугольника
если стороны квадратных клеток равны
.
,
Решение.
По теореме Пифагора найдем сторону
четырехугольника.
.
тогда периметр равен
О т в е т : 24.
138
.
4. Параллелограмм
Задача 1. № 27825. Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены
две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
Решение.
Так как прямые, проведенные из основания треугольника АВС параллельны его сторонам, то углы в треугольниках AFD и BDE
равны углам треугольника ABC.
Треугольники подобны, соответственно, они
равнобедренные. Противоположные стороны
параллелограмма FCED попарно равны, значит
.
О т в е т : 20.
Задача 2. № 27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Решение.
Пусть x – искомая высота. Площадь
параллелограмма равна произведению его
основания на высоту, опущенную на это
основание. Вычислим площадь параллелограмма двумя способами:
S = 9 × 10 = 15 x.
Из полученного уравнения находим
x = 6.
О т в е т : 6.
5. Произвольный четырехугольник
Задача 1. № 27845. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.
Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются
середины сторон данного четырехугольника.
Решение.
Стороны искомого четырехугольника равны
средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника
равны половинам диагоналей. Соответственно,
139
.
О т в е т : 9.
Задача 2. № 245003.
Найдите площадь четырехугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника,
четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника и площади маленького квадрата. Поэтому
.
Примечание.
Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два треугольника с общим
основанием, равным длине квадратной клетки. Высоты этих треугольников равны 1,
поэтому их площади 0,5, а сумма этих площадей равна 1.
6. Трапеция
Задача 1. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Решение: Площадь трапеции равна
1
(a + b)·h
2
где a, b основания трапеции, а h –
S =
высота.
1
(2 + 4)·3 = 9
2
Ответ. 9 см².
S=
140
Задача 2. № 27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.
Площадь трапеции равна произведеРешение.
нию полусуммы оснований на высоту.
Пусть высота равна h, тогда
,
отсюда h = 4.
Высота в трапеции отсекает прямоугольный треугольник.
Высота в прямоугольном треугольнике является катетом и равна половине гипотенузы, соответственно угол напротив
высоты равен 30°.
О т в е т . 30.
Задача 3. № 27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и
13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
Решение.
,
.
О т в е т : 5.
Задача 4. № 27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с
основанием угол 45°.
Решение.
проведем высоту
угольный с
ренный:
.
. Треугольник
– прямо, значит, он также равнобед-
.
О т в е т . 16.
141
Задача 5. № 27629. Высота трапеции равна 10, площадь равна 150.
Найдите среднюю линию трапеции.
Решение.
О т в е т . 15.
7. Многоугольники
Задача 1. № 27595.
Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5.
Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.
Решение.
Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их периметров.
Пусть периметр и площадь меньшего
многоугольника соответственно равны P1 и S1,
периметр и площадь большего многоугольника соответственно равны P2 и S2. Поэтому
,
Отсюда S2 = 50.
О т в е т . 50.
Задача 2. № 27639. Около окружности, радиус которой равен 3,
описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.
Решение.
Радиус вписанной в многоугольник
окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна
S, периметр равен P, радиус окружности
равен R. Тогда
.
Поэтому P = 22.
О т в е т . 22.
142
8. Окружность, круг, элементы круга
Задача 1. № 27562.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена
фигура (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. S
В ответе запишите
π
Решение.
Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которого равен
4 см. Поэтому
см2.
О т в е т . 12.
Задача 2. № 27596. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна
.
Решение.
Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой
S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому
, значит,
О т в е т . 0,25.
Задача 3. № 27598. Найдите площадь сектора круга радиуса
центральный угол которого равен 90°.
Решение. Площадь сектора круга, центральный угол которого равен 90ºn° равна четверти площади круга. Поэтому
.
О т в е т . 0,25.
143
,
Задача 4. № 27599.
Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого
равна 2.
Решение.
Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади
окружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной
окружности, т.е. 360°, следовательно,
.
Длина дуги сектора определяется формулой:
,тогда
.
Подставляя полученное выражение в формулу для площади сектора
круга, получаем:
.
О т в е т . 1.
Задача 5. № 27642. Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны
и
.
Решение.
Площадь круга определяется формулой
S = πR2.
Площадь кольца равна разности площадей первого и второго круга.
Тогда
,
.
Поэтому площадь кольца: S = S1 − S2 =
16 − 4 = 12
О т в е т . 12.
Задача 6. № 27643. Найдите центральный угол сектора круга радиуса
, площадь которого равна 1. Ответ дайте в градусах.
144
Решение.
Площадь сектора круга с дугой n°
равна произведению площади окружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной окружности, т. е.
360°. Поэтому
.
Поэтому n° = 22,5°.
О т в е т . 22,5.
Задача 7. № 27644. Площадь сектора круга радиуса 3 равна 6.
Найдите длину его дуги.
Решение. Площадь кругового сектора равна половине произведения радиуса круга на длину дуги сектора:
. Поэтому
, откуда
.
О т в е т . 4.
Задача 8. № 27646.
Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите
Решение. Площадь круга определяется
формулой:
S = πR².
Радиус окружности определяется из прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1, тогда
. Поэтому S = πR² = π · 5
О т в е т . 5.
Внимание! Как увидеть треугольник:
1. Найдите точку, в которой окружность пересекает узел сетки;
2. Прочертите линию от неё к центру;
3. Посмотрите, в какой прямоугольный треугольник входит эта линия в качестве гипотенузы.
Задача 9. № 245008. Найдите (в см2)
площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.
В ответе запишите .
145
Решение. Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов.
Радиус большого круга равен 2, а малого – 1, откуда
S = π·2² – π·1² = 3π
Поэтому
.
Ответ. 3
9. Векторы
Задача 1. Найдите длину вектора
(6; 8).
Решение.
Длина вектора определяется следующим выражением:
.
О т в е т . 10.
Задача 2. № 27664. Найдите квадрат длины вектора
.
Решение.
Длина вектора определяется следующим
выражением:
Поэтому
О т в е т . 40.
,
.
Задача 3. № 27735. Найдите угол между векторами
и . Ответ
дайте в градусах.
Решение. Скалярное произведение
векторов равно
.
С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.
Найдем длины векторов и :
,
146
.
Тогда справедливо равенство:
.
О т в е т . 45.
, откуда
и
Задача 4. № 27720. Стороны правильного
треугольника
вектора
+
равны
. Найдите длину
.
Решение.
Достраиваем треугольник до ромба.
Поскольку
необходимо
найти длину большей диагонали ромба,
равную удвоенной длине медианы равностороннего треугольника.
Таким
образом,
имеем:
.
О т в е т . 6.
Две стороны прямоугольника ABCD
равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в
точке О.
Найдите длину разности векторов
Задача 5. № 27712.
и
.
Решение.
Разность векторов
и
равна вектору
.
О т в е т . 8.
147
. Длина вектора
Раздел V. ПРОИЗВОДНАЯ
Задание 8
Начиная с задания В8, уровень сложности несколько повышается.
От ученика, кроме знания основных формул и определений, требуется
наличие определенного опыта. Для решения задач ученик должен уметь
находить производные элементарных функций. Также выпускник должен показать умение использовать физический и геометрический смысл
производной, с помощью графиков функции или производной функции
находить значение производной функции, промежутки возрастания
(убывания) функции, количество точек экстремума и т.д.
Типичные ошибки.
1. Путают графики функции и ее производной;
2. Не видят разницы в нахождении точек максимума (минимума),
наибольшего (наименьшего) значения функции;.
3. Выполняют задание относительно всего зарисованного графика
без учета заданного промежутка, на котором требуется что-то найти.
Рекомендации.
1. Решите нижеперечисленные задачи:
а) на нахождение точек экстремума по графику производной;
в) на нахождение наибольших и наименьших значений на заданном
промежутке по графику производной;
с) на нахождение промежутков монотонности (убывания и возрастания функций) по графику производной и с обратной задачей: нахождение по графику функции промежутков, в которых производная положительна или отрицательна (знакопостоянства графика производной
функции);
d) на нахождение точек, в которых касательная будет параллельна
заданному графику прямой (на графиках функции и ее производной);
е) на нахождение значения производной в заданной точке на графике функции.
Задача 1. На параболе у = х2 — 2х – 8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х + у + 4 = 0.
Решение.
Определим угловой коэффициент касательной
у = х2 – 2х – 8:
k = у' = (х2 – 2х – 8)' = 2х – 2.
Найдем угловой коэффициент прямой 4х + у + 4 = 0:
у = -4х – 4, k = -4.
148
к
параболе
Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны.
Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е. 2х – 2 = -4;
х = -1 – абсцисса точки касания.
Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у = х2 — 2х — 8, т.е.
у(-1) = (-1)2 – 2(-1) – 8 = -5, М(-1;-5).
Ответ: М(-1;-5).
Задача 2. Прямая у = 4х + 8 параллельна касательной к графику
функции у = х² — 5х + 7.
Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Так как касательная параллельна заданной прямой, то их угловые коэффициенты
равны (условие параллельности прямых). Угловой коэффициент данной
прямой равен 4, значит
f '(xo) = k
f '(х² — 5х + 7) = 4
2х — 5 = 4
х = 4,5
Ответ. 4,5
Задача 3. Прямая у = 3х + 9 является касательной к графику функции у = х³ + х² + 2х + 8.
Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
f '(xo) = k
f '(х ³ + х² + 2х + 8) = 3
3х² + 2х + 2 = 3
х1 = – 1; х2 = ⅓.
Из двух полученных корней необходимо выбрать один, так как
точка касания единственная. Ее координаты должны удовлетворять и
уравнению прямой, и уравнению заданной функции.
При подстановке полученной абсциссы -1 значения функций совпадают, при подстановке абсциссы ⅓ значения функций не совпадают.
Ответ. х = -1.
149
Аналогия графика функции и графика производной функции:
График функции
График производной
1) убывает
Меньше нуля (ниже оси ОХ)
2) возрастает
Больше нуля (выше оси ОХ)
3) имеет эстремум (минимум или
максимум)
Производная равна нулю
4) имеет минимум (вогнутый)
Возрастает
5) имеет максимума (выпуклый)
Убывает
Наибольшее и наименьшее значение функции
Здесь важно понять, что если график функции возрастает, то первое
значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее
значение функции будет наименьшим, а второе – наибольшим и наоборот, если график функции убывает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет
наибольшим, а второе – наименьшим.
150
Задача 4
№ 7741. На рисунке изобра-
жен график производной функции f { x ) , определенной на
интервале (-8;4). В какой точке
отрезка [-7; -2] f(x) принимает
наименьшее значение.
Решение.
На промежутке [-7;-2 ] график производной функции лежит
ниже оси ОХ, значит производная отрицательна, а когда производная функции убывает, значит
наименьшее значение функции
будет в точке -2
Ответ: -2
Задача 5.
№ 7743. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (-1; 12) . В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает
наибольшее значение.
Решение.
На промежутке ([0;4] график
производной лежит ниже оси ОХ,
значит производная отрицательна,
следовательно график функции
убывает, значит наибольшее значение функции будет в точке [0]
151
Задача 6.
№ 7681. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (-7; 4) . В какой точке отрезка [-1; 3] f(x) принимает
наименьшее значение.
Задача 7
№ 7773. На рисунке изображен
график производной функции
f(x) , опреяеленной на интервале
(-4;7) . В какой точке отрезка
[-2;3] f(x) принимает наибольшее
значение.
Решение.
На промежутке [-1;3] график
производной функции лежит выше
оси X, значит производная положительна,
следовательно
график
функции
возрастает,
значит
наименьшее значение будет в точке
-1
Ответ: -1
Решение.
На промежутке [-2;3] график
производной функции лежит выше
оси X, значит производная положительна, и график функции возрастает, следовательно наибольшее значение функции будет в точке [3]
Ответ: 3
Касательная
В первом случае задан график функции, для нахождения количества
точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо
просто подсчитать все точки максимумов и минимумов на заданном промежутке. Почему именно так? Угловой коэффициент прямой, в тех задани-
152
ях которые будут предложены на ЕГЭ по математике, будет равен всегда
нулю (т.к. графики касательных будут параллельны оси ОХ)
Задача 8.
Решение.
№ 7311. На рисунке изображен
Дан график функции. Точки
график функции у = f(x), определен- экстремума (максимумы и мининой на интервале (-2; 12). Найдите мумы) – точки, в которых касаколичество точек, в которых каса- тельная к графику функции, пательная к графику функции парал- раллельна прямой у=-9.
лельна прямой у = -9.
Ответ. 9
Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо:
1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать
двумя способами:
Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой
коэффициент прямой;
Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например. если
y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен -1
2. провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY,
равную угловому коэффициенту прямой.
3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции.
Задача 9.
Решение.
Дан график производной
№ 8745. На рисунке изображен график производной функции функции. Прямая у=-х+3 имеет
f(x) , определенной на интервале угловой коэффициент прямой,
(-4; 7). Найдите количество точек, равный -1, значит проведем пряв которых касательная к графику мую у=-1. Посчитаем количество
точек пересечения этой прямой с
функции f(x) параллельна прямой графиком производной функции
у = -х+ 3 или совпадает с ней.
(красные точки), значит ответ: 3
153
Ответ. 3
154
График функции
Свойства
График производной функции
1
2
3
На рисунке изображен график функции у =
f (х), определенной на интервале (-6; 8).
Определите количество целых точек, в
которых производная функции положительна.
Если производная функции положительна f '(x) > 0 на заданном интервале, то функция возрастает на этом
интервале.
Если производная функции отрицательна f '(x) < 0 на заданном интервале, то функция убывает на этом
интервале.
(и наоборот)
На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной
на интервале (-7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f (х). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в
эти промежутки.
Решение. Производная функции положительна, когда функция возрастает.
В данном случае функция возрастает на (7; -5), (-4; 1), (3; 6,5) при х = -6; -3; -2; -1; 0;
4; 5; 6, т.е. в 8 целых точках. Ответ: 8.
Решение. Функция возрастает, если ее
производная положительна. В данном
случае f '(x) > 0 при х = -6;
-2; -1; 0; 1; 2; 3. их сумма равна -6.
Ответ. -6.
1
2
На рисунке дан график функции
y = f(x), а также касательная к графику в
точке с абсциссой, равной 3. Найти значение производной данной функции в точке х
= 3.
Геометрический смысл производной.
Производная функции в точке х0 —
это тангенс угла наклона между
осью абсцисс и касательной к графику этой функции, проходящей через
точку х0 .
- если угол наклона касательной
острый, то тангенс положительный,
значит производная положительна;
- если угол наклона касательной
тупой, то тангенс отрицательный,
значит производная отрицательна;
- если угол наклона касательной
прямой, то тангенс не существует,
значит производная не существует.
Решение: Для решения данной задачи
необходимо вспомнить тот факт, что производная функции в точке равна тангенсу
угла, образованному касательной и осью
Ox. То есть, f'(xo) = tg a.
156
3
1
2
f '(xo) = tg ACD.
Рассмотрим треугольник ADC и найдем tg
ACD. По определению, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. AD = 6, CD = 3. Отсюда очевидно, что
tg ACD = 6/3 = 2.
Следовательно, f '(xo) = 2.
Ответ. 2.
157
3
1
На рисунке изображен график функции f(x),
определенной на интервале (-9;8). В какой
точке отрезка [-8;-4] функция принимает
наименьшее значение?
Решение. На отрезке [-8;-4] функция принимает наименьшее значение при х = -4.
Ответ: -4.
2
3
Наибольшим значением функции
на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом
отрезке, а наименьшим – самое
маленькое из всех ее значений.
Функция y = f(х), непрерывная на
отрезке [a, b] достигает своего
наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка,
либо внутри него.
Если наибольшее или наименьшее
значение функции достигается во
внутренней точке отрезка, то это
значение является максимумом
или минимумом функции, то есть
достигается в критических точках:
f '(x) = 0.
На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке
отрезка [-3; 2] функция, принимает
наибольшее значение?
158
Решение.
Функция
принимает
наибольшее значение при f '(x) = 0.
По графику у = f '(x), находим: на
отрезке [-3; 2] производная равна нулю
при х = -3.
Ответ. -3.
1
2
3
На рисунке изображен график функции у =
f (x), определенной на интервале (-2; 12).
Найдите сумму точек экстремума функции f
(x).
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует
окрестность точки xо, для всех
точек которой верно неравенство
f(x)  f(xо)
(f(x)  f(xо)).
Точки максимума и минимума
называются точками экстремума, а
значения функции в этих точках – ее
экстремумами.
Необходимые условия экстремума.
Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f (xо)
= 0, либо f (xо) не существует. Такие
точки называют критическими, причем сама функция в критической
точке определена.
Первое достаточное условие. Пусть
xо –
при переходе через точку xо меняет
знак плюс на минус, то в точке xо
функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо
экстремума нет.
На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(х) на
отрезке [-6; 9].
Решение.
Функция имеет экстремумы при х = 1; 2; 4;
7; 9; 10; 11. Экстремумы соответственно
равны: 2; 1; 3; -3; -1; -2; -1. Суммируя значения экстремумов, получаем:
2 + 1 + 3 – 3 – 1 – 2 – 1 = -1.
Ответ. -1.
159
Решение.
На отрезке [-6; 9] производная
функции имеет критическую точку в х =
7, производная меняет знак с плюса на
минус, следовательно, является единственной точкой максимума.
Ответ. 1.
Задание В14
Задание B14 на нахождение с помощью производной точек экстремума функции или вычисление наибольшего (наименьшего) значения
функции на отрезке. Для успешного решения задачи ученик должен
уметь вычислять производные элементарных функций и в простейших
случаях исследовать функцию на монотонность.
Типичные ошибки.
1. Неумение находить производную сложной функции;
2. Неверное использование алгоритма нахождения точку максимума (минимума): путают с наибольшим (наименьшим) значением функции.
Рекомендации.
1. Повторите правила нахождения производных элементарных и
сложных функций;
2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;
3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.
Задача 1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [6;8].
Решение.
Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции на
отрезке [a;b], надо найти значения этой функции на концах отрезка f(a)
и f(b), значения функции в точках интервала от a до b где ее производная равна 0 или не существует и из всех этих значений выбрать
наименьшее или наибольшее.
Найдем f '(x). Производная произведения равна
f '(x) = 0 при х = 7.
Ответ. -1 наименьшее значение функции на отрезке [6;8].
Задача 2. Найдите наименьшее значение функции
Решение. Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение
функции на отрезке [a;b], надо найти значения этой функции на концах
отрезка f(a) и f(b), значения функции в точках интервала от a до b где ее
производная равна 0 или не существует и из всех этих значений выбрать
наименьшее или наибольшее.
Найдем f '(x). Производная произведения равна
160
Ответ: наибольшее значение функции на заданном отрезке равно
12.
Задача 3. Найдите точку максимума функции
Решение.
Найдем точки экстремума. Производная натурального логарифма
равна
f '(x) = 0 при х = 10,8.
Корень соответствует условию
х + 11 ≥ 0 Это точка максимума.
Ответ. х = -10.8
161
Задачи для самостоятельного решения
Задание В8
Задача 1.
Прямая у = 7х – 5 параллельна касательной к графику функции
у = х² + 6х – 8. Найдите абсциссу точки касания.
Задача 2.
Прямая у = -4х – 11 является касательной к графику функции
у = х³ + 7х² + 7х – 6. Найдите абсциссу точки касания.
Задача 3.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на
интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Задача 4.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на
интервале (-5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции параллельна прямой у = 6 или совпадает с ней.
Задача 5.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на
интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функци и f (х).
162
Задача 6.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] f (х) принимает
наибольшее значение.
Задача 7.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-7; -3] f (х) принимает наименьшее значение.
Задача 8.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума
функции f (х) на отрезке [-6; 9].
163
Задача 9.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-18; 6) Найдите количество точек минимума
функции f (х) на отрезке [-13; 1].
Задача 10.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-11;11). Найдите количество точек экстремума
функции f (х) на отрезке [-10; 10].
Задача 11.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-7; 4). Найдите промежутки возрастания функции
f (х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
164
Задача 12.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-5; 7). Найдите промежутки убывания функции f
(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Задача 13.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-11; 3) Найдите промежутки возрастания функции
f (х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Задача 14.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-2; 12) Найдите промежутки убывания функции f
(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
165
Задача 15.
На рисунке изображен график производной функции f (х), определенной на интервале (-10; 2) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (х) параллельна прямой у = -2х – 11 или
совпадает с ней.
Задача 16.
На рисунке изображён график функции у = f (х)и касательная к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f
(х) в точке х0.
Задача 17.
На рисунке изображён график функции у = f (х)и касательная к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f
(х) в точке х0.
166
Задание В11
Задача
Задача
1.
Найдите
наименьшее
на отрезке
.
2.
Найдите
наибольшее
значение
функции
значение
функции
Задача
3.
Найдите
на отрезке
.
наименьшее
значение
функции
Задача
4.
на отрезке
.
Найдите
наименьшее
значение
функции
Задача
5.
на отрезке
Найдите
.
наименьшее
значение
функции
Задача
6.
на отрезке
Найдите
.
наименьшее
значение
функции
Задача
7.
на отрезке
Найдите
.
наибольшее
значение
функции
Задача
на отрезке
8.
Найдите
наименьшее
значение
функции
.
на отрезке
.
Задача 9. Найдите точку минимума функции
Задача 10. Найдите точку максимума функции
Задача 11. Найдите точку минимума функции
Задача 12. Найдите точку максимума функции
167
.
.
.
.
Задача
13.
Найдите
наименьшее
значение
функции
Задача
14.
на отрезке
Найдите
.
наибольшее
значение
функции
Задача
15.
на отрезке
Найдите
.
точку
максимума
функции
Найдите
.
Найдите
точку
минимума
функции
точку
максимума
функции
.
Задача
16.
Задача
17.
.
168
Раздел VI. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Задание B9
Задание B9 на вычисление площадей поверхности или объемов
геометрических тел. Для успешного выполнения этого задания ученику
достаточно уметь решать простые стереометрические задачи и производить вычисления по известным формулам.
Типичные ошибки.
1. Не знают простейших формул вычисления площадей геометрических тел;
2. Не знают формул вычисления объемов геометрических тел.
Рекомендации.
1. Повторите формулы вычисления площадей геометрических фигур, объемов геометрических тел;
2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;
3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.
Основные типы задач В9.
І тип. Одна из самых распространенных задач В9:посчитать объем
или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь
часть вырезана. Например:
Задача 1.
Найти объем
многогранника.
изображенного
Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
V=a·b·c
Очевидно, нам дан большой параллелепипед, из которого вырезан
«кирпичик», так что получилась «полочка».
Объем найти просто. Необходимо из объема большого параллелепипеда вычесть объем маленького:
5 · 3 · 5 – 2 · 1·· 2 = 75 – 4 = 71
Ответ. 71
169
Задача 2.
Найти площадь поверхности многогранника из задачи 1..
Решение.
Нужно посчитать сумму площадей
всех граней: верхней, нижней, передней, задней, правой, левой с учетом
вырезанных прямоугольников.
Можно сделать это напрямую.
S = 5 · 5 + 3 · 5 + 3 · 5 + (5 · 5 – 2 · 2) + (5 · 3 – 2 · 1) + (3 · 5 – 2 · 1) = 110
нижняя
грань
левая
грань
задняя
грань
верхняя
грань
правая
грань
передняя
грань
С другой стороны, если бы из большого параллелепипеда ничего
не вырезали, его площадь поверхности была бы равна:
S = (3 · 5 + 5 · 5 + 3 · 5) = 110.
Но есть и способ проще.
В этот момент и наступает понимание. Каким бы способом вы ни
решали, результат один – площадь поверхности будет такой же, как и у
целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.
Ответ. 110.
Задача 3.
Найти площадь поверхности многогранника
Решение.
S = 2 ·(4 × 3 + 3 ×· 5 + 4 × 5) = 72
Ответ. 72
Задача 4.
Найти площадь поверхности многогранника.
Решение.
Площадь поверхности параллелепипеда:
S = [1 · 7 + 1 · 5 + 5 · 7] · 2 = 96
Она фактически равна площади
изображенного многогранника:
S = [1 · 7
нижняя
грань
+ 1 · 5 + (5 · 7 – 1 · 2) + 1 · 2 + 2 · 2] · 2 = 96
боковая
грань
передняя
грань
замечаем: первый способ проще!
Ответ. 96
170
внутренние
грани
ІІ тип. Найти объем тела, вписанного в другое объемное тело.
Задача 5.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания
и высота которого равны 1. Найдите объем
параллелепипеда.
Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
V = S осн.· h
Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда: h = 1.
Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник.
Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат,
а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности: a = 2r
Итак, площадь основания параллелепипеда равна: Sосн = (2r)² = 4,
Объем: V = 4 × 1 = 4.
Ответ. 4
Задача 6.
В основании прямой призмы лежит
прямоугольный треугольник с катетами
6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите
объем цилиндра, описанного около этой
призмы. В ответ запишите V/π.
Решение.
Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть h = 4.
Найдем радиус его основания.
Рассмотрим вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан
в окружность, следовательно, радиус окружности – есть половина гипотенузы.
Гипотенуза: c² = 6² + 8² = 100
с = 10
То есть r = 5
.объем цилиндра: V = S осн.· h
S осн = π r² = 25 π
V
25 π · 4
=
= 100
π
π
Ответ. 100
171
Задача 7.
В прямоугольный параллелепипед вписан
шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда.
Решение.
Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы
увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать,
а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка
будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.
Ответ. 8.
ІІІ тип. Задачи, в которых увеличили или уменьшили какой-либо
линейный размер (или размеры) объемного тела. И нужно узнать, как
изменится объем или площадь поверхности.
Задача 8.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду.
Уровень воды достигает 12 см.
На какой высоте будет находиться
уровень воды, если ее перелить в другой
такой же сосуд, у которого сторона
основания
в 2 раза
больше,
чем
у первого?
Ответ
выразите
в сантиметрах.
Решение.
Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже
имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании – правильный треугольник, у которого все стороны в два раза
больше, чем у первого.
Площадь этого треугольника будет больше в 4 раза.
Объем воды остался неизменным.
Следовательно, в 4 раза уменьшится высота.
Ответ. 3.
172
Задача 9.
Одна цилиндрическая кружка вдвое
выше второй, зато вторая в два раза
шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
Решение.
Объем цилиндра: V = πR2 h
Высота
Радиус
Объем
Первая кружка
h
R
πR2h
Вторая кружка
½·h
2R
π · (2R)2 · ½ h
Получили объем второй кружки:
V = 2πR2 h.
Он в два раза больше объема первой кружки.
Ответ. 2
Задача 10.
Через среднюю линию основания
треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
Решение.
Высота меньшей призмы такая же,
как и у большой.
Площадь ее основания в 4 раза
меньше, так как средняя линия треугольника равна половине основания.
Значит, объем отсеченной призмы
равен также в 4 раза меньше, чем объем
большой призмы, т.е. 8.
Ответ. 8
173
Задача 11.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
Решение.
Октаэдр представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. Если
все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз,
поскольку 32 = 9.
Ответ: 9.
ІV тип. Задачи, в которых надо найти объем части геометрического
тела.
Задача 12.
Найдите объем V части цилиндра,
изображенной на рисунке. В ответе укажите
V/π.
Решение.
Изображен не целый цилиндр, а его
часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося
«сыра».
Вырезан кусок с углом 60 градусов, а 60° – это одна шестая часть
полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых.
Объем всего цилиндра:
V = πR2 h = π15² × 5 = 1125π.
Умножаем полученный результат на пять шестых, делим на π, получаем ответ: 937,5.
Ответ. 937,5
Задание С2
Задание С2 имеет повышенный уровень сложности. Необходимо
уметь выполнять действия с геометрическими фигурами и телами, координатами и векторами, находить углы и расстояния в пространстве.
174
Критерии оценивания заданий с развернутым ответом
Содержание критерия
баллы
Обосновано получен верный ответ
2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической
задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
Задача 1.
С2. В кубе ABCDA1B1С1D1 все ребра
равны 1. Найдите расстояние от точки С до
прямой BDX.
Решение.
Проведем отрезок СD1 и опустим перпендикуляр СН на BDX. Искомое расстояние
равно высоте СН прямоугольного треугольника BCD1 с прямым углом С:
СН 
Ответ:
СD1  BC

BD1
2
3

6
.
3
6
.
3
Задача 2.
С2004. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1С1D1 известны ребра;
АВ = 6, AD = S, CC1 – 16.
Найдите угол между плоскостями ABC
и A1DB.
Решение.
Плоскости ABC и имеют общую прямою BD. Проведем перпендикуляр АН к ВD. По теореме о трех перпендикулярах А1Н ┴ВD. Значит,
угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и А1ВD.
Из прямоугольного треугольника BAD находим:
175
АВ  АD 48 24


BD
10
5
Из прямоугольного треугольника А1АН находим:
АН 
tgA1HA 
AA1 16  5 10
.


AH
24
3
Значит, искомый угол равен arctg
Ответ: arctg
10
3
10
.
3
Задача 3.
С2001. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер
AD = 12, AВ = 5, АА1 = 8. Найдите объем пирамиды МB1C1D если М – точка на ребре AA1,
причем AM = 5.
Решение:
1
VMB1C1D  S B1C1D  hM  S B1C1D  6 89
3
AM = 5 и МЕ┴ВС , значит ME – hM. Треугольник АМЕ подобен треугольнику ABB1,
значит
AM  AB

AB1
1
VMB C D   6 89 
3
Ответ: 50.
ME 
1 1
25
89
25
89
;
 50 .
Задача 4.
С2002. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием
АВС известны ребра АВ = 7 3 , SC = 25. Найдите угол, образованный
плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS
и BС.
Решение
Пусть М и N – середины ребер и ВС соответственно. Прямая AS
проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция
точки M – точка М1 – лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является
проекцией прямой MN, следовательно, угол MNM1 – искомый.
176
MM1|| SO, где О – центр основания,
значит, MM1 – средняя линия треугольника ASO, а потому М1 – середина АО.
1
7
АM 1  AN 
Тогда
и
3
2
2
M 1 N  AN  7
3
Из прямоугольного треугольника
АММ1 находим:
625 49

 12 .
4
4
Из прямоугольного треугольника MM1N находим:
MM 1 12
tgMNM 1 

.
M1N
7
MM 1 
AM 2  AM 12 
Значит, искомый угол равен arctg
Ответ: arctg
12
7
12
.
7
Задача 5.
С2004. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны
ребра; АВ = 6, AD = 8, CC1 = 16.
Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Решение
Плоскости ABC и А1DB имеют
общую прямою BD. Проведем перпендикуляр АН к 3D. По теореме о
трех перпендикулярах А1Н┴BD. Значит, угол двугранного угла, образованного плоскостями АBС и A1DB.
Из прямоугольного треугольника BAD находим:
AB  AD 48 24
.
АН 


BD
10
5
Из прямоугольного треугольника A1АН находим:
AA 16  5 10
.
tgA1HA  1 

AH
24
3
177
Значит, искомый угол равен arctg
Ответ: arctg
10
3
10
3
Задача 6.
Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания
равна S, а двугранные углы при основании равны α.
Решение.
Предположим, что нам задана произвольная n-угольная пирамида
СА1 А2... Аn, основанием которой является n-угольник А1 А2... Аn (С –
вершина пирамиды). Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей n треугольников.
S бок. = SΔ СА1А2 + SΔ СА2А3 + …+ SΔ САn – 1А n + SΔ СА n А1
А площадь основания равна сумме площадей n треугольников, являющихся проекциями боковых граней (О – проекция вершины С на
плоскость основания):
Рассмотрим отношение между площадями
SΔ СА1А2 и SΔ ОА1А2
Пусть CD – высота треугольника
СА1A2,
OD – высота треугольника OА1A2.
Тогда OD – проекция CD на основание
пирамиды и < СDO = α (СDO – линейный
угол двугранного угла между боковой гранью СA1А2 и основанием OA1A2).
Используя формулу площади треугольника, можем записать:
SΔ СА1А2 = ½ · А1 А2 · CD
SΔ ОА1А2 = ½ · А1 А2 · ОD
Из прямоугольника CDO имеем OD = CD · cos α.. Следовательно,
SΔ ОА1А2 = ½ · А1 А2 · СD · Cos α. = SΔ СА1А2 · Cos α
Аналогичные соотношения будут связывать площадь всех треугольников боковой поверхности и площадь проекций этих треугольников на
основание. После сложения этих соотношений приходим к равенству
S осн. = Sбок. · Cos α
S
Отсюда
Sбок. =
Cos α
S
Ответ.
Cos α
178
Задача 7. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см. а сторона основания – 6 см. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Рассмотрим пирамиду DABC. В ней AD = BD = CD = 4 см,
АВ = ВС = АС = 6 см.
Объем V вычислим по формуле
где H = DO – высота пирамиды, О – проекция
вершины D на основание, совпадающая с точкой пересечения медиан, высот, биссектрис,
треугольника ABC.
Из треугольника ВЕС со сторонами ВС = 6 см, ЕС = 3 см находим
по теореме Пифагора
Следовательно,
Из прямоугольного треугольника DOB, по теореме Пифагора,
Площадь основания равна
Теперь найдем объем:
Ответ.
Задача 8. Два рамных тара радиуса R расположены так, что центр
одного лежит па поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Сферы, о которых идет роль в задаче, пересекаются по окружности.
Ее центр О расположен на середине радиуса О1О2 данных сфер.
Радиус г этой окружности можно найти по теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника О1О2, где
179
т.е.
.
Длина этой окружности равна
Задание С4
В задании С4 предложена геометрическая задача из планиметрии.
Уровень сложности – повышенный. В задаче необходимо рассмотреть
все случаи геометрической конфигурации.
Критерии оценивания заданий с развернутым ответом С4
Содержание критерия
Баллы
Обосновано получен верный ответ
3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой
величины
2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой, неправильное из-за арифметической ошибки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3
Задача 1. Боковая сторона АВ трапеции АВСD равна l, а расстояние от середины СD до прямой АВ рано m. Найдите площадь трапеции.
180
Решение.
Площадь трапеции: SABCD = ½(a+b)·h,
где a и b – основания трапеции, а h ее высота.
С другой стороны SABCD = SАВК + SСВК +
SАКD
1) Рассмотрим треугольник АВК
SABK= ½ (KH⋅AB) = ½ l·m
2) Рассмотрим треугольник СВК
SCBK = ½(KG⋅BC) = ¼ (h⋅BC), (GF – высота
трапеции, GK=KF по теореме Фалеса, GK = KF
= ½ h)
3) Рассмотрим треугольник АКD
SAKD = ½ (KF⋅AD) = ¼ (h⋅AD)
4) SABCD = SАВК + SСВК + SАКD =
= ½ l·m +½(½h⋅BC + ½(h⋅AD)=
= ½ l·m +½·½h(ВС + АD) = ½ l·m + ½ SABCD
SABCD = ½ l·m + ½ SABCD
SABCD – ½ SABCD = ½ l·m
½ SABCD = ½ l·m
SABCD = l·m
Ответ. Sтрап = lm
Задача 2. Дан угол ABC, равный 300. На его стороне BA взята точка
D такая, что AD = 2 и BD = 1. Найти радиус окружности, касающейся
прямой BC и проходящей через точки A и D.
Решение.
Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой P середину AD, буквой Q –
основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E – точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра.
Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка О не может лежать по ту же сторону от прямой
АВ, что и точка Е, так как расстояние от точки О до прямой ВС меньше,
чем расстояние от нее до точки А
Из прямоугольного треугольника ВРЕ с катетом ВР = 2 и углом
В = 30º находим, что
181
Так как OA=R и AP=1, получим:
и, следовательно,
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E=600 находим:
Таким образом, получаем следующее уравнение для R:
Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в
квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.
Решив данное уравнение, получим R1=1, R2=7.
Ответ. 1 или 7.
Задача 3.
С4006. В треугольнике АВС
АВ = 7, ВС = 9, СА = 4. Точка D
лежит на прямой ВС так: что BD :
DC = 1:5. Окружности, вписанные
в каждый из треугольников ADC и
ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка
EF.
Решение:
Пусть AD = d, BD = х, DC = у. Подсчитывая разными способами пеd  y4
риметры треугольников ADC и ABD, получаем: DE 
,
2
d  x7
DF 
.
2
182
Возможны два случая.
1. Точка D лежит на отрезке ВС. Тогда х = 1,5, y = 7,5. Значит,
3 y  x
EF 
 4,5.
2
9
45
2. Точка D лежит вне отрезка ВС. Тогда х =
, y  x9
.
4
4
Значит, EF = 6.
Ответ: 4,5 или 6.
Задача 4.
С4007. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ЕВС точками М и N так, что ВМ:
MN = 1:2. найдите ВС, если АВ = 12.
Решение
Пусть Е – точка пересечения биссектрис, ВМ = х, MN = v, NC = z. Так как
x 1
  1 , то точка М лежит между точками
y 2
В и N. Возможны 2 случая.
1. Точка Е – внутри параллелограмма. Треугольники ABN н DMC
x 1
равнобедренные, х + у = 12 = у + z, следовательно, x  z  y;  ,
y 2
откуда y = 8, z = x = 4, ВС = 2х+у = 16.
x 1
2. Точка Е – вне параллелограмма. Тогда x = z = 12,
 , откуда
y 2
у = 24, BC=2x+y=48.
Ответ: 16 или 48.
Задача 5.
С4001. Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан
в другую окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке М.
Найдите периметр треугольника АВМ, если известно, что АВ = а и CD =
b.
Решение:
Возможны два случая (см. рис).
1 случай. Четырехугольник ABCD описан около окружности, следовательно: AD + ВС = АВ + CD = a + b . Четырехугольник ABCD вписан в окружность, значит, BAD + BCD = 1800. Но MCD + BCD =
183
1800, откуда BAD = MCD, следовательно, ∆ABM ~ ∆CDM с коэффиAB a
циентом подобия k 
 .
CD b
Обозначим через Р периметр треугольника АВМ, тогда периметр
треугольника CDM равен Р – AD – АВ – ВС + CD = Р – a – (a – b) + b = P –
P
a
 , bP = aP – 2a2 .
2a. Поскольку Р : Р1 = а : b, далее получаем:
P  2a b
2а 2
откуда Р =
.
ab
2 случай. Аналогично случаю 1 имеем:
P
a
P1  P  a  b  (a  b)  P  2b,
 ,
P  2b b
2ab
bP  aP  2ab , откуда P 
.
ba
2a 2
2ab
Ответ:
или
.
ab
ba
Задачи для самостоятельного решения
Задание B6
Задача 1. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов
и
.
Задача 2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора
184
+
.
Задача 3. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2; 2), (8; 10), (8; 8).
Задача 4. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно
(-2, -2), (6, -2), (6, 4), (-2, 4).
Задача 5. Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных
уравнениями 3х + 2у = 6 и у = – х.
Задача 6. Найдите угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 3з + 4у = 6.
Задача 7. Окружность с центром в начале координат проходит через точку P(8, 6). Найдите ее радиус.
Задача 8. Точки O(0, 0), A(6, 8), B(8, 2) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.
185
Задача 9. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см
изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных
сантиметрах.
Задача 10. Найдите площадь треугольника, вершины которого
имеют координаты (1;6), (9;6), (10;9).
Задача 11. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого
имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).
Задача 12..Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
186
Задача 13. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 30 0.
Задача 14. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 1500. Боковая сторона треугольника
равна 20. Найдите площадь этого треугольника.
Задача 15.. Площадь треугольника ABC равна 4.
ния. Найдите площадь треугольника CDE.
– средняя ли-
Задача 16. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно
3 и 2. Найдите площадь трапеции.
Задача 17. Периметры двух подобных многоугольников относятся
как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь
большего многоугольника.
187
Задача 18. Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги
которого равна 2.
Задача 19. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр
равен 18, и одна сторона на 3 больше другой.
Задача 20. Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.
Задача 21. Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6.
Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.
Задача 22. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около
окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?
188
Задача 23. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые
стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Задача 24. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к
этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему
равна высота, проведенная ко второй стороне?
Задача 25. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной
окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Задача 26. Около окружности, радиус которой равен 3, описан
многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.
Задание B9
Задача 1. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину
пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной
треугольной пирамиды.
189
Задача 2. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато
вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки
к объему первой.
Задача 3. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 0. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
Задача 4. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны
и
наклонены к плоскости основания под углом 300.
Задача 5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
и
образует углы 300, 300 и 450 с плоскостями граней параллелепипеда.
Найдите объем параллелепипеда.
190
Задача 6. Объем куба равен
. Найдите его диагональ.
Задача 7. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров
воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в
1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.
Задача 8. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?
Задание С2
Задача 1.
С2002. В правильном треугольной пирамиде SABC с основанием
ABC известны ребра AB  7 3 , SC = 25. Найдите угол., образованный
плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS
и ВС.
191
Задача 2.
С2004. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1С1D1 известны ребра: АВ = 6, AD = S, СС1=16. Найдите угол между плоскостями
ABC и A1DB.
Задача 3.
С2005. В кубе ABCDA1В1C1D1 найдите косинус утла между плоскостями ВА1С1 и BA1D1.
Задача 4.
С2006. В правильном тетраэдре ABCD
найдите угол между высотой тетраэдра DH
и медианой ВМ боковой грани BCD.
Задача 5.
С2008. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра
равны 1, найдите синус угла между плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно BD.
Задание С4
Задача 1.
С4007. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне
AD делят стону ЕВС точками M и N так, что ВМ : MN = 1 : 2. Найдите
ВС, если АВ = 12.
Задача 2.
С4006. В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 9, СА = 4. Точка D лежит
на прямо ВС так, что BD : DC = 1 : 5. Окружности, вписанные в каждый
из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F.
Найдите длину отрезка EF.
Задача 3.
С4001. Четырехугольник AВCD описан около окружности и вписан
в другую окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке M.
Найдите периметр треугольника АВМ, если известно, что АВ = а и CD =
b.
Задача 4.
С4012. Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан
в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке М. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что AMD = α и радиусы
192
окружностей, вписанных в треугольники ВМС и AMD равны соответственно r и R.
Задача 5.
С4003. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ=4 и ВС=10 на
стороне AD расположены точки М н N таким образом, что DM= 4, при
этом Р – точка пересечения прямых B N н СМ . Площадь треугольника
MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки М и N .
Задача 6.
С4004. Прямая касается окружностей радиусов R и г в точках А
и В . Известно, что расстояние между центрами равно а, причем r < R
н r + R < a . Найдите АВ.
Задача 7.
С4012.Четырехугольннк ABCD описан по краю окружности и вписан
в окружность. Прямые А В и DC пересекаются в точке М. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ZAMD = а и радиусы
окружностей, вписанных в треугольники ВМС и AMD равны соответственно г и R.
Задача 8.
С4002. Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4 : касаются
внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.
193
Раздел VII. ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Традиционно, уравнения с параметром являются достаточно сложными для среднего ученика. В задании C5 ЕГЭ по математике 2011 экзаменаторы предлагают именно такие уравнения, добавив в некоторые
из них модуль. Для его решения от ученика потребуется умение делать
оценку. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен быть полным.
Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами
показательной, тригонометрической и логарифмической функциями
Задача 1.
Найдите значения параметра n,
15·10 х – 20 = n – n·10х + 1 не имеет корней?
при
которых
уравнение
Решение.
Преобразуем заданное уравнение: 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1;
15·10 х + n·10х + 1 = n + 20;
10 х ·(15 + 10n) = n + 20;
10 х =
n  20
.
15  10n
Уравнение не будет иметь решений при n  20 ≤ 0, поскольку 10 х
15  10n
всегда положительно.
Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем:
n  20
≤ 0;
15  10n
(n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0;
- 20 ≤ n ≤ – 1,5.
Ответ.  20;1,5 .
Задача 2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
lg2 (1 + х2) + (3а – 2)· lg(1 + х2) + а2 = 0 не имеет решений.
Решение.
Обозначим lg(1 + х2) = z, z > 0,
тогда исходное уравнение примет вид: z2 + (3а – 2)·z + а2 = 0.
Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)2 –
2
4а = 5а2 – 12а + 4.
Уравнение не имеет решений при дискриминанте меньше 0, то есть
при 5а2 – 12а + 4 < 0,
что выполняется при 0,4 < а < 2.
Ответ. (0,4; 2).
194
Задача 3. Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение
cos2x + a sinx = 2a – 7 имеет решение.
Решение.
Преобразуем заданное уравнение: cos2x + asinx = 2a – 7;
1 – 2sin2х – asinx = 2a – 7;
1
asinx + a – 4 = 0;
2


(sinх – 2) · sin x   a  2  = 0.
2


sin2х –
Решение уравнения (sinх – 2) · sin x   a  2  = 0 дает:
2


(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.
sinх –  а  2  = 0;
2
х = (-1)n arcsin  а  2  + πn, n  Z при  а  2  ≤ 1.
2
2

Неравенство  а  2  ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует,
2

что наибольшее целое значение параметра а равно 6.
Ответ. 6.
Задача 4. Укажите наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х2 – 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).
Решение.
Корни заданного уравнения равны: х1 =
х2 =

1
1  1  4а
4
По условию -1 <

 , при этом а ≤
1
(1+ 1 4а )
4
1
.
4
1
(1+ 1 4а ) < 1  5 < 1 4а < 3,
4
1
1  1  4а  < 1  5 > 1 4а > – 3.
4
Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам,
будет решение двойного неравенства: – 3 < 1 4а < 3.
1
Неравенство – 3 < 1 4а выполняется при всех а ≤ ,
4
-1<
неравенство 1 4а < 3 – при – 2 < а ≤
195
1
.
4
Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интер1
вале (-2;  .
4
Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0.
Ответ. 0.
Задача 5. При каких значениях параметра а число корней уравнения
х²– 8х
 7 = 0 равно а?
Решение.
Построим эскиз графика функции, у = х ² – 8 х  7 при этом учтем,
что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси
ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части (х ≥ 0).
Также учтем, что трехчлен х2 – 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7,
при х = 0 у = 7, а при х = 4 у = – 9 (минимум).
На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола у = х2 – 8х
+7
с минимумом умин = 9 при х мин = 4, и корнями х1 = 1 и х2 = 7;
сплошными линиями изображена часть параболы у = х 2 – 8х + 7
(1 < х < 7), полученная зеркальным отражением относительно оси
0х части параболы
х2 – 8х + 7 при 1 < х < 7.
(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить,
отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у).
Проводя горизонтали у = а, а  N, получаем k точек ее пересечение с линиями эскиза графика.
196
Имеем:
а
k
0
4
[1; 6]
8
7
7
8
6
9
4
10;
2
Таким образом, а = k при а = 7.
Ответ. 7.
Задача 6. Укажите значение параметра а, при котором уравнение х4
+ (1 – 2а)х2 + а2 – 4 = 0 имеет три различных корня.
Решение.
Всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары
корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.
Корни заданного уравнения равны:
2
2
х =  (2а  1)  (2а  1)  4(а  4)   (2а  1)  17  4а
2
2
17  4а .
1
Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0  а > , имеем:
2
2
(2а – 1) = 17  4а  (2а – 1) = 17 – 4а 
4а2 – 4а +1 = 17 – 4а  а = 2.
Ответ. 2.
Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) =
Задача 7. Укажите целое значение параметра p, при котором уравнение
р cosx – 2sinx =
2 +
2  р имеет решение.
Решение.
р ≥ 0; и 2 – р ≥ 0  р ≤ 2;
объединяя допустимые значения параметра р, имеем: 0 ≤ р ≤ 2.
При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2 2  х
принадлежит пустому множеству (в силу ограниченности синуса).
При р = 1 исходное уравнение принимает вид: cosx-2sinx =
Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет
5 cos x  2 sin x = (- sinx – 2cosx) = 0  tgx = -2,
2
при этом sinx = sin (arctg(-2)) =
,
5
cosx – 2sinx = 5  , что меньше 2 +1.
Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет.
197
2 +1.
При
р
=
2
исходное
уравнение
принимает
вид:
2 cos x  2 sin x  2 .
2 cos x  2 sin x составляет
Максимальное значение разности
6
при х = arctg(- 2 )
(при этом sinx =
Поскольку
иметь решение.
Ответ. 2.
 2
6>
3
, cosx =
1
3
).
2 +1, то уравнение
2 cos x  2 sin x =
2 будет
Задача 8. Определить число натуральных n, при которых уравнение
х8 n
 не имеет решения.
n  10 х
Решение.
х ≠ 0, n ≠ 10.
 х 2  8 х  n(n  10 )  0,
х8 n
 

n  10 х
 х  0, n  10
2
Уравнение х – 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0,
т.е. 16 + n(n-10) < 0  n2 -10n +16 < 0  (n-2) (n-8) <0  2 < n < 8.
В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.
Ответ. 6.
Задача 9. Найти наименьшее целое значение параметра а, при ко1
1

тором уравнение

 a (0 < х < ) имеет решение.
2
sin x cos x
1
Решение. По условию 1 > sinx > 0  1 <
<+ ,
sin x
1 > cosx > 0  1 <
1
<+ ,
cos x
Следовательно, 2 < а < +  .
Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:
2
1
2
1
 1
1  = а2 
= а2 





2
2
 sin x

cos x 
sin x
sin x  cos x
1
2

= а 2.

sin 2 x  cos2 x sin x  cos x
198
cos x
Введем переменную z =
1
.
sin x  cos x
Тогда исходное уравнение примет вид: z2 + 2z – а2 = 0.
Оно имеет решение при любом а, поскольку дискриминант D = 1 +
а2 положителен при любом а.
Учитывая, что 2 < а < +  , заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение
равно 3.
Ответ. 3.
Задача 10.
Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет
единственное решение.
Решение.
Пусть система имеет решение (x;y).
Если x не равен 0, то система имеет второе решение (-x;y). Значит,
решение может быть единственным, только при x = 0.
Подставим x=0 в первое уравнение: y = a – 2. Пара (0;a – 2) должна
удовлетворять второму уравнению:
(a – 2)2= 4, откуда a = 0 или a = 4.
Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение.
Первый случай: a = 0. Система принимает вид:
Графиком функции y = |x| – 2 является
угол, который имеет с окружностью x2+y2=1
три общие точки. Значит, при a=0 система
имеет три решения.
Второй случай, a = 2. Система принимает вид
Из первого уравнения следует, что при
x, не равном нулю, y > 2,
а из второго уравнения при x, не равном
нулю получаем, что
|y| < 2.
Следовательно, при x, ≠ 0 система решений не имеет.
199
Значит, при a = 4 есть только одно решение x = 0, y = 2.
Ответ. а = 4.
Задача 11. Найти все значения параметра a, при которых уравнение
4х – |3х – |х + а|| = 9 |х – 1|
имеет хотя бы один корень.
Решение:
Запишем уравнение в следующем виде:
.
Функция
непрерывна и
1) неограниченно возрастает при
, так как при любом раскрытии модулей будем иметь:
где
2) убывает при
иметь:
, так как при любом раскрытии модулей будем
где
.
Следовательно, свое наименьшее значения функция примет при
, а уравнение
имеет корень тогда и только тогда, когда
Решим это неравенство:
Ответ.
.
Задача 12. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x² — ax + │x² + x + 1│ < 3 выполняется при всех x.
Решение.
Т.к. x² + x + 1 > 0
│x² — ax + 1│< 3 x² + 3x + 3
Получаем два случая:
Первый случай
x² – ax + 1 > 0
a² – 4 < 0
-2 < a < 2
x² – ax + 1 < 3x² + 3x + 3
200
Второй случай
x² – ax + 1 < 0
(-∞;-2];[2;+∞)
4x² + (3 – a)x + 4 > 0
9 – 6a + a² – 64 < 0
a² – 6a – 55 < 0
a1 = -5, a² = 11
(-5;-2];[2;11)
Ответ. (-5;1);[2;11)
2x² + (a + 3)x + 2 > 0
a² + 6a + 9 — 16 < 0
a1 = -7, a2 = 1
-2 < a < 1
Задачи для самостоятельного решения
Залача 1.
Найдите все значения а, такие, что уравнение │х + 3│ – 1 = │2х – а│
имеет единственное решение.
Задача 2.
Найдите все значения а, такие, при каждом из которых уравнение
1 =│х – 3│ – │2х – а│ имеет единственное решение.
Задача 3.
Найдите все значения а, такие, при каждом из которых уравнение
4х – │3х – х + а│= 9│х – 3│ имеет хотя бы два корня.
Залача 4.
Найдите все значения а, при каждом из которых из неравенства 0 ≤
х ≤ 1 следует неравенство (а² + а – 2)х² – (а + 5) – 2 ≤ 0.
201
Раздел VIIІ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Рассмотрим последнее задание, которое предстоит решить ученикам на ЕГЭ по математике. Данная задача является, пожалуй, самой
сложной из всех предложенных в КИМах. Вы должны давать как можно
более грамотный с математической точки зрения ответ. Ответ должен
быть полным.
Задача 1.
Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то
есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что
если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного
Решение.
Пусть десятичная запись числа состоит из
вию задачи можно записать равенство
цифр. Тогда по усло-
, поэтому
Из этого уравнения следует, что
.
Так как числа a и b взаимно простые, числа b – a² и ab тоже взаимно
простые. (Действительно, пусть p – общий простой делитель этих чисел.
Тогда, если p – делитель a, то p – делитель b. Если же p – делитель b, то
p – делитель a², значит, p – делитель a. Противоречие.) Поэтому b – a² =
1 и, следовательно,
. Последнее равенство при взаимно простых a и b возможно только в двух случаях:
1)
, но в этом случае не выполняется равенство b – a²
= 1.
2)
. В этом случае равенство b – a² = 1 принимает вид
, откуда
Функция
возрастает, а функция
убывает. Поэтому уравнение f(n) = g(n) имеет не более одного корня, и так как f(1) = g(1), единственным корнем уравнения является n = 1.
Ответ. a = 2, b = 5.
202
Задачи для самостоятельного решения
Задание С6
Задача 1. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся
на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
Задача 2. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и
имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и
само число).
Задача 3. Решите уравнение 3m + 4n = 5k в натуральных числах.
Задача 4. Найдите все пары натуральных чисел, являющихся решениями уравнения
2m – 3n = 1.
Задача 5. Найдите все пары натуральных чисел, являющихся решениями уравнения
3n – 2m = 1.
Краткий теоретический справочник
Условные обозначения.
~ – приблизительно,
N – множество натуральных чисел,
Z – множество целых чисел,
R – множество действительных чисел,
– пустое множество,
– знак бесконечности,
– элемент x принадлежит множеству X,
– элемент x не принадлежит множеству X,
{ un } – последовательность с общим членом un,
[ a, b ] – числовой отрезок,
(a, b) – числовой интервал,
=> – следует,
<=> – равносильно,
– перпендикулярно,
– параллельно.
203
АРИФМЕТИКА
Обыкновенные дроби:
Умножение.
а
ас
·с =
в
в
Деление.
а
:с =
в
Умножение.
а · с =
в
d
Деление.
а : с =
в
d
ас
вd
ас
в
аd
вс
Пропорции:
Процент – сотая часть числа.
Основные задачи на проценты:
1) Найдите число b,составляющее p % от числа a.
Ответ:
2) Найдите число a, если его p % равны числу b.
Ответ:
3) Сколько процентов число b составляет от числа a.
Ответ:
.
Действия с отрицательными и положительными числами
Абсолютная величина (модуль). Для отрицательного числа – это
положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « +»;
для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения
абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты,
внутри которых записывается это число.
П р и м е р ы: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
Сложение:
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются
их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.
П р и м е р ы: (+ 6) + (+ 5) = 11;
204
(– 6) + (– 5) = – 11.
2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные величины вычитаются (из большей меньшая) и ставится знак числа с
большей абсолютной величиной.
П р и м е р ы: (– 6) + (+ 9) = 3;
(– 6) + (+ 3) = – 3.
Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением,
при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с
обратным знаком.
П р и м е р ы: (+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Умножение. Деление. При умножении (делении) двух чисел их абсолютные величины умножаются (делится), а результат принимает знак
«+», если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – », если знаки
сомножителей разные.
Полезна следующая схема (правила знаков): (+) · (+) = (+)
(+) · (–) = (–)
(–) · (+) = (–)
(–) · (–) = (+)
Деление многочленов
Разделить один многочлен P на другой Q – значит найти многочлены М (частное) и N (остаток), удовлетворяющие двум требованиям:
1) имеет место равенство: MQ + N = P;
2) степень многочлена N меньше степени многочлена Q.
Деление многочленов может быть выполнено по следующей схеме:
1) Делим первый член 16a³ делимого на первый член 4a² делителя;
результат 4a является первым членом частного.
205
2) Умножаем полученное выражение 4a на делитель 4a² – a + 2, записываем результат
16a³ – 4a² + 8a под делимым (один подобный член под другим).
3) Вычитаем почленно этот результат из делимого и сносим вниз следующий по порядку член делимого 7; получаем остаток 12a² –13a + 7.
4) Делим первый член 12a² этого выражения на первый член 4a²
делителя; результат 3 – это второй член частного.
5) Умножаем этот второй член частного 3 на делитель 4a² – a + 2 и
вновь записываем результат 12a² – 3a + 6 под делимым (один подобный
член под другим).
6) Вычитаем почленно полученный результат из предыдущего
остатка и получаем второй остаток: – 10a + 1. Его степень меньше степени делителя, поэтому деление заканчивается.
В результате получили частное 4a + 3 и остаток –10 a + 1.
Делимость двучленов
Cледствием теоремы Безу являются следующие признаки делимости двучленов:
1) Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка
на разность этих же чисел,
т.e. x m – a m делится на x – a.
2) Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится без
остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму, т.е. если m –
чётное число, то двучлен
x m – a m делится как на x – a так и на x + a.
Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на
сумму этих чисел.
3) Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на
разность этих чисел.
4) Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится без
остатка на сумму этих чисел.
5) Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел никогда не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму.
П р и м е р ы: (x2 – a2): (x – a) = x + a;
(x3 – a3): (x – a) = x2 + a x+ a2;
(x5 – a5): (x – a) = x4 + a x3 + a2 x2 + a3 x + a4.
Формулы сокращенного умножения
1. (а + b)² = a² + 2ab + b² – квадрат суммы.
2. (а – b)² = а² – 2ab + b²– квадрат разности.
3. а² – b² = (а + b) · (a – b) – разность квадратов.
206
4. (а + b)³ = а³ + 3а² b + 3а b² + b³ = а³ + b³ + 3аb(a + b) – куб суммы.
5. (a – b)³ = a³ – 3а² b + 3а b² – b³ = а³ – b³– 3аb(а – b) – куб разности.
6. a³ + b³ = (a + b) · (а² – аb + b²) – сумма кубов.
7. a³ – b³ = (a – b) · (а² + ab + b²) – разность кубов.
Разложение многочленов на множители
В общем случае разложение многочленов на множители не всегда
возможно. Но существует несколько случаев, когда это выполнимо.
1. Если все члены многочлена содержат в качестве сомножителя
одно и то же выражение, то его можно вынести за скобки.
2. Иногда, группируя члены многочлена в скобки, можно найти
общее выражение внутри скобок, это выражение можно вынести в качестве общего множителя за скобки, а после этого другое общее выражение окажется внутри всех скобок. Тогда его следует также вынести за
скобки и многочлен будет разложен на множители.
П р и м е р: ax+ bx+ ay+ by = (ax+ bx) + (ay + by) =
= x(a + b) + y (a + b) =
= (x + y) (a + b).
3. Иногда включение новых взаимно уничтожающихся членов помогает разложить многочлен на множители.
П р и м е р: y2 – b2 = y2 + yb – yb – b2 = (y2 + yb) – (yb + b2) =
= y (y + b) – b (y + b) = (y + b) (y – b).
4. Использование формул сокращённого умножения.
Степени и корни
Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m · a n = a m + n.
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели
вычитаются.
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна
произведению степеней этих сомножителей.
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого
(числителя) и делителя (знаменателя):
(a / b) n = a n / b n.
207
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
(a m) n = a m n.
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих
направлениях слева направо и наоборот.
Операции с корнями
Во всех нижеприведенных формулах символ
означает ариф-
метический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в
n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь
корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня
не изменится:
Степень с отрицательным показателем
Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем
определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:
208
Степень с нулевым показателем
Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем
Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n,
нужно извлечь корень n-ой степени из m-ой степени этого числа а:
Решение квадратного уравнения
В общем случае для неприведенного квадратного уравнения:
ax 2 + bx + c = 0,
его корни находятся по формуле:
Возможны три случая:
1) b 2 – 4 a c > 0, тогда имеются два различных корня;
2) b 2 – 4 a c = 0, тогда имеются два равных корня;
3) b 2 – 4 a c < 0, тогда имеются два комплексных корня.
Выражение D = b 2 – 4 a c называется дискриминантом квадратного уравнения.
Теорема Виета.
в
Сумма корней квадратного уравнеx1 + x2 = ния:
а
в
Произведение корней квадратного уравнеx1 × x2 =
ния:
а
Разложение на множители квадратного трёхчлена
Каждый квадратный трехчлен может быть разложен на множители
первой степени следующим образом:
ax 2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2),
где x1 и x2 – корни соответствующего квадратного уравнения.
209
П р и м е р. Разложить трехчлен 2x 2 – 4x – 6 на множители первой
степени.
Р е ш е н и е. Решим уравнение: 2x 2 – 4x – 6 = 0.
Его корни: x1 = –1 и x2 = 3.
Отсюда, 2x 2 – 4x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3).
Логарифмы и их преобразование
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b.
Десятичные логарифмы (логарифмы по основанию 10) обозначаются: lg a.
Натуральные логарифмы (логарифмы по снованию е) обозначаются: ln a.
Числом е в математике принято обозначать предел, к которому
стремиться выражение
Свойства логарифма
Действия с логарифмами
логарифм произведения:
логарифм частного:
логарифм степени:
логарифм корня:
210
переход к новому основанию:
Дополнительные формулы:
Логарифмическая функция
Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число, не
равное 1, называется логарифмической.
Эта функция является обратной к показательной функции; её график может быть получен поворотом графика показательной функции
вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.
Основные характеристики и свойства логарифмической функции:
– область определения функции: x > 0,
а область значений:  < y+  (т.e. y R);
– это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при
0 < a < 1;
– функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;
– у функции есть один ноль: x = 1.
211
Тригонометрические функции
Определение тригонометрических функций для острых углов
Пусть OAB – треугольник с углом α. Тогда:
Синусом α называется отношение AB/OB
(отношение противолежащего катета к гипотенузе)
Косинусом α называется отношение
ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)
Тангенсом α называется отношение
AB/OA (отношение противолежащего катета к
прилежащему)
Котангенсом α называется отношение
ОА/AB (отношение прилежащего катета к
противолежащему)
Значения тригонометрических функций для некоторых углов
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса для некоторых углов приведены в таблице.
212

sin 
cos 
0
30 
45
60 
90 
120 
135 
150 
180 
210 
225
240 
270 
300 
315
330 
360 
0

6

4

3

2
2
3
3
4
5
6

7
6
5
4
4
3
3
2
5
3
7
4
11
6
2
0
1
2
3
2
2
2
1
2
0

1
2

2
2

3
2
1


3
2

2
2

1
2
0
1
2
2
2
2
2
1
3
2
tq
0
3
3
1
ctq
-
3
1
3
2
1
2
1
1
2
0

3
-
 3
3
3
0

3
3
3
2

2
2
1
2
0
3
2
1
3
3
0

2
2

3
2
1
1

3
3
0
3
3
1
3
-
 3
1

1
 3
-
3
1
3
3
0

3
3
1
 3

2
2
213
-
Тригонометрические формулы
Sin²α + Cos²α = 1
Это соотношение называется основным тригонометрическим
тождеством.
Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:
Формулы приведения
Некоторые формулы приведения:
Фун
кция
Углы
-α
90 – α
90° + α
180°–α
180°+α
270°–α
270°+α
360°n–α
360°n+α
sin
- sinα
+ cosα
+ cosα
+ sinα
- sinα
- cosα
- cosα
-sinα
+ sin α
cos
+ cosα
+ sinα
- sinα
- cosα
- cosα
- sinα
+ sinα
+ cosα
+ cos α
tg
- tgα
+ ctgα
- ctgα
- tgα
+ tgα
+ ctgα
- ctgα
- tgα
+ tg a α
ctg
- ctgα
+ tgα
- tgα
- ctgα
+ ctgα
+ tgα
- tgα
- ctgα
+ ctg α
Формулы сложения
Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:
Формулы для кратных углов
Формулы двойного угла:
Cos 2α = cos²α – sin² α
214
Cos 2α = 2cos²α – 1
Cos 2α = 1 – 2sin² α
Формулы тройного угла:
Формулы половинного угла:
Произведения
Формулы для произведений функций двух углов:
215
Суммы
Однопараметрическое представление
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс
половинного угла.
Решение простейших тригонометрических уравнений
Уравнения, содержащие косинус  cos x.
Уравнение:
РЕШЕНИЯ:
216
Общий вид решения уравнения cos x = a, где | a |  1, определяется формулой:
x = ± arccos(a) + 2k, k  Z (целые числа),
при | a | > 1 уравнение cos x = a не имеет решений среди вещественных чисел.
Уравнения, содержащие синус  sin x.
Уравнение:
РЕШЕНИЯ:
217
Общий вид решения уравнения sin x = a, где | a |  1, определяется
формулой:
x = ( 1)k · arcsin(a) + k, k  Z (целые числа),
при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решений среди вещественных чисел.
Уравнения, содержащие тангенс и котангенс  tg x и сtg x
Уравнение:
Уравнение:
РЕШЕНИЯ:
***
***
Общий вид решения уравнения tg x = a определяется формулой:
x = arctg(a) + k, k  Z (целые числа).
Общий вид решения уравнения ctg x = a определяется формулой:
x = arcctg(a) + k, k  Z (целые числа).
Производная
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X.
Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел
=
.
218
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.
Физический смысл в том, что производная от пути по времени есть
мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении
s = s(t) в момент t0.
Геометрический смысл производной
1). Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной у = kх +в графику функции y = f(x) в этой точке: f´(x) = k.
2). Производная в точке x 0 равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в этой точке:
Нахождение производной данной функции f называется диффиренцированием.
Основные правила дифференцирования
Сумма.
Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то их сумма
дифференцируема в этой точке и
219
(u + v)' = u' + v'.
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.
Произведение.
Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и
(uv)' = u' v+u v'.
Следствие. Если функция u дифференцируема в х0, а С — постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и
(Сu)' = Сu'.
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак
производной.
Деление.
Если функции u и v дифференцируемы в точке х 0, и функция v не
равна нулю в этой точке, то частное их также дифференцируемо в х 0:
Таблица производных
1. (u)' =  u1 u' ( принадлежит R)
2. (au)' = au lna u'.
u'
8.
(tg u)'
=
cos2u
u'
9.
(сtg u)'
10.
(arcsin u)'
=
sin2u
3. (eu)' = eu u'.
u'
=
u'
4.
(loga u)'
=
u ln a
u'
11.
(arccos u)'
12.
(arctg u)'
=-
u'
5.
(ln u)'
=
u.
6. (sin u)' = cos u u'.
u'
=
(1 + u2).
u'
13.
(arcctg u)'
7. (cos u)' = – sin u u'.
220
=-
(1 + u2
Прогрессии
Последовательность
, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией.
Число d – разность прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Последовательность
, первый член которой отличен от нуля и
каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на
одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией.
Число q – знаменатель прогрессии.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии:
, где
Формулы суммы n членов геометрической прогрессии:
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при
221
равна
ГЕОМЕТРИЯ
Основные определения, теоремы и формулы планиметрии
Признаки параллельности прямых
Две прямые параллельны, если:
– внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;
– внешние накрест лежащие углы равны: < 1 = < 7;
– соответственные углы равны: <1 = < 5;
– сумма внутренних односторонних углов равна 180°: < 2 + < 5=
180°;
– сумма внешних односторонних углов равна 180°: < 1 + < 6 = 180°.
Теорема Фалеса
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на
одной его стороне равные отрезки, то
они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Треугольник
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя
углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами,
которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Основные свойства треугольников.
В любом треугольнике:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
222
3. Сумма углов треугольника равна 180 º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний
угол BCD.
Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не
смежных с ним:
BCD = A + B.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
и больше
их разности: a < b + c, a > b – c;
b < a + c, b > a – c;
c < a + b, c > a – b.
Признаки равенства треугольников.
Треугольники равны, если у них соответственно равны:
a) две стороны и угол между ними;
b) два угла и прилегающая к ним сторона;
c) три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из
следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе
и острому углу другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.
Замечательные линии и точки в треугольнике.
Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из любой
вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке,
называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
223
Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника (AD, BE, CF) пересекаются в одной
точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки
пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD, BE, CF) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности.
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, AE: CE = AB: BC.
Серединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из
средней точки отрезка (стороны). Три серединных перпендикуляра треугольника АВС (KO, MO, NO) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанной окружности (точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).
224
В остроугольном треугольнике эта
точка лежит внутри треугольника;
в тупоугольном – снаружи;
в прямоугольном – в середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного
круга совпадают только в равностороннем треугольнике.
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины
двух сторон этого треугольника.
Свойства средней линии
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон,
параллельна третьей стороне и равна её половине.
– при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных
треугольника, подобных исходному с коэффициентом ½
– средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а
его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.
Основные формулы треугольников.
Произвольный треугольник
Обозначения:
– длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; , ,  – величины углов A, B и C;
p – полупериметр;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
S – площадь;
h A – высота, проведенная из вершины A
225
a2 = b2 + c 2 – 2 b c cos – теорема косинусов
– теорема синусов.
Формула длины медианы:
Прямоугольный треугольник
Обозначения: a, b – катеты; c – гипотенуза;
ac, bc – проекции катетов на гипотенузу.
a2 + b2 = c 2 – теорема Пифагора.
Равносторонний треугольник
226
Основные формулы четырехугольников
Произвольный четырехугольник
Обозначения: d1 и d 2 – диагонали
 – угол между ними
S – площадь
– В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных
сторон равны.
– Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных
углов равны 180°.
Параллелограмм
Обозначения: a и b – смежные стороны
 – угол между ними
ha – высота, проведенная к стороне a
– Сумма квадратов дин диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов
длин его сторон:
d1 ² + d 2 ² = 2(а ² + в²)
Ромб
Прямоугольник
d 1 = d 2.
Квадрат
Обозначения: d – диагональ
227
Трапеция
Обозначения: a и b – основания
h – расстояние между ними
l – средняя линия:
;
– Если равнобедренная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне.
Основные формулы многоугольников
Описанный
многоугольник
Обозначения: p – периметр
r – радиус вписанной окружности
S = pr.
Правильный
многоугольник
Обозначения: an – сторона правильного n-угольника
R – радиус описанной окружности
r – радиус вписанной окружности
;
Окружность, круг
Обозначения: r – радиус
c – длина окружности
S – площадь круга:
c = 2r;
S = r2.
228
Cектор
Окружность, вписанная в угол.
Обозначения: l – длина дуги, ограничивающей сектор
no – градусная мера соответствующего
центрального угла
 – радианная мера центрального угла
Свойство касательных и окружностей
– Центр окружности, вписанной в
угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне
угла и точке касания.
– Отрезки касательных к окружности,
проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности
Углы в окружности
– Центральным углом в окружности
называется плоский угол с вершиной в ее
центре.
– Угол, вершина которого лежит на
окружности, а стороны пересекают эту
окружность, называется вписанным углом.
– Вписанный угол либо равен половине
соответствующего ему центрального угла,
либо дополняет половину этого угла до 180°.
– Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
– Центральный угол, образованный
двумя радиусами окружности, измеряется
дугой, на которую он опирается.
229
Основные формулы стереометрии
Произвольная призма.
S бок  Pсеч  l
l – боковое ребро;
V SH
Р – периметр основания;
S – площадь основания;
H – высота;
Pсеч – периметр перпендикулярного сечения;
S сеч – площадь перпендику-
V  S сеч  l
Прямая призма:
S бок  P  l
лярного сечения;
S бок – площадь боковой поверхности;
V – объем
Прямоугольный параллелепипед
S бок  Pсеч  H
a, b, c – его
измерения
d – диагональ
V  abc
d 2  a 2  b2  c 2
Куб ( a – ребро):
V  a3
d  a 3.
Произвольная пирамида
S 1 , S 2 – площади
оснований
усеченной пирамиды,
h – высота,
P1 , P2 - периметры оснований,
l – апофема
V 
1
SH
3
Правильная
пирамида
S бок 
1
Pl
2
Произвольная
ченная пирамида

усе-

1
V  h  S1  S1 S 2  S 2
3
.
Правильная усеченная пирамида
1
S бок  l  P1  P2 
2
.
230
Цилиндр
S бок  2R  H
R – радиус
основания
V    R2  H
Конус
S бок  R  l
1
V    R2  H
3
R1 , R2 –
радиусы оснований усеченного конуса,
l – образующая
Усеченный конус:
S бок    l  R1  R2 
1
V  H  R12  R1 R2  R22 
3
Шар, сфера
R = ОМ – радиус шара,
S – площадь
сферической поверхности
S  4R 2
4
V    R3
3
Шаровой сегмент
S  2Rh
h - высота
сегмента
1 

V    h2  R  h 
3 

231
Шаровой сектор
R = a – радиус
V 
2
  R2h
3
Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.
Обратная теореме о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
232
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................................... 1
Как и где готовиться к ЕГЭ? ......................................................................3
Подготовка к ЕГЭ по математике..............................................................5
Раздел І. ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ .................................... 7
Раздел ІІ. ЗАДАНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ,
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ВЫРАЖЕНИЯ............................................................................................................... 60
Раздел ІΙІ. ТРИГОНОМЕТРИЯ ............................................................................... 100
Раздел ІV. ПЛАНИМЕТРИЯ.................................................................................... 111
Раздел V. ПРОИЗВОДНАЯ ...................................................................................... 148
Раздел VI. СТЕРЕОМЕТРИЯ................................................................................... 169
Раздел VII. ЗАДАНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ........................................................ 194
Раздел VIIІ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.................................................................................. 202
Учебное издание
Грекова Ирина Юрьевна
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС
Подписано в печать .12.12. Формат 6084/16.
Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. .
Уч.-изд. л. . Тираж 100 экз. Заказ
________________________________________________________
Отпечатано во Множительном участке ВГУЭС
690014, Владивосток, ул. Гоголя, 41
233