ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ПАССИВНЫЕ RC- и RLC-ЦЕПИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№2
ПАССИВНЫЕ RC- и RLC-ЦЕПИ
1. Пассивные RC-цепи
1.1. Фильтр нижних частот (ФНЧ)
Фильтр нижних частот (ФНЧ) – цепь, передающая сигналы низких частот без изменений, а верхних – с затуханием (ослаблением, т.е. с уменьшением амплитуды). На рис.2.1.
приведена схема ФНЧ первого порядка.
R
Uвх
C
Ic
Uвых
Рис.2.1. Схема ФНЧ первого порядка.  0  RC .
1.2. Описание ФНЧ в частотной области
Коэффициент передачи ФНЧ можно представить в комплексной форме:
U
1 j C
1
1
A ( j )  ВЫХ 


.

U ВХ
R  1 j C 1  jRC 1  j 0
Учитывая, что A  A  e j , получим модуль коэффициента передачи:
A 
1
1   2 R 2C 2

1
1   2 0
2
,
  arctg 0 .
1
Отсюда частота среза (частота, на которой R  X C , а A 
):
2

1
f0  0 
;
2 2 0
 0  45.
Наиболее удобно представить амплитудно-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ)
характеристики в логарифмическом масштабе, см. рис. 2.2.
Часто для построения и исследования АЧХ и ФЧХ удобны их асимптотические графики. При этом точкой перегиба является f0, см. рис. 2.3.
В этом случае на частотах выше точки перегиба АЧХ спадает линейно со скоростью –
20 дБ на декаду (т.е. в 10 раз при изменении частоты в 10 раз) или –6 дБ на октаву (т.е. в два
раза при изменении частоты в два раза).
дБ=20Lg(A2/A1),
где А1, А2 – амплитуды двух сигналов. (децибел составляет одну десятую часть бела, но
единицей «бел» никогда не пользуются). Отношение мощностей двух сигналов определяется так
дБ=10Lg(P2/P1)
Для сравнения сигналов разной формы, например, синусоидального и шумового, следует использовать мощность (или эффективные значения напряжений).
1 , 0
0 , 8
А Ч Х
0 , 6
0 , 4
0 , 2
0 , 0
0 , 1
Л о г а р и ф м
1
1 0
н о р м и р о в а н н о й
ч а с т о т ы
0
- 2 0
Ф Ч Х
- 4 0
- 6 0
- 8 0
- 1 0 0
0 , 1
Л о г а р и ф м
1
н о р м и р о в а н н о й
1 0
ч а с т о т ы
Рис. 2.2. Логарифмические АЧХ и ФЧХ ФНЧ первого порядка.
АЧХ
ФЧХ
1
Коэффициент передачи в
логарифмическом масштабе
0
-40
-60
Сдвиг фазы
-20
-80
0,1
1
10
100
1000
Логарифм частоты
Рис. 2.3. Асимптотические АЧХ и ФЧХ.
-100
1.3. Описание ФНЧ во временной области
При подаче на вход ФНЧ прямоугольного импульса напряжения получим реакцию,
представленную на рис. 2.4.
Uвхода
Uвых
1,0
0,8
Амплитуда
Uвых=0,63
0,6
Uвых=0,5
Uвых=0,37
0,4
0,2
0,0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
t
Рис. 2.4. Реакция ФНЧ на прямоугольный импульс напряжения.
Считая, что ФНЧ не нагружен, можно записать:
U ВХ  U ВЫХ
 IC  0 ;
R
dU C
учитывая, что I C  C
, получим:
dt
dU C
 0  U ВЫХ  U ВХ .
dt
0 при t  0 
Решением этого уравнения при U ВХ  
 (передний фронт импульса с амплиU a при t  0
тудой Ua) является:
t
 

0 

U ВЫХ (t )  U a 1  e
,




U при t  0
а при U ВХ   a
 (задний фронт или спад импульса):
0 при t  0 

t
0
U ВЫХ (t )  U a e .
Из полученных выражений и графиков видно, что при t   0 выходное напряжение,
асимптотически приближающееся к своему установившемуся значению, не «дотягивает» до
U
него на величину a  0.37U a .
e
1.4. ФНЧ в качестве интегрирующей цепи
При
f  f 0 и U ВЫХ  U ВХ тт.е
dU C
 0 , или
dt
t
1
  U ВХ t dt  U ВЫХ 0 .
U ВХ 
U ВЫХ
0
1.5. Соберите ФНЧ, схема которого приведена на рис. 2.1. Сопротивление резистора выберите равным 15 кОм, емкость конденсатора – 0,01 мкФ. Чему будет равна частота, на
которой ослабление достигнет –3 дБ?
1.6. Подайте на вход ФНЧ синусоидальные колебания, изменяя их частоту от 100 Гц до
100 кГц. Снимите АЧХ и ФЧХ фильтра, используя два луча осциллографа.
1.7. Постройте полученные АЧХ и ФЧХ в линейном и логарифмическом масштабах.
Сравните их с теоретическими кривыми.
1.8. Определите скорость спада АЧХ на частоте f0 и частотах >10f0.
1.9. Определите и запишите для дальнейшего использования ослабление на частотах f=2f0
и f=10f0.
1.10. Измерьте время нарастания и спада ФНЧ, сравните его с расчетным. Для этого подайте на вход прямоугольные импульсы частотой 500 Гц.
1.11. Проведите те же измерения для импульсов с частотой повторения 200 и 2000 Гц.
Есть ли отличия?
1.12. Ответьте на следующие вопросы: для чего можно использовать ФНЧ? Хорош ли
ФНЧ в качестве интегратора? Какова максимальная скорость нарастания сигнала на выходе ФНЧ? Чему равна максимальная амплитуда прямоугольного сигнала на выходе ФНЧ?
Чему равно полное входное сопротивление ФНЧ без нагрузки? Чему оно равно на нулевой
частоте? При ответах опирайтесь на конкретные результаты, полученные в ходе выполнения работы.
2. Фильтр верхних частот (ФВЧ)
Схема ФВЧ первого порядка приведена на рис. 2.5.
C
R
Ir
Uвх
Uвых
Рис. 2.5. Схема ФВЧ первого порядка.
2.1. Описание ФВЧ в частотной области
Все рассуждения для ФВЧ аналогичны рассуждениям, приведенным для ФНЧ. Аналогично выглядят также АЧХ и ФЧХ, только с противоположным наклоном
U
1
A ( j )  ВЫХ 
.
1
U ВХ
1
j 0
U ВЫХ (t )  U a e

t
0
.
1
A 
1
,
1
 2 02
  arctg
1
.
 0

1
f0  0 
;
2 2 0
 0  45.
2.2. Описание ФВЧ во временной области
Uвхода
Uвых
1,0
0,8
0,6
Амплитуда
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
t
Рис. 2.6. Реакция ФВЧ на воздействие прямоугольного импульса напряжения.
2.3. ФВЧ в качестве дифференцирующей цепи
f  f 0 и U ВЫХ  U ВХ т.е.
dU ВХ
U ВЫХ   0
.
dt
2.4. Соберите ФВЧ, схема которого приведена на рис. 2.5. Сопротивление резистора выберите равным 10 кОм, емкость конденсатора – 1000 пФ. Чему будет равна частота, на которой ослабление достигнет –3 дБ?
2.5. Подайте на вход ФВЧ синусоидальные колебания, изменяя их частоту от 100 Гц до
100 кГц. Снимите АЧХ и ФЧХ фильтра, используя два луча осциллографа.
2.6. Постройте полученные АЧХ и ФЧХ в линейном и логарифмическом масштабах.
Сравните их с теоретическими кривыми.
2.7. Определите скорость спада АЧХ на частоте f0 и частотах <0,1f0.
2.8. Подайте на вход ФВЧ прямоугольные импульсы с частотой 100 Гц. В чем смысл применения выходных сигналов, которые при этом получились? Зарисуйте форму входных и
выходных сигналов с соблюдением масштабов по осям.
2.9. Выполните предыдущий пункт с импульсами треугольной формы.
2.10. Измерьте амплитуду и ширину импульсов по уровням 0,5 и 0,37 для пункта 1.2.8.
2.11. Повторите предыдущий пункт при следующих частотах повторения импульсов: 1
кГц, 10 кГц, 100 кГц.
2.12. Ответьте на следующие вопросы: для чего можно использовать ФВЧ? Хорошо ли
работает ФВЧ в качестве дифференциатора? Какова максимальная скорость нарастания
сигнала на выходе ФВЧ? Какова максимальная скорость спада сигнала на выходе ФВЧ?
Чему равна максимальная амплитуда сигнала на выходе ФВЧ при прямоугольном входном сигнале? Чему равно полное входное сопротивление ФВЧ без нагрузки? Чему оно
равно на нулевой частоте? При ответах опирайтесь на конкретные результаты, полученные в ходе выполнения работы.
3. Пример применения фильтра ВЧ
На рис.2.7. показан один из способов, позволяющий увидеть помехи («т.н. мусор») в
сети питания 220В.
3.1. Во-первых, измерьте с помощью осциллографа выходное напряжение трансформатора в точке A. Оно будет выглядеть более или менее как классическая синусоида. Трансформатор служит попутно двум целям - уменьшает напряжение от 220 B до более приемлемой цифры 6,3 B, а также «изолирует» схему от потенциально смертельного напряжения силовой линии.
3.2. Измерьте напряжение на выходе фильтра верхних частот. Там должны быть заметны
всевозможные процессы, многие из которых имеют любопытную зависимость от времени.
3.3. Зарисуйте результаты измерений и ответьте на вопросы: каково будет ослабление
фильтра на частоте 50 Гц (комплексные числа здесь не понадобятся)? Откуда берутся помехи? Почему их трудно измерить без специальных схем?
C
точка А
Uвх
220В
0,01 мкФ
R
6,3В
Uвых
15
кОм
Рис. 2.7. Фильтр верхних частот, подключённый к линии переменного тока 50 Гц.
4. Пример применения фильтров НЧ и ВЧ
4.1. Получите путем сложения синусоидальных колебаний частотой 50 Гц и выходного
сигнала генератора (f50Гц.) сложный сигнал с помощью схемы, приведенной на рис.2.8.
6,3В
R 1 кОм
Генератор
Uвых
Uвх
220В
Рис. 2.8. Схема установки для получения сложного сигнала, состоящего из суммы двух
синусоидальных напряжений. Резистор R=1кОм защищает генератор при возникновении
биений.
4.2. Выделите с помощью ФВЧ и ФНЧ гармоники сложного сигнала. Используйте для создания ФВЧ схему на рис. 2.5. с номиналами R=4.7 кОм, C=0,01 мкФ. Для ФНЧ – схему на
рис. 2.1. с номиналами R=150 кОм, C=0,01 мкФ.
4.3. Нарисуте сигнал на выходе сумматора, изменяя частоту сигнала генератора.
4.4. Подайте его на ФВЧ и измерьте сигнал на выходе ФВЧ.
4.5. Подайте его на ФНЧ и измерьте сигнал на выходе ФНЧ.
4.6. Ответьте на следующие вопросы: Почему параметры фильтров выбраны именно такими? Каковы частоты среза фильтров? Что такое биения (f50Гц.)?
5. Разделительный (переходный) конденсатор (RC-связь между каскадами)
Одним из наиболее частых применений конденсаторов является использование их для
разделения каскадов по постоянному току при сохранении связи между ними по переменному току. Его можно рассматривать как фильтр верхних частот при том условии, что частота
интересующих нас сигналов намного превышает частоту, отвечающую значению - 3 дБ. Т.е.
на сигналы в их эффективной полосе разделительный конденсатор не должен оказывать влияния.
+15 В
R1 10 кОм
U вх
C1 4,7
+
U вых
+
U вх
C2 4,7
U вых
+
R2 4,7 кОм
а
R3 100 кОм
б
Рис.2.9. Разделительный конденсатор.
5.1. Для изучения действия разделительного конденсатора соберите часть схемы, показанную на рис.2.9. слева. Подключите эту схему к генератору и наблюдайте выходной сигнал
на осциллографе со связью по постоянному току. Схема пропускает сигнал переменного
тока, наложенный на постоянный уровень +5В.
5.2. Теперь добавьте цепь, приведенную справа на рис. 2.9. (второй блокирующий конденсатор и резистор, «привязывающий» к земле), рассмотрите сигнал, снова «привязанный» к
уровню земли.
5.3. Ответьте на следующие вопросы: какова нижняя граничная частота для этой блокирующей схемы? Зачем применяют разделительные конденсаторы? Почему конденсаторы
на схеме имеют один вывод, помеченный знаком «+»? Имеет ли значение, какой из выводов конденсатора, к какой точке схемы подключен? Зачем нужен «привязывающий» резистор? На какое напряжение должен быть рассчитан разделительный конденсатор? При ответах опирайтесь на конкретные результаты, полученные в ходе выполнения работы.
6. Пассивные LC –фильтры
Можно строить фильтры верхних частот, нижних частот и полосовые фильтры с частотной характеристикой намного более крутой, чем у простых RC - фильтров, которые сейчас были рассмотрены. Это делается сочетанием катушек индуктивности с конденсаторами
или применением усилителей (в последнем случае получают так называемые «активные
фильтры»).
6.1. Чтобы исследовать фильтры с крутыми АЧХ, соберите фильтр пятого порядка, показанный на рис.2.10.
R1 910
L1 7 мГ
L2 7 мГ
C3 3н3
U вх
C1 3н3
R2 910
U вых
C2 11н
Рис.2.10. Пяти-полюсный фильтр Баттерворта нижних частот.
У него точка, отвечающая значению - 3 дБ, лежит на частоте 33 кГц, и его АЧХ при
более высоких частотах падает почти отвесно.
6.2. Измерьте для него частоту f 3дБ , а потом измерьте его АЧХ в точках 2 f 3дБ и 10 f 3дБ .
Сравните эти данные с довольно пологой характеристикой RC - фильтра нижних частот,
которую вы измеряли в разделе 2.4., и расчётными амплитудными характеристиками (т.е.
отношениями амплитуд выходного и входного сигналов) этих двух фильтров, указанными
в следующей таблице:
Частота
0
2 f 3дБ
f 3дБ
10 f 3дБ
Тип фильтра
RC-фильтр первого порядка
1,0
0,707
0,447
0,0995
Фильтр Баттерворта пятого порядка
1,0
0,707
0,031
0,00001
6.3. Измерьте (снимите по точкам) АЧХ этого фильтра вблизи f0 (десяток точек в диапазоне от 30 до 36 кГц). После построения АЧХ, вам, возможно, понадобится уточнить ее
значение еще в нескольких точках. Сравните полученную АЧХ с АЧХ ФНЧ первого порядка и с теоретической АЧХ, приведенной на рис. 2.11.
1 , 0
А Ч Х
0 , 8
0 , 6
0 , 4
0 , 2
0 , 0
0 , 1
Н о р м и р о в а н н а я
1
1 0
ч а с т о т а
Рис.2.11. АЧХ ФНЧ первого порядка и ФНЧ Баттерворта пятого порядка.
6.4. Ответьте на следующие вопросы: почему АЧХ фильтра более высокого порядка имеет
более крутой спад? Почему АЧХ фильтра пятого порядка имеет более крутой спад, чем
пять последовательно включенных фильтров первого порядка? Чем приходится «платить»
за крутизну АЧХ? Почему АЧХ реального фильтра отличается от теоретической?
7. Резонансный контур
7.1. Соберите параллельный резонансный контур, как показано на рис.2.12. Возбудите его
синусоидальными колебаниями (используйте диапазон генератора 10 кГц).
7.2. По значениям параметров элементов найдите резонансную частоту, сравните её с экспериментально полученными значениями.
R1 100 кОм
Uвх
L1 7 мГ
Uвых
C1 0.1
Рис.2.12. Настроенный параллельный LC - контур.
7.3. По резонансной кривой определите полосу пропускания контура и его добротность.
7.4. Ответьте на следующие вопросы: можете ли вы придумать способ измерения числа 
с помощью этого контура? Зачем нужен резистор R1? Какова добротность контура?
Можно ли ее рассчитать теоретически? У какой катушки индуктивности добротность выше: с сердечником или без него? При ответах опирайтесь на конкретные результаты, полученные в ходе выполнения работы.