Материалы к экзамену по математике

Материалы для подготовки к экзамену по математике за 2013-2014 учебный год
В данное пособие включены примерные задания, аналогичные экзаменационным.
По каждой теме даются варианты с подробным решением и задания для
самостоятельного решения.
Преобразования алгебраических выражений и дробей
1. Найдите значение выражения
Решение.
Выполним преобразования:
.
.
О т в е т : 11.
2. Найдите значение выражения
Решение.
Выполним преобразования:
.
.
О т в е т : 6.
3. Найдите значение выражения
Решение.
Выполним преобразования:
.
.
О т в е т : 2.
Решите самостоятельно
1) Найдите значение выражения
2) Найдите значение выражения
.
.
3) Найдите значение выражения
.
4) Найдите значение выражения
5) Найдите значение выражения
Квадратные
.
уравнения
1. Найдите корень уравнения:
корня, укажите меньший из них.
Решение.
Решим квадратное уравнение:
Если уравнение имеет более одного
.
О т в е т : 8.
2. Решите уравнение
Решение.
Последовательно получаем:
.
О т в е т : −3.
Решите самостоятельно
1) Найдите корень уравнения:
корня, укажите меньший из них.
Если уравнение имеет более одного
2) Найдите корень уравнения:
корня, укажите меньший из них.
Если уравнение имеет более одного
3) Решите уравнение
4) Решите уравнение
.
5) Решите уравнение
6) Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
запишите меньший из корней.
Иррациональные уравнения
1. Найдите корень уравнения:
корня, укажите меньший из них.
Решение.
Возведем в квадрат:
О т в е т : 8.
2. Найдите корень уравнения
Решение.
Возведем в квадрат:
Если уравнение имеет более одного
.
О т в е т : 3.
3. Найдите корень уравнения
Решение.
Возведем в квадрат:
.
О т в е т : 87.
Решите самостоятельно
1) Найдите корень уравнения
2) Найдите корень уравнения
3) Найдите корень уравнения:
корня, укажите меньший из них.
.
.
Если уравнение имеет более одного
4) Решите уравнение
Текстовые задачи
1. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Мама купила 1 кг 200 г клубники.
Сколько рублей сдачи она получит с 500 рублей?
Решение.
Найдем стоимость покупки: 1 кг 200 г клубники стоит 1,2 80 = 96 рублей. Значит, с
500 рублей мама получит сдачи 500 − 96 = 404 рубля.
О т в е т : 404.
2. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25% ?
Решение.
Во время распродажи шампунь станет стоить 160 − 0,25 160 = 120 рублей. Разделим
1000 на 120:
.
Значит, можно будет купить 8 флаконов шампуня.
О т в е т : 8.
3. В квартире, где проживает Алексей, установлен прибор учёта расхода холодной
воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 103 куб. м воды, а 1 октября — 114 куб. м. Какую сумму должен заплатить Алексей за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в
рублях.
Решение.
Расход воды составил 114 − 103 = 11 куб. м. Поэтому Алексей должен заплатить
11 19,2 = 211,2 руб
О т в е т : 211,2.
4. Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать
кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год
выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он
должен вносить в банк ежемесячно?
Решение.
Через год клиент должен будет выплатить 12 000 + 0,16 12 000 = 13 920 рублей.
Разделим 13 920 руб. на 12 мес.:
руб./мес. Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк 1160
рублей.
О т в е т : 1160.
5. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана
Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на
доходы?
Решение.
Налог на зарплату Ивана Кузьмича составит 12 500 0,13 = 1625 рублей. Значит, после
вычета налога на доходы он получит: 12 500 − 1625 = 10 875 рублей.
О т в е т : 10 875.
Решите самостоятельно
1) Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 90 рублей за штуку и продает
с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?
2) Выпускники 11 "А" покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 11 роз классному руководителю и директору. Они собираются
подарить букеты 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы
покупаются по оптовой цене 30 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?
3) Оля отправила SMS-cообщения с новогодними поздравлениями своим 17 друзьям.
Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 20 копеек. Перед отправкой сообщения
на счету у Оли было 32 рубля. Сколько рублей останется у Оли после отправки
всех сообщений?
4) Клиент взял в банке кредит 3000 рублей на год под 12 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
5) Налог на доходы составляет
от заработной платы. После удержания налога на
доходы Мария Константиновна получила 13050 рублей. Сколько рублей составляет
заработная плата Марии Константиновны?
Рациональные уравнения
1. Найдите корень уравнения:
Если уравнение имеет более одного
корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение.
Область допустимых значений:
. На этой области домножим на знаменатель:
Оба корня лежат в ОДЗ. Меньший из них равен −3.
О т в е т : −3.
2. Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение.
Заметим, что числители дробей равны. Имеем:
О т в е т : 1.
Решите самостоятельно
1) Найдите корень уравнения:
2) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из
них.
3) Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
запишите меньший из корней.
4)
Найдите корень уравнения
5)
Найдите корень уравнения:
6)
Найдите корень уравнения:
.
Определение величины по графику
1. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия.
Определите по рисунку наибольшую температуру
воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 22 января составляла −10 °C
(см. рисунок).
О т в е т : −10.
2. На рисунке жирными точками показана цена
никеля на момент закрытия биржевых торгов во все
рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена
тонны никеля в долларах США. Для наглядности
жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену никеля на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).
Решение.
Из графика видно, что наибольшая цена одной тонны никеля составляла 13 400 долларов США (см. рисунок).
О т в е т : 13 400.
Решите самостоятельно
1) На рисунке показано изменение температуры
воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по
вертикали — значение температуры в градусах
Цельсия. Определите по рисунку наибольшую
температуру воздуха 24 января. Ответ дайте в
градусах Цельсия.
2) На рисунке жирными точками показана цена
нефти на момент закрытия биржевых торгов во все
рабочие дни с 4 по 19 апреля 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали —
цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, какого числа цена нефти на
момент закрытия торгов впервые за данный период
составила 25 долларов за баррель.
3) На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов
во все рабочие дни с 3 по 24 октября 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена унции
золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на
рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого
числа цена золота на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.
Вычисление значений тригонометрических выражений
1. Найдите
Решение.
Поскольку угол
, если
и
.
лежит в четвертой четверти, его косинус положителен. Поэтому
.
О т в е т : 1.
2. Найдите
Решение.
, если
Поскольку
и
.
, определяем, что
. Тогда
.
О т в е т : -1.
3. Найдите
, если
.
Решение.
Используем формулу косинуса двойного угла
. Имеем:
.
О т в е т : 22,08.
Решите самостоятельно
1) Найдите
, если
2) Найдите
, если
3) Найдите
, если
и
4) Найдите
, если
и
5) Найдите
и
, если
.
.
и
.
Показательные уравнения
1. Найдите корень уравнения
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
.
.
О т в е т : 10.
2. Найдите корень уравнения
.
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
О т в е т : 8,75
3. Решите уравнение
.
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
О т в е т : 3.
4. Решите уравнение
.
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
О т в е т : −2.
Решите самостоятельно
1) Найдите корень уравнения
2) Найдите корень уравнения
3)
4)
5)
6)
Найдите корень уравнения
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
.
Прямоугольный треугольник: вычисление углов
1. В треугольнике
Решение.
угол
равен 90°,
. Найдите
.
О т в е т : 0,96.
2. В треугольнике
те
.
Решение.
угол
равен
90°,
.
Найди-
О т в е т : 0,96.
3.
3. В треугольнике
Решение.
Имеем:
угол
равен 90°,
Найдите
О т в е т : 0,25.
Решите самостоятельно
1) В треугольнике ABC угол C равен 90°,
. Найдите
2) В треугольнике ABC угол C равен 90°,
. Найдите
3) В треугольнике ABC угол C равен 90°,
4) В треугольнике ABC угол C равен 90°,
.
. Найдите
. Найдите
.
Логарифмические уравнения
1. Найдите корень уравнения
Решение.
Последовательно получаем:
О т в е т : −124.
2. Найдите корень уравнения
Решение.
Последовательно получаем:
.
.
О т в е т : 21.
3. Найдите корень уравнения
Решение.
Последовательно получаем:
О т в е т : −42.
4. Найдите корень уравнения
Решение.
Последовательно получаем:
.
.
О т в е т : −4.
5. Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
укажите меньший из них.
Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:
Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.
О т в е т : 12.
Решите самостоятельно
1) Найдите корень уравнения
2) Найдите корень уравнения
3) Найдите корень уравнения
4) Решите уравнение
5) Решите уравнение
укажите меньший из них.
6) Найдите корень уравнения
7) Найдите корень уравнения
.
.
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
.
.
Производная и ее применение
Найти производную функции:
1. y  x 4  4 x 3  8 x 2  5 ;
2
3
2
2. y  ( x  x)( x  x )
3. y 
x2 1
;
x2 1
4. Найдите производную функции
5. Найдите экстремумы функции
6. Постройте график функции
y
2x
в точке x0  2 .
x 1
x4
f ( x) 
 2 x 3  4,5 x 2 .
4
f ( x)  x 4  4 x  1 .
Прямоугольный параллелепипед
1. В прямоугольном параллелепипеде
что
Решение.
По теореме Пифагора
Тогда длина ребра равна
О т в е т : 3.
известно,
Найдите длину ребра
.
2. В прямоугольном параллелепипеде
что
известно,
Найдите длину ребра
.
Решение.
по теореме Пифагора
Тогда длина ребра
равна
О т в е т : 2.
3. В прямоугольном параллелепипеде
что
Найдите длину ребра
известно,
.
Решение.
По теореме Пифагора
Тогда длина ребра
равна
О т в е т : 5.
4. Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA = 3.
Решение.
Рассмотрим прямоугольник
в котором
диагональю,
=
По теореме Пифагора
является
Значит, AD = 5.
Решите самостоятельно
1)
Найдите квадрат расстояния между вершинами и
прямоугольного параллелепипеда, для которого
,
,
2)
Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого
,
,
.
3)
Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого
,
,
.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной
вершины, равны 1 и 5. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
5)
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной
вершины, равны 4 и 12. Площадь поверхности параллелепипеда равна 192. Найдите
его диагональ
6)
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 105. Одно из его
ребер равно 7. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому
ребру.1
4)
Решу ЕГЭ: образовательный портал для подготовки к экзаменам : математика / Д.Д. Гущин. – 2011-2013. –
Режим доступа : http://www.reshuege.ru/. – (Последнее обращение 02.12.2013).
1