Conception

Высшая математика (математические модели и методы анализа)
Задачи и контрольные вопросы
Задание 1.
2
n ( n 1) 
1. Формулу 13+23+ +33+...+n3= 
доказать методом математической индукции.
 2 
2. Посчитав несколько последовательных сумм, выдвинуть гипотезу о формуле суммы
Sn 
1
1
1
 ...
12

23
n(n1)
и доказать ее методом математической индукции а также не используя его.
3. Найти представление чисел 77, 127 в двоичной системе. Записать в десятичной системе
двоичное число (1010101)2.
4. Разложить в десятичные дроби числа 1/7, 6/7, 11/90 «делением углом», без помощи калькулятора или компьютера. «Делением углом» разложить в десятичную дробь число 349/875; заметив,
что
349
875

32
1

125 7

256
1000

142
1000
6
7
  10  3 , подумать и получить ответ (с использованием уже по-
лученных результатов), ничего не вычисляя.
5. Записать в виде правильной дроби числа 0.(12), 0.1(23).
Задание 2.
При вычислениях в задачах с параметрами здесь и далее считать, что a  число букв в имени студента, b  число
букв в фамилии студента, c  число букв в названии места (города, села...) рождения студента.
1. В банк помещен вклад размером 10 000 (ед.) под 100P = a+b (% годовых). Заполнить таблицу
движения капитала (см. стр.52) с M0 и найти размер вклада через год при начислении процентов:
а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно (с оборотом капитала при начислении).
2. Рост курса некоторой иностранной валюты предполагается в размере (a+b)/2 (% в год).
Надежный банк предлагает ставки по вкладам в размере 19% годовых по национальной валюте и
12.5%  по иностранной. Решить, в какой валюте выгоднее поместить сбережения в банк (считая
предполагаемый рост курса истинным). При каком росте курса иностранной валюты ставка 19%
в национальной валюте будет равновесной?
3. Во Франции XVI в. ростовщики давали кредит на условии удвоения суммы долга за 6 лет.
Какова была годовая процентная ставка для простых и сложных процентов?
Задание 3.
1. Найти комплексные числа, равные соответственно
1 i 1 i

,
1+i 1 i
33
 1 i 

 .
 1+i 
2. Представить в тригонометрической форме число 3  i 3 .
3. Методом математической индукции доказать формулу
n
n
(1  i ) n  2 n / 2  cos
 i sin  .
4
4
4. Найти комплексное число, равное: 4 1 .
5. Найти необходимые и достаточные условия, чтобы квадрат комплексного числа был: а) действительным числом; б) чисто мнимым числом.
6. Пользуясь теоремой о целых корнях, найти корни уравнения x3  6x + 4 = 0.
Задание 4.
1. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки ( x * , y * ) и ( x 0 , 0) (все
x* , y* , x 0  0, x 0  x* ). Нарисовать эту прямую. Найти ее направляющий вектор, угловой коэффициент и точку (0, y0) пересечения с осью Oy.
2. Прямая спроса проходит через точки (Q0,0) = (a,0) и (0,b). Прямая предложения  через
b
ac
точку (0,P0), P0 
и имеет угловой коэффициент s 
относительно оси OP. Найти
a b
b c
1
точку равновесия и написать функции спроса и предложения в равновесной форме. (Ответ.
Pe 
bd  sP0
b  P0
, Qe  1 1 , d  угловой коэффициент функции спроса относительно оси Oy).
s d
s d
3. Спрос и предложение описываются линейными функциями (от цены). При цене P2 избыточное по сравнению со спросом предложение равно r2; при цене P1 избыточный по сравнению с
предложением спрос равен r1. Найти равновесную цену Pe а также разности P2 – Pe и Pe – P1.
Вычислить при r1 = P1 = ab, r2 = P2 = ab.
rP r P
r  P
P P
P

1
. P2  Pe  2 1 
Ответ. Pe  1 2 2 1 
, где P  ( P2  P1 )  1   .
r2  r1
r1  r2
1  r1 / r2
r1
 r1 r2 
Задание 5.
1. Графически на рис. 1
1) найти по заданным: значению х, КПВ и графику u = uy(y) объем
совокупного продукта (точнее  соответствующую точку на оси);
2) для произвольного распределенного производства (x0, y0)  D
b
uy(y)
найти область в D, в которой оба продукта производятся в большем количестве (чем x0 и y0); каким может быть объем свободного
a
x
альтернативного продукта для произвольного свободного x (x 
Рис.1
 x(y0) = a  r1y0  x0) или, соответственно, свободного y (y 
 y(x0) = b  rx0  y0); доказать алгебраически и геометрически, что y(x0) = r  x(y0);
3) в какой точке границы производственных возможностей распределение продуктов находится в пропорции y:x = b:a? В каком отношении она делит отрезок КПВ?
2. [5, зад. 3.14]. Как известно лицам, знакомым с творчеством В.Шекспира (или Маттео Банделло, у которого, правда, дается другая транскрипция  Капеллетти (Capelletti)), семьи Монтекки и Капулетти из Вероны враждовали. Предположим, что клан Монтекки владел однородной
землей и мог произвести в год максимально 500 т пшеницы или 2000 т винограда. При этом были возможны любые комбинации этих продуктов в пределах производительности земли. Собственное потребление составляло 350 т пшеницы и 600 т винограда.
Капулетти владели двумя однородными полями, первое из которых давало максимально 100 т
пшеницы или 500 т винограда, а второе  максимально 300 т пшеницы или 900 т винограда.
Собственное потребление семьи составляло 200 т пшеницы и 800 т винограда.
а) Построить КПВ для каждой из семей и выписать их уравнения в координатах. Сколько свободного продукта было у каждой семьи? Считать виноград 1-м продуктом (х).
б) Сколько винограда и пшеницы обе семьи могли бы получить дополнительно при том же потреблении, если бы вместо неразумной вражды, приведшей к столь трагическим последствиям,
семьи изучали КПВ и эффективно объединили свои производственные мощности? За счет чего?
3. Будет ли сходиться процесс коррекции цены и спроса в паутинной модели A при спросе и
предложении, определенном в задаче 2.Зад.2? Нарисовать «паутину» на координатной плоскости.
4. Будет ли сходиться процесс коррекции в паутинной модели B при спросе и предложении, в
той же задаче? Нарисовать «паутину» на координатной плоскости для этих данных.
y
Задание 6.
1. Решить задачу 1 [1. С.198].
2. Решить задачу 2 [1. С.198].
3. Решить задачу 3 [1. С.198].
4. Решить задачу 4 [1. С.198].
5. Разобрать решение примера 45 [1. С.171] (и быть готовым решить эту задачу на экзамене).
Задание 7.
1. Решить задачу 6 [1. С.198].
2. Решить задачу 7 [1. С.199].
2 3
3. Найти с помощью алгебраических дополнений обратную для матриц A  
и
1 2
2
1 a c 
B  0 1 b  .


0 0 1
n
a n
a c 
4. Методом математической индукции вывести формулу 



0 a 
0
na n 1c
.
an 
Задание 8.
1. Решить задачу 8 [1. С.199].
2. Найти вектор потребления для сбалансированной торговли трех стран со структурной мат1
 a
0
 a b 4

 b
1 1
рицей P  
.
a b 2 2 


1 1
 0


4 2
~
3. Доказать, если X 2 + I = 0, то и всякая подобная матрица X  TXT 1 также будет решением
этого уравнения. Далее
~
 0 1
3.1 ) выписать общий вид матрицы J  T J T 1 где J  
(решение уравнения X 2 = I), а


1
0


a b 
~
T
 , detT  0  произвольная матрица подобного преобразования; затем вычислить J
c
d


при: a = c =1, b = 0, d = 1; взяв значения a, b, c  как указано в предисловии к заданию 2, а d 
по своему усмотрению;
a b 
~
3.2) найти общий вид матрицы J = T J T 1 с матрицей T  
 и вычислить при: 1) a = 0, b =
b a 
= 1; 2) a = 2, b = 1; 3) a, b  как указано в предисловии к заданию 2, если a  b.
Задание 9.
1. За сколько лет удвоится вклад при p (мес) = 0.02, 0.01, [(a+b+c)/3]%?
2. Указать траекторию движения материальной точки и характер движения, если оно задается
равенствами: 1) x = x(t) = t  1, y = y(t) = 2; 2) x = x(t) = at2, y = y(t) = 1; 3) x = x(t) = cos  t, y = y(t) = 0.
Затем, введя третью координату  время (t), нарисовать траекторию движения.
3. Подготовить к сдаче первый квант домашних заданий.
Задание 10.
1. Герой детективного фильма для того, чтобы выбраться из западни, должен быстро выскочить из ангара, в котором он спрятался, вскочить в автомобиль, стоящий в S  20 м от закрытых
ворот, и, разогнав его с места, выбить передним бампером ворота. Автомобиль будет разгоняться
с постоянным ускорением a  м с 2 . Какую скорость автомобиль будет иметь при столкновении с
воротами? Для того чтобы автомобиль выбил дверь, его скорость должна превышать 15.4 м с, а
для того чтобы повреждения автомобиля при столкновении позволили ему продолжить движение и уйти от возможной погони, его скорость при столкновении не должна превысить 18.1 м с .
Сможет ли герой детектива вырваться из западни?
2. Прямолинейное перемещение тела S(t) в каждый момент времени t определяется по формуле S (t )  t 3 / a  bt 2  c. Определить: а) в какой момент времени ускорение a(t) равно нулю; б)
какова в этот момент скорость тела v(t).
3
3. Цена большого бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Показать, что при разделении бриллианта на две части, его стоимость всегда уменьшается. Когда понижение стоимости
будет максимальным?
4. Производитель реализует свою продукцию по цене p за единицу, а издержки S(x) при этом
задаются зависимостью S(x) = ax + bx3 (a<p). Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль, вычислить при p = 2a.
5. Нарисовать эллипс производственных возможностей двухпродуктовой фирмы с общим числом работников L = a+b, если в стандартной модели (Лекция 10) l 2 = a и k2 = b.
Задание 11.
1. Найти производные функций y = ln(a+bx), y = 1  x 2 , y = eax cos2x.
2. Изучив пример 97 [1. С.306], решить следующую задачу. Зависимость функции спроса D и
предложения S от цены имеют вид: D = 7  p и S = p + 1. Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении
цены на 5% от равновесной.
3. Найти коэффициент эластичности степенной функции u = x r.
4. Для функции затрат C = aQ+b, Q > 0 (a,b > 0) найти функции средних и предельных затрат и
нарисовать графики всех трех функций на единой координатной плоскости.
Задание 12.
1. Пусть A, B, C  произвольные события. С помощью операций  ,  ,  найти выражение для
событий, состоящих в том, что произошло:
а) только событие А; б) ровно одно событие; в) не менее двух событий; г) ровно два события;
в объединениях выделить несовместные слагаемые.
2. Найти вероятность появления следующего события при бросании трех правильных монет:
а) на первой монете выпал герб; б) выпало ровно два герба; в) выпало не более двух гербов.
3. Задача («парадокс») де Мере. Имеются три правильные игральные кости. Почему выпадение
в сумме числа 11 более вероятно, чем 12, хотя оба разбиваются в сумму 6 способами:
11  6  4  1, 6  3  2 , 5  5  1, 5  4  2 , 5  3  3 , 4  4  3 ,
12  6  5  1, 6  4  2 , 6  3  3 , 5  5  2 , 5  4  3 , 4  4  4 ?
Найти эти вероятности. Также найти вероятности произвольной неупорядоченной тройки: с
разными значениями, с двумя совпадающими и тремя совпадающими значениями.
Эта задача имеет следующую историю. Ее сформулировал французский дворянин шевалье де
Мере, состоявший в той же аристократической научной компании, что и Б.Паскаль. Де Мере
считал, что выпадение в сумме на трех костях 11 и 12 равновероятно, поэтому они должны выпадать одинаково часто, хотя, естественно, жизнь опровергала это предположение и 11 выпадало
стабильно чаще. Письменное объяснение этого мнимого парадокса дал великий Паскаль.
4. Заполнить таблицу распределения случайной суммы очков на двух игральных костях.
Задание 13.
1. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек приходятся на разные месяцы года,
считая, что рождение любого из них приходятся на каждый месяц с равной вероятностью.
2. Найти вероятность того, что выборка с возвращением объема k из N различных элементов
содержит заданный элемент. Все выборки упорядочены и равновероятны.
3. Найти вероятность того, что выборка без возвращения объема k из N различных элементов
содержит заданный элемент. Все выборки упорядочены и равновероятны.
4. Сколько распределений Бозе-Эйнштейна, при которых каждый класс не пуст?
Задание 14.
4
1. Баскетболист дважды совершает по два штрафных броска. Считаем, что броски независимы
с вероятностью попадания р в каждом. Какова вероятность не менее трех попаданий? Вычислить ее при: 1) p = q; 2) p 
a b
.
a  b c
2. Вероятность хотя бы одного появления события A при двух независимых испытаниях P =
= 0.84. Испытания считаются успешными, если A происходит хотя бы раз в трех испытаниях.
Вычислить вероятность успеха в испытаниях. Какова вероятность того, что событие A в первый
раз произойдет на третьем испытании?
3. Симметричную монету бросают 6 раз подряд. Найти вероятности событий:
1) А: выпадет 0,1,5,6 гербов, В: дополнительное событие;
2) А: выпадет 0,1,2,5,6 гербов, В: дополнительное событие.
Какая вероятность больше при p = q?
4. Проверить независимость следующих событий:
A: в 4-х независимых равновероятных испытаниях Бернулли в первый раз выпадет герб,
B: в 4-х независимых равновероятных испытаниях Бернулли выпадет нечетное число гербов.
Задание 15.
1. Будет ли характерный вид функции предельных затрат (с минимумом на АС) обязательным?
Для ответа рассмотреть функцию затрат со средними затратами AC (Q) = aQ+b. Найти C(Q) и
МC (Q) и нарисовать графики всех трех функций на единой координатной плоскости.
2. Для функции затрат с MC = MCmin + a (Q  Qm)2, Q > 0 (MCmin, a, Qm > 0) подтвердить интегрированием, что C(Q) =
a 3
Q  aQm Q 2  ( MCmin  aQm2 )Q  C0 .
3
3. Если C(Q) = AQ2 + BQ + f  функция затрат однопродуктовой фирмы, а p  стоимость единицы производимого продукта, то I = pQ  AQ2 + BQ + f  функция доходов (в предположении, конечно, I > 0). Представить функцию доходов в виде I = Imax  A(Q  Qm)2, найдя характерные точки
Imax и Qm. Найти также точку пересечения I(Q) с осью ординат.
4. Показать, что при любой функции затрат точка минимума АС всегда лежит на графике МС.
5. Кривая нормы доходов населения (Лоренца) [5, 15.36]. Если в государстве 60% беднейших
владели 20% совокупного дохода, то такое распределение считалось классическим примером социальной несправедливости. В середине ХХ в. оно было характерно для развивающихся стран.
Построить по этим данным кривую Лоренца и найти коэффициент Джинни. Во сколько раз
средний доход беднейших слоев меньше среднего дохода остальной части населения.
Задание 16.
1. [5, 15.39]. На основании следующих статистических данных построить кривую Лоренца.
% получаемых совокупных доходов
% домашних хозяйств
20
40
50
70
Найти коэффициент Джинни и относительный средний доход каждой группы. Поскольку f2 = 1
(и второе звено параллельно диагонали), вторую группу можем считать «средним классом».
2. Найти решение «гибкого» уравнения народонаселения x  (1 x) x, x(0)  x0 .
3. Найти решения системы уравнений для элементарной динамической модели сражения:
 x  by, x(0)  x0 ,

 y  ax, y (0)  y0 .
Задание 17.
1. Для u = (sinxy)/x найти lim ( lim u( x, y)), lim( lim u( x, y)) . Что можно сказать о lim u( x, y) ?
x 0 y 0
x , y 0
y 0 x 0
2. Найти частные производные функций: 1) u  x y , x  0 ; 2) u 
1
2
x  y2  z2
.
5
3. Для функции спроса x = A  3p1 + 2p2 + 0.25I, где A = a + b + c, p1 = a, p2 = b, найти коэффициент
эластичности по ценам и доходу. Найти также коэффициент перекрестной эластичности. При
каких I большинство этих характеристик будут положительными?
Задание 18.
1. Рассмотрим функцию u (x, y) = x2 + y2. Нарисовать ее линии уровня, найти частные производные, дифференциал, градиент и производную по направлению (2,1). Вычислить их в точке (3,2).
Показать, что градиент перпендикулярен линии уровня.
2. Найти дифференциал функций: 1) u 
x
; 2) u 
y
1
2
x  y2  z2
.
3. Найти дифференциалы du и d2u функции u(), равной соответственно
а) ln(ax  by );
б) xy2z3.
В каких точках он существует?
4. [6: 10.2.1]. Фирма производит товары двух видов. Известно, что для выпуска этих товаров в
количествах x и y соответственно необходимо произвести денежные затраты в объеме C = 2x + y
+ 1. Вся произведенная продукция продается на рынке по ценам p1 и p2, которые снижаются при
увеличении предложения товаров на рынке: p1 = 8  x, p2 = 17  2y. Требуется определить оптимальные объемы выпуска продукции, обеспечивающие максимум прибыли фирмы. Чему равна
при этом выручка от продажи товара?
Задание 19.
1. Найти вероятность того, что в семье с двумя детьми оба ребенка мальчики в предположении
а) старший ребенок мальчик,
б) по крайней мере один из детей – мальчик.
Считаем каждое сочетание детей равновероятным.
d
2. Показать, что a   G G a ,2 ( > 0), т.е. a   G ~  a ,2 , и напротив, (G a ,2  a )/  ~  .
d
3. Пусть p, X1, X2,... независимы, все X n  E a , p имеет геометрическое распределение с параd
метром р. Доказать, что X 1 ...  X  p 1  E a p , то есть сумма экспоненциальных с.в. в «геометрическом числе» будет экспоненциальной с.в. с параметром ap (использовать формулу полной
вероятности подобно решению примера 111).
Сформулировать в форме рандомизации.
4. Найти математическое ожидание, второй момент и дисперсию с.в. Бернулли. Используя
свойства ожидания и дисперсии, найти M Bi np и D Bi np .
5. Задача о встрече. Пара влюбленных работает в разных, но близко расположенных фирмах.
Обеденный перерыв длительностью в один час, с 13 до 14 часов, они стремятся использовать для
встречи друг с другом в близлежащем кафе. Но в силу производственных причин они уходят на
перерыв в случайное время и, придя в кафе, каждый может ждать другого полчаса (варианты: 20
или 40 мин.). Какова вероятность того, что они встретятся? Точно сформулировать эту задачу и
вычислить вероятности во всех трех случаях (использовать решение [3. Прим.108]).
6. Капитан Жеглов и лейтенант Шарапов, герои фильма «Место встречи изменить нельзя», в
поисках подходящей кандидатуры Ани, подруги «Фокса», просматривают картотеку преступниц.
Каково среднее число карточек, которые должны посмотреть Жеглов с Шараповым до первого
успеха в поисках подходящей кандидатуры Ани, если вероятность обнаружения подходящей
кандидатуры для каждой карточки равна
a /10
?
a b  c
Задание 20.
1. Дискретная равномерная с.в. принимает значения 0, 1,..., n. Найти: а) ее математическое
ожидание и дисперсию; б) ее ожидание при условии, что значение 0 не принимается.
2. Доказать, что cov(G,G2) = 0.
6
3. Пусть в течение гарантийного срока, равного двум годам, ломается 5% компьютеров. Считая, что срок службы компьютера – экспоненциально распределенная случайная величина и вероятность двухлетней безотказной работы равна частоте, вычислить: а) ее математическое ожидание; б) вероятность того, что компьютер проработает не менее 10 лет. Какова размерность параметра a?
4. В результате аварии энергетического блока вся система связи центра управления вынуждена
перейти к использованию запасного генератора. Вся система имеет n = 200 потребителей, независимых и близких по характеристикам. За время ремонта энергоблока каждый потребитель израсходует в среднем а = 180 единиц энергии со среднеквадратическим отклонением  = 20.
Считая, что за время ремонта запасной источник сможет обеспечить 44000 условных единиц
энергии, установить, можем ли мы быть уверены на 95%, что энергии хватит всем?
5. Стрелок высокого класса производит выстрел по вертикально висящей прямоугольной мишени со сторонами 2a по горизонтали и 2b по вертикали. Стрелок целится в центр мишени.
Найти вероятность того, что стрелок попал в мишень, если среднеквадратическое отклонение по
горизонтали x = a/3, а по вертикали y = b/2.5.
Задание 21.
1. Выписав таблицы истинности для формулы  AB, установить ее равносильность формуле
AB.
2. Доказать первый закон Де Моргана, выписав таблицы истинности для формулы  (AB) 
  A  B.
3. Проверить таблицей истинности и равносильными преобразованиями, что формула 8:  A
(AB)  логический закон.
4. Проверить таблицей истинности равносильность формул A  B и  A   B и формул A  B и
B  A.
5. Проверить равносильными преобразованиями и таблицей истинности логические законы
A3+ и A4+.
Задание 22.
1. Равносильными преобразованиями упростить логическую формулу в одной из следующих
задач, выбрав ее в соответствии со своим порядковым номером в списке группы (или остатком
от его деления на 12)
1. ((ABC)  ( B  A))  B. 2. AB  A.
3.  AB  AB.
4. AB  AB.
5.  AB  B.
6. (AB)  (BA).
7. ((A B) A) A.
8. (AB)(BC)(AC).
9. (AB)((BC)(AC)).
10. (A  (B  C))  ((AB)  (AC)).
11. (AC)(BC)(AB) C.
0. (AC)(BD)( C D)  A B.
2. Выписать таблицы истинности (Куайна) для логической формулы в одной из следующих задач, выбрав ее в соответствии со своим порядковым номером в списке группы (или остатком от
его деления на 15)
1.  (ABC)   A B C. 2.  (AB)   A B.
3.  A(ABA).
4. AB  B A.
5. (AB)(BC)  (AC).
6. (AB)(BC)(AC).
7.  (A A).
8. A(BC)  (AB)(AC).
9. A(BC)  (AB)(AC).
10. (AB)B  B.
11. (AB)B  B.
12. AB  AB.
13. ( AB)(A B).
14. (AB)(BA).
0. ( AB)( A B)A.
3. Доказать, что вопрос, указанный в прим.65 [1], действительно приводит к «двери свободы».
4. Решить задачу, выбрав ее в соответствии со своим порядковым номером в списке группы
(или остатком от его деления на 10): 1. Задача 4.1; 2. Задача 4.2; 3. Задача 4.3; 4. Задача 4.4; 5. Задача 4.5; 6. Задача 5; 7. Задача 9.1; 8. Задача 9.2; 9. Задача 9.3; 0. Задача 9.4. Все  из [1. Гл.3].
7
Задание 23.
1. Доказать счетность следующих множеств:
1) множества нечетных натуральных чисел;
2) множества целых чисел;
3) множества нечетных целых чисел.
2. Доказать геометрически и алгебраически, что любые два отрезка равномощны.
8