Элементарная алгебра с точки зрения высшей

Элективный курс «Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
10-11 классы
Пояснительная записка
Общая характеристика элективного курса
Данный элективный курс рекомендован Министерством образования Российской Федерации
(Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика»/Министерство
образования РФ – национальный фонд подготовки кадров. - М: Вита-Пресс, 2004г стр96 ISBN 5-77-56).
Программа элективного курса ориентирована на учащихся, закончивших девять классов
общеобразовательной школы, которые с интересом изучали математику, имеют хороший уровень
математической подготовки и связывают с ней дальнейшее обучение в ВУЗе. Это учитывает
региональный подход в образовательной области «Математика», который выражается в повышении
уровня математического образования, что соответствует экономико-хозяйственной специфике
Челябинской области.
Курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе
решается и разбирается большое число сложных задач, многие из которых понадобятся при учебе в
высшей школе. Рассматривается актуальная тема «Алгебраические задачи с параметром». В ходе
изучения данной темы учащимися будут разобраны такие важные вопросы, как: рациональные задачи с
параметром, иррациональные задачи с параметром, параметр и модули, критические значения
параметра, метод интервалов в неравенствах с параметром, замена переменной в задачах с параметром,
решение задач с помощью «разрешения относительно параметра», метод координат (или
горизонтальных сечений) в задачах с параметром, метод областей в рациональных и иррациональных
неравенствах с параметром, применение производной при анализе и решении задач с параметром,
выписывание и «собирание» ответа в задачах с параметром.
Цели курса – создание условий для реализации профильного обучения; обеспечить преемственность
средней и высшей школы, вооружить учащихся простым и эффективным средством решения более
широкого, по сравнению с общеобразовательной школой, класса задач; обеспечить для наиболее
способных школьников повышенный уровень изучения математики; формирование целостной системы
математических знаний и базы для продолжения математического образования в ВУЗах различного
профиля.
Задачи курса:
 Расширить сферу математических знаний учащихся;
 Расширить представление учащихся о многочленах, показать их роль и место в развитии теории
решения уравнений и неравенств;
 Обобщить основные методы решения уравнений, неравенств различных видов, а также систем
уравнений и неравенств;
 Дать учащимся представления о задачах с параметрами, рассмотреть основные типы и методы
решения задач с параметрами;
 Познакомить учащихся с математикой как с общекультурной ценностью, выработать понимание
того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя;
 Развивать навыки организации умственного труда и самообразования.
Нормативно-правовое и инструктивно-методическое обеспечение
Преподавание математики осуществляется в соответствии с требованиями следующих
нормативных документов:
Федеральный уровень
1. Федеральный закон от 29.12.2012 г. № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации»
(редакция от 23.07.2013).
2. Об утверждении Федерального компонента государственного образовательного стандарта
начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования / Приказ
Министерства образования и науки Российской Федерации от 05.03.2004 г. № 1089.
3. О примерных программах по учебным предметам федерального базисного учебного плана /
Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 07.07.2005 г. № 03-126.
4. Об утверждении Федерального перечня учебников, рекомендуемых к использованию при
реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального
общего, основного общего, среднего общего образования / Приказ Министерства образования и
науки Российской Федерации от 31.03.2014 г. № 253.
5. Об утверждении СанПиН 2.4.2.2821-10 «Санитарно-эпидемиологические требования к условиям
и организации обучения в образовательных учреждениях» / Постановление Главного
государственного санитарного врача Российской Федерации от 29.12.2010 № 02-600
(Зарегистрирован Минюстом России 03.03.2011 № 23290).
6. Об утверждении перечня организаций, осуществляющих издание учебных пособий, которые
допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную
аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательных
учреждениях / Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 14.12.2009 г.
№ 729 (Зарегистрирован Минюстом России 15.01.2010 г. № 15987).
7. О внесении изменений в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий,
которые допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную
аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательных
учреждениях / Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 13.01.2011 г.
№ 2 (Зарегистрирован в Минюсте РФ 08.01.2011 г. № 19739),/ Приказ Министерства образования
и науки Российской Федерации от 16.02.2012 г. № 2 (Зарегистрирован в Минюсте РФ 08.02.2011
г. № 19739).
Региональный уровень
1. О внесении изменений в областной базисный учебный план для общеобразовательных
организаций Челябинской области, реализующих программы основного общего и среднего
общего образования / Приказ Министерства образования и науки Челябинской области от
30.05.2014 № 01/1839.
2. О разработке рабочих программ учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей) в
общеобразовательных учреждениях Челябинской области / Письмо Министерства образования
и науки Челябинской области от 31.07.2009 г. №103/3404.
3. Письмо Министерства образования и науки Челябинской области от 30 июля 2014 г. № 03—
02/4959 «Об особенностях преподавания учебных предметов в общеобразовательных
организациях Челябинской области в 2014-2015 учебном году».
4. Об утверждении Концепции профориентационной работы образовательных организаций
Челябинской области на 2013-2015 год / Приказ Министерства образования и науки
Челябинской области от 05.12.2013 г. № 01/4591.
Школьный уровень
1. Учебный план МБОУ СОШ №45 на 2014-2015 учебный год;
2. Положение о порядке разработки и утверждения рабочих программ
учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей) в МБОУ СОШ №45( протокол педсовета №1 от
28.08.14, приказ МБОУ СОШ №45 от 28.08.14 №1).
Место элективного курса в школьном учебном плане
В учебном плане школы на изучение элективного курса в 10 и 11 классах отводится 70 часов ( 1 час
в неделю, в т.ч.
10 класс – 35 часов
11 класс – 35 часов.
Предусмотрены следующие формы занятий: лекция, беседа, семинар, работа в группах, практикум.
Виды контроля: написание рефератов, на предложенные учителем темы, индивидуальные и творческие
задания, в которых необходимо провести небольшое самостоятельное исследование, тематические
самостоятельные и контрольные работы.
Содержание курса
10 класс
Тема 1. Логика алгебраических задач (7ч).
Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.
Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства
числовых неравенств.
Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы
и совокупности задач.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.
Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.
Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (19ч).
Представление о целых рациональных выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом
Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.
Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен
и о числе корней многочленов. Кратные корни.
Полностью разложимые многочлены и теорема Виета. Общая теорема Виета.
Элементы перечислений комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с
повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Квадратный трёхчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.
Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трёхчлена.
Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечётной степени.
Угадывание корней и разложение.
Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х3 + Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и
необходимость комплексных чисел.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии.
Угадывание корней. Разложение. Метод неопределённых коэффициентов. Схема разложения
Феррари.
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением.
Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Приёмы установления иррациональности и рациональности чисел.
Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (9ч).
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические,
кососимметрические, возвратные многочлены и уравнения.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом
сведения к совокупности систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости.
стандартные неравенства. Метод областей.
11 класс
Тема 1 Рациональные алгебраические системы (5ч).
Уравнение с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными.
Однородные уравнения с двумя переменными.
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной.
Равносильные линейные преобразования систем.
Однородные системы уравнений с двумя переменными.
Замена переменных в системах уравнений.
Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении
симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через
элементарные симметрические многочлены.
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.
Метод разложения при решении систем уравнений.
Метод оценок и итераций при решении систем уравнений.
Оценка значений переменных.
Сведение уравнений к системам.
Системы с тремя переменными. Основные методы.
Системы Виета с тремя переменными.
Тема 2. Иррациональные алгебраические задачи (15ч).
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие арифметических и
алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.
Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.
Освобождение от кубических радикалов.
Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.
Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства сложнее уравнений?
Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в
неравенствах (Сведение к системам и совокупностям систем).
«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.
Теоремы о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков
знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении неравенств.
Уравнение с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод интервалов при
раскрытии модулей.
Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схема освобождения от модулей в
неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах (правила
знаков).
Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы.
Смешанные системы с двумя переменными
Тема 3. Алгебраические задачи с параметрами (15ч).
Что такое задача с параметрами? Аналитический подход. Выписывание ответа (описание
множеств решений) в задачах с параметрами.
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
Задачи с модулями и параметрами. Критические значения параметра.
Метод интервалов в задачах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно
параметра.
Системы с параметрами.
Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея
метода.
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с
параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».
Метод «Оха» при решении рациональных иррациональных алгебраических неравенств и систем
неравенств с параметрами.
Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.
Замена при использовании метода «Оха».
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод
координат.
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Распределение часов по темам
№п/п
Тема
Количество
часов
10 класс
1.
2.
3.
1.
2.
3.
Логика алгебраических задач.
Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения.
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
Всего
11 класс
Рациональные алгебраические системы
Иррациональные алгебраические задачи
Алгебраические задачи с параметрами
Всего
7
19
9
35
5
15
15
35
Календарно – тематический план элективного курса
10 класс
№
п/п
№
урока
темы
1
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
18
19
20
21
22
23
24
25
26
11
12
13
14
15
16
17
18
19
27
1
28
29
2
3
30
4
31
32
5
6
Дата
Наименование разделов, тем
1. Логика алгебраических задач (7 ч).
Элементарные алгебраические задачи как предложения с
переменными.
Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения и неравенства с переменной.
Сложные
(составные)
алгебраические
задачи.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами.
Интерпретация задач с параметрами на координатной
плоскости.
2. Многочлены
и
полиномиальные
алгебраические уравнения (19 ч).
Представление о целых рациональных выражениях.
Деление многочленов с остатком.
Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу.
Полностью разложимые многочлены и теорема Виета.
Общая теорема Виета.
Элементы перечислений комбинаторики.
Квадратный трёхчлен.
Квадратичные неравенства.
Кубические многочлены.
Теорема о существовании корня у полинома нечётной
степени.
Куб суммы/разности.
Формула Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х3 + Ах = В.
Уравнения четвёртой степени.
Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии.
Метод неопределённых коэффициентов.
Полиномиальные уравнения высших степеней.
Приёмы
установления
иррациональности
и
рациональности чисел.
3. Рациональные алгебраические уравнения и
неравенства (9 ч).
Представление
о
рациональных
алгебраических
выражениях.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения.
Метод замены при решении дробно-рациональных
уравнений.
Метод замены при решении дробно-рациональных
уравнений.
Дробно-рациональные
алгебраические
неравенства.
Общая схема решения методом сведения к совокупности
Примечание
33
7
34
8
35
9
систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных
алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод
замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Метод областей.
11 класс
№
п/п
№
урока
темы
1
2
1
2
3
4
5
3
4
5
6
7
8
1
2
3
9
4
10
5
11
12
13
14
6
7
8
9
15
16
10
11
17
18
19
12
13
14
20
15
21
22
23
24
25
26
27
28
1
2
3
4
5
6
7
8
Дата
Наименование разделов, тем
Рациональные алгебраические системы (5ч).
Симметрические выражения от двух переменных.
Системы Виета и симметрические системы с двумя
переменными.
Метод оценок и итераций при решении систем уравнений.
Сведение уравнений к системам.
Системы Виета с тремя переменными.
2.
Иррациональные алгебраические задачи (15ч).
Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с
квадратными радикалами.
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к
системам.
Метод
оценки.
Использование
монотонности.
Использование однородности.
Иррациональные алгебраические неравенства.
Эквивалентные преобразования неравенств.
«Дробно-иррациональные» неравенства.
Метод
интервалов при
решении иррациональных
неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении
неравенств.
Уравнение с модулями.
Неравенства с модулями.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и
дробных неравенствах (правила знаков).
Иррациональные алгебраические системы.
3.
Алгебраические задачи с параметрами (15ч).
Рациональные задачи с параметрами.
Иррациональные задачи с параметрами.
Задачи с модулями и параметрами.
Метод интервалов в задачах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами.
Системы с параметрами.
Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных
1.
Примечание
29
9
30
10
31
11
32
33
34
12
13
14
35
15
сечений) в задачах с параметрами. Идея метода.
Метод
«Оха» при решении рациональных и
иррациональных алгебраических уравнений с параметрами.
Метод «Оха» при решении рациональных иррациональных
алгебраических неравенств и систем неравенств с
параметрами.
Метод областей в рациональных и иррациональных
неравенствах с параметрами.
Замена при использовании метода «Оха».
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с
параметрами. Метод координат.
Применение производной при анализе и решении задач с
параметрами.
Учебно-методическое обеспечение курса
1. С.М. Никольский. Алгебра и начала анализа, 10 класс. – М.: Просвещение, 2008.
2. С.М. Никольский. Алгебра и начала анализа, 11 класс. – М.: Просвещение, 2008.
3. Н. Я. Виленкин. Алгебра и начала анализа, 10 класс. – М.: Просвещение, 1992.
4. Н. Я. Виленкин. Алгебра и начала анализа, 11 класс. – М.: Просвещение, 1993
5. Б. Г. Зив, В. Л. Гольдич. Алгебра и начала анализа, 10 класс. – С.-Петербург, 2003.
6. С.М. Саакян, А. М. Гольдман, Д. В. Денисов. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11
классов. – М.: Просвещение, 1990.
7. В. И. Заляпин, Ю. Г. Малиновский, В. А. Могильницкий. Математика. В помощь поступающим.
– Челябинск: Издательство Татьяны Лурье, 2000.
8. В.А.Антонов, П. А. Ческидов. Математика. Основные методы решения задач.Часть1 –
Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000.
9. В.А.Антонов, П. А. Ческидов. Математика. Основные методы решения задач.Часть2 –
Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2001.
10. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Алгебра и начала анализа 10 -11 кл. Самостоятельные и
контрольные работы. – М.: Илекса, 2005.
11. Журнал «Математика в школе».
12. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Алгебраический тренажер. – М.: Илекса, 2007.
13. Л. Я. Фальке и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. – М.: Народное
образование, 2005.
14. А. М. Титаренко. Математика. 6000 задач и примеров, 9-11 кассы. – Эксмо, 2007.
15. Ф.Ф. Лысенко.Тематические тесты. Математика. ЕГЭ- 2008. Часть 2. – Ростов на Дону, Легион,
2008 .
16. М. К. Потапов, А. В. Шевкин. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 11кл :
базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2007.
17. М. К. Потапов, А. В. Шевкин. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10кл:
базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2008.
18. М. И. Шабунин, М. В. Ткачева и др. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для
10кл. – М.: Просвещение, 2009.
19. М. И. Шабунин, М. В. Ткачева и др. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для
11кл. – М.: Просвещение, 2009.
Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
 Стандартный вид многочлена от нескольких переменных;
 Стандартную форму целых рациональных выражений;
 Обобщенную теорему Виета для высших степеней;
 Общие методы решения уравнений и неравенств: метод замены переменных, метод оценки,
метод интервалов, метод областей;
 Общие методы решения систем: метод подстановки, метод исключения переменной, метод
замены переменной, метод разложения, метод оценок;
 Эквивалентные и неэквивалентные преобразования иррациональных выражений;
 Схемы раскрытия модулей в уравнениях и неравенствах;
 Различные типы задач с параметрами и основные методы их решения.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
 Выполнять деление многочлена на многочлен;
 Находить корни многочлена с использованием теоремы Безу и следствий из нее, с
использованием метода замены переменной;
 Решать дробно-рациональные уравнения методом замены переменной;
 Решать дробно – рациональные неравенства методом сведения их к совокупности систем,
методом интервалов, методом оценки;
 Изображать множество решений неравенства двумя переменными на координатной плоскости;
 Решать системы и неравенства различными способами;
 Решать иррациональные уравнения и неравенства методом сведения к системам совокупности
систем, освобождение от радикалов, методом оценки, методом интервалов;
 Применять метод интервалов, метод разложения, метод горизонтальных сечений метод областей
при решении задач с параметрами.