Пособие по дисциплине &quot

Тольяттинский государственный университет
Автомеханический институт
Кафедра «Компьютерные технологии и обработка материалов давлением»
Егорова Э.В., Панюков Д.И., Тонких А.П.
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине
«Математика и информатика»
для студентов гуманитарных
специальностей очной формы обучения
Тольятти 2007
Содержание
Содержание........................................................................................................................................................................ 2
Часть 1. Основания математики ...................................................................................................................................... 5
Глава 1. Понятийный аппарат аксиоматического метода ........................................................................................ 5
1.1. Введение .......................................................................................................................................................... 5
1.2. Понятие аксиоматического метода ............................................................................................................... 5
1.3. Аксиоматическое построение математической теории ............................................................................... 6
1.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Аксиоматический метод» ............................................................... 7
Глава 2. Основные понятия теории множеств. Основные структуры .................................................................... 9
2.1. Введение .......................................................................................................................................................... 9
2.2. Понятие множества......................................................................................................................................... 9
2.3. Способы задания множеств ......................................................................................................................... 10
2.4. Алгебра множеств ......................................................................................................................................... 11
2.5. Бинарные отношения .................................................................................................................................... 15
2.6. Символический язык логической структуры математических предложений ......................................... 17
2.7. Алгебраические операции над различными математическими объектами ............................................. 18
2.8. Вопросы для самоконтроля по теме «Теория множеств» ......................................................................... 19
Глава 3. Структуры на множестве. Перестановки. Размещения. Сочетания ....................................................... 20
3.1. Введение ........................................................................................................................................................ 20
3.2. Перестановки................................................................................................................................................. 21
3.3. Размещения ................................................................................................................................................... 21
3.4. Сочетания ...................................................................................................................................................... 22
3.5. Вопросы для самоконтроля по теме «Комбинаторика» ............................................................................ 22
Часть 2. Основы теории вероятностей .......................................................................................................................... 23
Глава 4. Случайные события .................................................................................................................................... 23
4.1. Введение ........................................................................................................................................................ 23
4.2. Основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий ...................................................... 24
4.3. Алгебра случайных событий ....................................................................................................................... 25
4.4. Определение вероятности ............................................................................................................................ 26
4.5. Теоремы сложения и умножения вероятностей ......................................................................................... 27
4.6. Формула полной вероятности ...................................................................................................................... 31
4.7. Формула Байеса ............................................................................................................................................ 32
4.8. Вопросы для самоконтроля по теме «Основы теории вероятностей» ..................................................... 32
Глава 5. Случайные величины ................................................................................................................................. 35
5.1. Понятие случайной величины ..................................................................................................................... 35
5.2. Дискретная случайная величина ................................................................................................................. 35
5.3. Непрерывная случайная величина .............................................................................................................. 39
5.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Случайная величина» .................................................................... 44
Часть 3. Элементы математической статистики .......................................................................................................... 45
Глава 6. Статистические оценки параметров распределения ................................................................................ 45
6.1. Введение ........................................................................................................................................................ 45
6.2. Предмет и задачи математической статистики .......................................................................................... 46
6.3. Выборочный метод ....................................................................................................................................... 47
6.4. Статистические оценки параметров распределения .................................................................................. 49
6.5. Некоторые статистические распределения................................................................................................. 51
6.6. Интервальные оценки ................................................................................................................................... 52
Глава 7. Проверка статистических гипотез ............................................................................................................. 57
7.1. Понятие и классификация статистических гипотез ................................................................................... 57
7.2. Общая схема проверки гипотез ................................................................................................................... 57
2
7.3. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения .............................................................. 58
7.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Элементы математической статистики»...................................... 60
Часть 4. Алгоритмизация и программирование ........................................................................................................... 62
Глава 8. Основы алгоритмизации ............................................................................................................................ 62
8.1. Понятие и свойства алгоритма .................................................................................................................... 62
8.2. Таблица блоков ............................................................................................................................................. 63
8.3. Линейные алгоритмы ................................................................................................................................... 64
8.4. Ветвления ...................................................................................................................................................... 64
8.5. Циклы ............................................................................................................................................................. 66
8.6. Вопросы для самоконтроля по теме «Алгоритмизация»........................................................................... 67
Глава 9. Программирование на Паскале.................................................................................................................. 72
9.1. Введение ........................................................................................................................................................ 72
9.2. Конструкция языка Turbo-Pascal ................................................................................................................. 72
9.3. Структура программы на языке Паскаль .................................................................................................... 75
9.4. Основные операторы Паскаля ..................................................................................................................... 75
9.5. Линейный алгоритм. Выполнение программы .......................................................................................... 76
9.6. Операторы передачи управления ................................................................................................................ 76
9.7. Разветвляющийся алгоритм ......................................................................................................................... 80
9.8. Операторы цикла .......................................................................................................................................... 81
9.9. Циклические алгоритмы .............................................................................................................................. 83
9.10. Массивы ....................................................................................................................................................... 83
9.11. Вопросы для самоконтроля по теме «Программирование» .................................................................... 87
Литература ....................................................................................................................................................................... 89
Приложениe 1 .................................................................................................................................................................. 90
Приложениe 2 .................................................................................................................................................................. 92
Приложениe 3 .................................................................................................................................................................. 93
3
УДК 51: 004 (075.8)
ББК 22.18+32.81
М54
Учебное пособие по дисциплине «Математика и информатика» для студентов гуманитарных
специальностей очной формы обучения. /Сост. Егорова Э.В., Панюков Д.И., Тонких А.П. –
Тольятти: ТГУ, 2007.
В учебном пособии рассмотрены вопросы по математике: аксиоматический метод, теория
множеств, основы теории вероятностей и математической статистики, а также вопросы по
информатике: алгоримизация и программирование.
Изложено содержание теоретических вопросов по разделам математики и основам
информатики в соответствии со стандартом для гуманитарных специальностей. Рассмотрены
примеры и даны вопросы для контроля по каждой теме.
Составители: Егорова Э.В., Панюков Д.И., Тонких А.П.
Утверждено редакционно-издательской секцией методического совета института.
© Тольяттинский государственный университет, 2007
4
Часть 1. Основания математики
Глава 1. Понятийный аппарат аксиоматического метода
1.1. Введение
Особенностью развития науки в различных областях деятельности человечества
заключается в исторически формируюшейся тенденции создания и использования одних и тех
же методов во многих её областях. Наиболее активно и результативно этот процесс
наблюдается в математике, её методы используются не только в точных науках, но и в науках
далёких от математики: экологии, экономике, социологии и т.д.
Соответственно появилась необходимость в формировании современной математики,
которая могла бы отражать связи с другими науками. Со временем выработалось направление
по решению общих задач в отличие от существующего ранее подхода, заключающегося в
рассмотрении конкретных задач. Например, принцип работы ЭВМ является единым для всех
типов компьютеров. Если бы было иначе, пришлось бы пользователю перед работой
ознакомиться с принципом работы конкретного компьютера. Следовательно, потребовалось бы
для работы пользователя создавать описание архитектуры каждого типа компьютера.
Таким образом, выработалось направление в разных областях науки, которое требует
выделить главные принципы, отбросив менее существенные.
В результате такого подхода сформировалась аксиоматическая теория, на основе которой
появился метод, который называется аксиоматическим методом. Фундаментом
аксиоматического метода является дедуктивный метод. Дедукция построена на логическом
умозаключении от общих суждений к частным. Дедуктивный метод есть способ, при котором
частные положения логически выводятся из общих (аксиом, постулатов, правил, законов).
Дедукция тесно связана с индукцией, основанной на логическом умозаключении от частных
суждений к общим.
1.2. Понятие аксиоматического метода
Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства как верное.
Аксиоматический метод – способ построения научной теории в виде системы аксиом и
правил вывода, позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы)
данной теории. Аксиоматический метод позволяет получить выводы по данной теории в виде
теорем, используя аксиомы и ранее доказанные теоремы.
Исторические подробности. В III в. до н.э. Евклид применил аксиоматический метод в
геометрии. После III в. до н.э. геометрия развивалась очень медленно, так как требовались
новые идеи и методы. Уже в те времена требовалось развитие понятия числа и других понятий
алгебры. Первые попытки в этом направлении были сделаны в работах Диофанта (Греция, III в.
н.э). Позже в Индии были открыты: десятичная система счисления, отрицательные и
иррациональные числа. В IX в. дальнейшее развитие получила алгебра. В конце XI в. было дано
определение числа как отношения любых величин. Через 600 лет это же определение было дано
Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в.
Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа. Французский
философ и математик Рене Декарт (1596-1650) в своём труде «Геометрия» (1637г.) впервые
представил метод координат на плоскости, этим самым установив взаимосвязь геометрии с
алгеброй.
Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически стройного построения
геометрии, так как аксиоматически построенная теория должна удовлетворять конкретным
математическим требованиям. Эти требования заставили обратить внимание математиков на
пятый постулат геометрии Евклида (аксиома параллельности). Однако попытки пересмотреть
пятый постулат геометрии Евклида, которые длились в течение более тысячи лет, были
безуспешными. В начале ХIХ века учёные предположили идею существования геометрии,
отличающейся от евклидовой. Русский ученый Николай Иванович Лобачевский (1792–1856 гг.)
5
полностью решил проблему независимости аксиомы параллельности от других аксиом
евклидовой геометрии и показал, что аксиомы могут подвергаться изменению. В результате
появилась новая теория, которую стали называть геометрией Лобачевского.
Дальнейшее развитие аксиоматического метода было вызвано исследованием понятия
натурального числа. Во второй половине ХIХ века натуральные числа оказались фундаментом
всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания
математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании
понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика ХIХ
века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана
аксиоматическая теория натурального числа. Была предложена аксиоматика, в которой
натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся
последовательности. Большое внимание на исследование природы натурального числа оказала
и созданная в ХIХ веке теория множеств.
1.3. Аксиоматическое построение математической теории
При аксиоматическом способе построения какой-либо математической теории соблюдаются
следующие правила:
1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без
определения.
2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в
них раскрываются свойства основных понятий.
3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся
определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному
понятию.
4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть
доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и
теорем, предшествующих рассматриваемой.
Из правил аксиоматического построения теории выделяют четыре шага:
Первый шаг: Задаётся некоторое множество первичных понятий (терминов).
Второй шаг: Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных
понятиях.
Третий шаг: При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
Четвёртый шаг: Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
Таким образом, выстраивается алгоритм аксиоматического построения теории:
Первичные понятия.
Аксиомы.
Определения.
Теоремы.
Соответственно можно на примерах рассмотреть какое утверждение в математике относится
к одной составляющей из выше приведенного списка.
Примеры первичных понятий.
К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся:
точка, прямая, плоскость.
Примеры аксиом.
Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Аксиома 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и
притом только одна.
Примеры определений.
6
Определение 1: Высказывания, данные через первичные неопределяемые понятия или через
некоторые другие ранее известные утверждения, называются определениями.
Определение 2: Утверждения, принимаемые без доказательства как верные, называются
аксиомами.
Определение 3: Новые утверждения о первичных и определяемых понятиях, выведенные
чисто логическим путем на основе аксиом, ранее выведенных утверждений и определений,
называются теоремами.
Определение 4: Простым числом называется такое натуральное число, больше единицы,
которое имеет только два делителя – единицу и само это число.
Примеры теорем.
Теорема 1. Если частное натуральных чисел существует, то оно единственно.
Теорема 2. Диагонали у прямоугольника равны.
Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, по названым выше
правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно. При аксиоматическом построении
теории, по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом.
Главным требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, чтобы, сделав
вывод теорем на основе этих аксиом, доказанные теоремы не противоречили друг другу.
Система аксиом должна быть полной и независимой, При аксиоматическом построении одной
и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть
равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают,
насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем.
Большинство интерпретаций для математических теорий (в частности, для арифметических)
строятся на базе теории множеств. Поэтому очень важно, чтобы теория множеств была
непротиворечивой. Аксиоматическая теория основных структур математики является
инструментом, с помощью которого раскрывается теоретико-множественный смысл каждого
понятия.
1.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Аксиоматический метод»
1. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к
определениям, аксиомам, теоремам):
 Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельны.
 Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
 В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
2. К первичным понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости
относятся:
 Луч, треугольник, плоскость.
 Точка, отрезок, плоскость.
 Фигура, плоскость, луч.
 Точка, прямая, плоскость.
3. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к
определениям, аксиомам, теоремам):
 В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
 Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется
вписанной в многоугольник.
 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом
только одна.
7
4. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к
определениям, аксиомам, теоремам):
 Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой
стороны.
 Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
 Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и все точки её лежат в той же
плоскости.
5. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к
определениям, аксиомам, теоремам):
 Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют ещё хотя бы одну общую
точку.
 Диагонали у прямоугольника равны.
 Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
6. Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его
формулировкой (т.е. выбрать из списка утверждение в математике, которое относится к
определениям, аксиомам, теоремам):
 Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется
описанной около многоугольника.
 Около любого треугольника можно описать окружность.
 Две точки определяют только одну прямую.
7. Выбрать из списка первый шаг при построении аксиоматической теории:
 Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
 При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
 Задается некоторое множество первичных понятий.
 Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
8. Выбрать из списка второй шаг при построении аксиоматической теории:
 Задается некоторое множество первичных понятий.
 При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
 Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
 Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
9. Выбрать из списка третий шаг при построении аксиоматической теории:
 При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
 Выделяется некоторое подмножество высказываний (аксиом) о первичных понятиях.
 Задается некоторое множество первичных понятий.
 Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
10. Выбрать из списка четвёртый (последний) шаг из правил аксиоматического построения
теории:
 При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.
 Вывод утверждений (теорем) о первичных и определяемых понятиях.
 Выделяется некоторое подмножество высказываний о первичных понятиях.
 Задается некоторое множество первичных понятий.
11. Утверждения, принимаемые как верные без доказательства, называются:
1) Определениями
2) Первичными понятиями
3) Аксиомами 4) Теоремами
8
12. Высказывания, данные через первичные неопределяемые понятия или через некоторые
другие ранее известные утверждения, называются:
1) Определениями
2) Первичными понятиями
3) Аксиомами 4) Теоремами.
Глава 2. Основные понятия теории множеств. Основные структуры
2.1. Введение
В конце ХIХ века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких
понятий, как число, функция, непрерывность и т. д. Для этого нужно было определить, что
такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию
новых математических идей. Поэтому в конце ХIХ и начале ХХ века происходил пересмотр
старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в
конце ХIХ века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей
которой был немецкий математик Георг Кантор (1845-1918). За небольшой срок теория
множеств стала фундаментом всей математики. В теории множеств в полной мере используется
аксиоматический подход, то есть используются постулаты, утверждения без доказательств. В
частности, аксиомы, определяющие множество N – натуральных чисел, множество Z – целых
чисел, аксиомы умножения, полной упорядоченности. Ввиду очевидности каждого из
постулатов, данные аксиомы в дальнейшем изложении опускаются.
Современная математика занимается не столько объектами исследования, сколько
структурой отношений между этими объектами. Математика в первую очередь уделяет
внимание основным структурам, в частности, таким понятиям: число, точка, векторные
пространства, числовые функции, пределы и так далее, которые составляют в целом
элементарную математику.
Основные структуры являются началом для построения всех разделов математики. Теория
множеств занимается структурой отношений между этими объектами. В ней уточняется смысл
основных терминов обиходного языка, вводятся символы, устанавливающие условия
существования отношений, позволяющие выразить сжато, с помощью формул высказывания,
которые лучше выявят их логическое и математическое содержание. На основе теории
множеств появился теоретико-множественный язык, который позволяет описывать и объяснять
математические высказывания в краткой и понятной форме, используя специальные символы и
термины. Этот язык применяется во всех разделах математики. Каждый обучающийся
математике независимо от специализации должен знать и понимать этот язык, как фундамент,
на котором строятся основные понятия, методы в последующих разделах и курсах, которые
требуется изучить.
2.2. Понятие множества
Главные математические понятия: точка, прямая, множество, функция, вектор, уравнение,
отношение и т.д. образуют основания математики. В каждом разделе математики используется
какое-то понятие из оснований математики. Понятия: натуральные числа, целые или
вещественные числа, геометрические фигуры, числовые функции и т.д. называют множествами.
Понятие множества является фундаментальным понятием математики. Если обратиться к
первой главе, то можно это понятие по правилам аксиоматического построения теории отнести
к первичным, для которых нет определений. Обычно слово «множество» связывают с большим
числом предметов. Например: множество дорог, машин, газет, учащихся школ, студентов вузов.
В отличие от обыденных представлений «множество» как производное от слова «много», в
математике можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта или не содержащее
ни одного объекта.
В 1872 г. Георг Кантор, создатель теории множеств, определил множество как «объединение
в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью». Понятие
множества аналогично определениям совокупности, собрания, класса, семейства и т.д.
9
Математическое понятие множества постепенно выделилось из выше перечисленных
представлений. Понятие числа относится к так называемым начальным понятиям, т.е. к
понятиям, которые могут быть разъяснены, но не могут быть строго определены. Для числовых
множеств в математике приняты стандартные обозначения:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел (дробь m/n,где m,n – целые числа);
R – множество вещественных (действительных чисел) чисел;
R+ – множество вещественных положительных чисел;
C – множество комплексных чисел.
Таким образом, можно сделать вывод:
Понятие «множество» является фундаментальным понятием математики и не имеет
определения. Природа порождения любого множества разнообразна, в частности, окружающие
предметы, живая природа и др.
Определение 1: Объекты, из которых образовано множество, называются элементами
данного множества. Для обозначения множества используют заглавные буквы латинского
алфавита: например X, Y, Z, а в фигурных скобках через запятую выписывают его элементы
строчными буквами, например: {x,y,z}.
Пример обозначения множества и его элементов: X = {x1, x2,…, xn} – множество, состоящее
из n элементов. Если элемент x принадлежит множеству X, то следует записать: xX, иначе
элемент x не принадлежит множеству X, что записывается: xX. Элементами абстрактного
множества могут быть, например, числа, функции, буквы, фигуры и т.д. В математике в любом
разделе используется понятие множества. В частности, можно привести некоторые конкретные
множества вещественных чисел. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих
неравенствам:
а ≤ x ≤ b называется сегментом и обозначается [a,b];
а ≤ x < b или а < x ≤ b называется полусегментом и обозначается: [a,b) или (a,b];
а < x < b называется интервалом и обозначается (a,b).
Определение 2: Множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным.
Пример. X = {x1, x2, x3}.
Определение 3: Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного
числа элементов. Например, множество всех вещественных чисел бесконечно. Пример записи.
X = {x1, x2, ...}.
Определение 4: Множество, в котором нет ни одного элемента, называют пустым
множеством и обозначают символом .
2.3. Способы задания множеств
Можно отметить два способа задания множеств:
1. Задать полный перечень элементов этого множества. Первый способ задания множества
называется перечислением. Пример. F={3,5,7,9}.
2. Указать Р – свойство или правило для определения того, принадлежит или нет
рассматриваемому множеству данный объект. В этом случае указывается характеристическое
свойство элементов множества.
Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент,
принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. С
его помощью можно описывать какие угодно множества в удобном и компактном виде.
Запись в виде {x  X: P(x)} или {x  X | P(x)} обозначает множество элементов х,
обладающих свойством Р. Запись Х={x | P(x)} означает, что элемент х принадлежит множеству
Х (х  Х) тогда и только тогда, когда P(x) истинное утверждение.
10
Пример 1. Запись Х={x | x  N: x < 9} означает, что х  Х тогда и только тогда, когда х –
натуральное число и меньше 9.
Пример 2. Учитывая, что N – множество натуральных чисел, то запись: {x  N: x2–25=0}
означает множество корней уравнения x2–25=0, являющихся натуральными числами. В данном
случае это множество состоит из одного элемента {5}. В этих примерах вначале указывается
элемент множества, далее характеристика порождения элемента. Для бесконечных множеств
предпочтительнее второй способ описания. Примеры записи:
1) Z={z | z – нечётные числа};
2) S={s | s = xi2 + yi2, где: xi, yi – координаты точки, i =1,2,...}.
2.4. Алгебра множеств
Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего
развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных
множествах. Математика рассматривает не только объекты, но и главным образом связи между
ними. Современная алгебра рассматривает общие понятия: понятия соответствия, отношения,
алгебраических операций и другие.
2.4.1. Отношения между множествами
В математике часто используется для обозначения какой-либо связи между предметами или
понятиями термин «отношение». Примеры отношений: отношение равенства между двумя или
несколькими переменными, фигурами. В математике изучают не только те или иные
множества, но и отношения, взаимосвязи между ними.
Определение 5: Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент
множества В является также элементом множества А. Утверждение, что множество В является
подмножеством множества А, записывают так: В  А. Такая запись означает, что каждый
элемент множества В является элементом множества А и множество В включено во множество
А.
Пример 3. Пусть В {2, 4, 6} – множество чётных чисел, А{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – множество
целых чисел. Следовательно, множество В включено во множество А, что записывается так:
В  А, но множество А не включено во множество В, что записывается так: А  В. Например,
множества {4, 8} и {6} являются подмножествами множества {2, 4, 6, 8}; а числа 2, 4, 6, 8 – его
элементы.
Свойства включения множеств:
1. Пустое множество является подмножеством любого множества:   А.
2. Любое множество является подмножеством самого себя, т.е. для любого множества А
справедливо включение А  А.
Определение 6: Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого
(A = B  (A  B и В  А)). Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются
равными. При этом порядок перечисления элементов множества значения не имеет. Например.
Равны множества {8,2,5}, {2,5,8} и {5,8,2}.
Если множество X равно множеству Y, то можно записать X = Y. В противном случае X ≠
Y. Другой пример. Даны множества: Z ={3,5,7}, Y = {7,5,3,5,7}. Они равны Z=Y, так как они
состоят из одних и тех же элементов. Множество Z={3,5,7}, X={{7,5}, {3,5,7}} не равны Z≠X,
так как элементами второго множества являются множества. Таким образом, данные множества
состоят из элементов различной природы и не могут быть равны.
Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества. У любого
множества есть обязательно хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество.
Эти два подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество,
отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества.
У пустого множества нет собственных подмножеств, а оба несобственных подмножества
равны между собой. У любого одноэлементного множества также нет собственных
11
подмножеств, но его несобственные подмножества различны. У любого двухэлементного
множества есть уже два собственных подмножества. С ростом количества элементов во
множестве количество собственных подмножеств растет. Например, если F={3,5}, то
собственными подмножествами множества F будут являться множества {3} и {5}.
Определение 7: Множество всех подмножеств множества А называется множествомстепенью множества А и обозначается через R(A).
Пусть А={5,3,9}. Тогда множество – степень состоит из:
1) А={5,3,9} – исходного множества.
2) пустого множества .
3) трёх одноэлементных подмножеств: {5};{3};{9}.
4) трех двухэлементных подмножеств множества А: {5,3};{3,9};{5,9}.
Таким образом, множество-степень:
R(A)={А,{5},{3},{9},{5,3},{3,9},{5,9},}; состоит из 23=8 элементов.
Для n-элементного множества множество-степень состоит из 2n элементов.
2.4.2. Операции над множествами
Известно, что над числами можно производить следующие элементарные операции:
сложение, умножение, вычитание. Над множествами вводятся аналогичные операции.
Определение 8: Объединением двух множеств называется третье множество С, состоящее
из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств А
и В обозначается:
AB = {x xA или xB}.
Пример 4. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда АВ = {1,2,3,4,5}. Таким образом, если
элемент x принадлежит объединению АВ, то он может принадлежать или множеству А, или
множеству В, или обоим этим множествам. Можно сформулировать иначе: x  АВ тогда и
только тогда, когда х есть элемент хотя бы одного из этих множеств. В последнем примере
числа 1, 2 принадлежат множеству А. Числа 4, 5 принадлежат множеству В, число 3
принадлежит обоим множествам сразу. Графически объединение множеств А и В можно
представить на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Объединение множеств А и В
Определение 9: Пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из элементов,
общих для обоих множеств. Пересечение множеств обозначается: AB = {x xA и xB}.
Пример 5. Пусть даны множества: А = {1, 2, 3}, В = {3, 4, 5}. Тогда: АВ = {3}. В
результате можно сделать вывод, что:
АВ  А, АВ  В,
АВ  АВ.
Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. В этом случае
множества не пересекаются и их пересечение – пустое множество.
Пример 6. Пусть А = {7,9,5}, В = {2, 4,6}. Тогда АВ =.
Пересечение множеств А и В графически можно представить на рис. 2.2 (затенённая
область).
A
B
Рис. 2.2. Пересечение множеств А и В
12
Свойства пересечения множеств:
1. A=.
2. AA=A.
3. AB=BA.
4. A(BC)=(AB)C=ABC.
5. ABAB=A.
Определение 10: Разностью двух множеств А и В называется новое множество, все
элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества
В. Обозначается:
A\B = {x xA ; xB}.
Пример 7. Пусть А = {1, 2, 3, 4}; В = {3, 4, 5, 6}.
Тогда А\В = {1, 2}; В\А= {5, 6}.
Разность множеств А и В графически можно представить на рис. 2.3(затенённая область):
A
B
Рис. 2.3. Разность множеств А\В
Если рассматриваемое множество В является подмножеством некоторого фиксированного
множества А, то разность А\В называется дополнением множества В или дополнением до А
множества В.
Определение 11: Разбиением множества Х называется такая расчленённая система Y
непустых подмножеств множества Х, что каждый элемент множества Х является элементом
некоторого множества системы Y.
Пример 8. Множество Y={{7,5}, {3,4}, {9,6}, {17,8}} есть результат операции разбиения
множества X = {7, 5, 3, 4, 9, 6, 17, 8}. Данная операция позволяет образовать новое множество
Y из одного существующего множества X. Можно выделить такое множество, что все
рассматриваемые предметы являются его элементами. Такое множество называется
универсальным. Обычно универсальное множество обозначается через U.
Дополнением множества А называется множество A , состоящее из элементов множества
U, не являющихся элементами множества А:
A ={x | xU;xA}. На диаграммах универсальное множество обозначают в виде
прямоугольника и буквы U, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде
кругов внутри прямоугольника (рис. 2.4).
U
A
B
C
Рис. 2.4. Универсальное множество U
Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением
множества А. Обозначается: U\A (затенённая область рис. 2.5).
U
A
Рис. 2.5. Разность U\A
13
2.4.3. Алгебраические свойства операций над множествами
После изучения операций над множествами следует рассмотреть свойства этих операций и
связи между ними. Эти свойства во многом аналогичны свойствам обычных операций
сложения и умножения чисел. Свойства записываются в виде тождеств и не зависят от того,
каково универсальное множество U и какие именно конкретные его подмножества в них
фигурируют. Далее формулируются основные свойства объединения и пересечения.
Для любых подмножеств А, В, С универсального множества U справедливы следующие
тождества, которые приведены в таблице 2.1.
таблица 2.1
1
Коммутативность
для объединения
для пересечения
1a
1b
AB=BA
AB=BA
2
2а
3
3а
4
4а
Ассоциативность
2b
A  (B  C) = (A  B)  C
A  (B  C) = (A  B)  C
Дистрибутивность
3b A (BC) = (AB)(AC)
A(BC) = (AB)  (AC)
Операции с пустым и универсальным множествами
4b
A=A
AU=A
5а
5b
A A =
A  A= U
Каждое из этих тождеств можно доказать, показав, что множество, стоящее по одну сторону
тождества включено во множество, стоящее по другую сторону. Если:
1. операции объединения множеств  поставить в соответствие операцию сложения чисел,
2. операции пересечения  поставить в соответствие операцию умножения чисел,
3. универсальному множеству U поставить в соответствие единицу,
4. пустому множеству  поставить в соответствие нуль,
то возникает аналогия между множествами и числами.
Закон коммутативности для множеств (в табл 2-1) аналогичен переместительному закону
для чисел:
1a
a+b=b+а;
1b
a  b = b  а;
Закон ассоциативности для множеств(в табл 2-1) аналогичен сочетательному закону для
чисел:
2a
a+(b+c)=(a+b)+c;
2b
a  (b  c) = (a  b)  c.
Закон дистрибутивности 3б) для множеств (в табл 2-1) аналогичен распределительному
закону для чисел: a  (b+c) = a  b+a  c.
Закон дистрибутивности 3а) для множеств нарушается для чисел.
Десять свойств, сформулированных в этом разделе, являются фундаментальными в том
смысле, что все остальные свойства операций над множествами непосредственно следуют из
них.
2.4.4. Геометрическая интерпретация операций над множествами
Диаграммами Эйлера {1707-1783} (в США – диаграммами Венна) называют фигуры,
изобржающие множества и наглядно демонстрирующие операции над множествами и
некоторые свойства этих операций. С помощью диаграмм Эйлера удобно иллюстрировать
операции над множествами. Все ранее приведённые рисунки являются геометрической
интерпретацией операцией над множествами (рис. 2.1-2.5). Диаграммами Эйлера можно
представить всю последовательность выполнения алгебры множеств.
14
2.5. Бинарные отношения
Отношения между двумя и более множествами рассматриваются в разделе 2.4.1. Данная
операция позволяет их сравнивать и делать вывод о равенстве или включении одного
множества в другое. Известно, если два множества состоят из одних и тех же элементов, то эти
множества равны независимо от порядка их следования. Однако в математике рассматриваются
множества, где учитывается порядок следования элементов множества. В том случае, когда
важен порядок следования элементов, в математике вводят понятие упорядоченных наборов
элементов.
Двухэлементное множество {x, y}, в котором элемент х стоит на первом месте, а y – на
втором называется упорядоченной парой (x; y). Упорядоченную пару, образованную из
элементов: х , y принято записывать в круглые скобки (x; y). Элемент x называют первой
координатой пары, а элемент y – второй. Две пары равны, если их координаты совпадают. Если
сравнить два множества: {2,5}; {5,2}, то можно отметить, что они равны, так как они состоят из
одинаковых элементов. Если сравнить две упорядоченные пары: (2; 5), (5; 2), то следует
отметить, что они не равны, так как их координаты не совпадают. В этом основное отличие
упорядоченной пары от двухэлементного множества.
Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух
множеств. В примере 9 рассматривается образование упорядоченных пар из элементов двух
множеств.
Пример 9. Пусть заданы два множества: X= {7, 5}, Y= {1, 4, 8}. Из этих множеств можно
создать новое множество, перечислив все упорядоченные пары:{(7;1), (7;4), (7;8), (5;1), (5;4),
(5;8)}. В полученном множестве каждый элемент является упорядоченной парой, в которой
первая компонента принадлежит множеству X, вторая множеству Y.
При создании нового множества элементы первого множества должны стоять на первом
месте, элементы второго множества должны стоять на втором месте. Множество, элементами
которого являются упорядоченные пары чисел, называется декартовым произведением. На
примере 9 можно отметить: создание нового множества, состоящего из упорядоченных пар,
аналогично перемножению элементов двух скобок, т.е. заданных множеств X,Y , только
операция умножения заменяется построением соответствующих пар.
Определение 12: Декартовым произведением множеств X и Y называется множество всех
пар (x, y), первая компонента которых xX, вторая компонента y  Y. Декартово произведение
множеств X и Y обозначают X  Y и его можно записать: X  Y = {(x; y) | x  X ; y  Y }.
Аналогично можно конструировать новые множества, используя вместо пар (x,y) наборы из
n –элементов {а, x, y,...}. Упорядоченные наборы, состоящие из n – элементов (n-ки) называют
кортежами. Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит. Например, (с, т, у, д,
е, н, т) – это кортеж длины 7. Тогда, декартово произведение n – множеств есть множество
кортежей, построенных из n – элементов этих множеств.
В упорядоченных кортежах компоненты могут находиться в какой-то связи, т.е. отношении.
Если рассматривают отношения между объектами, то это: «больше», «меньше», «равно».
Например: x > y; z < r; а = с; x  A.
Из этих примеров видно, что отношение используется для двух объектов, записанных в
определенном порядке. Если две упорядоченные пары равны, то они находятся в отношении
равенства. Чтобы определить отношение, достаточно перечислить все пары, которые находятся
в данном отношении.
Отношение –  из X в Y есть некоторое множество упорядоченных пар (x; y), где: x  X, y
 Y. Так как, отношение связывает два объекта, его назывют бинарным. Если (x, y)  , где 
есть некоторое множество упорядоченных пар, то элемент х находится в отношении  с
элементом y.
Если рассматривают отношения между тремя элементами, то их называют тернарными,
отношения между n-элементами – n-арными. Примером тернарного отношения может служить
отношение между точками прямой: точка х лежит между двумя точками прямой (z, y). Если
15
рассматривать некоторую точку, удовлетворяющую или нет данному отношению (например,
принадлежности прямой), то данное отношение будет унарным. В математике чаще всего
встречаются бинарные отношения – множество пар, т.е. отношения, заданные на декартовом
произведении двух множеств: А1А2.
Примеры бинарных отношений:
 Бинарное отношение старшинства между двумя людьми по возрасту или воинскому
званию.
 Бинарное отношение между целыми числами – «иметь одинаковые остатки от деления
на 7».
Можно отметить виды отношений между элементами множества.
1. Отношения эквивалентности. В этом случае выделяется какое-то свойство множества
(например, положительные или отрицательные числа, чёрный или белый цвет). По этому
свойству элементы, принадлежащие одному классу эквивалентности, являются
эквивалентными. Например. Отношение параллельности на множестве прямых.
Отношение подобия на множестве всех треугольников на плоскости.
2. Отношения частичного порядка. Примеры отношений частичного порядка: числа
кратные двум, или трём, или семи и т. д., отношения «больше» или «меньше», x > y, z <
r. Пример. Отношение на множестве задано неравенством: 5x-2y>0. Можно построить
новое множество, которое соответствует данному отношению: {(1,0);(2,1);(3,2)}. Данное
множество состоит из упорядоченных пар, каждая из которых удовлетворяет заданному
отношению.
3. Отношения строгого порядка (зависимости). Примеры отношений зависимости:
табличная, функциональная y=f(x). График функции есть множество упорядоченных
пар: G = {(x, y) | x  X; y  f(x)}.
Рассмотрим различные виды бинарных отношений на примерах. Множество {(2;4), (7;3),
(3;3), (2;1)} есть множество упорядоченных пар. Однако между парами отсутствует связь. Если
установить отношение «меньше»: x < y , то множество можно записать для примера в виде:
{(2;3), (4;7), (5;8), (8;17)}. В последнем примере элементы множества располагаются по
возрастанию. Такое отношение называется отношением частичного порядка, а множество из
таких элементов получится частично упорядоченным.
Иначе можно записать бинарные отношения, если между ними установить функциональную
зависимость.
Пример 10.
1. y=x+2, множество из порядоченных пар можно записать в виде:
{(2;4), (4;6), (6;8), (8;10)}. В общем виде: {(x, y) | x  X; y = x+2}.
2. Пусть задано отношение на множестве в виде функциональной зависимости. Z = {(x, y) |
x  X; y = x2}. В этом примере можно строить любое множество из упорядоченных пар,
задаваясь значением х и вычисляя y = x2.
Например. {(1,1);(2,4);(3,9)(4,16)}.
3. D = {(x, y) | x  X; y = cos x}. Если построить график данной зависимости на
координатной плоскости, то он будет наглядным представлением отношения. В данном
случае каждая упорядоченная пара отношения (x, y)   графически может быть
представлена точкой на плоскости. Соединив все точки данной функциональной
зависимости кривой линией, можно получить графическое представление бинарного
отношения.
Обобщая выше рассмотренное, можно отметить:
1. Бинарное отношение из множества X в множество Y есть подмножество декартова
произведения множеств:   X  Y. Отношения состоят из однотипных кортежей.
16
2. Бинарное отношение на множестве Х есть всякое подмножество декартова произведения
  Х  Х.
Пример 11. Пусть на множестве Х={3, 5, 7} задано отношение «меньше» (т.е. первый
элемент меньше второго, второй меньше третьего). Декартово произведение X  Х может быть
записано в виде множества из упорядоченных пар:
{(3,3);(3,5);(3,7);(5,3);(5,5);(5,7);(7,3);(7,5);(7,7)}. Из этого множества следует выбрать элементы,
которые должны удовлетворять отношению «меньше». В результате получится новое
множество из упорядоченных пар: {(3; 5), (3; 7), (5; 7)}. В новом множестве все пары являются
элементами декартова произведения Х  Х. Отношение «меньше» на множестве Х является
подмножеством декартова произведения Х  Х.
3. Подмножество R декартова произведения множеств Х1Х2Х3 ... Xn называется
отношением степени n (n-арным отношением).
Понятие мощности множества является его характеристикой. Мощность-это количество его
элементов. Множество Y={y1,y2,...}, имеет ту же мощность, что и множество Х={x1,x2,...}, если
существует взаимно однозначное соответствие y=f(x) между элементами этих множеств. Такие
множества равномощны. Пустое множество имеет нулевую мощность.
В математике, как правило, отношения заданы на бесконечных множествах и имеют
бесконечную мощность. Отношение – понятие очень широкое. Поскольку отношения являются
множествами, то к ним применимы все теоретико-множественные операции: объединение,
пересечение, дополнение и др.
2.6. Символический язык логической структуры математических предложений
Математика описывает реальные процессы, используя кроме словесного языка
символический. Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и
логической формой, причем они взаимосвязаны. Основным объектом математической логики
является высказывание.
Определение 13: Высказыванием в математике называют предложение, относительного
которого имеет смысл вопрос истинности или ложности его.
В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения,
используя для этого слова: «и, или, если…, то», которые называют логическими связками.
Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют
составными. Выделяют пять основных логических связок, которые позволяют получить новые
высказывания:
1. Отрицание – это высказывание, которое получается из данного высказывания А с
помощью слова «не». Отрицание обозначается A .
2. Конъюнкция высказываний А и В – это высказывание АB, которое истинно, когда оба
высказывания истинны, и высказывание АB ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний
ложно. Конъюнкция получается из двух данных высказываний А и В с помощью союза «и».
Пример 12. Если (x > 0) и (y > 0), то z=ln x + ln y.
Здесь высказывания: 1) А – (x > 0), 2) В – (y > 0).
Пример 13. Если студент сдает сессию без троек и двоек, то он получает стипендию. Здесь
высказывания:
А – «сдаёт сессию без троек», В – «сдаёт сессию без двоек».
3. Дизъюнкция высказываний А или В – это высказывание АB, которое истинно, когда
истинно хотя бы одно из этих высказываний, и высказывание АB ложно, когда оба
высказывания ложны. Дизъюнкция получается из двух данных высказываний А, В с помощью
союза «или».
Пример 14. Если студент сдаёт экзамены на хорошо или отлично, то он получает
стипендию. Здесь высказывания:
А – сдаёт экзамены на «хорошо», В – сдаёт экзамены на «отлично».
17
4. Импликация образуется из двух данных высказываний А и В с помощью слов «если…,
то…».
Импликация обозначается A  B (если А, то В).
5. Эквиваленция образуется из двух данных высказываний А и В с помощью слов «тогда и
только тогда, когда…».
Эквиваленция обозначается A  B .
Изучение математических предложений связано с раскрытием их логической структуры.
При этом используются обозначения логики:
1. Логические символы:
a)
 – логический вывод (дедукция), который означает: «влечет за собой».
b)  – логическая равносильность, которая означает: «эквивалентно».
2. Кванторы:
a)  – квантор существования.
« x» означает: «существует по меньшей мере один х такой, что …».
Запись: «x: А(х)»; означает: «существует такое значение х, что А(х) – истинное
высказывание».
b)  – квантор общности, который означает «любой» или «для всех».
Для примера рассмотрим несколько высказываний с кванторами.
Пример 15. Если В есть подмножество Х и элемент х принадлежит В, то это можно записать
в виде: x : x  B  x  X . Эту строку можно прочитать так: для любого х, если
х принадлежит подмножеству В, то это влечет за собой (следует) утверждение, что х
принадлежит множеству Х.
Пример 16. Запись « a : [a  A  B]  [a  A и a  B] » можно прочитать: для любого
элемента а, если а принадлежит пересечению множеств А и В, то это равносильно, что а
принадлежит множеству А и множеству В.
Пример 17. Запись « x : x  A  B » означает: существует по меньшей мере один х такой,
что элемент x принадлежит пересечению множеств А и В.
Пример записи « z : [ z  Z ]   x  X : x  cos( z ) »,
можно прочитать: для любого элемента z, если z принадлежит множеству Z, то из этого
следует, что существует по меньшей мере один х, принадлежащий множеству Х такой, что
элемент x равен cos(z).
2.7. Алгебраические операции над различными математическими объектами
В математике изучают не только отношения, но и различные операции над различными
математическими объектами. В качестве математических объектов можно перечислить: числа,
множества, высказывания.
Для чисел: умножение, деление сложение, вычитание. Для множеств: пересечение,
объединение, вычитание. Над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание.
Операции над высказываниями и множествами появились в математике в XIX веке, и ввел их
английский математик Дж. Буль (1815-1864) (булева алгебра). Операции над множествами ввел
немецкий математик Г. Кантор (1845-1918). Оказалось, что операции над множествами и
высказываниями обладают свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел,
но некоторые отличаются от свойств операций над числами. В XIX веке в математике возникли
разные ветви алгебры: обычных чисел, множеств, высказываний и другие.
Появилось общее понятие алгебраической операции. В математике вводятся понятия
операций над элементами множества произвольной природы и изучаются свойства таких
18
операций. Основная идея состоит в том, чтобы изучать не свойства конкретных элементов
конкретных множеств, а свойства операций над этими элементами. Множества вместе с
определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность
выполнения операций задаётся с помощью формулы алгебры множеств.
Например, A (ВC), (X\Y)  Z – формулы алгебры множеств.
Пример 18. Дано три множества М = {7, 2, 3, 5}, N = {1, 2, 4, 7, 9},
K = {6, 7, 9}.
Найти: X=(MN)(MK)\(NК)(N\K).
Z=(NM)(MK)\(KN)(N\K).
Решение.
1) MN= {7, 2};
2) MК = {7};
3) NК={7, 9};
4) MK={2, 3, 5, 6, 7, 9};
5) NМ= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9};
6) KN={1, 2, 4, 6, 7, 9};
7) N\K={1, 2, 4}.
X=(MN)(MK)\(NК)(N\K)={1, 2, 4}.
Z=(NM)(MK)\(KN)(N\K)={1, 2, 3, 4,5}.
2.8. Вопросы для самоконтроля по теме «Теория множеств»
1. X={5,7,3} и Z={7,2,3,4,5}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множества X и Z равны»;
b) «Множества X и Z не имеют общих элементов»;
c) «Множество X включает в себя множество Z»;
d) «Множество X есть подмножество множества Z».
2. Заданы множества M={9,3,1,5} и N={9,1}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множество M есть подмножество множества N»;
b) «Множества M и N не имеют общих элементов»;
c) «Множества M и N равны»;
d) «Множество M включает в себя множество N».
3. Заданы множества A={1,2,3} и M={0,2,3,6,1}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множество А включает в себя множество М»;
b) «Множества A и M равны»;
c) «Множество А есть подмножество множества М»;
d) «Множество М есть подмножество множества А».
4. Заданы множества A={2,4,3,1} и B={4,2,1,3}, тогда для них неверным утверждением
будет:
a) «Множества A и B равны»;
b) «Множества A и B не имеют общих элементов»;
c) «Множество A включает в себя множество B»;
d) «Множество A есть подмножество множества B».
5. Заданы множества C={1,2,3} и D={3,2,1}, тогда для них неверным утверждением будет:
a) «Множество D есть подмножество множества C»;
b) «Множество C есть подмножество множества D»;
19
c) «Множества C и D равны»;
d) «Множество C не равно множеству D».
6. Заданы множества C={7,2,5} и D={3,2,1}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множество D является подмножеством множества C»;
b) «Множество C является подмножеством множества D»;
c) «Множества C и D равны»;
d) «Множество C не равно множеству D».
7. Заданы множества M={9,5,4} и N={9,1,4,2,5,3}, тогда для них верным утверждением
будет:
a) «Множество M есть подмножество множества N»;
b) «Множества M и N не имеют общих элементов»;
c) «Множества M и N равны»;
d) «Множество M включает в себя множество N».
8. Заданы множества A={5,1,9,3} и B={9,3,5,1}, тогда для них верным утверждением будет:
a) «Множества A и B равны»;
b) «Множества A и B не имеют общих элементов»;
c) «Множество A включает в себя множество B»;
d) «Множество A есть подмножество множества B».
9. Если сравнить две упорядоченные пары: (3;9) и (9;3), то они находятся в отношении:
a) «функциональной зависимости»;
b) «не имеют общих элементов»;
c) «равенства».
d) «не равенства».
10. Заданы две упорядоченные пары: (8;1), (1;8) двух множеств: A={8,4,1} и B={1,4,8},
которые находятся в отношении:
a) «равенства».
b) «функциональной зависимости»;
c) «не равенства».
d) «упорядоченности по убыванию».
11. Отношение задано неравенством: x-3y>0, тогда данному отношению принадлежит
следующая пара чисел:
a) (5; 2); b) (1; 1); c) (5; 1); d) (0; 0).
12. Отношение задано неравенством: 5x+y<0, тогда данному отношению принадлежит
следующая пара чисел:
a) (1; 2); b) (-1; 1); c) (1; -1); d) (0; 0).
Глава 3. Структуры на множестве. Перестановки. Размещения. Сочетания
3.1. Введение
Встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решений. Чтобы
выбрать правильный из них, надо перебрать все возможные варианты. Задачи, требующие
такого решения, называют комбинаторными. Раздел математики, в котором исследуются
различные задачи на перебор, называется комбинаторикой.
Комбинаторика – это раздел математики, в котором для конечных множеств
рассматриваются различные соединения элементов: перестановки, размещения, сочетания. В
задачах, связанных с выборкой элементов множества, необходимо подсчитать количество
различных комбинаций этих элементов. С теоретико-множественной точки зрения решение
20
комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих
определенными свойствами, и упорядочением множеств. Комбинаторика возникла в ХVI веке.
В ней рассматривались задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения
таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы
для подсчёта числа различных комбинаций.
В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математики. Её
методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены
связи комбинаторики с другими разделами математики. Появились направления в математике,
в основу которых положена комбинаторика: перечислительная комбинаторика, комбинаторная
теория, популярная комбинаторика, комбинаторный анализ, прикладная комбинаторная
математика, комбинаторные методы дискретной математики, вероятностные методы в
комбинаторике и т.д.
В теории вероятностей приходится подсчитывать общее число исходов эксперимента и
число благоприятных исходов. Такой подсчет сводится к перебору возможных вариантов.
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определенным условиям,
которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного
множества.
3.2. Перестановки
Задачи, связанные с перестановками, относятся к задачам комбинаторики. Например,
перестановка книг на полках. В таких задачах подсчитывается количество возможных
вариантов перестановок, причем в каждой комбинации должны присутствовать все объекты
строго по одному разу.
Определение 1: Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n –
различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
(3.1)
Рn = n! = 1 2 3 … n.
где: Рn – количество перестановок;
n! = 1 · 2 · 3· … · (n - 1) · n – произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно
есть «n-факториал».
Необходимо учитывать, что факториал нуля равен единице: 0! = 1.
Пример 1. Определить количество трехзначных чисел, которые можно составить из трех
цифр: 3, 5, 7, с учётом использования каждой цифры в числе строго по одному разу.
Решение. Количество трехзначных чисел в данном примере определяется по формуле
перестановок (3.1) и равно: Р3= 1 2 3=6.
Пример 2. Подсчитать количество способов расстановки на полке 5 разных книг.
Решение. На первое место можно поставить любую из 5 книг, для каждого варианта первой
книги на второе место может быть поставлена любая из оставшихся 4 книг. Итак, число
перестановок из 5 книг равно: 5! = 54321= 120.
3.3. Размещения
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи
имеет значения, то имеют дело с «задачей о рассаживании»: группу из n человек следует
рассадить в аудитории за каждым столом по m-человек (m<n). Число способов рассаживания
определяется числом размещений.
Определение 2: Размещениями называют комбинации, составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком
следования.
n!
Anm 
 n  (n  1)  ...  (n  m  1)
(3.2)
(n  m)!
.
21
Пример 3. Группу из 20 студентов можно разместить в аудитории по 2 человека за каждой
партой. Порядок их размещения имеет значения.
Решение. Количество возможных вариантов размещений вычисляется по формуле (3.2):
А202= 2019 = 380.
Пример 4. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые
можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
Решение. Количество трехзначных чисел в данном примере определяется по формуле
размещений (3.2) и равно: A53  5  4  3  60 .
3.4. Сочетания
Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи не
имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся
одинаковыми.
Определение 3: Сочетанием называют комбинации, составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются только составом элементов и не зависят от
порядка следования.
C nm 
Anm
n!

Pm (n  m)!  m! .
(3.3)
Сочетания используются, если важен только состав элементов в выборке.
Пример 5. Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой
партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество возможных
вариантов сочетаний.
Решение. Количество возможных вариантов сочетаний вычисляется по формуле (3.3):
С202= 2019/2=190.
Пример 6. Флаг государства может комбинироваться из трёх полос разного цвета.
Определить число комбинаций из пяти разных цветов, которые можно получить, выбирая из
них три полосы разного цвета.
Решение. Если учитывать порядок в комбинации, то: A53  5  4  3  60 . Если же порядок в
комбинации не имеет значения, то разных комбинаций:
5!
5 4
C53 

 10 .
(5  3)!3!
2
3.5. Вопросы для самоконтроля по теме «Комбинаторика»
1. Количество перестановок букв в слове «WORD» равно:
a) 20; b) 24; c) 16; d) 8.
2. Количество перестановок букв в слове «число» равно:
a) 120; b) 24; c) 5; d) 20.
3. Сколько различных трёхбуквенных комбинаций можно составить из букв слова
«студент», если все буквы в комбинации различны?
a) 210; b) 240; c) 148; d) 32.
4. Сколько различных комбинаций можно составить из букв слова «победа», если все буквы
в комбинации различны?
a) 30; b) 720; c) 120; d) 360.
5. Сколько различных трёхбуквенных комбинаций можно составить из букв слова «победа»,
если все буквы в комбинации различны?
a) 720; b) 360; c) 120; d) 30.
6. Количество перестановок букв в слове «TIME» равно:
22
a) 44; b) 26; c) 2; d) 24.
7. Сколько различных чисел можно составить из пяти цифр: 9, 7, 8, 1, 6, если все цифры в
числе разные?
a) 120; b) 60; c) 24; d) 0.
8. Сколько различных двузначных чисел можно составить из пяти цифр: 5, 7, 8, 4, 1, если все
цифры в числе разные?
a) 24; b) 20; c) 120; d) 60.
9. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из шести цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
если все цифры в числе различны?
a) 360; b) 120; c) 60; d) 240.
10. Сколько различных трёхбуквенных комбинаций можно составить из букв слова
«ГРОМ», если все буквы в комбинации различны?
a) 6; b) 24; c) 4; d) 12.
11. Сколько различных двухбуквенных комбинаций можно составить из букв слова
«ЗАЧЁТ», если все буквы в комбинации различны?
a) 4; b) 120; c) 60; d) 20.
12. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из пяти цифр: 7, 5, 3, 4,1, если
все цифры в числе разные?
a) 4; b) 120; c) 60; d) 20.
Часть 2. Основы теории вероятностей
Глава 4. Случайные события
4.1. Введение
В математике существует наука, которая изучает объекты, связанные с понятиями
случайности и вероятности. Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая
закономерности в случайных явлениях. Случайное явление (событие) – это такое явление,
которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз
несколько по-иному. Математические законы теории вероятностей являются отражением
реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях
природы, к изучению которых теория вероятностей применяет математические методы и по
своему методу является одним из разделов математики.
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей
массовых однородных случайных событий. Проникновение случайности в математику
наблюдались в Древней Греции. Математическое понятие вероятности возникло из анализа
азартных игр (кости, карты). Развитие страхового дела связано с вероятностями и
стимулировало интерес к подобным задачам. Первые работы в этом направлении связаны с
созданием теории азартных игр. Паскаль и Ферма установили некоторые положения теории
вероятностей в 1654 году. Христиан Гюйгенс спустя три года написал книгу о расчётах в
азартных играх. В XVIII веке Якоб Бернулли доказал теорему, которую позже назвали законом
больших чисел. Среди учёных этого периода следует назвать: Гаусса, Муавра, Лапласа,
Пуассона и др.
Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские ученые: П.Л.Чебышев и его
ученики: А.А.Марков, А.М.Ляпунов. Среди советских математиков следует отметить
С.Н.Бернштейна, В.И.Романовского, Н.В.Смирнова и др. Аксиоматический подход к
вероятности окончательно сформулировал советский математик академик А.Н. Колмогоров в
своей статье «Об основных понятиях теории вероятностей». Аксиоматика А.Н. Колмогорова
составляет фундаментальную основу теории вероятностей. Теорию вероятностей применяют
при оценках ошибок наблюдений, измерений, в демографии, в теории стрельбы и т.д.
Вероятностный подход в решении многих задач (социологических, экономических,
23
технологических и других) в настоящее время является актуальным. Все это предопределяет
необходимость овладения методами теории вероятностей и математической статистики как
инструментом статистического анализа полученной информации в разнообразных сферах
деятельности человека, а также прогнозирования ожидаемых результатов при решении
важнейших профессиональных задач.
4.2. Основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий
Различают следующие виды случайных событий: достоверные, невозможные и случайные.
События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С,...,Z. Достоверное событие
всегда происходит в результате наблюдения или испытания. Достоверное событие обозначается
символом – .
Невозможное событие никогда не происходит в результате наблюдения или испытания.
Невозможное событие обозначается символом – .
Пример. Если в корзине только персики, то достать из корзины персик является
достоверным событием, а достать лимон является невозможным событием.
Случайное событие – это такое событие, которое в результате наблюдения или испытания
может произойти, а может и не произойти.
Пример. Студент сдаёт экзамен. Экзамен сдан. Это событие случайное, так как студент мог
и не сдать экзамен.
Кроме того, события могут быть совместными и несовместными, зависимыми или
независимыми. Два события называются совместными, если появление одного из них не
исключает появления другого в одном и том же испытании. Примеры совместных событий: два
стрелка стреляют по мишени, два спортсмена одновременно бегут. Случайные события А и В
называются несовместными, если при данном испытании появление одного из них исключает
появление другого события. Несовместные события: день и ночь, студент одновременно едет на
занятие и сдаёт экзамен, число иррациональное и чётное.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А
не зависит от того произошло событие В или нет. Пример. Два студента одновременно сдают
экзамен независимо друг от друга. Это событие совместное и независимое. Событие А
называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того
произошло или не произошло событие В. Пример. Работник получит оплату труда в
зависимости от качества её выполнения.
Равновозможные события – это такие события, которые имеют одинаковые возможности
для их появления. Полная группа событий – это совокупность единственно возможных
событий при данном испытании. Пример. Студент может сдать экзамен на любую оценку. В
данном случае возможны следующие события: студент может сдать экзамен на 5, студент
может сдать экзамен на 4, студент может сдать экзамен на 3. Эти события образуют полную
группу.
Противоположные события. Два случайные события А и В называются
противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий. Примеры:
студент может сдать или не сдать экзамен, день и ночь.
Конкретный результат испытания называется элементарным событием. Совокупность всех
возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется множеством элементарных
событий.
Сложным событием (исходом) называется произвольное подмножество множества
элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только
тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее
сложному. Например, испытание – подбрасывание кубика. Элементарное событие – выпадение
грани с числом «1». Сложное событие – выпадение грани с нечётным числом.
24
4.3. Алгебра случайных событий
Между случайными событиями и множествами существует связь. Совокупность
элементарных событий можно назвать множеством (пространством) элементарных исходов,
которое обозачается: . Соответственно, пространство элементарных исходов рассматривается
как универсальное множество по отношению к случайным событиям. Любое случайное
событие А состоит из одного и более элементарных исходов. Если элементарный исход
обозначить через , тогда случайное событие А можно рассматривать как подмножество
пространства :
А={   |   A}.
Достоверному событию соответствует всё пространство . Невозможное событие
описывается пустым множеством .
Событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой
(объединением) этих событий и обозначается: А+В или А  В (рис.2.1). Сумму событий можно
рассматривать как объединение соответствующих множеств. Пример. Двое стреляют по
мишени. Попадание в цель это событие, состоящее из суммы событий: попал первый или
второй или оба стрелка.
Событие, состоящее в наступлении обоих событий: А и В, называется произведением
(пересечением) событий А и В и обозначается: А  В или А  В (рис. 2.2). Произведение
событий можно рассматривать как пересечение соответствующих множеств. Для совместных
событий А  В  . Пример. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков
это событие, состоящее из совместного появления событий: попал первый и второй стрелок.
Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а В не происходит, называется
разностью событий А и В и обозначается: А\В или А-В (рис. 2.3).
Событие, обозначаемое через A , называется противоположным событию А, если оно
происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.
Пример 1. Стрелок попал в цель – это событие А. Стрелок не попал в цель – это событие A .
Зависимые события. Событие А происходит при условии, что событие В уже произошло,т.е.
событие В включено в событие А и обозначается: В  А.
Пример 2. Абитуриентов зачисляют в ВУЗ сразу (это событие А) при условии, что они сдали
все вступительные экзамены на «отлично» (это событие В).
Если А  В и В  А, то события А и В называются равносильными, или эквивалентными
(записывают А  В).
Если наступление события А делает невозможным наступление события В (и наоборот), то
событие А и В называются несовместными или непересекающимися, в этом случае АВ=.
Пример 3. Двое стреляют по мишени. Попадание в цель сразу двух стрелков – это событие
А. Промахнулись оба стрелка – это событие В. События А и В в данном примере несовместны.
События А1, А2 ,..., Аk образуют полную группу событий, если:
А1  А2  ...  Аk = ;
Пример 4. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет
одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на
второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба
билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно
несовместных событий.
Элементарными событиями или исходами называют события, удовлетворяющие трем
условиям:
1) они попарно несовместны;
2) образуют полную группу;
3) равновозможны.
25
Операции над событиями удовлетворяют свойствам, приведённым в таблице 4.1.
Таблица 4.1
1
2
АВ = ВА;
АВ = ВА;
3
АА = А;
4
АА = А;
5
А = ;
6
А = А;
7
А = А;
8
А = ;
9
А(ВС)=(АВ)С;
10
А(ВС)=(АС)В;
11
А(ВС)=(АВ)АС);
12
А(ВС)=(АВ)(АС);
=.
14
 =.
В результате можно устанавить соответствие между понятиями теории множеств и теории
вероятностей, которое приводится в таблице 4.2.
Таблица 4.2
Терия вероятностей
№
Теория множеств
13
Множество
Случайное событие
Сумма А+В
1
2
Объединение АВ
3
4
5
6
7
8
Пересечение АВ
Непересекаюшиеся множества
Разбиение
Дополнение
Универсальное множество
Пустое множество
Произведение событий АВ
Несовместные события
Полный набор событий
Противоположное событие
Достоверное событие
Невозможное событие
4.4. Определение вероятности
4.4.1. Классическое определение вероятности
Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует
несколько определений этого понятия. Одно из основных – это классическое определение. Это
определение применимо в случаях, когда удается выделить полную группу несовместных и
равновероятных событий, т.е. элементарных исходов.
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому
событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:
m
P( A) 
(4.1)
n.
Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
Пример 5. В группе 25 студентов. Из них 10 девушек и 15 юношей. Наугад выбирают одного
студента. Найти вероятность того, что выберут юношу.
Решение. Искомая вероятность: Р(А)=15/25=3/5.
Пример 6. В группе 15 студентов. Из них 5 девушек и 10 юношей. Выбирают 3 студентов.
Найти вероятность того, что из трёх выбранных студентов выберут одну девушку и двух
юношей.
Решение. При вычислении вероятности события необходимо обратиться к разделу
комбинаторики. Для данной задачи следует подсчитать различные сочетания по формуле (3.3).
Искомая вероятность:
P( A) 
C51  C102 45  5 45


 0,5;
C153
455 91
где:
26
10! 9  10
15! 13  14  15
5!

 45; C153 

 455; C 51 
 5;
8!2!
2
12!3!
23
4!1!
Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех
случайных экспериментов, число исходов которых конечно, а сами исходы равновозможны и
несовместны.
C102 
4.4.2. Аксиомы теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности
Систему аксиоматического обоснования определения вероятности построил А.Н.
Колмогоров в 1933 г.
Числовая функция Р(А), заданная на алгебре F – подмножеств пространства элементарных
исходов – , называется вероятностью случайного события А, если она удовлетворяет
следующим свойствам (аксиомам):
А1 (аксиома 1). Р(а) > 0;  A  F .
A2 (аксиома 2). P()=1; Аксиома 2 может быть сформулирована следующим образом:
вероятность достоверного события равна единице.
A3 (аксиома 3). Если A  B= то P(AB)=P(A)+P(B).
Аксиома 3 может быть сформулирована следующим образом: если события А и В
несовместны, то Р(А+В) = P(A)+P(B).
Как следствие из этих аксиом можно сформулировать далее:
Аксиома 4. Вероятность случайного события есть положительное значение, заключенное
между нулем и единицей. 0 < Р(А) <1.
Аксиома 5. Вероятность невозможного события равна нулю. Р(А)=0.
4.5. Теоремы сложения и умножения вероятностей
4.5.1. Сложение вероятностей несовместных событий
Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в появлении события А или В,
или обоих этих событий.
Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий.
Р(А+В)=Р (А)+Р (В).
(4.2)
Данную строку можно прочитать следующим образом: вероятность появления события А
или В, или обоих этих событий равна сумме вероятностей этих событий. Запись Р(А)+Р(В)
можно представить в виде: Р(А)Р(В).
Для нескольких несовместных событий формула (4.2) имеет вид:
Р(А1 + А2+ … + Аk) = Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk).
(4.2а)
Теорема 2. Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице.
Р(А1) + (А2) +…+ Р(Аk) = 1.
(4.3)
Пример 7. Студент после занятий может пойти: домой с вероятностью р1=0,5, в библиотеку
с вероятностью р2=0,1, в спортзал с вероятностью р3=0,1 и в кино с вероятностью р4=0,3.
Решение. Эти четыре события несовместны и образуют полную группу. Сумма
вероятностей всех событий равна:
р1+р2+ р3+ р4=0,5 +0,1+0,1+0,3=1.
Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
P(A)  P( А )  1.
(4.4)
Если вероятность события Р (А) обозачить через p, а события Р( A ) через q, то формулу
(4.4) можно записать в виде:
p + q = 1.
(4.5)
27
Пример 8. Студент может сдать экзамен с вероятностью р=0,9. Какова вероятность, что
студент не сдаст экзамен?
Решение. Эти два события противоположны и образуют полную группу.
Вероятность появления одного из двух несовместных событий из (4.5) равна: q = 1–р = 0,1.
4.5.2. Умножение вероятностей независимых событий
Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном
появлении этих событий.
Теорема 4. Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного
появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.
(4.6)
Р (А  В) = Р(А)  Р(В).
Запись Р(А)Р(В) можно представить в виде Р(А)Р(В).
Пример 9. Студент должен сдать два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен
р1=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р2 =0,7. Какова вероятность, что студент сдаст два
экзамена в сессию.
Решение. Событие А – сдать первый экзамен. Событие В – сдать второй экзамен. Оба
события независимы. Событие АВ – сдать два экзамена. Вероятность сдать два экзамена
вычисляется по формуле (4.6).
Р(А  В) = Р(А)Р(В) = р1  р2 = 0,7  0,8 = 0,56.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности,
равна произведению вероятностей этих событий.
(4.6a)
Р(А1А2…Аk) = Р(А1)  Р(А2)…Р(Аk).
Частным случаем совместного появления нескольких независимых событий является
равенство вероятностей всех событий Р(А1) =Р(А2)=…=Р(Аk) в формуле (4.6a).
В теории вероятностей рассматривается определённый тип задач. Производится n
независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой
вероятностью равной p и не появиться с вероятностью равной q. Требуется вычислить
вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно k раз и не появится (n-k)
раз. При этом не учитывается последовательность события А, т.е. ровно k раз подряд или в
определённом порядке. Вероятность сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях
событие А появится ровно k раз вычисляется по формуле Бернулли:
(4.7)
Рn(k) = C knp kq n-k .
4.5.3. Вероятность появления хотя бы одного события
Вероятность того, что произойдет, по крайней мере, одно из событий
n
A1  A 2  . . .  A n   Аi
i 1
, определяется по формуле:
n
P( Аi ) = 1 - Р(A1  A 2  . . .  A n )
i 1
Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий (А1, А2,…,Аn), независимых в
совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей
противоположных событий.
(4.8)
P (A) = 1 – q1  q2 ...  qn.
Пример 10. Студент сдает два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р1=0,8.
Вероятность сдать второй экзамен р2=0,7. Какова вероятность, что студент сдаст хотя бы один
экзамен в сессию.
Решение. Вероятность события «не сдать первый экзамен» равна:
28
q1=1–р1=1–0,8 =0,2.
Вероятность «не сдать второй экзамен»: q2=1– р2=1–0,7=0,3. Оба события независимы.
Вероятность события Р(А), где событие А – «студент сдаст хотя бы один экзамен», вычисляется
по формуле (4.8):
Р(А)=1 – q1  q2 =1–0,20,3=1–0,06=0,94.
Пример 11. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в
цель для первого стрелка равна 0,6, для второго 0,7 и для третьего 0,75.
Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по
одному выстрелу.
Найти вероятность того, что будет одно и только одно попадание в цель.
Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель.
Найти вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.
Найти вероятность промаха всех стрелков одновременно.
Решение. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал
первый, второй, третий стрелок. Из условия задачи следует, что:
Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,7; Р(С) = 0,75.
1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна: Р(А + В + С).
Событие ( А  B  C ) – все промахнулись.
Событие (А+В+С) – хотя бы одно попадание в цель. Вероятность хотя бы одного попадания
в цель:
P( A  B  C )  1  P( A )  P( B )  P(C ) .
P(A+B+C)=1– (1– 0,6 )  (1– 0,7 )  (1 – 0,75 )=1– 0,4  0,3  0,25 = 0,97.
2) Вероятность только одного попадания в цель.
Пусть D–событие, состоящее в том, что в цель попал только один стрелок. События «хотя
бы одно попадание» и «одно попадание» – разные события. В задаче одно и только одно
попадание – это событие D, состоящее из суммы событий: D  A  B  C  B  A  C  C  A  B .
Его вероятность из-за независимости стрельбы и несовместности слагаемых событий может
быть определена по формулам (4.2а), (4.7):
P( D)  P( A)  P( B )  P(C )  P( B)  P( A )  P(C )  P(C )  P( A )  P( B ) .
Р(D)=0,6(1–0,7)(1–0,75)+0,7(1–0,6 )(1–0,75)+0,75(1–0,6 )(1– 0,7) = 0,205.
3) Вероятность того, что попадут в цель только два стрелка. Пусть X – событие, состоящее в
том, что в цель попали только два стрелка. X  A  B  C  B  A  C  C  A  B .
P( X )  P( A )  P( B)  P(C )  P( A)  P( B )  P(C )  P( A)  P( B)  P(C ) .
P(X)=(1– 0,6)0,70,75+0,6(1– 0,7)0,75+0,60,7(1– 0,75)=0,21+0,135+0,105 =0,45.
4) Вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно. Событие ABC – все
попали в цель.
P(ABC) = P(A)  P(B)  P(C) = 0,6  0,7 0,75 = 0,315.
5) Вероятность промаха всех стрелков одновременно Р( А  B  C ).
Событие А  B  C – все промахнулись.
Р ( А  B  C ) = 0,4 0,3 0,25 = 0,03.
Для проверки правильности решения используют формулу (4.3) для полной группы
событий:
29
Р(D) + P(X) + P(ABC) + Р( А  B  C ) = 0,205 + 0,45 + 0,315 + 0,03 = 1.
4.5.4. Умножение вероятностей зависимых событий. Условная вероятность
Условной вероятностью, которая обозначается РA(В) или Р(В/А), называется вероятность
события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.
Теорема 6. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную в
предположении, что первое событие уже произошло.
(4.9)
Р(А  В) = Р(А)  РА(В).
Пример 12. Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к
которому он не подготовился. Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет.
Какова вероятность того, что студенту во второй попытке достанется один из подготовленных
билетов.
Решение. Обозначим событие «студент взял билет, к которому он не подготовился» через A.
Обозначим событие «студенту достанется во второй попытке один из подготовленных билетов»
через B.
Обозначим событие (АВ/A) – взять первый билет, к которому он не подготовился, и второй
из подготовленных билетов при условии, что, что первое событие уже произошло. Вероятность
взять первый билет, к которому студент не подготовился: p(A)=8/20=2/5=0,4. Вероятность взять
второй из подготовленных билетов при условии, что студент взял первый билет, к которому он
не подготовился: pA(B) = 12/19  0,63.
В результате, вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов
вычисляется по формуле (4.9):
Р(АВ)=Р(А) РА(В) =2/512/19=24/95  0,253.
Условная вероятность события Аk, определенная в предположении, что осуществились
события А1, А 2 ,… , А k-1, обозначается: Р(Аk/А1А2 ... Аk-1).
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих
событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при
условии, что все предыдущие имели место.
(4.9а)
Р(А1А2 ... Аk) = Р(А1)Р(А2/А1)Р(А3/А1А2)...Р(Аk/А1А2...Аk).
Пример 13. Студенту во время компьютерного тестирования по одной из тем предлагается
тест из 10 вопросов. Итог тестирования показал, что семь из них он знает и три ему не знакомы.
Студент выбирал правильный ответ на каждый вопрос из предлагаемого списка.
Последовательность вывода на экран вопросов случайна. Найти вероятность того, что студент
ответил правильно на первые три вопроса.
Решение. Введем обозначения событий:
А – студент ответил правильно на первый вопрос теста.
В – студент ответил правильно на второй вопрос при условии, что студент ответил
правильно на первый вопрос.
С – студент ответил правильно на третий вопрос при условии, что студент ответил
правильно на первый и второй вопрос.
Вероятность того, что студент ответил правильно на первый вопрос теста:
Р(А) = 7/10.
Вероятность того, что студент ответил правильно на второй вопрос при условии, что он
ответил правильно на первый вопрос, т.е. условная вероятность события В следующая: Р(В/А) =
6/9 = 2/3.
Вероятность того, студент ответил правильно на третий вопрос при условии, что студент
ответил правильно на первый и второй вопрос. Условная вероятность события С равна:
30
Р(С/АВ) = 5/8 .
Искомая вероятность того, что студент ответил правильно на первые три вопроса: Р(АВС) =
Р(А)  Р(В/А)  Р(С/АВ) = 7/10  2/3  5/8 = 7/24.
4.5.5. Сложение вероятностей совместных событий
Теорема 7. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна
сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
(4.10)
Р (А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А  В).
События в формуле (4.10) могут быть как зависимыми, так и независимыми.
Для независимых событий:
(4.11)
Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)  Р(В).
Для зависимых событий:
(4.12)
Р (А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)  РА(В).
Пример 14. Абитуриент подал заявления в два разных вуза по результатам ЕГЭ (на
бюджетной основе). Обозначим вероятность попасть в первый вуз р1=0,5, во второй р2=0,3.
Какова вероятность быть зачисленным абитуриенту хотя бы в один из вузов?
Решение. Каждое событие независимое. Для независимых событий выбираем формулу
(4.11).
Р(А+В) = Р(А)+Р(В)–Р(А)Р(В) = р1+р2–р1р2 = 0,5 + 0,3 – 0,5 ∙ 0,3=0,65.
Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. В случае
трех совместных событий она имеет вид:
Р (А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС) .
В частном случае для несовместных событий А и В ( т.е. когда АВ =  и
Р(А В) = Р() = 0), формула (4.10) имеет вид: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
4.6. Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии одного из несовместных событий H1, H2, ...,
Hn, образующих полную группу событий, называемых гипотезами. Пусть известны вероятности
гипотез: Р(H1), Р(H2), ..., Р(Hn) и условные вероятности: Р(А/H1), Р(А/H2), ..., Р(А/Hn).
Требуется найти вероятность Р(А).
Теорема 8. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления
одного из несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную
вероятность события А.
n
n
P( A)   P( A  H i )   P( H i ) P( А / H i )
(4.13)
.
Так как события Hi несовместны, то несовместны и события А  Hi.
Выражение (4.13) называется формулой полной вероятности.
Пример 15. В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов. В первой группе
5 отличников, во второй 6. Какова вероятность того, что вызванный наугад студент оказался
отличником?
Решение. Пусть событие А состоит в том, что вызванный наугад студент оказался
отличником. Пусть события H1, H2 означают гипотезы (предположения), что студент
соответственно из первой или из второй группы.
Вероятность гипотез, что студент соответственно из первой или второй группы:
Р(H1)=р1=20/50=0,4. Р(H2)=р2=30/50=0,6. Проверка: р1+р2=1.
i 1
i 1
31
Вероятность того, что выбранный студент – отличник учится в первой или второй группе по
условию задачи:
Р(А/H1) = 5/20 = 0,25. Р(А/H2) = 6/30 = 0,2.
Вероятность того, что вызванный наугад студент оказался отличником по формуле полной
вероятности (4.13):
Р(А) = Р(H1)Р(А/H1)+Р(H2)Р(А/H2) = 0,4  0,25 + 0,6  0,2 = 0,1 + 0,12 = 0,22.
Эту задачу можно решить по формуле (4.1). Всего в двух группах 50 студентов, из них 11
отличников. Р(А) = 11/50=0,22.
Однако эта задача простая и в ней можно проверить решение по элементарной формуле
(4.1). Формула (4.13) применяется в сложных задачах, а также используется в задачах, где
следует найти вероятность одной из гипотез при условии, что событие А уже произошло.
4.7. Формула Байеса
Пусть произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Вероятность
события А можно вычислить по формуле (4.13). Эта дополнительная информация позволяет
произвести переоценку вероятностей гипотез Hi, вычислив Р(Hi /А). По теореме умножения
вероятностей:
(4.14)
Р(А Hi) = Р(А)  Р(Hi/А) = Р(Hi)  Р(А/Hi).
P( H i / A) 
P( H i )  P( А / H i )
P( А)
.
Откуда:
или, вычислив Р(А) по формуле полной вероятности (4.13), получим:
P(H i / A) 
P( H i )  P( А / H i )
n
 P( H
i 1
i
)  P( А / H i )
(4.15)
.
Формулу (4.15) называют формулой Байеса. Формула Байеса позволяет переоценить
вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате
которого появилось событие А.
Пример 16. Условие из примера 14. Событие А уже произошло. Вызванный наугад студент
оказался отличником. Найти вероятность того, вызванный наугад студент оказался отличником
из первой группы Р(H1/А ).
Решение. Вероятность Р(А / H1) события «вызван студент-отличник при условии, что он
является отличником из первой группы». Аналогично вероятность Р(А / H2) из второй группы.
По формуле Байеса (4.14) получаем:
Р(H1/А)=Р(H1)Р(А/H1)/(Р(H1)Р(А/H1)+ Р(H2)Р(А/H2))=0,4*0,25/0,220,45.
4.8. Вопросы для самоконтроля по теме «Основы теории вероятностей»
1. Определите правильный ответ:
На заводе было замечено, что при определенных условиях в среднем 1,6% изготовленных
изделий оказываются неудовлетворяющими стандарту и идут в брак. Равной чему можно
принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным?
Сколько примерно непригодных изделий (назовем это число M) будет в партии из 1000
изделий?
a) p = 0,016; M = 160;
b) p = 0,16; M = 160;
c) p = 0,016; M = 16;
d) р = 0,16; M = 16.
2. Определите правильный ответ:
32
Для контроля качества продукции завода из каждой партии готовых изделий выбирают для
проверки 1000 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 80 изделий. Равной чему можно
принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным?
Сколько примерно бракованных изделий (назовем это число M) будет в партии из 10000
единиц?
a) p = 0,1; M = 100;
b) p = 0,08; M = 80;
c) p = 0,1; M = 1000;
d) p = 0,08; M = 800.
3. Определите правильный ответ:
В урне 200 билетов. Из них 10 выигрышных. Вероятность того, что первый вынутый билет
окажется выигрышным, равна:
a) 0,02; b) 0,05; c) 0,2; d) 0,01.
4. Определите правильный ответ:
В урне 50 билетов. Из них 10 выигрышных. Вероятность того, что первый вынутый билет
окажется выигрышным, равна:
a) 0,3; b) 0,4; c) 0,2; d) 0,1.
5. Определите правильный ответ:
В книжной лотерее разыгрывается 5 книг. Всего в урне имеется 30 билетов. Первый
подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется
выигрышным.
5
30 ;
1
30 ;
1
c) 5 ; d) 0,1.
a)
b)
6. Определите правильный ответ:
При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу,
помня только, что эта цифра нечётная. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
a) 1/9; b) 1/7; c) 1/5; d) 1/3.
7.Определите правильный ответ:
Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятность прорастания семян в первом пакете
равна 0,4, а во втором 0,5. Взяли по одному семени из каждого пакета, тогда вероятность того,
что оба они прорастут, равна:
a) 0,9; b) 0,45; c) 0,3; d) 0,2.
8. Определите правильный ответ:
Вероятность того, что студент сдаст на «отлично» первый экзамен равна 0,5, второй – 0,7.
Тогда вероятность того, что студент сдаст на «отлично» оба экзамена, равна:
a) 0,6; b) 0,2; c) 0,35; d) 0,1.
9. Определите правильный ответ:
Вероятность вытащить бракованную деталь из первого ящика равна 0,2, а из второго – 0,3.
Из каждого ящика взяли по одной детали. Тогда вероятность того, что обе они бракованные,
равна:
a) 0,06; b) 0,5; c) 0,25; d) 0,1.
10. Определите правильный ответ:
Вероятность выиграть в первом игровом автомате равна 0,6, а во втором – 0,3. Тогда
вероятность выиграть одновременно в обоих автоматах равна:
a) 0,45; b) 0,9; c) 0,21; d) 0,18.
11. Определите правильный ответ:
33
Вероятность того, что в этом году будет хороший урожай апельсинов, равна 0,9, а лимонов –
0,7. Тогда вероятность того, что уродятся и апельсины и лимоны, равна:
a) 0,8; b) 0,3; c) 0,63; d) 0,5.
12. Определите правильный ответ:
Бросаются 2 монеты. Вероятность того, что выпадут и герб, и решка, равна:
a) 0,3; b) 0,5; c) 0,25; d) 0,4.
13. Определите правильный ответ:
Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятность того, что это
будут две пики равна:
1 8
2
1 1
1 1



a) 4 35 ; b) 36 ; c) 4 4 ; d) 36 36 .
14. Определите правильный ответ:
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0,7, у
другого – 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
a) 0,75; b) 0,8; c) 0,56; d) 0,5.
15. Определите правильный ответ:
Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка
0,8, у другого – 0,9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей.
a) 0,2; b) 0,02; c) 0,3; d) 0,15.
16. Определите правильный ответ:
Завод в среднем дает 20% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите
вероятность того, что наудачу взятое изделие будет высшего или первого сорта.
a) 0,8; b) 0,5; c) 0,45; d) 0,9.
17. Определите правильный ответ:
Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите
вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего или первого сорта.
a) 0,27; b) 0,03; c) 0,97; d) 0,7.
18.Определите правильный ответ:
Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите
вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.
a) 0,97; b) 0,49; c) 0,98; d) 0,7.
19. Определите правильный ответ:
Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта – 80%, второго – 15%. Чему
равна вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта?
a) 0,2; b) 0,95; c) 0,8; d) 0,15.
20. Определите правильный ответ:
Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три
выстрела, он ни разу не попадёт?
a) 0,08; b) 0,4; c) 0,6; d) 0,008.
21. Определите правильный ответ:
Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три
выстрела, он хотя бы раз попадёт в цель?
a) 0,999; b) 0,992; c) 0,92; d) 0,8.
34
Глава 5. Случайные величины
5.1. Понятие случайной величины
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о
случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет
одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые
заранее не могут быть учтены.
Выпадение некоторого значения случайной величины хi. это случайное событие: Х = хi.
Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате
испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных
значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры
дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измерений температуры в
конкретные моменты времени.
Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате
испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных
значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной
величины: запись показаний спидометра или измерений датчика температуры в течение
конкретного интервала времени.
Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию
распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения,
рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х – действительное
число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется определить вероятность
того, что случайная величина Х будет меньше этого фиксированного значения х.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая
вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее
значения х, то есть:
(5.1)
F(х) = Р(Х  х),
где х – произвольное действительное число.
Случайная величина (непрерывная или дискретная) имеет численные характеристики:
1. Математическое ожидание М (Х). Эту характеристику можно сравнивать со средним
арифметическим наблюдаемых значений случайной величины Х.
2. Дисперсия D(X). Это характеристика отклонения случайной величины Х от
математического ожидания.
3. Среднее квадратическое отклонение (Х) для дискретной и непрерывной случайной
величины Х – это корень квадратный из ее дисперсии:
 ( x)  D( x) .
(5.2)
Далее рассматриваются отличия между дискретной и непрерывной случайными
величинами.
5.2. Дискретная случайная величина
5.2.1. Закон распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим дискретную случайную величину на примере.
Пример 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной
случайной величиной Х. Возможные значения числа появлений герба: 0, 1, 2, 3. Следует найти
вероятность появления герба в одном испытании. Решение. Вероятность появления герба в
1
p
2 . По формуле умножения (4.7) для независимых событий:
одном испытании равна
35
1) Событие 1. Три раза бросили и ни разу герб не выпал. Для этого события вероятность:
P(0)  q1  q 2  q 3 
1 1

23 8 .
2) Событие 2. Три раза бросили и один раз герб выпал. Для этого события вероятность
события будет состоять из суммы событий:
1 1 1 3
P(1)  p1  q 2  q 3  q 1  p 2  q 3  q 1  q 2  p 3    
8 8 8 8.
3) Событие 3. Три раза бросили и два раза выпал герб. Для этого события вероятность
события будет состоять из суммы событий:
1 1 1 3
P(2)  p1  p 2  q3  q1  p 2  p  p1  q 2  p3    
8 8 8 8.
4) Событие 4. Три раза бросили и все три раза выпал герб. Вероятность этого события
совпадает с первым и вычисляется по формуле умножения (4.7).
1 1
P (3)  p1  p 2  p 3  3 
8.
2
Здесь: p1, p2, p3 – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
q1, q2, q3 – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
Результаты вычислений вынесены в таблицу 5.1.
Таблица 5.1
герб
выпал 3 раза
Событие Х
герб
не выпал
герб
выпал 1 раз
герб
выпал 2 раза
хi
0
1
2
3
Вероятность
события:
Р(хi)=рi
1
8
3
8
3
8
1
8
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между
полученными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Его можно
задать:
1) таблично (рядом распределения);
2) графически;
3) аналитически (в виде формулы).
В примере 1 закон распределения задан в виде ряда распределения (таблицей 5.1), где
представлены все возможные значения хi и соответствующие им вероятности рi = Р (Х = хi).
n
 pi  1
n
(Х
xi )  
i 1
При этом вероятности рi удовлетворяют условию i 1
, потому что
, где
число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.
Для его построения возможные значения случайной величины (х i) откладываются по оси
абсцисс, а вероятности (рi) – по оси ординат. Точки c координатами (хi, рi) соединяются
ломаными линиями.
Функция F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
F ( x) 
p
xi  x
36
(5.3)
i
,
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых хi  х.
Пример 2. Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой
случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.
Решение.
Если х  0, то F(х) = Р (Х  х) = 0.
Если 0  х  1, то F(х) = Р (Х  х) = 1/8.
Если 1  х  2, то F(х) = Р (Х  х) = 1/8 + 3/8 = 0,5.
Если 2  х  3, то F(х) = Р (Х  х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.
Если х  3, то F(х) = Р (Х  х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
В таблицу 5.2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной
величины х.
Таблица 5.2
№
1
2
3
4
5
Хi
0
1
2
3
>3
функция распределения
0
0,125
0,5
0,875
1
F(х)
Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны
из таблицы 5.1 в таблицу 5.3 в более компактной форме.
Таблица 5.3
№
1
2
3
4
хi
0
1
2
3
Ряд распределения Р(хi)= рi
0,125
0,375
0,375
0,125
Многоугольник распределения и полученная функция распределения вероятности
представлены на рис. 5.1, 5.2.
Вероятность события: Р(хi)= рi
0,4
0,3
Вероятность
события
Р(хi)= рi
0,2
0,1
0
1
2
3
4
Рис. 5.1. Многоугольник распределения
функция распределения F( х ) :
1,5
1
0,5
0
1
2
3
4
5
функция
распредел
ения F( х )
:
Рис. 5.2. Функция распределения
37
5.2.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
1) Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х это сумма
произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:
М (Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.
(5.4)
Cвойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
2. Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным
числом.
3. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С.
4. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме
математических ожиданий этих величин.
М (X + Y + . . . + W) = М (X) + М (Y) + . . . + М (W).
5. Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых
случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин. М
(XY) = M(X)  M(Y).
6. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (СХ) =
С М(Х).
2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:
D(X) = M [X – M(X)]2.
(5.5)
Формула (5.5) после возведения в степень и преобразований имеет вид:
D(X) = M (X2) – [M(X)]2.
(5.6)
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
2. Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его
в квадрат: D (СX) = С2 D(X).
4. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их
дисперсией: D(X +Y) = D(X) + D(Y).
3) Среднее квадратическое отклонение (Х) дискретной случайной величины Х
определяется формулой (5.2). Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что
и случайная величина.
Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и
стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение =1.
Рассмотрим на примере вычисление числовых характеристик дискретных случайных
величин.
Пример 3. Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее
квадратическое отклонение (Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом
распределенияв таблице 5.4.
Таблица 5.4
Х
-5
2
3
4
р
0,4
0,3
0,1
0,2
Решение. Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (5.4):
М(Х)= –5 0,4 + 2 0,3 + 3 0,1 + 4 0,2 = -0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле (5.6): D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2.
Закон распределения квадрата Х2 случайной величины задан в таблице 5.5.
38
Таблица 5.5
Х2
25
4
p
0,4
0,3
Математическое ожидание Х2:
М(Х2) = 250,4 + 40,3 + 9 0,1 + 160,2 = 15,3.
Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21.
Тогда среднее квадратическое отклонение будет:
9
0,1
16
0,2
 ( X ) D( Х )  15,21  3,9 .
5.3. Непрерывная случайная величина
5.3.1. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины
Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал (a,b) и
составить перечень всех возможных её значений невозможно, то она называется непрерывной.
В результате этого появилась необходимость дать общий способ задания любых типов
случайных величин. Для этого вводится функция распределения вероятностей случайной
величины (5.1).Функция распределения F(х) для непрерывной случайной величины имеет вид:
Х
 f ( x)dx
(5.7)
P ( x  Х  x  x)
x 0
x
.
(5.8)
F ( x) 

,
где: f(х) – функция плотности вероятности вычисляется по формуле:
f ( x)  lim
Функцию распределения F(х) называют интегральным законом распределения, плотность
вероятности f(х) называют дифференциальным законом распределения.
Cвойства функции распределения F(х):
Свойство 1. Значения функции распределения F(х) принадлежат отрезку [0, 1]:
0  F(х)  1.
Свойство 2. F(х) –неубывающая функция:
F (х2)  F(х1), если х2 > х1.
Свойство 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в
интервале [a, b] равна приращению функции распределения на этом интервале:
Р (a  Х  b) = F(b) – F(a)
lim F ( x)  1 lim F ( x)  0
x
Следствие. x
;
.
Cвойства плотности вероятности f(х):
Свойство 1. Плотность вероятности не может быть отрицательной.
f(х)  0.
Свойство 2.

 f(x)dx
1
(5.9)
.
Следствие. В частности, если значения случайной величины находятся в интервале [a, b], то
вероятность попадания в заданный интервал

39
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
(5.9а)
.
Функция распределения связана с плотностью формулой:
a
f ( x) 
dF ( x)
 F' ( x)
dx
.
(5.10)
5.3.2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
1. Математическое ожидание
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х:

M(x) 
 x  f(x)dx
(5.11)

.
f(х) – плотность вероятности распределения случайной величины Х.
2. Дисперсия
Дисперсия непрерывной случайной величины Х:

D(X)   [x - M(X) ]2  f ( x)dx

(5.12)
.

D(X)   x 2 f(x) dx  [ M ( x )]2

(5.13)
.
3. Среднее квадратическое отклонение
Среднее квадратическое отклонение определяется формулой (5.2).
5.3.3. Некоторые частные распределения непрерывной случайной величины
На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями
непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной
величины называют законом распределения.
Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и
соответствующие им числовые характеристики.
1. Равномерный закон распределения вероятностей
Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке
[a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:
x  [ a, b]
0,

f ( x)   1
.
(5.14)
 b  a , x  [a, b]
.
Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:
xa
 0,
x  a
F ( x)  
, a  x  b.
b  a
xb
 1,
(5.15)
.
Числовые характеристики случайной величины X равномерно распределенной на
интервале [a,b]:
1. Математическое ожидание по формуле (5.11):
b
b
a
a
M ( x)   x  f ( x)dx   x 
1
1 b
1
x2 b b2  a2
ba
dx 
x

dx


|a 


a
ba
ba
ba 2
2  (b  a)
2 .
40
2. Дисперсия по формуле (5.13):
b
b
a
a
b
1
1
dx  ( M ( x)) 2 
x 2 dx  ( M ( x)) 2 ;

ba
ba a
D(X)   x 2f(x) dx  ( M ( x)) 2   x 2
1
x3 b
b3  a 3
(b  a ) 2
b  a 
D( x) 

|a [ M ( x)]2 


ba 3
3  (b  a )  2 
12
.
3. Среднее квадратическое отклонение – (Х) по формуле (5.2):
2
 
(b  a ) 2
ba

;
12
2 3
D( x) 
Пример 4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X
равномерно распределенной на интервале [2; 6].
ba
62
M ( x) 

4
2
2
Решение. Математическое ожидание:
.
Дисперсия:
D( x) 
(b  a) 2 (6  2) 2 16


 1,333
12
12
12
.
  D( x) 
62
2 3

2
3
 1,155.
Среднее квадратическое отклонение:
Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится
точка на интервале [a,b], при этом случайная величина X – абсцисса поставленной точки.
Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на
интервале [a,b], определяется по формуле (5.9а).
Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является
ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного
прибора, проградуированной в некоторых единицах.
Пример 5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора
округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит
значение 0,04; б) меньше 0,04.
Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х,
которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность
равномерного распределения
1
f ( x) 
.
ba
где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.
Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором
заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей
1
f ( x) 
5
0
,
2
равна:
.
Тогда ошибка отсчета превысит значение 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04;
0,2). По формуле (5.9а):
P(a  X  b)  
0, 2
0, 04
2
5dx  5 x / 00,,04
 1  0,2  0,8
.
Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:
P(a  X  b)  
0, 04
0
5dx  5x / 00,04  0,2
.
41
На рис. 5.3 представлен график функции р(х) случайной величины, равномерно
распределенной на промежутке [a;b].
p(x)
c
x
Рис. 5.3 График функции р(х) случайной величины, равномерно распределенной на
промежутке [a;b]
2. Нормальный закон распределения вероятностей
Непрерывная случайная величина  имеет нормальльное распределение с параметрами: m,
 > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:
f  ( x) 

1
e
 2
( x m)2
2 2
(5.16)
где: m – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение.
Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика
Гаусса (1777-1855). Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с
параметрами: m,  , обозначают так: N (m,), где: m=a=M[X] ;    D[ x]
Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а. Если
случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или
стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:
F0 ( x) 
x
1
2
e

t2
2
dt
(5.17)

.
График плотности нормального распределения изображен на рис.5.4.
Рис. 5.4. Плотность нормального распределения
Пример 6. Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности
рассматривается на примере. Непрерывная случайная величина задана плотностью
( x  4)
1
e 18 .
распределения: f ( x) 
3 2
Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Решение. Сравнивая заданную плотность распределения с (5.16) можно сделать вывод, что
задан нормальный закон распределения с m =4. Следовательно, математическое ожидание
M(X)=4, дисперсия D(X)=9.
Среднее квадратическое отклонение =3.
2
t
1
e 2 dt ,
Функция Лапласа, имеющая вид: Ф( x) 
2 0
x
2
связана с функция нормального распределения (5.17), cоотношением: F0(x) = Ф(х) + 0,5. Для
функции Лапласа справедливо соотношение: Ф(-x)=-Ф(x). Функции Лапласа нечётная.
42
Значения функций f(x) и Ф(х) можно вычислить с помощью таблицы (см. Приложение 1).
Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории
вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных
явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся
именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок
измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает,
что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.
С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в
заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.
5.3.4. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что
Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу, вычисляется по формуле (5.9а).
Подставив в формулу (5.9а) значение плотности распределения из (5.16) для нормального
распределения N(a, ) и сделав ряд преобразований, вероятность того, что Х примет значение,
принадлежащее заданному интервалу [x1, x2], будет равна:
x а
x а
P{x1  X  x2 }  ( 2
)  ( 1
)
(5.18)

 ,
где а – математическое ожидание.
Пример 7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое
ожидание a=60, среднеквадратическое отклонение =20. Найти вероятность попадания
случайной величины Х в заданный интервал (30;90).
Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (5.18).
Получим: P(30 < X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).
По таблице Приложения 1: Ф(1,5) = 0,4332.
P(30 < X < 90)=2 Ф(1,5) = 20,4332 = 0,8664.
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30; 90) равна: P(30 < X
< 90) = 0,8664.
5.3.5. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины
Задачи вычисления вероятности отклонения нормальной случайной величины от заданного
значения связаны с различного рода ошибками (измерения, взвешивания). Ошибки разного
рода обозначаются переменной .
Пусть  – отклонение нормально распределённой случайной величины Х по модулю.
Требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического
ожидания не превысит заданного значения . Данная вероятность записывается в виде: P(|X–a|)
≤ . Предполагается, что в формуле (5.18) отрезок [х1; х2] симметричен относительно
математического ожидания –а. Таким образом: a–х1=; х2 –a =. Отсюда можно выразить
границы интервала [х1; х2] , которые будут иметь вид:
(5.19)
х1=а –; х2=а + .
В правую часть (5.18) подставляются значения х1, х2 из (5.19). Далее выражение в фигурных
скобках левой части формулы (5.18) переписывается в виде двух неравенств:
1) х1 ≤ X и заменяется в нём х1 согласно (5.19), получится: а– ≤ X или а–X ≤ .
2) X ≤ х2 , аналогично заменяется х2, получится: X ≤ а+ или X–a ≤ .
В результате этих замен формулу (5.18) можно переписать в виде:
(5.20)
P (|X–a| ≤ ) = 2Ф(/) = 2Ф(t),
где t = /.
43
Через функцию Лапласа выражается и функция нормального распределения в общем случае
N(a, ):
xa
F ( x)  Ф(
)  0,5 .
(5.21)

Далее рассматриваются несколько примеров вычисления вероятности отклонения
нормально распределённой случайной величины от своего математического ожидания.
Пример 8. Производится измерение диаметра детали. Случайные ошибки измерения
принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим
ожиданием а=0, со средним квадратическоим отклонение =1мм. Найти вероятность того, что
измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2мм.
Решение. Дано: =2, =1мм, а=0.
По формуле (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(/) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).
По таблице Приложения 1 можно найти: Ф (2,0)=0,4772.
Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по
абсолютной величине 1 мм равна:
P (|X| ≤ ) = 20,4772 = 0,9544.
Пример 9. Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами:
а=50 и =15. Найти вероятность того, что отклонеиие случайной величина от своего
математического ожидания – а будет меньше 5 ,т.е. P(|X–a|<5).
Решение. С учетом (5.18) будем иметь:
P(|X– a| < )=2Ф(/);
P(|X– 50| < 5) = 2Ф(5/15) = 2Ф(0,333) = 20,1293 = 0,2586.
Вероятность того, что отклонеиие случайной величина от своего математического ожидания
будет меньше пяти равна: P(|X–a| < 5=0,2586.
Пример 10. Имеется случайная величина, распределенная по нормальному закону с
параметрами а и . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего
математического ожидания – а не больше, чем на 3.
Решение. По условию задачи  ≤ 3. С учетом (5.20) будем иметь:


P{ X  a  3 }  2Ф( )  2Ф(
3

)  2Ф(3)
,
где Ф(3) вычисляется по таблице функции Лапласа (Приложение 1): Ф(3)  0.49865.
В итоге:
P{ X  a  3 }  2Ф(3)  0,9973.
5.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Случайная величина»
1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X
-1
2
P
0,3
0,7
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 1,4; b) 1,7; c) 1,1; d) 1.
2. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X -1 4
P 0,4 0,6
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 1; b) 1,4; c) 2,8; d) 2.
3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
44
X -5 6
P 0,5 0,5
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 0,5; b) 0,5; c) 5,5; d) 2,75.
4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X
-3
2
P
0,2
0,8
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 2,2; b) 1,0; c) 1,1; d) 2,0.
5. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X
-1
2
P
0,3
0,7
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 1,7; b) 0,55; c) 1,1; d) -0,3.
6. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей:
X
-2
3
P
0,3
0,7
Тогда математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно:
a) 2,7; b) 1,35; c) 0,01; d) 1,5.
x
F(x) 
 f(t)dt

7. Формула
вычисления:
a) Математического ожидания; b)Дисперсии; c)Функции распределения; d) Плотности
вероятности.

M(x) 
 x  f(x)dx
8. Формула
вычисления:
a) Функции распределения; b) Дисперсии; c) Плотности вероятности; d) Математического
ожидания.


D(X)   [x - M(X) ]2  f ( x)dx

9. Формула
вычисления:
a) Математического ожидания; b) Дисперсии; c) Плотности вероятности; d) Функцияи
распределения.
Часть 3. Элементы математической статистики
Глава 6. Статистические оценки параметров распределения
6.1. Введение
Математическая статистика возникла в XVII в. и развивалась параллельно с теорией
вероятностей. Большой вклад в развитие математической статистики внесли российские ученые
в XIX в. – начале XX в.: в первую очередь П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, а также
учёные других стран – К. Гаусс, К. Пирсон, Ф. Гальтон и т.д.
В XX в. существенный вклад в развитие математической статистики был сделан советскими
математиками, в частности, А.Н. Колмогоровым, В.И. Романовским, Е.Е. Слуцким,
Н.В.Смирновым, а также английскими – Стьюдентом, Р. Фишером, Э. Пирсоном и
американскими учёными – Ю. Нейманом, А. Вальдом и др.
45
6.2. Предмет и задачи математической статистики
Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, при этом сама
математическая модель считается заданной. В задачах теории вероятностей исходят из того, что
задано вероятностное пространство, множество элементарных исходов и вероятность любого
события.
Так, например, если изучается некоторое случайное событие А, то известно Р (А). Если же
речь идёт о случайной величине Х, то известен закон распределения вероятностей в какой-либо
форме и, как следствие, числовые характеристики исследуемой случайной величины.
В практических задачах эти характеристики, как правило, неизвестны, но имеются
некоторые экспериментальные данные о событии или случайной величине. Требуется на
основании этих данных построить подходящую вероятностную модель изучаемого явления, то
есть приближённо оценить неизвестные закон распределения и числовые характеристики
исследуемой случайной величины на основе экспериментальных данных. Это и является
задачей математической статистики. В математической статистике единственный объект это
данные эксперимента. Результаты эксперимента выражаются значениями некоторой случайной
величины.
В теории вероятностей вероятностное пространство задано и требуется предсказать
возможное поведение случайной величины. В математической статистике наоборот, известны
лишь результаты (значения случайной величины), по которым восстанавливается
вероятностное пространство. По экспериментальным данным строится вероятностная модель
явления, соответствующая этим данным, т.е. интерпретация данных.
Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки
экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями.
Первая задача математической статистики: указать способы сбора и группировки
статистических данных, полученных в результате экспериментов. Вторая задача
математической статистики: разработать методы анализа статистических данных.
Ко второй задаче относятся:
1. Оценка неизвестных параметров (вероятности события, функции распределения и её
параметров и т.д.) с построением доверительных интервалов (методы оценивания).
2. Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения и параметров
распределения (методы проверки гипотез).
При этом решаются следующие в порядке сложности и важности задачи:
 Описание явлений, то есть, упорядочение поступившего статистического материала,
представление его в наиболее удобном для обозрения и анализа виде (таблицы,
графики).
 Анализ и прогноз, то есть приближённая оценка характеристик на основании
статистических данных. Например, приближённая оценка математического ожидания и
дисперсии наблюдаемой случайной величины и определение погрешностей этих оценок.
 Выработка оптимальных решений. Например, определение числа опытов n,
достаточного для того, чтобы ошибка от замены теоретических числовых характеристик
их экспериментальными оценками не превышала заданного значения. В связи с этим
возникает задача проверки правдоподобия гипотез о параметрах распределения и о
законах распределения случайной величины, решением которой является возможность
сделать один из выводов:
– отбросить гипотезу, как противоречащую опытным данным;
– принять гипотезу, считать ее приемлемой.
Математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в опытных
данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями; оценить, значимы
или не значимы наблюдаемые факты; принять или отбросить те или иные гипотезы о природе
случайных явлений.
46
6.3. Выборочный метод
6.3.1 Полигон и гистограмма
Генеральной совокупностью называют полный набор всех возможных N значений
дискретной случайной величины Х. Практически сложно получить полную информацию о
случайной величине. Поэтому случайным образом отбирают объекты, которые называется
выборкой, при этом число – n называется объемом выборки. Выборку делают либо из ранее
полученных результатов, либо планируют эксперимент. По результатам выборки строят
простой статистический ряд в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой – порядковый
номер измерения, во второй – его результат xi. Затем производят группировку данных. Вначале
xi располагают в порядке возрастания, интервал наблюдаемых значений случайной величины
разбивают на последовательные непересекающиеся частичные интервалы, далее подсчитывают
количество значений xi, попавших в каждый интервал, т.е. ni. Таким образом, получается
группированный статистический ряд или статистическое распределение выборки.
Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень
вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Пример 1. После группировки данных в выборке статистический ряд задан таблицей 6.1 (где
объем выборки n = 15).
Таблица 6.1
i
1
2
3
4
xi
2
3
5
10
ni
5
5
3
2
В таблице 6.1 значения xi называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в
возрастающем порядке (вся строка xi) называется вариационным рядом. Число наблюдений ni
называют частотами, i – номер варианты.
 k 
n    ni 
 i 1  – это объем выборки, можно найти относительную частоту
Учитывая, что
pi=ni/n, наблюдаемого значения xi – варианты, k – количество вариант.
Тогда таблица 6.1 будет иметь вид:
Таблица 6.2
i
xi
ni/n
1
2
0,33
2
3
0,33
3
5
0,2
4
10
0,14
Табличные данные могут быть представлены графически в виде полигона или гистограммы.
Если выборка задана в виде отдельных точек, а не интервалов, тогда строят полигон частот.
Полигоном частот называется ломанная, отрезки которой соединяют точки (x ;; ni/n). На рис.6.1
изображен полигон относительных частот, приведённых в таблице 6.2.
ni/n
0,4
0,3
0,2
ni/n
0,1
0
1
2
3
47
4
Рис. 6.1. Полигон
Пример 2. В этом примере наблюдаемые значения случайной величины после группировки
данных в выборке разбиты на последовательные непересекающиеся частичные интервалы. В
результате получается статистический ряд, который задан таблицей 6.3.
Таблица 6.3
i
1
2
3
4
xi
0-2
2-4
4-6
6-8
ni
5
10
12
3
Данную таблицу можно представить через относительную частоту pi =ni/n (где объем
выборки n = 30).
Таблица 6.4
i
1
2
3
4
xi
0-2
2-4
4-6
6-8
рi=ni/n
0,17
0,33
0,4
0,1
k
 pi
При этом частоты рi удовлетворяют условию i 1 =1. Если выборка задана в виде
интервалов, тогда строят гистограмму.
Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников,
основаниями которых служат интервалы xi, их высоты равны рi =ni/n (плотности относительной
частоты). На рис. 6.2 изображена гистограмма относительных частот, приведённых в таблице
6.4.
Рi =ni/n
0,5
0,4
0,3
Рi =ni/n
0,2
0,1
0
0-2
2-4
4-6
6-8
Рис. 6.2. Гистограмма
6.3.2. Эмпирическая функция распределения
Понятие функции распределения было дано в разделе теории вероятности для случайной
величины. Для выборки вводится понятие эмпирической функции распределения.
Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки) это функция F*(x),
которая определяет для каждого значения xi относительную частоту события X<x.
Эмпирическая функция распределения имеет вид:
n
F * ( x)  x   pi
(6.1)
n xi  x
,
где: nx – число вариант меньших х, n – объём выборки.
В отличие от эмпирической функции распределения для выборки, вводится понятие
теоретической функции распределения для генеральной совокупности – F(x). Теоретическая
функция распределения определяет вероятность события X<x. Эмпирическая функция
48
распределения F*(x) по вероятности стремится к теоретической функции распределения F(x)
при больших количествах испытаний и обладает всеми свойствами F(x):
1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку F*(x)  [0;1].
2. F*(x) – неубывающая функция.
3. Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при x ≤ x1;
если хk – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x > xk.
Пример 3. Учитывая свойства 1, 2, 3, найдём эмпирическую функцию распределения для
примера 1.
Решение. Объём выборки n=15.
Наименьшая варианта х1=2, тогда: F*(x)=0 при x ≤ x1.
При значениях варианты в интервале 2<x≤3: F*(x)=5/15=0,33.
При значениях варианты в интервале 3<x≤5: F*(x)=10/15=0,66.
При 5<x≤10: F*(x)=13/15 = 0,87.
При x>10: F*(x) =1.
Эмпирическая функция распределения представлена в таблице 6.5.
Таблица 6.5
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
5
10
>10
F*(x)
0
0,33
0,66
0,87
1
На рис. 6.3 представлен график эмпирической функции распределения.
F*(x)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
F*(x)
1
2
3
4
5
Рис.6.3 Эмпирическая функция распределения
6.4. Статистические оценки параметров распределения
Пусть дискретная случайная величина Х задана генеральной совокупностью. Требуется
оценить количественные характеристики заданной совокупности: математическое ожидание,
дисперсию и установить функцию распределения дискретной случайной величины Х. Обычно
практически известны лишь данные выборки. Через эти данные следует оценить
количественные характеристики дискретной случайной величины Х.
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют
функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистические оценки параметров
распределения должны удовлетворять следующим требованиям: состоятельности,
несмещённости, эффективности.
Состоятельной называют статистическую оценку, которая при неограниченном увеличении
числа наблюдений стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
49
Несмещённой называют статистическую оценку, если её математическое ожидание равно
оцениваемой характеристике независимо от числа наблюдений. Несмещённая статистическая
оценка называется эффективной, если она имеет минимально возможную дисперсию.
Пусть задана дискретная случайная величина Х в виде генеральной совокупности.
Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной
совокупности:
xг 
x1  n1  x2  n2  ...  xk  nk
N
.
(6.2)
где xi – варианта генеральной совокупности, ni – частота варианты xi,
 k 
N    ni 
 i 1  – все возможные значения частот дискретной случайной величины Х.
В частном случае, когда генеральная совокупность содержит по одному значению каждой
варианты, генеральная средняя равна:
xг 
x1  x 2  ...  x n
N
.
(6.2а)
Если рассматривать значения Х генеральной совокупности как случайную величину, то
математическое ожидание М(Х) равно генеральной средней М(Х)= xг, а генеральная средняя
определяется как математическое ожидание: xг = М(Х).
Пусть извлечена выборка объема n из генеральной совокупности относительно
~
количественного признака X. Выборочной средней x называется среднее арифметическое
значение признака выборочной совокупности.
n  x  n2  x2  ...  nk  xk
 k

~
x  1 1
   ni xi  / n
n
 i 1

,
(6.3)
 k 
n    ni 
 i 1  .
где
В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты,
выборочная средняя равна:
x  x2  ...  xn
~
x 1
n
.
(6.3а)
Аналогично генеральной совокупности можно сделать вывод относительно выборочной
средней. Если рассматривать значения Х выборки, как случайную величину, то математическое
ожидание m(Х) равно выборочной средней:
 k

m( x)  ~
x    ni x i  / n
 i 1
 .
(6.4)
Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений
признака X от их среднего значения xг. Рассеяние значений количественного признака X в
~
выборке вокруг своего среднего значения x характеризует выборочная дисперсия.
Выборочной дисперсией Dв называется среднее арифметическое квадратов отклонения
~
значений признака X от их среднего значения x .
 k

Dв    ni  ( xi  ~
x )2  / n
 i 1
 .
50
(6.5)
В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты,
выборочная дисперсия равна:
Dв 
1 k
( xi  ~
x)2

n i 1
.
(6.5а)
Пример 4. Выборочная совокупность задана таблицей распределения в примере 1.
.
Таблица 6.6
i
1
2
3
4
xi
2
3
5
10
ni
5
5
3
2
Найти выборочное математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое
отклонение.
Решение. Выборочная средняя вычисляется по формуле (6.4):
хв=(5∙2+5∙3+3∙5+2∙10) / (5+5+3+2)=60/15=4.
Выборочная дисперсия Dв вычисляется по формуле (6.5):
Dв=(5(2 – 4)2 + 5(3 – 4)2 + 3(5 – 4)2 + 2(10 – 4)2 / (5+5+3+2)=
=(20 + 5 + 3 + 72) / 15=100 / 15 = 6,06.
Выборочное среднее квадратическое отклонение:  в  D  2,46 .
Характеристики случайной величины, построенные на основании выборочных данных,
называются выборочными или точечными оценками.
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки,
рассмотренные в примере 4, являются точечными.
6.5. Некоторые статистические распределения
При обработке статистических данных результаты сравнивают со статистикой, результаты
которой известны. С помощью такой статистики можно получить информацию о случайной
величине из выборки. В результате, только на основании выборочных данных можно получить
случайную величину с известным законом распределения. Многие важные статистики
распределены по специальным законам. К ним относятся:
 Распределение 2 « Хи – квадрат».
 Распределение Стьюдента.
6.5.1. 2 – распределение
Пусть 1, 2,…, k – независимые случайные величины, распределенные по стандартному
нормальному закону – N (0,1), т.е. математическое ожидание равно нулю, а среднее
квадратическое отклонение равно единице. Сумма квадратов этих случайных величин равна:
n
    i2
2
(6.6)
i 1
.
Сумма квадратов этих случайных величин в (6.6) распределена по закону 2 «Хи – квадрат»
с k=n степенями свободы.
 2 (k )  12   2 2  ...   k 2 .
Эту случайную величину обозначают  (k):
Если случайную величину принять за х, то можно записать:
2 (k) = x12 + x22 + ... + xk2.
2
51
(6.6a)
Если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например:
n
x
i 1
i
 n~
x
, то число степеней свободы k = n – 1,
x  x2  ...  xn
~
x 1
n
где
.
Свойства 2 –распределения:
1. Случайная величина 2(k) имеет нулевую плотность распределения при х ≤ 0, так как
данная величина есть сумма квадратов и всегда положительна.
2. При большом числе степеней свободы k распределение 2 (k) близко к нормальному. В
этом случае математическое ожидание случайной величины распределенной по закону
2 (с k степенями свободы) равно k:
(6.7)
M2(k) = k.
6.5.2. Распределение Стьюдента
Пусть случайная величина  распределена по стандартному нормальному закону N(0,1).
2
Случайную величину  делят на корень из k .
Полученная случайная величина имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы.
Данная случайная величина и соответствующий закон распределения обозначаются через t(k):

t (k ) 
 2 (k ) / k .
(6.8)
Закон Стьюдента это отношение нормированной случайной величины  к квадратному
корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «Хи – квадрат» с k
степенями свободы, делённой на k, формула (6.8). График плотности распределения Стьюдента
похож на график нормального распределения, приведённого на рис 5.4. С увеличением k –
степеней свободы кривая вытягивается вдоль оси y.
Свойства распределения Стьюдента:
Свойство 1. Распределение Стьюдента симметрично относительно оси Y, причем: M t(k) = 0.
Свойство 2. При больших значениях k распределение Стьюдента близко к стандартному
нормальному распределению N(0,1).
6.6. Интервальные оценки
В разделе 6.3 на примерах было показано определение выборочных числовых характеристик
~
случайной величины: выборочной средней – x , выборочной дисперсии – Dв, выборочного
среднего квадратического отклонения – в. Полученные оценки являются приближенными.
Поэтому вводится понятие интервальных оценок.
Интервальной называют оценку, которая определяется границами: началом и концом
диапазона значений характеристики. Интервальные оценки позволяют установить точность и
надёжность оценок. Однако граничные значения также случайные величины. Следовательно,
строится интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью содержал бы
неизвестное значение параметра распределения.
Для определения погрешности полученных значений используют интервальные оценки,
применяя понятие «доверительного интервала» – интервала, внутри которого параметр, как
ожидается, найдется с некоторой доверительной вероятностью (надёжностью) . Иногда вместо
52
 используют величину  = 1 – , называемую уровнем значимости. На практике уровнь
значимости – малое число, которое принимается примерно равным:
 = 0,01;  =0,05;  = 0,1.
6.6.1. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального
распределения случайной величины
Доверительным называют интервал (*–,*+ ), который покрывает неизвестный параметр с
заданной надёжностью , где, * – статистическая характеристика, найденная по данным
выборки, которая служит оценкой неизвестного параметра . Отклонение неизвестного
параметра  от его оценки * задаётся величиной положительной >0,так как их разность
задаётся по модулю | – *| < . Чем меньше отклонение , тем точнее оценка. Рассмотрим
нахождение доверительного интервала для математического ожидания нормально
распределенной случайной величины. Из теории вероятностей интервальные вероятности для
нормального распределения N(a,) определяются формулой (5.20):
(6.9)
P (|X– a| ≤ ) = 2Ф(/) = 2Ф(t),
где t = /.
Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально. Требуется
оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней
~
~
x . Выборочную
среднюю x можно рассматривать как случайую величину, которая изменяется от выборки к
выборке.
Из теории вероятностей дискретной случайной величины известны положения для числовых
характеристик среднего арифметического. В частности:
1. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределённых взаимно
независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:
~
D( x )=D/n.
2. Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределённых взаимно независимых
 (~
x) 

n.
случайных величин соответственно равно:
Заменив в (6.9) случайую величину Х на выборочную среднюю
можно (6.9) переписать в виде:
P( ~
x  а   )  2  Ф(t)
t
,
~
x ,  на
 ( ~x ) 

n
(6.9а)
 n
 .
где:
Можно найти отклонение:

t
n.
(6.10)
~
Если в (6.9а) рассмотреть неравенство | x – a| ≤, то из него можно выразить неизвестное
математическое ожидание а:
~x
~
–  ≤ a ≤ x + .
(6.11)
Если в (6.11) подставить вместо  значение из (6.10), то получим доверительный интервал
для математического ожидания нормально распределенной случайной величины.
53
t
t
~
x
a~
x
n
n.
P( ~
x  a  )
Вероятность
известна дисперсия D=2.
(6.12)
определяется законом нормального распределения, если
Если дисперсия неизвестна, а лишь подсчитано ее несмещённое значение
~
D  s2 ,
P( ~
x  a  )
вероятность
определяется законом распределения Стьюдента со степенями
свободы k = n–1. С увеличением степеней свободы k, то есть с увеличением объема выборки,
распределение Стьюдента стремится к нормальному.
6.6.2. Доверительные интервалы для математического ожидания при известной дисперсии
Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая,
что дисперсия и среднее квадратическое отклонение  этого распределения известны.
~
Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней x . В
данном случае задача сводится к нахождению доверительного интервала для математического
ожидания с надёжностью . Если задаться значением доверительной вероятности (надёжности)
, то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического
ожидания, используя формулу (6.9а):
~
P (| x – a| ≤ ) =,
(6.13)
где  – вероятность покрытия математического ожидания а доверительным интервалом ( x –
, x + ).
Если приравнять правые части (6.9а) и (6.13), то получим:
(6.14)
 = 2Ф(t).
t
1
x2
Ф(t ) 
exp(

)dx
0
2
2

где
– функция Лапласа.
В результате можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала
для математического ожидания, если известна дисперсия D = 2:
1. Задать значение надёжности – .
2. Из (6.14) выразить Ф(t) = 0,5. Выбрать значение t из таблицы для функции Лапласа по
значению Ф(t) (см. Приложение 1).

t
n.
3. Вычислить отклонение  по формуле (6.10):
4. Записать доверительный интервал (6.11) такой, что с вероятностью  выполняется
неравенство:
t
t
~
x
a~
x
n
n ) = 2Ф(t) = .
P(
(6.15)
Пример 5. Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Найти доверительные
интервалы для оценки с надежностью  = 0,96 неизвестного математического ожидания а, если
даны:
1) генеральное среднее квадратическое отклонение  = 5;
~
2) выборочная средняя x =30;
3) объём выборки n = 49.
54
Решение. В формуле (6.15) интервальной оценки математического ожидания: а с
надёжностью:  все величины, кроме t, известны. Значение t можно найти, используя (6.14):  =
2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.
По таблице Приложения 1 для функции Лапласа Ф(t) = 0,48 находят соответствующее
t
значение t = 2,06. Следовательно,  = n = (2,065)/71,47. Подставив в формулу (6.12)
t
t
~
x
a~
x
n
n вычисленное значение , можно получить доверительный интервал:
30 - 1,47 < a < 30+1,47.
Искомый доверительный интервал для оценки с надёжностью  = 0,96 неизвестного
математического ожидания равен:
28,53 < a < 31,47.
6.6.3. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
Пусть из генеральной совокупности объёмом n извлечена выборка. Требуется по данным
выборке оценить неизвестную генеральную дисперсию Dг.
Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии. Отличие
математического ожидания выборочной дисперсии от оцениваемой генеральной дисперсии
определяется следующим соотношением:
n 1
M[D в ] 
Dг
(6.16)
n
.
Выборочная дисперсия может быть исправлена. Исправленная выборочная дисперсия равна:
k
s2 
n
Dв 
n 1
 n (x
i 1
i
i
~
x )2
(6.17)
n 1
.
Исправленная выборочная дисперсия (6.17) является несмещённой оценкой генеральной
дисперсии. Таким образом, получена оценка генеральной дисперсии по исправленной
выборочной дисперсии.
6.6.4. Доверительные интервалы для математического ожидания при неизвестной дисперсии
Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая,
что дисперсия неизвестна. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с
помощью доверительных интервалов.
Во-первых, по данным выборки объёмом n можно найти исправленную выборочную
дисперсию s2, используя (6.17).
Во-вторых, по данным выборки можно строить случайную величину, которая имеет
распределение Стьюдента с k = n–1 степенями свободы, используя формулу (6.8):
~
x a
t 
(6.18)
s/ n .
Если сравнить распределение Стьюдента по данным выборки (6.18) с (6.8), то следует
отметить, что в (6.18):
~
1. За случайную величину  принята разность ( x  a ), которая является отклонением
~
неизвестного математического ожидания а от среднего выборочного x .
2. За 2 принимается исправленная выборочная дисперсия s2.
~
Если в числителе (6.18) заменить разность ( x  a ) на , то (6.18) можно записать в виде:
55
t 
 n
s .
(6.19)
Из уравнения (6.19) можно найти  – отклонение неизвестного математического ожидания
~
от среднего выборочного x :

t s
n
(6.20)
.
Из уравнения (6.18) можно найти неизвестное математическое ожидание, если известно
значение случайной величины t, по (6.19), где индекс переменной указывает на особенность
задачи с использованием понятия надёжности  в отличие от (6.8). Математическое ожидание
записывается в виде доверительного интервала, подставив отклонение  из выражения (6.20) в
неравенство (6.11):
t s
t s
~
x
a~
x
n
n.
(6.21)
Если задаться значением надёжности , то можно найти вероятность попадания в интервал
для неизвестного математического ожидания, который строится по аналогии с (6.15):
t s
t s 


P ~
x
 a~
x
n
n 

.
(6.22)
Из уравнений (6.8) и (6.19) видно, что распределение Стьюдента определяется параметром n
– объёмом выборки (числом степеней свободы k=n–1) и не зависит от неизвестных параметров
а и . Эта особенность является его большим достоинством.
Можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для
математического ожидания, если неизвестна дисперсия D = 2:
1. Задают значение надёжности в формуле (6.22) – .
2. Находят значение t, пользуясь таблицей Приложения 2 по значениям k и уровню
значимости  = 1– , выбрав верхний вариант: [Уровень значимости  (двусторонняя
крит. область)].
3. Из уравнения (6.20) находят отклонение неизвестного математического ожидания от
среднего выборочного – .
4. Строится доверительный интервал по (6.21) или (6.11), содержащий неизвестное
математическое ожидание с вероятностью .
Пример 6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение. По выборке объёма
~
n=61 найдена выборочная средняя x =30 и исправленное среднее квадратическое отклонение s
= 1,5. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью =0,95 неизвестного
математического ожидания – а.
Решение. Дано по условию задачи:
1. исправленное среднее квадратическое отклонение s = 1,5;
~
2. выборочная средняя x =30;
3. надёжность  = 0,95;
4. объём выборки n = 61.
Пользуясь таблицей приложения 2 по значениям k = n – 1 = 60 и уровню значимости  = 1 –
 = 1–0,95 = 0,05 находим значение t=2,00.
56

t s
;   2,00 1,5  0,387
n
60
Вычисляем по формуле (6.20):
.
Полученное значение  подставим в формулу доверительного интервала (6.11):
30 – 0,387 < a < 30+ 0,387.
Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания с надёжностью
 = 0,95 равен: 29,613 < a < 30,387.
Глава 7. Проверка статистических гипотез
7.1. Понятие и классификация статистических гипотез
Статистической гипотезой называется предположение относительно вида неизвестного
распределения или параметров известных распределений наблюдаемой случайной величины.
Ранее в 5.2 рассматривались примеры 1, 2, где вычислялись выборочные характеристики,
были построены полигон или гистограмма. Можно предположить, что данная случайная
величина распределена по одному из известных законов. Следующий этап: нужно проверить,
что экспериментальные данные соответствуют высказанной гипотезе и принять её. Этот этап
называется проверкой статистической гипотезы. Алгоритм проверки гипотезы называется
решающим правилом. Так как гипотеза выдвигалась на основе выборочных данных, то гипотеза
будет носить вероятностный характер.
К основным задачам математической статистики относятся:
1. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения. В этом случае
предполагается, что закон распределения случайной величины установлен. Пусть
совокупность распределена по нормальному закону. Выдвигается гипотеза о
математическом ожидании в предполагаемом диапазоне.
2. Статистическая проверка гипотез о законе распределения случайной величины.
Гипотезы о виде распределения выдвигаются в условиях недостаточной информации о
выборке.
Практически экспериментальные данные при большой выборке приближаются к
нормальному закону. Выдвинув такую гипотезу, далее следует найти доверительные интервалы
для параметров этого распределения. Проверяемая гипотеза называется нулевой (основной),
наиболее правдоподобной по каким-то соображениям, и обозначают её H0. Наряду с основной
гипотезой рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу H1, противоречащую
основной. Выдвинутая нулевая гипотеза нуждается в дальнейшей проверке.
При этом могут быть допущены ошибки двух типов:
1. Ошибка первого рода – отвергнута правильная гипотеза;
2. Ошибка второго рода – принята неправильная гипотеза.
7.2. Общая схема проверки гипотез
Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину,
точное или приближённое распределение которой известно, обозначают её через Z, если она
распределена нормально, T – по закону Стьюдента, 2 – по закону «хи–квадрат». Данная
специально подобранная случайная величина называется статистическим критерием или
критерием значимости, который в дальнейшем будет обозначаться через Z. Статистический
критерий служит для проверки нулевой гипотезы.
Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных
совокупностей, то в качестве критерия принимают отношение исправленных выборочных
дисперсий. Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих
в критерий величин и получают наблюдаемое значение критерия. Наблюдаемым значением
критерия Zнабл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если по
57
двум выборкам найдены выборочные дисперсии d1=27; d2=9, то наблюдаемое значение
критерия равно отношению большей исправленной дисперсии к меньшей: Zнабл= d1/ d2=27/9=3.
Задачу проверки гипотез можно сформулировать следующим образом.
1. Требуется найти случайную величину Z, которую ещё называют статистикой критерия,
удовлетворяющую двум основным требованиям:
а) Значение критерия можно посчитать только на основании выборки.
б) Распределение критерия известно в предположении, что нулевая гипотеза верна.
2. После поиска или выбора статистики находится критическая область. На числовой оси
выделяется область, попадание в которую для случайной величины маловероятно. Малая
вероятность задаётся, как и в доверительных интервалах, малым числом – , которое называют
уровнем значимости. Вероятность совершить ошибку первого рода (вероятность отвергнуть
правильную гипотезу) равна  – уровню значимости.
Критической областью называют совокупность значений критерия Z, при которых
нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотез называют совокупность значений
критерия Z, при которых нулевую гипотезу принимают.
Критическими точками (границами) – zkp называют точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.
Различают три вида критической области:
 правосторонняя, определяемая неравенством Z > zkp > 0;
 левосторонняя, определяемая неравенством Z < zkp < 0;
 двусторонняя, определяемая неравенством Z < z1 < z2 < Z.
В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя
критическая область определяется неравенством Z > zkp > 0. При отыскании критической
области задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимости  и ищут критические
точки, исходя из требования, чтобы вероятность того, что критерий Z примет значения,
лежащие в критической области, была равна принятому уровню значимости. В результате
получают:
 для правосторонней критической области:
(7.1)
P (Z > zkp) = ;
для левосторонней критической области P (Z < zkp) = ;
 для двусторонней симметричной области P (Z > zkp) = /2 .
Основной принцип статистической проверки гипотез заключается в следующем:
Если наблюдаемое значение критерия Zнабл, вычисленное по данным выборки, принадлежит
критической области, то гипотезу отвергают.
Если наблюдаемое значение не принадлежит критической области, то нет оснований
отвергать гипотезу.
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, позволяющие по  найти
критические точки zkp, удовлетворяющие требованию (7.1).

7.3. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределения
Пусть из генеральной совокупности, распределенной нормально c неизвестной генеральной
дисперсией 20 , извлечена выборка объёма n и по ней найдена исправленная выборочная
дисперсия S2 с k = n – 1 степенями свободы. Требуется установить насколько различаются
исправленная выборочная дисперсия и предполагаемая генеральная дисперсия. Нулевую
гипотезу можно записать в виде:
(7.2)
H0: M (S2) = 20 .
В нулевой гипотезе (7.2) принимается, что математическое ожидание исправленной
выборочной дисперсии равно предполагаемой генеральной дисперсии.
58
В качестве статистического критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную
величину:
(7.3)
2набл = (n –1)S2/20 .
2
Эта величина случайная, так как в разных опытах S принимает различные значения, имеет
распределение по закону «Хи – квадрат» 2 с k = n–1 степенями свободы.
Рассматривается один из возможных случаев.
Нулевая гипотеза:
(7.4)
H0: 2 = 20.
Конкурирующая гипотеза:
(7.5)
H1: 2 > 20.
Для данного случая строится правосторонняя критическая область. При этом ставится
условие, чтобы вероятность попадания критерия в эту область будет равна принятому уровню
значимости , с учётом справедливости нулевой гипотезы:
(7.6)
P (2 > 2kp (; k)) = .
Критическую точку 2kp (; k) находят по таблице критических точек распределения 2
(Приложение 3).
Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством 2 > 2kp.
Область принятия нулевой гипотезы определяется неравенством 2 < 2kp. Значение
критерия 2 вычисляется по данным наблюдений по формуле (7.3) и обозначается 2набл. Тогда
нулевую гипотезу о параметрах распределения:
1. Отвергают при выполнении условия:
(7.7)
2набл > 2kp.
2. Принимают при условии:
(7.8)
2набл < 2kp.
Пример 1. Из генеральной совокупности, распределенной нормально, извлечена выборка
объёма n = 21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S2 = 25 .
Требуется проверить нулевую гипотезу, которая принимается по (7.4), предполагая
неизвестное значение генеральной дисперсией равным 20.
Нулевая гипотеза: H0: 2 = 20 = 20.
Конкурирующая гипотеза принимается по (7.5). H1: 2 > 20.
Задаётся минимальный уровень значимости  = 0,01.
Таким образом, в задаче дано:
n = 21. S2 = 25. 20 = 20.  = 0,01.
Решение. По формуле (7.3) можно найти наблюдаемое значение критерия:
2набл= (n–1)S2/20 =(21–1)∙25/20 = 25.
По таблице критических точек распределения 2 (Приложение 3), зная уровень значимости
 = 0,01 и число степеней свободы: k =n–1=20, можно найти критическую точку:
2kp (=0,01; k=20)=37,6.
Так как конкурирующая гипотеза по условию: H1: 2 > 20, то критическая область
правосторонняя. Наблюдаемое значение критерия 2набл=25, критическое значение
статистического критерия 2kp =37,6.
По (7.8), если 2набл < 2kp, нулевая гипотеза о параметрах распределения принимается.
В итоге можно сформулировать алгоритм проверки гипотез о параметрах распределения:
1. Выбрать нулевую – H0 и конкурирующую – H1 гипотезы.
2. Задать уровень значимости .
59
3. Выбрать статистический критерий 2.
4. По формуле (7.3) найти 2набл.
5. Найти критическую точку 2kp (; k) по таблице Приложения 3.
6. Принять решение по выдвинутой гипотезе.
Решение носит вероятностный характер. Поэтому, если выдвинутая гипотеза не
подтверждается, то делают заключение, что данные эксперимента не подтверждают гипотезу
H0.
7.4. Вопросы для самоконтроля по теме «Элементы математической статистики»
1. Определите правильный ответ.
По статистическому распределению выборки установите её объём:
xi
1
2
3
ni
2
5
6
a) 11; b) 30; c) 18; d) 13.
2. Определите правильный ответ.
Статистическое распределение выборки имеет вид:
xi
3
5
7
ni 10
3
5
Тогда объём предложенной выборки равен:
a) 20; b) 80; c) 18; d)13.
3. Выбрать таблицу, которая соотвествует статистическому распределению выборки.
a)
xi
1
2
3
4
pi 0,05 0,5 0,2 0,15
b)
xi
1
2
3
4
pi 0,15 0,5 0,3 0,15
c)
xi
1
2
3
4
pi 0,15 0,3 0,2 0,15
d)
xi
1
2
3
4
pi 0,15 0,5 0,2 0,15
4. Определите правильный ответ.
Средняя выборочная вариационного ряда 1,2,3,3,4,5 равна:
a) 2; b) 3; c) 5; d) 10.
5. Определите правильный ответ.
Дана выборка объема n = 5: -4, -2, 2, 6, 8. Выборочное среднее x равно:
a) x = 3,0; b) x = 2,0; c) x = 1,2; d) x = 2,5.
6. Определите правильный ответ.
Дана выборка объема n = 5: -2, -1, 1, 3, 4. Выборочное среднее x и выборочная дисперсия S2
равны:
60
2
2
2
a) x  1, S  5,2 ; b) x  2, S  5 ; c) x  1, S  6,2 ; d) x  1,
7. Определите правильный ответ.
Дано статистическое распределение выборки:
xi
-3
1
3
11
pi 0,4 0,2 0,3 0,1
S 2  31 .
Выборочное среднее x равно:
a) x = 2,4; b) x = 2,0; c) x = 1,5; d) x = 1,0.
8. Определите правильный ответ.
Дано статистическое распределение выборки:
xi
-2
0
1
pi 0,4 0,2 0,3
5
0,1
Выборочное среднее x и выборочная дисперсия S2 равны:
a) x = 2; S2 = 0; b) x = 0,1; S2 = 7; c) x = 0; S2 = 30; d) x =1,2; S2 = 30.
9. Определите правильный ответ.
Дана выборка объема n = 5: - 6, - 4, 0, 4, 6. Выборочное среднее x и выборочная дисперсия
S равны:
2
a) x = 0,5; S2 = 12; b): x = 0; S2 = 20,8; c) x = 2; S2 = 5,2; d) x = 1; S2 = 208 .
10. Определите правильный ответ.
Дана выборка объема n = 5: - 3, - 2, 0, 2, 3. Выборочное среднее x и выборочная дисперсия
S равны:
2
2
2
2
2
a) x  0, S  5,2 ; b) x  1, S  5 ; c) x  0, S  26 ; d) x  0, S  6 .
11. Определите правильный ответ.
Дана выборка объема n = 10. Статистическое распределение этой выборки имеет вид:
xi
2
3
4
5
pi 0,4 0,1 0,2 0,3
Тогда выборочное среднее x для этой выборки равно:
a) x =3,0; b) x =3,3; c) x =4,0; d) x =3,4.
12. Определите правильный ответ.
Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8. Выборочное среднее x и выборочная дисперсия S2
равны:
2
2
2
a) x  6,7; S  126 ; b) x  5, S  5,2 ; c) x  6, S  5 ; d) x  4,
13. Определите правильный ответ.
Дано статистическое распределение выборки:
xi
-1
1
2
6
pi 0,4 0,2 0,3 0,1
S2  5.
Выборочное среднее x и выборочная дисперсия S2 равны:
a) x = 2, S2 = 17,6; b) x = 1,5, S2 = 42; c) x = 3, S2 = 7; d) x = 1, S2 = 30.
14. Определите правильный ответ.
Дано статистическое распределение выборки:
61
xi
pi
-4
0,4
0
0,2
2
0,3
10
0,1
Выборочное среднее x и выборочная дисперсия S2 равны:
a) x = 0; S2 =120; b) x = 2; S2 = 4,4; c) x = 3; S2 = 176; d) x = 0; S2 = 17,6.
15. Определите правильный ответ.
Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то
выборочное среднее x :
- возрастет в 25 раз, а выборочная дисперсия S2 увеличится в 5 раз;
- возрастет в 5 раз и выборочная дисперсия S2 возрастет в 5 раз;
- возрастет в 5 раз, а выборочная дисперсия не изменится;
- возрастет в 5 раз, а выборочная дисперсия S2 увеличится в 25 раз.
f  ( x) 
1

e
( x m)2
2 2
 2
16. Формула
закона:
a) нормального распределения;
b) распределения Стьюдента;
c) 2-распределения;
d) равномерного распределения.

t (k ) 
 2 (k ) / k закона:
17. Формула
a) нормального распределения;
b) распределения Стьюдента;
c) 2-распределения;
d) равномерного распределения.
Часть 4. Алгоритмизация и программирование
Глава 8. Основы алгоритмизации
8.1. Понятие и свойства алгоритма
Алгоритм это последовательность арифметических, логических и прочих операций,
необходимых для выполнения на ЭВМ. Применительно к ЭВМ алгоритм определяет
вычислительный процесс, начинающейся с обработки некоторой совокупности возможных
исходных данных и направленный на получение определенных этими исходными данными
результатов. Термин «вычислительный процесс» распространяется и на обработку других
видов информации, например, символьной, графической или звуковой.
Алгоритм – одно из фундаментальных понятий информатики. Алгоритмизация наряду с
моделированием выступает в качестве общего метода информатики. Алгоритмы являются
объектом систематического исследования пограничной между математикой и информатикой
научной дисциплины, примыкающей к математической логике – теории алгоритмов. Понятие
алгоритма и определение его свойств позволяет познакомиться с алгоритмизацией.
Основными свойствами алгоритмов являются:
1. Универсальность (массовость) – применимость алгоритма к различным наборам исходных
данных.
2. Дискретность – процесс решения задачи по алгоритму разбит на отдельные действия.
62
3. Однозначность (детерминированность) – правила и порядок выполнения действий
алгоритма имеют единственное толкование.
4. Конечность – каждое из действий и весь алгоритм в целом обязательно завершаются.
5. Результативность – по завершении выполнения алгоритма обязательно получается
конечный результат.
6. Выполнимость – алгоритм достигает результата за конечное число шагов.
Алгоритм должен быть всегда результативен, иметь свойство повторяемости и рассчитан на
конкретного исполнителя. В технике таким исполнителем является ЭВМ. Для обеспечения
возможности реализации на ЭВМ алгоритм должен быть описан на языке, понятном ЭВМ, то
есть на машинном языке, созданным с помощью языка программирования.
Алгоритм может быть представлен различными способами, в частности:
1) словесно;
2) таблично;
3) в виде блок-схемы;
4) на алгоритмическом языке.
Достаточно распространенным способом представления алгоритма является его запись на
алгоритмическом языке, представляющем в общем случае систему обозначений и правил для
единообразной и точной записи алгоритмов и исполнения их, т.е. запись в виде прораммы.
Предпочтительнее до записи на алгоритмическом языке представить алгоритм в виде блоксхемы.
Для построения алгоритма в виде блок-схемы необходимо знать назначении каждого из
блоков. В таблице 8.1 представлены типы блоков и их назначение.
8.2. Таблица блоков
Таблица 8.1
№
блок
Назначение блока
комментарий
{блоку соответствует
оператор}
1
Начало или конец
блок-схемы
2
Ввод данных с
клавиатуры
ввода
3
Процесс (в частности
вычислительный)
присваивания
4
решение
условия
5
вывод
вывода
6
Модификатор цикла
цикла
63
Типовой процесс
7
Процедура, функция
Алгоритмизация выступает как набор определенных практических приёмов, особых
специфических навыков рационального мышления в рамках заданных языковых средств.
Алгоритмизация вычислений предполагает решение задачи в виде последовательности
действий, т.е. решение, представленное в виде блок-схемы. Можно выделить типичные
алгоритмы. К ним относятся:
 Линейные алгоритмы;
 Разветвляющиеся алгоритмы;
 Циклические алгоритмы;
Из перечисленного списка простейшими является линейные алгоритмы.
Задачи, приводящие к линейным алгоритмам, рассматриваются в примере, представленном
в виде блок-схемы на рис. 8.1.
8.3. Линейные алгоритмы
Задача 1. Вычислить и вывести на экран значение функции:
Y = sin (2 x) / (a + x)  b;
На рис. 8.1 представлена блок-схема для задачи 1.
начало
1
Ввод Х, А, В
2
3
Y = sin ( 2 PI*Х ) / ( А + Х) * В
4
Вывод Y
5
конец
Рис. 8.1. Блок-схема линейного алгоритма
8.4. Ветвления
Разветвляющиеся алгоритмы редполагают проверку условий для выбора решения.
Соответственно в алгоритме появится столько разветвлений, сколько условий. Во второй задаче
рассматривается один из примеров разветвляющихся алгоритмов.
Задача 2. Найти максимальное значение из трёх различных целых чисел, введенных с
клавиатуры.
Для этой простой задачи можно представить несколько различных алгоритмов. Алгоритм
задачи 2, представленный в виде блок-схемы на рис. 8.2, предусматривает проверку каждого
условия отдельно. Такой вариант ветвления позволяет анализировать каждое из условий.
64
начало
x,y,z
x>y
да
нет
нет
нет
y>z
x>z
да
да
Max=x
Max=z
Max=y
Max=z
max
конец
Рис. 8.2. Блок-схема алгоритма ветвления
Алгоритм ветвления задачи 2, представленный в виде блок-схемы на рис. 8.3,
предусматривает проверку сразу двух условий одновременно. Такой вариант ветвления проще,
но не позволяет анализировать каждое из условий.
65
начало
x,y,z
нет
x>y
x>z
нет
z>y
да
да
Max=x
Max=z
Max=y
max
конец
Рис. 8.3. Блок-схема алгоритма ветвления
8.5. Циклы
Задача 3. Составить программу расчета таблицы значений функции Y на интервале
A<=x<=B в N равностоящих точках. Границы интервала A, B и количество точек N задавать с
клавиатуры. Подсчитать количество чётных значений целой части функции. Результаты
вывести на печать.
На рис. 8.4 представлена блок-схема для задачи 3.
66
начало
A, B, n
dX:=(B-A)/(n-1);
X:=A; k:=0;
4
i, n;
5
y:=(1-sin(2*PI*X))*exp(X); X:=X+dX;
xy
,y
xy
6
7
(trunc(y) mod 2=0)
8
9
10
k:=k+1
k
конец
Рис. 8.4. Блок-схема циклического алгоритма решения задачи 3
8.6. Вопросы для самоконтроля по теме «Алгоритмизация»
1. Определите правильный ответ.
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
67
начало
Ввод А,С
А=А+1; C=C+1
да
A<0
нет
C=C+1
да
C>0
нет
конец
a) A = -5; C=-2. b) A = - 2; C=-5. c) A=0; C=0. d) A=1; C=1.
2. Определите правильный ответ.
После выхода из цикла переменные равны:
начало
А=-3; C=3
A=A+1; C=C+1
нет
A>0
да
C<0
конец
a) A=3; C=-1. b) A=1; C=7. c) A=0; C=0. d) A=-1; C=5.
3. Определите правильный ответ.
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
начало
Ввод А,С
А=А+1; C=C-1
A< 0
да
да
C<0
конец
a) A =2; C =-2. b) A=-2; C =-2. c) A=0; C=0. d) A=2; C=2.
4. Определите правильный ответ.
68
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
начало
Ввод А,С
А=А+1; C=C+1
нет
A>0
да
C=C+1
C>0
да
нет
конец
a) A=1; C=1. b) A=-1; C=1. c) A=0; C=0. d) A=1; C=-2.
5. Определите правильный ответ.
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
начало
ВводА,С
А:=А-1; C:=C-1
A>0
да
C>0
нет
да
конец
a) A=-5; C=5. b) A=5; C=-5. c) A=5; C=5. d) A=0; C=0.
6. Определите правильный ответ.
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
69
начало
Ввод А,С
А=А-1; C=C+1
да
A>0
нет
C=C+1
C>0
да
нет
конец
a) A=1; C=1. b) A=1; C=-1. c) A=0; C=0. d) A=0; C=-2.
7. Определите правильный ответ
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
начало
Ввод А,С
А=А-1; C=C-1
A> 0
да
нет
C>0
конец
a) A=7; C=7. b) A=5; C=-5. c) A=-5; C=5. d) A=0; C=0.
8. Определите правильный ответ.
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
70
начало
Ввод А,С
А=А+1; C=C+1
нет
A>0
да
C=C+1
C>0
да
нет
конец
a) A=5; C=5. b) A=-5; C=5. c) A=0; C=0. d) A=5; C=-5.
9. Определите правильный ответ.
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
начало
Ввод А,С
А=А-1; C=C-1
A> 0
да
нет
C>0
конец
a) A=-10; C=-10. b) A=10; C=-1. c) A=10; C=-10. d) A=-10; C=10.
10. Определите правильный ответ.
Выбрать из списка значения переменных, которые следует ввести с клавиатуры, чтобы
алгоритм закончил работу:
71
начало
Ввод А,С
А=А-1; C=C+1
да
A>0
нет
C=C+1
C>0
да
нет
конец
a) A=-3; C=5. b) A=-5; C=3. c) A=-5; C=-3. d) A=5; C=3.
Глава 9. Программирование на Паскале
9.1. Введение
Паскаль алгоритмический язык высокого уровня был разработан в конце 60-х годов проф.
Виртом (Швейцария). Язык получил название в честь французского математика и философа
Блеза Паскаля (1623–1662). В 80-е годы на основе Паскаля был разработан Turbo Pascal. Turbo –
это торговая марка разработчика фирмы Borland.
Turbo Pascal – это система программирования, которая представляет собой единство двух
самостоятельных составляющих:
1) Компилятора языка программирования Паскаль.
2) Инструментальной программной оболочки, способствующей повышению эффективности
создания программ, т.е. среды Turbo Pascal.
Таким образом, компилятором реализуется язык программирования Turbo Pascal, а
разнообразные сервисные услуги обеспечиваются инструментальной программной оболочкой.
9.2. Конструкция языка Turbo-Pascal
9.2.1. Алфавит
1) латинский шрифт;
2) русский шрифт;
3) цифры (0  9);
4) символы:
а) знаки арифметических операций (+ – * /), нет возведения в степень;
б) знаки логических отношений (<,>,<=,>=,<>);
в) разделители (, . ; :);
г) прочие символы.
9.2.2. Данные и типы данных
Данные могут быть разделены на:
1) Константы – const.
2) Переменные – var.
72
Константам и переменным даётся имя, которое называется идентификатором. С другой
стороны в зависимости от вида данных (число, текст, символ и т.д.) в Паскале имеет значение
тип данных.
Понятие типа – одно из фундаментальных понятий Turbo Pascal.
Паскаль – это типизированный язык, который характеризуется разветвленной структурой
типов данных, построен на основе строгого соблюдения типов. Язык Turbo Pascal представляет
большие возможности создания сложных типов, однако все они строятся на основе
элементарных (стандартных) типов.
Для начала можно ограничиться стандартными типами данных (4 типа). Соответственно
можно выделить следующие данные: числовые, символьные, логические. Числовые данные
подразделяются на целые и вещественные:
INTEGER – целочисленные данные, во внутреннем представлении занимают два байта;
диапазон возможных значений – от -32768 до +32767.
REAL – вещественные данные, занимают 6 байт; диапазон возможных значений модуля – от
2.9Е-39 до 1.7Е+38; точность представления данных – 11…12 значащих цифр. Вещественные
данные в паскале могут записываться в двух форматах: а) Формат с фиксированной точкой
(число 34,5 в паскале запишется 34.5). б) Формат с плавающей запятой (34,5 в паскале
запишется 0.345Е2 или 3.45Е1, где Е означает число 10, а после записывается степень этого
числа).
CHAR – символьные данные, занимает 1 байт.
BOOLEAN – логический тип, занимает 1 байт и имеет два значения: FALSE (ложь) и TRUE
(истина).
9.2.3. Стандартные функции
Стандартные функции подразделяются на числовые, символьные и т.д. Числовые
стандартные функции представлены в таблице 9.1.
Таблица 9.1
Матем.
запись
sin x
cos x
arctg x
ex
|x|
ln x
x2
Целая
часть
Х
Округление
Х
Запись на
Паскале
sin(x)
cos(x)
arctan (x)
exp(x)
abs (x)
ln (x)
sqr (x)
Trunc (x)
Round (x)
х
sqrt (x)
Примечания.
1) После имени стандартной функции в скобках записывается аргумент, который может
быть:
а) константой: cos(1.3),
б) переменной: cos(x),
в) арифметическим выражением: cos(x+y),
г) стандартной функцией: cos(ln(x));
2) Аргумент тригонометрической функции должен быть задан в радианах. Если он задан в
x * pi
x
180 ;
градусах, то его следует перевести в радианы по формуле:
log a x 
ln x
;
ln a
3) Логарифмические функции:
4) Обратные тригонометрические функции:
73
3,141
pi
 x
arcsin x  arctg 
2
 1 x
 1  x2
arccos x  arctg 
 x




;
5) Гиперболические функции:
chx
cth x 
shx ;
ch x 

1

 arcctg(x)  arctg  x 
 ;
;
e x  e x
shx
e x  ex
th x 
sh x 
chx ;
2
2
;
;
a
6) Возведение в степень: x  e
; x  exp(a * ln(x)) ;
7) Тригонометрические функции: tg x = sin x/cos x; ctg x = cos x/ sin x.
a
a ln x
9.2.4. Арифметические, логические, символьные выражения
а) Арифметические выражения
ln 2 X  cos A2  Y  X 2
chx
Пример арифметического выражения.
.
В Турбо Паскале есть все 4 арифметические операции над числовыми переменными:
а) + сложение; б) – вычитание;
в) * умножение; г) / деление вещественное;
Для данных типа INTEGER в Турбо Паскале есть еще операции деления:
д) MOD получение остатка от целочисленного деления,
е) DIV частное от целочисленного деления.
A
Пример, найти частное Z , на Паскале имеет вид: A div Z .
A
Пример, найти остаток от деления Z , на Паскале имеет вид: A mod Z .
F:=17 DIV 5; – деление нацело, ответ: 3;
R:=17 MOD 5; – остаток от деления нацело, ответ: 2.
б) Логические выражения
Пример логических выражений:
(A>0) and (B>0) означает (А и В больше нуля).
(A>0) or (B>0) означает (А или В больше нуля).
В Турбо Паскале определены следующие логические операции:
а) not – логическое НЕ (логическое отрицание);
б) and –– логическое И (конъюнкция или логическое умножение);
в) or – логическое ИЛИ (дизъюнкция или логическое сложение);
г) xor – исключительное ИЛИ;
д) EQV – эквивалентность;
е) IMP-импликация (если…, то…).
Логические операции применимы к операндам целого и логического типов. Если операнды –
целые числа, то результат логической операции есть тоже число. Логические операции над
логическими данными дают результат логического типа. Следует учесть, что в отличие от
многих других языков программирования в Турбо Паскале логические операции имеют более
высокий приоритет, чем операции отношения. В связи с этим, в сложных логических
выражениях обычно необходимо расставлять скобки.
74
9.3. Структура программы на языке Паскаль
Структура программы на языке Паскаль имеет следующий вид:
PROGRAM Pr; {Заголовок не обязателен}
{Раздел описаний}
Begin {Начало раздела операторов}
{Раздел операторов}
END. {конец раздела операторов}
Выделяют две части программы:
1. Раздел описаний. В разделе описаний задаётся описание констант ключевым словом
const, переменные в этом разделе задаются ключевым словом var, описание нового типа
переменных задаётся ключевым словом type.
2. Раздел операторов. Этот раздел является исполняемой частью программы. Чтобы
отделить раздел описаний от раздел операторов между ними вставляется слово begin, которое
означает начало исполняемой части программы. Раздел операторов заканчивается словом end.,
обязательно в конце должна быть точка. Пара (begin… end.)называется операторными
скобками.
Такая структура обязательна для любой программы, что является следствием жесткого
требования языка: любой нестандартный для языка Турбо Паскаль идентификатор,
используемый в исполняемых операторах, должен быть предварительно описан в разделе
описаний.
Описать идентификатор – это значит указать тип связанного с ним объекта программы
(константы или переменной).
9.4. Основные операторы Паскаля
9.4.1. Оператор присваивания
В левой части оператора присваивания указывается имя переменной, правая часть
представляет собой выражение того же типа, что и переменная. Пара символов «:=»,
связывающая левую и правую части оператора присваивания, означает «ПРИСВОИТЬ
ЗНАЧЕНИЕ». В операторах присваивания Турбо Паскаля всегда используются символы «:=», в
то время как при описании констант – одиночный символ «=». С точки зрения синтаксиса
языка, два символа «:=» рассматриваются как один специальный символ и обязательно пишутся
слитно.
Пример оператора присваивания: R: =cos(x)+ln(y);.
Оператор присваивания выполняется в два этапа:
1. Первый этап – выполнение правой части, т.е. в примере вычисляется арифметическое
выражение.
2. Второй этап – присвоение результата левой части, т.е. в примере переменной R
присваивается число, полученное при вычислении арифметического выражения.
9.4.2. Операторы ввода
В Паскале нет специальных операторов ввода-вывода. Для обмена информацией в
программах Паскаля используются специальные встроенные процедуры, которые не нуждаются
в предварительном описании. Таким образом, все операторы ввода-вывода являются
операторами обращения к встроенным процедурам ввода или вывода данных.
По операторам READ, READLN вызывается встроенная процедура ввода данных и
программа останавливается в ожидании ввода. В этот момент необходимо набрать на
клавиатуре нужное число и нажать клавишу «Ввод».
75
9.4.3. Операторы вывода
Основное назначение этих операторов – вывод результатов выполнения программы.
Оператор вывода WRITE выводит строку на экран и оставляет курсор в конце выведенной
строки. Если в программе несколько операторов WRITE, то вывод осуществляется в одну
строку.
Оператор вывода WRITELN выводит в отдельную строку, после вывода результата
осуществляет перевод строки и устанавливает курсор в начало следующей строки экрана.
Пример записи оператора вывода переменных X,Y,Z:
WRITELN(X,Y,Z);
Если в программе необходимо вывести текст на экран, следует этот текст взять в апострофы.
В частности подсказка на экран для ввода данных записывается оператором:
WRITELN(‘ввести X,Y,Z’);
9.4.4. Комментарий
Комментарий в Турбо Паскале – это произвольная последовательность любых символов,
обрамленная фигурными скобками. Комментарий разрешается вставлять в любое место
программы, где по смыслу должен стоять пробел. В качестве ограничителей комментария
допускается использование фигурных скобок «{» и «}», а также пары символов «(*» – слева от
комментария и «*)» – справа от него:
{Это – комментарий}. (*Это тоже комментарий*).
9.5. Линейный алгоритм. Выполнение программы
Пример 1. Вычислить:
ln 2 X  cos A2  Y  X 2
chx
R=
. Значение А ввести в градусах.
PROGRAM PR1;
VAR
r,a,x,y:real;
BEGIN
{линейный алгоритм}
Writeln (‘ввести a, x, y’);
Read (a, x, y);
a:=a*pi/180;
r:=(ln(x)*ln(x)-cos(a*a)+sqrt(y+x*x)) / ((exp(x)+exp(-x))/2);
Writeln (‘r=’, r: 9:5, ‘a=’, a: 7: 3,’x=’, x: 7:3,’y=’, y: 7: 3);
END.
В данной программе переводится значение переменной А из градусов в радианы. Вывод
делается с фиксированной точкой с указанием количества позиций под число и под дробную
часть числа.
9.6. Операторы передачи управления
Назначение операторов передачи управления заключается в организации ветвлений в
программе: условных или безусловных. С помощью этих операторов вычислительный процесс
передается в указанную оператором точку программы по указанному в операторе условию либо
без условия.
9.6.1. Оператор безусловного перехода
Действие оператора GOTO состоит в передаче управления соответствующему оператору.
Структура оператора:
76
GOTO метка;
Метка в Турбо Паскале – это произвольный идентификатор, позволяющий именовать
некоторый оператор программы и таким образом ссылаться на него. Метка располагается
непосредственно перед помечаемым оператором и отделяется от него двоеточием. Перед тем
как появиться в программе, метка должна быть задана в разделе описанания. Описание меток
состоит из зарезервированного слова LABEL (метка), за которым следует список меток.
Пример 2: LABEL 1; {в разделе описания};
goto 1; {в разделе операторов} {перейти на метку 1}
1: read(x,y); {строка с меткой 1 в разделе операторов}
При исполнении меток необходимо руководствоваться следующими правилами:
1) метка, на которую ссылается оператор GOTO, должна быть задана в разделе описаний и
она обязательно должна встретиться где-нибудь в теле программы;
2) метки, описанные в процедуре (функции), локализуется в ней, поэтому передача
управления извне процедуры (функции) на метку внутри нее невозможна.
Однако в программировании не рекомендуется использование оператора Goto, т.к. это
затрудняет понимание программ, делает ее запутанной и сложной в отладке. Современная
технология структурного программирования основана на принципе программирования без
GOTO.
9.6.2. Операторы условного перехода
Структура условного оператора имеет следующий вид:
IF <условие> THEN <оператор 1> ELSE <оператор 2>;
где: IF, THEN, ELSE – зарезервированные слова (если, то, иначе);
<условие> – произвольное выражение логического типа;
<оператор 1>, <оператор 2> – любые операторы языка Турбо Паскаль.
Условный оператор работает по следующему алгоритму. Вначале вычисляется условное
выражение <условие>. Если результат есть TRUE (истина), то выполняется <оператор 1>, а
<оператор 2> пропускается; если результат есть FALSE (ложь), наоборот, <оператор 1>
пропускается, а выполняется <оператор 2>. Поскольку любой из операторов <оператор 1> и
<оператор 2> может быть любого типа, в том числе и условным, а в то же время не каждый из
«вложенных» условных операторов может иметь часть ELSE <оператор 2>, то возникает
неоднозначность трактовки условий. Эта неоднозначность в Турбо Паскале решается
следующим образом: любая встретившаяся часть ELSE соответствует ближайшей к ней
«сверху» части THEN условного оператора. Условный оператор позволяет проверить некоторое
условие и в зависимости от результатов поверки выполнить то или иное действие. Таким
образом, условный оператор – это средство ветвления вычислительного процесса.
Простой, короткий IF (если)
Структура оператора имеет вид:
1) IF (условие) THEN (оператор или метка);
Пример 3. Вычислить y: = ln x , если x > 0.
Программа имеет вид.
Program PR3;
var y, x : real;
begin
writeln(‘ввести x’);
Readln (x);
{простой, короткий IF}
IF x > 0 THEN y: = ln(x);
writeln ( `x=`, x: 7:2, `y=`, y :7 :2 );
end.
77
b) Простой, полный IF
Пример 4. Вычислить y = ln x , если X>0, иначе y=cos x.
В примере 4 рассматривается не только вариант «тогда», но и «иначе».
Программа имеет вид:
Program PR4;
var x, y: real;
begin
writeln(‘ввести X’);
Readln (X);
{простой, полный IF}
if x>0 THEN y:= ln (x)
ELSE y:=cos(x);
Writeln (`x = `, x:6:2 , `y = `, y:7:2)
end.
Если Х > 0, тогда выполняется оператор за словом THEN, иначе выполняется оператор,
следующий за этой строкой.
c) Cоставной, короткий IF
Составной оператор – это последовательность произвольных операторов программ,
заключенная в операторные скобки – зарезервированные слова BEGIN…END. Составные
операторы – важный инструмент Турбо Паскаля, дающий возможность писать программы по
современной технологии структурного программирования (без перехода GOTO).
Язык Турбо Паскаль не накладывает никаких ограничений на характер операторов,
входящих в составной оператор.
Пример 5. Вычислить y=ln x, z=y–5x, если x > 0.
Оператор условия запишется в виде:
IF x>0 then
Begin
y:=Ln(x);
z:=y–5*x;
Writeln (`y = `, y:7:2, `z =`, z:8:3)
end;
d) Составной, полный IF
Рассмотрим задание примера 4, но вывод делается для каждого условия.
Пример 6 . Оператор условия запишется в виде:
IF x>0 then
Begin
Y:=ln (x);
Writeln (`x = `, x:6:2 ,`y =`, y:7:2);
End
Else
begin
Y:=cos (x);
Writeln (`x = `, x:6:2,`y =`, y:7:2);
End;
В примере 6 после слов then, еlse операторы заключены в операторные скобки.
78
e) Структурированный (разветвленный) IF
1) Структурированный, короткий, простой IF.
В структурированном операторе содержится последовательная проверка вложенных
условий.
Пример 7. Вычислить r=ln(x+y+z), если x > 0, y > 0, z > 0.
Оператор условия запишется в виде:
IF x>0 then
IF y>0 then
IF z>0 then
R:=LN(X+Y+Z);
Пример 8. Можно этот пример записать иначе коротким, простым IF:
IF (x>0) and (y>0) and (z>0) then R:=LN(X+Y+Z);
Пример 9. Вычислить r=x+y+z, если выполняется хотя бы одно из условий x>0, y>0, z>0.
Оператор условия запишется в виде:
IF (x>0) or (y>0) or (z>0) then R:=(x+y +z);
В примерах 8, 9 логические выражения включают в себя логические операции.
2) Структурированный, полный, простой IF.
Пример 10. Вычислить:
r=ln(x+y+z), если x>0, y>0, z>0;
r=ln (x+y)+ z, если x>0, y>0;
r=ln (x)+y+ z, если x>0, иначе r = x+y+z .
Оператор условия запишется в виде:
IF x>0 then
IF y>0 then
IF z>0 then r:=ln (x+y+z)
Else r:= ln (x+y)+z
Else r:= ln (x)+y+z
Else r:= x+y+z;
Вначале проверяются три условия. Если они выполняются, то вычисляется r=ln(x+y+z).
Иначе выполняются первые два условия, а последнее не выполняется и z ≤ 0 (первое слово else
относится к последнему условию). В этом случае вычисляется r=ln(x+y)+z.
Если из двух условий выполняетя только первое, то вычисляется r=ln x+y+z (второе слово
else относится ко второму условию) и в этом случае y ≤ 0. Последнее слово else относится к
первому условию и в этом случае х ≤ 0. В этом случае вычисляется r=x+y+z.
9.6.3. Оператор выбора варианта
Оператор выбора позволяет выбрать одно из нескольких возможных вариантов программы.
Параметром, по которому осуществляется выбор, служит ключ выбора – выражение любого
порядкового типа (любого из рассмотренных, кроме типов REAL и STRING).
Структура оператора выбора такова:
CASE <ключ выбора> OF
<список выбора>
[else <оператор>]
end;
где CASE – случай, of – из,
<ключ выбора> выражение типа целые;
79
<оператор> – произвольный оператор Турбо Паскаля.
Оператор выбора работает следующим образом. Вначале вычисляется значение выражения
<ключ_выбора>, а затем в последовательности операторов <список_выбора> отыскивается
такой, которому предшествует константа, равная вычисленному значению. Найденный
оператор выполняется, после чего оператор выбора завершает свою работу. Если в списке
выбора не будет найдена константа, соответствующая вычисленному значению ключа выбора,
управление передается оператору, стоящему за словом ELSE.
Пример 11. Вывести разные функции в зависимости от значения переменной N.
Program Pr11;
Var
n: integer;
a, b, y, z: real;
begin
writeln (‘n, a, b’);
read (n, a, b);
y:=a+b; z:=a-b;
CASE n of
1, 2, 5: writeln (y);
7..10: writeln (z);
else writeln (‘ вне области определения n’);
end;
end.
При значении n=1, 2, 5 программа выведет значение y. При значении n={7, 8, 9, 10}(одному
из списка) программа выведет значение z, иначе выведет текст ‘вне области определения n’ .
Пример 12. Вывести разные функции в зависимости от значения переменной к. Если
переменная K лежит в пределах [110], вычислить y: = cos (x); z:=y+x; и вывести результат.
Если переменная K лежит в пределах [11;20], вычислить y: = sin(x); и вывести результат.
Program Pr12;
Var
K: integer;
x, y, z: real;
begin
writeln (`x, k`); readln (x, k);
case k of
1..10: begin y:=cos (x); z:=y+x; writeln (y,z); end;
11..20: begin y:=sin(x); writeln (y); end;
else
writeln (`вне области переменной к`);
end;
end.
9.7. Разветвляющийся алгоритм
Пример 13. Дана точка А (X,Y) с координатами X,Y не равными нулю.
Найти четверть, в которой находится эта точка.
Program Pr 13;
Var
80
X, Y: integer;
Begin
writeln(‘ввести координаты т. А: X,Y’);
Readln (X,Y);
IF (X>0 ) and (Y>0) then writeln (‘т. A: в 1четверти’)
else
IF (X>0) and (Y<0) then writeln (‘т. А в 4 четверти’)
else
IF Y>0 then writeln (т. А во 2 четверти’)
else writeln (‘ т. А в 3 четверти’);
End.
Каждому ELSE соответствует предыдущее свободное then.
9.8. Операторы цикла
9.8.1. Оператор цикла с параметрами
Счетный оператор цикла FOR имеет такую структуру:
а) FOR i:=a TO b DO <оператор>;
Здесь FOR, TO, DO – зарезервированные слова (для, до, выполнить);
i – переменная цикла типа INTEGER;
a – начальное значение переменной цикла (тип INTEGER);
b – конечное значение переменной цикла (тип INTEGER);
<оператор> – произвольный оператор Турбо Паскаля.
Шаг изменения параметра цикла равен единице.
Алгоритм выполнения оператора цикла с параметрами при выполнении оператора FOR:
1. вначале осуществляется присваивание i:=a;
2. проверяется условие i > b;если это условие выполняется, то следует выход из цикла,
иначе на пункт 3;
3. выполняется тело цикла;
4. счётчик увеличивается на единицу: i:=i + 1;
5. переход на 2;
6. после этого цикл повторяется или заканчивается.
Пример 14. Найти сумму значений переменной цикла. Фрагмент программы с оператором
цикла запишется в виде:
For i:= 1 to 10 do s:=s+i;
Writeln(‘s=’, s);
В примере 14 рассматривается простой оператор цикла.
Счётный оператор цикл FOR может иметь такую структуру:
б) FOR i: = b DOWNTO a DO <оператор>;
Замена зарезервированного слова TO на DOWNTO означает, что шаг наращивания
переменной цикла равен (-1).
Пример 15. Найти сумму значений переменной цикла.
Фрагмент программы с оператором цикла запишется в виде:
For i:=10 to 1 downto s:=s+i;
Writeln(‘s=’,s:8:3);
{Результат получится тот же, что и в примере 14}.
81
Правила оператора FOR.
1. Нельзя войти в цикл, минуя оператор FOR.
2. Нельзя изменять параметры цикла (a,b) внутри цикла.
3. Параметры цикла и переменная цикла должны быть целыми.
4. Шаг цикла может быть единица или минус единица.
5. Естественное окончание цикла осуществляется при условии i > b для а).
6. Из цикла можно выйти до естественного окончания цикла по условию.
9.8.2. Оператор цикла WHILE с предусловием
Структура оператора имеет вид:
WHILE <условие> DO <оператор>;
Здесь WHILE, DO – зарезервированные слова:
WHILE –пока; DO – выполнить,
<условие> – выражение логического типа;
<оператор> – произвольный оператор Турбо Паскаля.
Если выражение <условие> имеет значение TRUE, то выполняется <оператор>, после чего
вычисление выражения <условие> и его проверка повторяются. Если <условие> имеет значение
FALSE, оператор WHILE прекращает свою работу.
Пример 16. Переписать фрагмент примера 14, используя оператор цикла с предусловием.
Фрагмент программы с оператором цикла запишется в виде:
s:=0;i:=1;
while i<=10 do
Begin
s:=s+i;
i:=i+1;
End;
Writeln(‘s=’,s);
В примере 16 рассматривается составной оператор цикла, тело цикла заключено в
операторные скобки.
9.8.3. Оператор цикла REPEAT…UNTIL с постусловием
Структура оператора имеет вид:
REPEAT <тело_цикла> UNTIL <условие>;
Здесь REPEAT, UNTIL – зарезервированные слова (повторять до тех пор, пока не будет
выполнено условие);
<тело_цикла> – произвольная последовательность операторов Турбо Паскаля; <условие> –
выражение логического типа.
Операторы <тело_цикла> выполняются хотя бы один раз, после чего вычисляется
выражение <условие>: если его значение есть FALSE, операторы <тело_цикла> повторяются, в
противном случае оператор REPEAT…UNTIL завершает свою работу.
Пример 17. Выполнить задание примера 16.
Фрагмент программы с оператором цикла запишется в виде:
s:=0; i:=1;
repeat
s:=s+i;
i:=i+1;
Until i>10;
Writeln(‘s=’,s); В примере 17 цикл выполняется пока переменная i  10, при i>10 цикл
закончится.
82
9.9. Циклические алгоритмы
Задача. Вычислить и вывести таблицу значений функции y=cos(x). X изменяется в интервале
от 0 до 3 с шагом 0,2.
Пример 18. В данной программе используется оператор цикла с параметрами.
PROGRAM PR18;
Var
x,y,dx,x1,xk:real;
i, n :integer;
begin
{циклический алгоритм}
writeln (‘ввести начальное – x1, конечное – xk, шаг – dx’);
read (x1,xk,dx);
n:=trunc((xk-x1)/dx+1);
x:=x1;
{оператор цикла с параметрами}
for i:=1 to n do
begin
y:=cos(x);
Writeln (‘x= ’, x:8:5, ‘y= ’, y:8:5);
x:=x+dx;
End; {конец оператора цикла с параметрами}
End.
9.10. Массивы
9.10.1. Понятие и описание массива
Массивом называются упорядоченная последовательность однотипных объектов,
обозначаемая одним именем. Чтобы выделить один из объектов (элемент) массива, надо указать
имя массива и номер элемента в нем. Номер элемента называется индексом, индекс указывается
в квадратных скобах и может быть числом, переменной, выражением. Имя массива образуется
по правилам образования имен переменных. Пример: А [10], B [J,1], SVM [1,J+5].
Если для выделения элемента нужен 1 индекс, массив называется одномерным, два –
двумерным и т.д. Число элементов массива называется длиной или размером массива.
Массивы относятся к структурированным типам данных. В программе массив можно
описать двумя способами:
а) непосредственно в разделе описаний переменных:
Пример 19.
var
a,b: array [1..10] of real;
с: array [-10..10] of char;
d,y: array [1..5,1..5] of integer ;
б) объявлением типа – массива (удобно, когда надо ввести несколько одинаковых массивов)
Пример 20.
type
mas=array [1..10] of real;
var
c,d:mas; {описание двух массивов типа mas}
83
Элементы массива могут быть любого типа, а индексы могут быть любого порядкового типа
(например, типа integer, char, …). Но обычно используется тип – диапазон: 1..10, N..M и т. п.
Число элементов массива и его границы фиксируются при его описании и не могут быть
изменены в процессе выполнения программы. Границы N..M могут быть заданы константами в
разделе описания констант.
В ряде задач требуется ввести массив в виде константы, в котором записывается табличные
значения. (Например, кривая намагничивания стали или начальное распределение температуры
рассматриваемого объекта). Элементы такого массива-константы не могут быть изменены.
Пример 21.
program PR21;
const
y: array [1..5] of integer=(7,1,5,3,9) ;
var
k: integer;
begin
for k:=1 to 5 do
writeln (y[k]);
end.
9.10.2. Ввод и вывод элементов массивов
Ввод и вывод массивов осуществляется поэлементно. Часто это делают с помощью циклов
(обычно используется цикл FOR).
Пример 22. Ввести с клавиатуры значения элементов одномерного массива вещественного
типа состоящего из 10 элементов. Вывести на экран массив.
program PR22;
var
A: array[1..10] of real;
k: integer;
begin
for k:=1 to 10 do
readln (A[k]);
for k:=1 to 10 do
writeln (A[k]); end.
Двумерные массивы (матрицы) можно вводить по строкам или по столбцам.
Пример 23.
Пусть требуется ввести массив А (3;4):
а 1,1 а 1, 2 а
1, 3
а 2 ,1 а 2 , 2 а
2,3
а 1, 4
а
2, 4
– 2-я строка
3,1
а а 3, 2 а 3, 3 а 3, 4
а) ввод и вывод по строкам:
program PR23;
var
a:array [1..3, 1..4] of real;
84
i,j:integer;
begin
for i:=1 то 3
for j:=1 то 4
read (a[i,j]);
for i:=1 то 3
for j:=1 то 4
writeln (a[i,j]);
end.
б) ввод по столбцам
begin
for i:=1 то 4
for j:=1 то 3
read (а[j,i]); {изменен порядок индексов}
Пусть, например, требуется ввести матрицу
1234
5678
В варианте а) вводим числа в порядке 1,2,3,4,5,6,7,8 (после набора каждого числа нажимаем
ENTER, запятые не вводятся)
В варианте б) вводим числа так: 1,5,2,6,3,7,4,8. Если этот порядок нарушить, то получатся
разные матрицы, что в математических задачах приведет к ошибкам.
9.10.3. Операции с массивами
В Паскале есть лишь одна операция, которую можно делать с массивом целиком – это
операция присваивания. Но для этого массивы должны быть совершенно одинаковы, то есть
описаны в одной строке VAR или TYPE.
Все остальные операции производятся только с отдельными элементами массива. С
элементами массива можно делать все операции, которые разрешены для базового типа
массива: если массив числовой, то математические, если символьный или строковый, то,
соответственно, операции с символьными или строковыми переменными.
Пример 24. Требуется найти максимальный и минимальный элементы одномерного массива
вещественного типа. Алгоритм поиска минимума: вводим переменную MIN, в которую
записываем 1-ый элемент массива. Затем в цикле сравниваем каждый последующий элемент с
MIN. Если число, хранящееся в текущем элементе, меньше хранящегося в MIN, то число из
текущего элемента записываем в MIN. Аналогичен алгоритм поиска максимума, только вместо
«меньше» ставим «больше».
program PR24;
var
z: array[1..100] of real;
n,k: integer;
max, min: real;
Begin
Writeln(‘ввести количество элементов массива n’);
readln (n);
for k:=1 to n do
readln (z[k]);
max:=z[1];min:=z[1];
85
for k:=1 to n do
if z[k]>max then max:=z[k]
else if z[k]<min then min:=z[k];
writeln(’max=’, max:8:3, ’ min=’, min :8:3);
end.
Пример 25. Для двумерного массива состоящего из N строк и N столбцов:
а) найти сумму элементов M-столбца;
б) найти произведение элементов K-строки.
Значения К и M вводить с клавиатуры
program PR25;
type
mas=array[ 1.. 10, 1..10] of integer;
var
a:mas;
s, p, i, j, n, k, m :integer;
begin
writeln(’ввести количество строк и столбцов-n’);
readln(n);
for i := l to n do
for j := l to n do
begin
writeln(’ввести элемент массива a[’,i ,’, ’,j ,’]= ’);
read (a[i, j]); {ввод элемента массива}
writeln(a[i, j]); {вывод элемента массива}
end;
writeln (’ввести номер строки-k и столбца-m’);
read (k, m);
s:=0; p:=1;
for i:=1 to n do
s:=s+a[i, m]; {сумма элементов столбца m}
for j:=1 to N do
p:=p*a[k, j]; { произведение элементов строки k}
writeln(’s=’,s, ’p=’,p));
end.
При выполнении операций с фиксированной строкой первый индекс не меняется, при
суммировании по столбцу второй индекс не меняется.
Пример 26. Сформировать одномерный массив, каждый k-й элемент которого равен
произведению элементов соответствующей k-й строки двумерного массива.
program PR26;
var
A: array[1..10,1..10] of integer;
B: array[1..10] of integer;
N, M, k, j: integer;
begin
writeln(’введите количество строк N, столбцов M’);
86
readln (N,M);
for k:=1 to N do
for j:=1 to M do
begin
writeln(’ввести элемент массива A[‘, k , ‘,’, j ,’ ]’);
readln (A[k,j]);
end;
for k:=l to N do
begin
В[k]:=1;
for j:=1 to M do
В[k]:=В[k]*A[k,j];
end;
for k:=l to N do
write(B[k]);
end.
Пояснение к программе:
После ввода массива в следующем цикле накапливается произведение элементов каждой
строки во внутреннем цикле оператором: B[k]:=B[k]*A[k,j];. Но перед этим необходимо во
внешнем цикле задать начальное значение элемента нового массива оператором B[k]:=1;.
9.11. Вопросы для самоконтроля по теме «Программирование»
1. Укажите правильно записанный оператор присваивания на Паскале:
a) z:= cos(x) + ln(y);
b) cos(x): = z+ ln(y);
c) z =cos(x)+log(y);
d) a+b:=c+d.
2. Укажите правильно записанный оператор присваивания на Паскале:
a) x+z:= sin(x)+ln(y);
b) z+ ln(y):=w;
c) w :=sin(x)+sqr(g);
d) v-b:=w*d.
3. Укажите правильно записанный оператор присваивания на Паскале:
a) v:=e^x+tg(z);
b) v:=exp(x )+sin(x)/cos(x) ;
c) v:=exp(x )+sin/cos(x) ;
d) m/b+s:=w*d- ln(y).
4. Укажите правильно записанный оператор ввода:
a) WRITE ('Введите Х', X);
b) WRITE (X);
c) READ (X);
d) REAL(X).
5. Вывести на экран число, хранящееся в переменной Х:
a) READ (X);
b) WRITE (X);
87
c) READ ('Выведите Х=', X);
d) REAL(X).
6. Дана функция r=tg x-lnay; которая записана на Паскале.
Выбрать строку без ошибок:
a) r:=tg(x) –ln(y)/a;
b) r:=tan(x) –ln(y)/ln(a);
c) r:=sin(x)/cos(x) - ln(y)/ln(a);
d) r:= cos(x)/sin(x) - ln(a)/ln(y).
7. Выбрать строку, в которой допущена ошибка:
a) d:=e^x-cos(a);
b) d:=abs(m)+int(k);
c) d:= trunc(z) –p/c;
d) d:= cos(b) + sqr(v).
8. Дана функция f=ctg a + ln x; которая записана на Паскале.
Выбрать строку без ошибок:
a) f:=ctg(a) +ln(x);
b) f:=sin(a)/cos(a) + log(x);
c) f:=ctg(a)+lg(x);
d) f:=cos(a)/sin(a) +ln(x).
9. Определите правильный ответ.
Дана функция z=tg b+x3, которая записана на Паскале.
Выбрать строку без ошибок:
a) w:= tan(b) +x^3;
b) w:=sin(b)/cos(b) +x*x*x;
c) w:=tg(b) +sqr(x)*x;
d) w:=cos(b)/ sin(b ) +x*sqrt(x).
10. Выбрать строку, в которой допущена ошибка:
a) c:= z mod x +a*f;
b) c:=arctan(b) - abs(r);
c) c:=sqr(b) + exp(-a*b);
d) c:= log(x) +cos(a)/d.
11. Выбрать строку, в которой допущена ошибка:
a) q:=tan(x) - ln(c)*z;
b) q:=exp(y)+sqr(a)/z;
c) q:=arctan(f) +sqrt(h);
d) q:=int(K) +round(m).
12. Дана функция r=tg x + ln x, которая записана на Паскале. Выбрать строку без ошибок:
a) r:=tg(a) +ln(x);
b) r:=sin(a)/cos(a) + ln(x);
c) r:=tan(a)+lg(x);
d) r:=cos(a)/sin(a) +ln(x).
13. Дана функция p=e-x+cos x2; которая записана на Паскале.
Выбрать строку без ошибок:
a) p:= e^(-x)+cos(x*x);
88
b) p:= exp(-x)+cos(x)*cos(x);
c) p:= (exp(-x) + cos(x2);
d) p:= exp(-x)+cos(x*x).
14. В строке программы на Паскале
IF X<0 THEN Y:=sqr(X) ELSE Y:=sqrt(X)
рассматривается оператор:
a) простой короткий условный;
b) простой полный условный;
c) составной условный;
d) присваивания.
15. В строке программы на Паскале
IF X> 0 THEN Y:=LN(X);
рассматривается оператор:
a) простой короткий условный;
b) простой полный условный;
c) составной;
d) присваивания.
16.Выбрать правильно записанный оператор условия: y=cos(x), если x<0 и y=x, если x>=0:
a) IF X< 0 THEN Y:=cos(X) ELSE Y:=X;
b) IF X<0 THEN Y:=cos(X) ELSE X;
c) IF Y≤X<0 THEN Y:=X;
d) IF X>0 THEN Y=X ELSE cos(X).
17. Дан оператор на Паскале: FOR k:=3 TO m DO S:=S+k;.
Для выполнения цикла значение m должно быть:
a) m<k; b) m=s; c) m>=k; d) m<=k.
18. Дан оператор на Паскале: FOR k:=1 TO m DO S:=S+k;.
Всего циклов будет выполнено:
a) k; b) s; c) m; d) 1.
19. Дан оператор на Паскале: FOR k:=1 TO m DO s:=s+k;.
Выберите условие выхода из цикла:
a) k = 1 ; b)k = m; c) k  m; d) k >m.
20. Строка на Паскале: while k <=m do; относится к операторам:
a) условия; b) цикла; c) вывода; d) ввода.
Литература
1. Васильев П.П. Турбо Паскаль в примерах и задачах./ П.П. Васильев – М.: Финансы и
статистика. 2006. – 236с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика./ В.Е. Гмурман – М.:
Высш.шк. 2005. – 479с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике./ В.Е. Гмурман – М.: Высш.шк. 2005. – 400 с.
4. Ильин В.А.Математический анализ. /Классический университетский учебник. Часть 1.
Ильин В.А, Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. – М.: ТК Велби. 2004. – 400с.
5. Культин Н.Б.Программирование в среде Turbo Pascal 7.0. / Н.Б. Культин – BHV – Санкт
– Петербург. 2003г. – 234с.
89
6. Марченко А.И. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0./ А.И. Марченко – М.: Бином
универсал. 2004г. – 506с.
7. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики./ В.Н. Сачков –
М.: МЦНМО. 2004. – 424с.
8. Стойлова Л.П. Математика: учебник для вузов./ Л.П. Стойлова – М.: Издательский центр
«Академия», 2002. – 424с.
9. Турецкий В.Я. Математика и информатика./ В.Я. Турецкий –3- изд. – М.: ИНФРА – М.
2000. – 560с. – (Серия «Высшее образование»)
10. Фаронов В.В. Основы Турбо-Паскаля. / В.В. Фаронов; МВТУ – М.: ОМД Группа. 2005.
11. Фаронов В.В.Практика программирования в среде Turbo Pascal 7.0. / В.В. Фаронов;
МВТУ – М.: ОМД Группа. 2004.
12. Фаронов В.В. Турбо-Паскаль 7.0 Начальный курс. / В.В. Фаронов – М.: ОМД Группа.
2005, 2002. – 132 с.
13. Теория вероятностей. Математическая статистика: учебное пособие/ Л.И Лазарева [и
др.].– Томск: Изд. ТПУ. 2002. – 132 с.
Приложениe 1
( х)
Таблица значений функции
x
Ф(х) =
1
z2 2
dz
e
2 0
0.4
Ф(х)
0.3
0.2
0.1
0.5
х
1
1.5
x
х
Ф(х)
х
Ф(х)
х
Ф(х)
х
Ф(х)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
90
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
1,40
1,41
1,42
0,4192
0,4207
0,4222
1,80
1,81
1,82
0,4641
0,4649
0,4656
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
91
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
4,00
0,499968
4,50
0,499997
5,00
0,499997
Приложениe 2
f St
Критические точки
t-распределения Стьюдента
 2
 2
- t
Число
степеней
свободы k
0,10
t
Уровень значимости  (двусторонняя крит. область)
0,05
0,02
0,01
0,002
0,001
92
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
40
60
120

6,31
2,92
2,35
2,13
2,01
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,73
1,72
1,71
1,71
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
1,64
0,05
12,70
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,07
2,06
2,06
2,05
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
0,025
31,82
6,97
4,54
3,75
3,37
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,51
2,49
2,48
2,46
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
0,01
63,70
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
2,82
2,80
2,78
2,76
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
0,005
318,30
22,33
10,22
7,17
5,89
5,21
4,79
4,50
4,30
4,14
4,03
3,93
3,85
3,79
3,73
3,69
3,65
3,61
3,58
3,55
3,51
3,47
3,44
3,40
3,39
3,31
3,23
3,17
3,09
0,001
637,0
31 ,6
12,9
8,61
6,86
5,96
5,40
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,01
3,96
3,92
3,88
3,85
3,79
3,74
3,71
3,66
3,65
3,55
3,46
3,37
3,29
0,0005
Уровень значимости  (односторонняя крит. область)
Приложениe 3
f Ch
Критические точки распределения 2

z2
93
2
Уровень значимости 
Число
степеней
свободы k
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
5,0
7,4
9,4
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
0,00098
0,051
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
0,00016
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
94
Эльвира Валентиновна Егорова
Дмитрий Иванович Панюков
Артём Петрович Тонких
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»
для студентов очной и заочной формы обучения
для специальностей:
031201 Теория и методика преподавания иностранных языков и культур
031202 Перевод и переводоведение
050600 Художественное образование
050700 Педагогика
030400 История
031000 Филология
050703 Дошкольная педагогика и психология
050602 Изобразительное искусство
031001 Русский язык и литература
Подписано в печать. Формат 60x80/16
Печать оперативная. Усл.п.л. 1.87. Уч.-изд.л. 1.74.
Тираж 200 экз.
Толяттинский государственный унивеситет
Тольятти, Белорусская,14
95