АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра менеджмента и маркетинга
МАТЕРИАЛЫ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Рассмотрены и утверждены на заседании
кафедры менеджмента и маркетинга,
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Зав. кафедрой___________/М.В. Кузнецова/
1
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой менеджмента и маркетинга
__________________ М.В.Кузнецова
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Раздел 1. Введение ОК-15
Предмет изучения дисциплины.
Цели и задачи дисциплины.
Связь теории вероятностей и математической статистики.
Раздел 2. Основные понятия и теоремы теории вероятностей ОК-15, ОК-16,
ОК-17, ОК-18.
Определение
пространства
элементарных
исходов,
стохастического
эксперимента, события.
Классическое определение вероятности.
Аксиоматическое определение вероятности.
Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.
Определение зависимых и независимых событий, условной вероятности.
Теоремы умножения вероятностей.
Формула полной вероятности и условия ее применения.
Формулу Байеса и условия ее применения.
Формула Бернулли, условия её применения.
Формула Пуассона, доказательство, условия ее применения.
Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия её использования.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Раздел 3. Случайные величины и их законы распределения ОК-16, ОК-17,
ОК-18.
Определение случайной величины, перечислить типы случайных величин.
Ряд распределения дискретной случайной величины.
Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины,
перечислить ее свойства.
Непрерывная случайная величина, функция плотности вероятностей
непрерывной случайной величины; свойства.
Основные законы распределения дискретных случайных величин: Бернулли,
Пуассона.
Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины, Числовые
характеристики. Характеристики положения.
Законы распределения случайных величин, представляющих функции
нормально распределенных случайных величин: t-распределение Стьюдента;
X2
–распределение Пирсона; F- распределение Фишера-Снедекора.
2
Раздел 4. Многомерные случайные величины ОК-15, ОК-16.
Определение многомерной случайной величины.
Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.
Функция плотности вероятности двумерной случайной величины, ее свойства.
Условные законы распределения.
Раздел 5. Числовые характеристики случайных величин ОК-17, ОК-18
Математическое ожидание, его свойства.
Дисперсия, ее свойства.
Начальные и центральные моменты к-го порядка.
Характеристики формы распределения законов распределения случайных
величин.
Числовые характеристики двумерной случайной величины.
Характеристики взаимосвязи случайных величин, их свойства.
Раздел 6. Предельные теоремы теории вероятностей ОК-15, ОК-16, ОК-17,
ОК-18.
Неравенство Маркова, неравенство Чебышева.
Частные случаи неравенства Чебышева.
Теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона.
Сформулировать теорему Ляпунова.
Объяснить понятия «Закон больших чисел» и «Центральная предельная
теорема».
Раздел 7. Статистическое оценивание: точечные и интервальные оценки
ОК-15, ОК-16, ОК-17, ОК-18.
Генеральная и выборочная совокупности: элементы совокупности, ее объем.
Первичная обработка данных: построение вариационных рядов.
Оценка законов распределения генеральных совокупностей.
Определение точечной оценки параметра распределения, формулировка ее
свойства.
Методы нахождения точечных оценок, их основной принцип.
Интервальное оценивание параметров распределения случайной величины.
Построения доверительных интервалов для параметров нормально
распределенной генеральной совокупности.
Раздел 8. Проверка статистических гипотез ОК-15, ОК-16, ОК-17, ОК-18.
Статистические гипотезы, типы статистических гипотез.
Общая схема проверки гипотезы.
Определение ошибок первого, второго рода, мощности критерия.
Принцип проверки параметрических гипотез: о равенстве параметров
нормального закона распределения заданным значениям.
Принцип проверки параметрических гипотез: об однородности двух нормально
распределенных генеральных совокупностей.
Принцип проверки непараметрических гипотез.
3
Раздел 9. Дисперсионный анализ ОК-15, ОК-18.
Основные понятия дисперсионного анализа: модели со случайными,
детерминированными уровнями, смешанная модель.
Охарактеризовать однофакторный дисперсионный анализ.
Охарактеризовать двухфакторный дисперсионный анализ.
Проверка гипотез о влиянии уровней факторов.
Проверка гипотез о существенности различий между уровнями фактора.
Раздел 10. Корреляционный анализ ОК-15, ОК-16, ОК-17, ОК-18.
Определение функциональной, стохастической, корреляционной зависимости.
Основные задачи корреляционного анализа.
Двумерный корреляционный анализ : оценка параметров корреляционной
связи (парного коэффициента корреляции , коэффициента
детерминации,
коэффициентов линейной регрессии).
Многомерный корреляционный анализ: оценка параметров корреляционной
связи (матрицы парных корреляций, частных коэффициентов корреляции,
множественного коэффициента корреляции, коэффициента детерминации, функции
регрессии).
Проверка значимости и интервальное оценивание характеристик связи между
случайными величинами.
Раздел 11. Регрессионный анализ ОК-17, ОК-18.
Основные задачи регрессионного анализа.
Условия Гаусса-Маркова, определение классической линейной модели
множественной регрессии.
Метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов регрессии.
Проверка значимости и интервальное оценивание коэффициентов и уравнения
регрессии.
ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ
Вариант 1. Основные понятия теории вероятностей.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
1. A и B - независимые события. Тогда справедливо следующее утверждение:
а) они являются взаимоисключающими событиями
б)
в)
P A / B   P B 
P A  B   P A PB 
4
P A  B   0
д) PB / A  PB 
г)
а
2.
б
в
г
д
P  A , P  B  , P A  B 
- вероятности событий A , B , A  B
соответственно – приведены в таблице. Отметьте в первом столбце знаками
плюс и минус те ситуации, которые могут иметь место, и те, которые не
могут произойти, соответственно.
а
б
в
г
д
P  A
PB 
P A  B 
0.1
0.5
0.8
0.5
0.9
0.3
0.5
0.9
0.6
0.8
0.2
0.5
0.5
0.6
0.8
P A  0,67 , PB   0,58 . Тогда
наименьшая возможная вероятность события A  B есть:
3. Вероятности событий
A
и
B
равны
а) 1,25 б)0,3886
в)0,25
д) нет правильного ответа
а
б
г)0,8614
в
г
4. Докажите равенство A  B  C  A  B  C
истинности или покажите, что оно неверно.
5
д
с
помощью
таблиц
Вариант 2. Вероятности объединения и пересечения событий, условная вероятность,
формулы полной вероятности и Байеса.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
1. Бросаем одновременно две игральные кости. Какова вероятность, что сумма
выпавших очков не больше 6?
5
;
12
а)
б)
5
;
6
в)
д) нет правильного ответа
а
б
7
;
12
г)
в
4
;
9
г
д
2. Каждая буква слова «РЕМЕСЛО» написана на отдельной карточке, затем
карточки перемешаны. Вынимаем три карточки наугад. Какова вероятность
получить слово «ЛЕС»?
2
;
105
а)
б)
3
;
7
в)
д) нет правильного ответа
а
б
1
;
105
г)
в
11
;
210
г
д
3. Среди студентов второго курса 50% ни разу не пропускали занятия, 40%
пропускали занятия не более 5 дней за семестр и 10% пропускали занятия 6 и
более дней. Среди студентов, не пропускавших занятия, 40% получили высший
балл, среди тех, кто пропустил не больше 5 дней – 30% и среди оставшихся – 10%
получили высший балл. Студент получил на экзамене высший балл. Найти
вероятность того, что он пропускал занятия более 6 дней.
а)
1
;
3
б)
4
;
5
в)
2
;
33
г)
1
;
33
д) нет правильного ответа
а
б
в
г
Тест по курсу теории вероятностей и математической статистики.
д
Вариант 3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
1. Дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами
распределения
X
-1
1
3
Р(Х)
0.3
0.4
0.3
Y
Р(Y)
0
0.5
1
0.5
6
Случайная величина Z = X+Y. Найти вероятность P Z  EZ    Z 
а)
0.7; б)
0.84; в)
0.65; г)
0.78; д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
2. X, Y, Z – независимые дискретные случайные величины. Величина X распределена по
биномиальному закону с параметрами n=20 и p=0.1. Величина Y распределена по
геометрическому закону с параметром p=0.4. Величина Z распределена по закону
Пуассона с параметром  =2. Найти дисперсию случайной величины U= 3X+4Y-2Z
а)
16.4 б)
68.2; в)
97.3; г)
84.2; д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
3.
Двумерный случайный вектор (X,Y) задан законом распределения
X=1
X=2
X=3
Y=1
0.12
0.23
0.17
Y=2
0.15
0.2
0.13
Событие A  X  2 , событие B  X  Y  3. Какова вероятность события А+В?
а)
0.62; б)
0.44; в)
0.72; г)
0.58; д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
Вариант 4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.
1.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
Независимые непрерывные случайные величины X и Y равномерно распределены на отрезках:
X на 1,6 Y на 2,8 . Случайная величина Z = 3X +3Y +2. Найти D(Z)
а) 47.75; б)
45.75; в)
15.25;
г)
17.25;
д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
Непрерывная случайная величина
0, x  1

F x   0.5 x  0.5, 1  x  3
1, x  3

а) 0.5; б)
1;
в)
0;
г)
а
б
2.
X
задана
0.875;
а
в)0.625;
б
распределения
0.75; д) нет правильного ответа
в
г
д
Непрерывная случайная величина X задана
0, x  1

f  x   C ( x  1) 2 , 1  x  2 . Найти P X  1.5; 2 .
0, x  2

0.125; б)
функцией
Найти P X  0.5; 2
3.
а)
своей
г)
в
0.5;
своей
плотностью
вероятности
д) нет правильного ответа
г
д
4. Случайная величина X распределена нормально с параметрами   8 и   3. Найти
P X  5;7
а) 0.212; б)
0.1295;
в)0.3413;
г)
0.625; д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
7
Вариант 5. Введение в математическую статистику.
Задание: выберите правильный ответ и отметьте в таблице соответствующую букву.
1. Предлагаются следующие оценки математического ожидания  , построенные по
результатам четырех измерений X1 , X 2 , X 3 , X 4 :
А)   1 X 1  1 X 2  1 X 3  1 X 4
Б)   1 X 1  1 X 2  1 X 3  1 X 4
3
3
5
6
4
4
4
4
В)   1 X 1  1 X 2  1 X 3  1 X 4
Г)   1 X 1  1 X 2  1 X 3  1 X 4
3
3
6
6
2
6
6
6
1
1
1
1
Д)   X 1  X 2  X 3  X 4 .
3
6
6
6
Из них несмещенными оценками являются:
а
б
в
г
д
2. Дисперсия каждого измерения в предыдущей задаче есть  . Тогда наиболее
эффективной из полученных в первой задаче несмещенных оценок будет оценка
а
б
в
г
д
2
3. На основании результатов независимых наблюдений случайной величины X,
подчиняющейся закону Пуассона, построить методом моментов оценку неизвестного
параметра  распределения Пуассона
0
1
2
3
4
5
X
i
ni
а)
2.77; б)
а
2
2.90; в)
б
3
4
5
0.34; г)
в
5
0.682;
г
3
д) нет правильного ответа
д
4. Полуширина 90% доверительного интервала, построенного для оценки неизвестного
математического ожидания нормально распределенной случайной величины X для
объема выборки n=120, выборочного среднего x =23 и известного значения  =5, есть
а) 0.89; б)
0.49 ; в) 0.75;
г)
0.98;
д) нет правильного ответа
а
б
в
г
д
8
Тест для контроля самостоятельной работы
1. Стохастический эксперимент заключается в бросании монеты до первого
появления герба. Пространство элементарных исходов и общее число
элементарных исходов представлены в ответе
а)   г, цг, ццг,...,цц...цг, конечное;
б)   г, цг,...,цц...цг,...,
в)   г, цг,...,ц...цг,...,
г)   г, цг,...,ццг,
более, чем счётное;
счётное;
неизвестно.
2.   1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 - множество элементарных исходов опыта. A  2,3,4,
B  1,3,5. Событие А+В равно
а) 3,6,9;
б) 3,4,5,6,7,8,9;
в) 1,2,3,4,5;
г) 6,7,8,9,10.
3. Определение условной вероятности P A / B  приведено в
P AB 
;
PB 
P AB 
б) P A / B  
, где PB   0;
PB 
N
в) P A / B   AB , где N AB - число исходов благоприятствующих событию АВ,
NB
N B - число исходов благоприятствующих событию В;
P APB / A
г) P A / B  
.
P B 
а) P A / B  
4.


  i , i  1,10
- пространство элементарных равновозможных исходов.
Условная вероятность события
B   2 , 4 , 9 ,10  равна
а) 0,8;
б) 0,25;
A   3 , 4 , 6 , 7  относительно события
в) 1;
г) 0,5.
5. Утверждение, характеризующее свойства функции распределения скалярной
случайной величины, приведено в ответе
а) F(x) – кусочно-монотонная функция, имеющая разрывы первого рода и
принимающая значения на множестве действительных чисел;
б) F(x) – непрерывная функция, определенная для всех x  0,   , множество
значений которой принадлежит интервалу (0,1);
в) F(x) – неубывающая функция, определенная на всей числовой оси,
принимающая значения из промежутка [0,1] и в точках разрыва, если они есть,
непрерывная слева;
г) F(x) – любая функция, принимающая значения на промежутке [0,1].
9
6. Дан закон распределения дискретной случайной величины 
xi
pi
0
0,1
2
0,3
5
0,2
8
0,3
10
0,1
Значение функции распределения в точке x=8 равно
а) 0,3;
б) 0,6;
в) 0,2;
г) 0,7.
7. Дан ряд распределения дискретной случайной величины 
xi
pi
1
0,1
3
0,2
5
0,2
7 11
0,3 0,2
Математическое ожидание функции   2  3 равно
а) 4,8;
б) 5;
в) 6;
г) 15.
8. Через каждый час измерялось напряжение тока в цепи. Данные наблюдений
представлены статистическим (вариационным) рядом
210-214
214-218
218-222
222-226
226-230
3
5
10
7
5
Оценка выборочного среднего арифметического равна
а) 220;
б) 223,2;
в) 224,8;
г) 218.
9. Интервал (1, 2) называется доверительным для оцениваемого параметра , с
заданной доверительной вероятностью , если
а) 1     2 ;
1   2   , где  - сколь угодно малое число;
в) P1     2    ;
г) P   1      ; P    2      , где  - сколь угодно малое число.
б)
10. Пусть при проверке параметрической гипотезы построена критическая область W и
zнабл – значение статистики Z. Вероятность  допустить ошибку первого рода равна:
а)   P z набл W H 0 ;


б)   Pz набл W H 0 ;
в)   Pz набл W H1 ;
г)
  Pzнабл  zкрит .
11. Известны значения парного и частного коэффициентов корреляции между
признаками 13  0,4 и 13 / 2  0,097 , где х1 – урожайность кормовых трав
(ц/га), х2 – весеннее количество осадков, х3 – накопленная за весну сумма
температур. Укажите ответ, характеризующий влияние х2 на парную
стохастическую связь.
а) не оказывает влияние;
б) усиливает;
10
в) ослабляет;
г) характер влияния сезонный.
12. При исследовании зависимости себестоимости тонны асфальта Y (руб.) от
производственной мощности X (тыс. тонн) по 100 предприятиям было получено
ŷ  0 ,5 x  1200,5 . На сколько рублей
выборочное уравнение регрессии Y на X
изменится средняя стоимость тонны асфальта, если производственные мощности
увеличить на 10000 тонн и в какую сторону.
а) уменьшится на 10 руб.;
б) увеличится на 8 руб.;
в) уменьшится на 5 руб.;
г) увеличится на 15 руб.
11