РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование
профилей подготовки «Математика, информатика», «Математика, физика»
очной формы обучения
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Алгебра и теория чисел для студентов направления подготовки
44.03.05 Педагогическое образование профилей подготовки «Математика, информатика»,
«Математика, физика» очной формы обучения
Автор(-ы): ассистент, Т.В. Павлова
Объем 32 стр.
Должность
Заведующий
кафедрой физикоматематических
дисциплин и
профессиональнотехнологического
образования
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Начальник ОИБО
ФИО
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
Мамонтова Т.С.
16.10.2014
Рекомендовано к
электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от
16.10.2014
№2
Поливаев А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Протокол заседания
УМС от 11.11.2014
№3
Гудилова Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Павлова Т.В.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование
профилей подготовки «Математика, информатика», «Математика, физика»
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Павлова Т.В. Алгебра и теория чисел. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование профилей
подготовки «Математика, информатика», «Математика, физика» очной формы обучения. Тюмень,
2014, 32 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и
ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ Алгебра и теория чисел
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная
деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и профессиональнотехнологического образования. Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: к.п.н., доцент, зав. кафедрой ФМДиПТО Мамонтова Т.С.
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Павлова Т.В., 2014.
Ф.И.О. автора
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
1.
Пояснительная записка.
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Цели преподавания дисциплины:
 овладение студентами математическим аппаратом алгебры, фундаментальными
теоретическими положениями этой науки;

воспитание и развитие их математической культуры; осознание ими прикладного
характера математики в целом и алгебры в частности.
Задачи курса:

обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих алгебру и
теорию чисел в качестве поставщика понятий и необходимого математического аппарата
(геометрия, математический анализ, информатика, дискретная математика, численные методы и
др.);

освоение методологией аксиоматического построения математических теорий;

пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач
алгебраическими методами;

овладение терминологическим и понятийным запасом, достаточным для
самостоятельного изучения специальной литературы;

овладение навыками формулировки разнообразных теоретических и практических
задач на языке алгебры и теории чисел;

демонстрация применения методов алгебры и теории чисел для решения
разнообразных практических задач.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Алгебра и теория чисел» в соответствии с Учебным планом направления
44.03.05 Педагогическое образование профилей подготовки бакалавров «Математика,
информатика», «Математика, физика» относится к дисциплинам вариативной части
математического и естественнонаучного цикла. Для освоения дисциплины используются знания,
умения, профессиональные качества личности, сформированные в процессе изучения курса
математики в школе и вузе. Знания, умения и личностные качества будущего специалиста,
формируемые в процессе изучения дисциплины «Алгебра и теория чисел», будут использоваться в
дальнейшем при освоении следующих дисциплин профессионального цикла: «Геометрия»,
«Специальные главы геометрии», «Математический анализ», «Дискретная математика». Курс
«Алгебра и теория чисел» предназначен для профессионального самообразования и личностного
роста студентов – будущих педагогов, проектирования их дальнейшего образовательного
маршрута и профессиональной карьеры.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими)
дисциплинами
№
Темы дисциплины необходимые
п/п Наименование обеспечиваемых (последующих)
для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
дисциплин
1
2
3
1. Геометрия
+
+
+
2. Математический анализ
+
+
+
3. Численные методы
+
+
+
4. Дискретная математика
+
+
+
5. Специальные главы геометрии
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося,
образовательной программы.
формируемые
в
результате
освоения
данной
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
 способностью использовать естественнонаучные и математические знания для
ориентирования в современном информационном пространстве (ОК-3);
 способностью использовать современные методы и технологии обучения и
диагностики (ПК-2);
 готовностью использовать систематизированные теоретические и практические знания
для постановки и решения исследовательских задач в области образования (ПК-11).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате изучение дисциплины студент должен знать (уметь):
Комплексные числа
 Уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме записи.
 Уметь записывать комплексные числа и выполнять действия с ними в тригонометрической
форме записи.
 Уметь использовать геометрическую интерпретацию комплексных чисел и действий над ними
при решении задач.
 Уметь решать алгебраические уравнения третьей и четвертой степени
Матрицы и определители
 Знать определение и свойства операций над матрицами и уметь ими пользоваться при
вычислениях.
 Уметь решать матричные уравнения (системы линейных уравнений в матричном виде),
предварительно вычислив обратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк.
 Уметь вычислять определители на основании определения, с помощью свойств определителей,
путём разложения по строкам и столбцам, приведением матрицы к треугольному виду.
 Уметь решать системы линейных уравнений по формулам Крамера, находить ранг матрицы и
обратную матрицу с помощью определителей.
Системы линейных уравнений
 Уметь вычислять ранг матрицы.
 Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
 Знать теорему Кронекера-Капелли и уметь применять её к исследованию систем линейных
уравнений.
Арифметические векторные пространства (пространства строк).
 Знать понятия линейная зависимость и независимость системы арифметических векторов. Ранг
системы векторов. Уметь находить базис арифметического векторного пространства,
определять базис и размерность подпространства.
 Уметь находить фундаментальную систему решений однородной системы линейных
уравнений.
Теория чисел
 Знать основную теорему арифметики, уметь находить НОД и НОК целых чисел, Знать
основные свойства делимости целый чисел, уметь применять их.
 Знать основные свойства простых чисел.
 Уметь применять метод математической индукции для доказательства различных
математических утверждений.
 Знать основные свойства сравнений, уметь применять их, например, к выводу признаков
делимости.
 Уметь решать сравнения первой степени с одной неизвестной различными методами.
 Уметь решать системы сравнений первой степени, неопределенные уравнения первой степени.
Теория многочленов от одного переменного
 Знать определения многочленов от одного переменного над полем и основных операций над
ними, уметь использовать схему Горнера при решении различных задач.
 Знать теорему Безу, уметь вычислять кратности корней многочлена по схеме Горнера и с
помощью производных.
 Знать алгоритм Евклида, уметь с его помощью находить наибольший общий делитель двух
многочленов и его линейное разложение.
 Уметь разлагать многочлен над полем в произведение неприводимых множителей и применять
это разложение к нахождению наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
двух многочленов.
Основные алгебраические структуры
 Знать определение бинарной алгебраической операции, уметь определять её свойства
(ассоциативность, коммутативность, наличие нейтрального и симметричных элементов).
 Освоить понятия группы, кольца, поля и уметь определять является ли данное множество с
бинарными алгебраическими операциями группой, кольцом, полем.
 Уметь вычислять в группе подстановок: умножать подстановки, находить их обратные,
вычислять знак подстановки, находить смежные классы группы подстановок по её подгруппе.
Векторные пространства
 Знать определение векторного пространства, критерий подпространства, линейной оболочки
системы векторов, определения базиса и размерности пространства.
 Знать определения и свойства линейной зависимости и независимости векторов, уметь
определять является ли данная система векторов арифметического векторного пространства
линейно зависимой.
 Уметь находить ранг и базис системы векторов, координаты вектора в данном базисе, матрицу
перехода от одного базиса к другому.
 Уметь находить размерности и базисы суммы и пересечения двух подпространств.
Линейные преобразования
 Знать определение и простейшие свойства линейных отображений, уметь находить матрицу
линейного преобразования в заданном базисе.
 Знать связи между координатами вектора и его образа, а также между матрицами линейного
преобразования в различных базисах, уметь находить соответствующие матрицы перехода.
 Уметь находить ядро и образ линейного преобразования, их базисы и размерности (ранг и
дефект).
 Уметь находить матрицы суммы и произведения линейных преобразований в заданном базисе.
 Уметь вычислять собственные числа и собственные векторы данного линейного
преобразования.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестры 1, 2, 3 Общая трудоемкость дисциплины составляет 12 зачетных единиц, 432
академических часа, из них 256 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 176
часов, выделенных на самостоятельную работу.
Семестр 1 Форма промежуточной аттестации (зачет, экзамен) экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 академических часов, из них 90
часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 54 часа, выделенных на
самостоятельную работу.
Семестр 2 Форма промежуточной аттестации (зачет, экзамен) нет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 академических часа, из них 54 часа, выделенных
на контактную работу с преподавателем, 90 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Семестр 3 Форма промежуточной аттестации (зачет, экзамен) экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 академических часа, из них 118
часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 32 часа, выделенных на
самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего):
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
Вид промежуточной аттестации
(зачет, экзамен)
Всего
часов
256
184
74
110
176
12
432
1
90
54
18
36
2
54
54
18
36
3
118
76
54
4
144
экз
90
4
144
–
32
4
144
экз
Семестры
4
5
6
7
8
9
-
-
-
-
38
38
3. Тематический план
Таблица 3.
Семестр 1
Итого
количество
баллов
9
10
8
0 – 40
6
12
30
48
Модуль 1.2. Матрицы и определители
9-13
6
12
30
48
8
0 – 40
4
0 – 30
6
12
30
48
Модуль 1.3. Системы линейных уравнений
14-18
6
12
30
48
4
0 – 30
4
0 – 30
Лекции
1
2
3
1.1.
Определение
комплексного
числа. Действия
над комплексными числами.
Решение уравнений 3, 4 степени.
Всего*
1-8
2.1.
3.1.
Матрицы,
действия над
ними.
Определители,
их свойства.
Всего*
Решение систем
линейных
уравнений
Итого
часов
по
теме
Самостоятельная
работа*
Из них в
интерактивной
форме
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лабораторные работы
недели
семестра
Семинарские
(практические) занятия
№
4
5
7
8
Модуль 1.1. Комплексные числа
6
12
30
48
методом Гаусса,
по формулам
Крамера,
матричным
способом.
Всего*
6
12
Итого (часов,
18
36
баллов) *
Из них часов в
10
6
интерактивной
форме
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
30
90
48
144
4
16
0 – 30
0 – 100
16
Семестр 2
1
1.1.
2.1.
3.1.
2
Итого
часов
по
теме
Из них в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
Самостоятельная
работа*
Лекции
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лабораторные работы
недели
семестра
Семинарские
(практические) занятия
№
3
4
5
7
8
9
Модуль 2.1. Арифметические векторные пространства
Арифметические
1-8
6
12
30
48
8
векторные
пространства
Подпространства.
Фундаментальные
решения
однородных
систем линейных
уравнений.
Всего*
6
12
30
48
8
Модуль 2.2. Теория чисел
Делимость целых
9-13
6
12
30
48
4
чисел, ее
свойства. Теоретико-числовые
функции. Решение сравнений
первой степени.
Всего*
6
12
30
48
4
Модуль 2.3. Теория многочленов от одного переменного
Многочлены от
14-18
6
12
30
48
4
одной переменной, операции над
ними. Теория
10
0 – 40
0 – 40
0 – 30
0 – 30
0 – 30
делимости
многочленов.
Всего*
6
12
Итого (часов,
18
36
баллов) *
Из них часов в
10
6
интерактивной
форме
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
30
90
48
144
4
16
0 – 30
0 – 100
16
Семестр 3
1
2
1.1.
Понятие
алгебраической
операции, алгебры, алгебраической системы.
Группа. Кольцо.
Поле.
Всего*
2.1.
3.1.
Определение,
примеры векторных пространств
Линейная зависимость векторов. Ранг и базис
подпространства.
Всего*
Линейные
преобразования
и их свойства.
Матрица
линейного
преобразования.
Всего*
Итого (часов,
баллов) *
Итого
часов
по
теме
Из них в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
Самостоятельная
работа*
Лекции
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лабораторные работы
недели
семестра
Семинарские
(практические) занятия
№
3
4
5
7
8
9
Модуль 3.1. Основные алгебраические структуры
1-8
14
14
12
40
8
10
0 – 40
14
14
12
40
Модуль 3.2. Векторные пространства
9-13
12
12
10
32
8
0 – 40
4
0 – 30
12
12
10
32
Модуль 3.3. Линейные преобразования
14-18
12
12
10
32
4
0 – 30
4
0 – 30
4
16
0 – 30
0 – 100
12
38
12
38
10
90
32
144
Из них часов в
10
6
интерактивной
форме
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
16
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Итого количество
баллов
Информационные
системы
и
технологии
другие формы
Технические
формы
контроля
программы
компьютерног
о тестирования
реферат
Письменные работы
Самостоятельн
ая работа
Устный опрос
Теоретический
ответ на
занятии
Самостоятельное решение
задачи у доски
Домашняя
работа
№
Темы
комплексные
ситуационные
задания
Семестр 1
Модуль 1.1. Комплексные числа
1.1.
Всего
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-5
0-5
0-15
0-5
0-5
0-15
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-30
0-30
0-2
0-2
0-20
0-30
0-4
0-4
0-10
0-40
0-40
0-100
Модуль 1.2. Матрицы и определители
2.1.
Всего
0-6
0-6
0-10
0-10
Модуль 1.3. Системы линейных уравнений
3.1.
Всего
Итого
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-20
0-10
0-6
0-6
0-10
Итого количество
баллов
Информационные
системы
и
технологии
другие формы
Технические
формы
контроля
программы
компьютерног
о тестирования
реферат
Письменные работы
Самостоятельн
ая работа
Устный опрос
Теоретический
ответ на
занятии
Самостоятельное решение
задачи у доски
Домашняя
работа
№
Темы
комплексные
ситуационные
задания
Семестр 2
Модуль 2.1. Арифметические векторные пространства
1.2.
Всего
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-30
0-30
0-2
0-2
0-20
0-30
Модуль 2.2. Теория чисел
2.2.
Всего
0-6
0-6
0-10
0-10
Модуль 2.3. Теория многочленов от одного переменного
3.2.
Всего
Итого
Семестр 3
0-5
0-5
0-15
0-5
0-5
0-15
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-20
0-10
0-6
0-6
0-10
0-4
0-4
0-10
0-40
0-40
0-100
программы
компьютерног
о тестирования
Итого количество
баллов
Информационные
системы
и
технологии
другие формы
Технические
формы
контроля
комплексные
ситуационные
задания
реферат
Письменные работы
Самостоятельн
ая работа
Устный опрос
Теоретический
ответ на
занятии
Самостоятельное решение
задачи у доски
Домашняя
работа
№
Темы
Модуль 3.1. Основные алгебраические структуры
1.3.
Всего
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-30
0-30
0-2
0-2
0-20
0-30
0-4
0-4
0-10
0-40
0-40
0-100
Модуль 3.2. Векторные пространства
2.3.
Всего
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-5
0-5
0-15
0-5
0-5
0-15
0-10
0-10
0-20
0-6
0-6
0-10
0-10
Модуль 3.3. Линейные преобразования
3.3.
Всего
Итого
0-10
0-10
0-20
0-10
0-6
0-6
0-10
5. Содержание дисциплины.
СЕМЕСТР 1
Модуль 1.1. Комплексные числа
Числовые кольца и поля. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами
в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа. Возведение в степень и
извлечение корня. Корни из единицы. Первообразные корни. Уравнения 3-ей и 4-ой степеней.
Модуль 1.2. Матрицы и определители
Понятие матрицы. Квадратные матрицы. Определители 2 и 3 порядков. Определители n-го
порядка и его свойства. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Вычисление
определителей. Понятие ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Операции над матрицами.
Свойства операций над матрицами. Обратная матрица.
Модуль 1.3. Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений, совместные и несовместные, определенные и неопределенные.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Формулы Крамера. Матричный способ
решения систем линейных уравнений.
СЕМЕСТР 2
Модуль 2.1. Арифметические векторные пространства (пространства строк).
Арифметические векторные пространства (пространства строк). Линейная зависимость и
независимость системы векторов. Ранг системы векторов. Подпространства. Базис и размерность
подпространств. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальные решения.
Модуль 2.2. Теория чисел
Делимость целых чисел, свойства делимости. Частное и остаток. Наибольший общий делитель и
алгоритм Евклида. Свойства НОД и взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное и его
свойства. Простые числа. Свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел.
Решето Эратосфена. Неравенства Чебышева. Каноническое разложение натурального числа.
Теоретико-числовые функции. Целая и дробная части действительного числа. Число делителей и
сумма делителей натурального числа.
Сравнения. Свойства сравнений. Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов.
Приведенная система вычетов. Признак приведенной системы вычетов. Функция Эйлера. Теоремы
Эйлера и Ферма. Сравнения первой степени с одним неизвестным.
Непрерывные дроби. Представление действительных чисел непрерывными дробями. Подходящие
дроби и их свойства. Решение систем сравнений первой степени. Решение в целых числах
неопределенного уравнения. Приложения теории сравнений.
Модуль 2.3. Теория многочленов от одного переменного
Понятие многочлена от одной переменной над числовым полем. Операции над многочленами.
Определение делимости многочленов. Основные свойства делимости. Теория о делении с
остатком для многочленов. Наибольший общий делитель для многочленов. Алгоритм Евклида в
кольце многочленов. Линейная форма наибольшего общего делителя.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Понятие корня многочлена. Зависимость
существования корня от поля, в котором существует корень. Теорема Безу. Теорема о числе
корней многочлена над полем. Рациональные корни многочленов с рациональными
коэффициентами. Основная теорема алгебры. Формулы Виета. Действительные корни
многочленов с действительными коэффициентами.
Понятие неприводимого многочлена. Свойства неприводимых многочленов. Отделение
неприводимых множителей. Каноническое разложение многочлена. Неприводимые над полем
рациональных чисел многочлены. Критерий Эйзенштейна. Неприводимые над полем
действительных чисел многочлены.
СЕМЕСТР 3
Модуль 3.1. Основные алгебраические структуры
Декартово произведение множеств. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности.
Отношение порядка. Отображения. Виды отображений. Произведение отображений. Понятие
алгебраической
операции.
Свойства
алгебраических
операций:
ассоциативность,
коммутативность, существование нейтрального элемента, обратимость. Понятие универсальной
алгебры и алгебраической системы. Полугруппы. Моноиды.
Определение, примеры и простейшие свойства группы. Изоморфизм групп. Подгруппа, признак
подгруппы. Целая степень элемента группы. Циклические группы. Описание циклических групп.
Разложение группы по подгруппе. Смежные классы и индекс. Теорема Лагранжа. Описание групп
простого порядка. Нормальные подгруппы. Факторгруппа. Гомоморфизм групп. Нормальная
подгруппа как ядро гомоморфизма. Основная теорема о гомоморфизме.
Определение, примеры и простейшие свойства кольца. Изоморфизм колец. Подкольца. Идеалы.
Гомоморфизм колец. Области целостности. Теория делимости в кольцах. Свойства делимости.
Делимость в областях целостности. Евклидовы, факториальные и кольца главных идеалов.
Определение, примеры и простейшие свойства полей. Характеристика поля. Конечные поля.
Подполе. Расширение поля. Алгебраическое и трансцендентное расширения. Конечное
расширение. Простое расширение. Строение алгебраического и трансцендентного расширений.
Теорема о простоте составного алгебраического расширения.
Модуль 3.2. Векторные пространства
Определение и основные свойства векторного (линейного) пространства. Примеры векторных
пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Порождающие системы
векторов. Ранг системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. Арифметические
векторные пространства (пространства строк). Подпространства. Сумма и пересечение
подпространств, Размерность суммы и пересечения подпространств. Переход к новому базису.
Матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.
Модуль 3.3. Линейные преобразования
Линейные преобразования и их свойства. Матрица линейного преобразования. Невырожденные
линейные преобразования. Образ и ядро линейного преобразования. Ранг и дефект линейного
преобразования. Инвариантные подпространства.
Понятие собственного вектора и собственного значения линейного преобразования.
Характеристический многочлен матрицы линейного преобразования и его инвариантность
относительно базиса. Вычисление собственных значений векторов линейного преобразования.
Условия приведения матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
6. Планы семинарских занятий.
СЕМЕСТР 1
Модуль 1.1. Комплексные числа
№ занятия
1
2
3-4
5-6
Тема семинарского
занятия
Комплексные числа в
алгебраической форме
Действия над
комплексными числами в
тригонометрической
форме
Извлечение корня n-й
степени из комплексного
числа
Уравнения 3, 4 степени
Вопросы, выносимые на семинар
Алгебраическая форма комплексного числа (вид, действительная
и мнимая части к.ч.). Комплексная плоскость (изображение к.ч.,
действительная, мнимая оси). Правила сложения, вычитания,
умножения, деления комплексных чисел в алгебраической форме.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Формулы
перехода от алгебраической формы комплексного числа к
тригонометрической форме и обратно. Умножение и деление
комплексных чисел в тригонометрической форме
Формула возведения в степень комплексного числа, формула
извлечения корня n-й степени из комплексного числа.
Решение уравнений 3 степени по формулам Кардано. Решение
уравнений 4-й степени методом Феррари.
Модуль 1.2. Матрицы и определители
№ занятия
7
Тема семинарского
занятия
Матрицы, действия над
ними
8-9
Определители, их
вычисление и свойства
10
11
12
Ранг матрицы.
Обратная матрица.
Матричные уравнения.
Вопросы, выносимые на семинар
Матрицы, их виды. Транспонирование, сложение, вычитание
матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.
Простейшие матричные уравнения.
Определители, их вычисление и свойства. Определители 2 и 3
порядков. Определители n-го порядка и его свойства. Разложение
определителя по элементам строки (столбца). Вычисление
определителей.
Понятие ранга матрицы, его вычисление.
Вычисление обратной матрицы.
Решения матричных уравнений.
Модуль 1.3. Системы линейных уравнений
№ занятия
13-14
15
16
17
18
Тема семинарского
занятия
Решение систем
линейных уравнений
методом Гаусса.
Формулы Крамера.
Матричный способ
решения систем
линейных уравнений.
Исследование систем
линейных уравнений.
Итоговая контрольная
работа
Вопросы, выносимые на семинар
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Разные
случаи решений.
Решение СЛУ по формулам Крамера.
Матричный способ решения систем линейных уравнений.
Исследование систем линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли.
СЕМЕСТР 2
Модуль 2.1. Арифметические векторные пространства (пространства строк).
№ занятия
1-2
3-4
5-6
Тема семинарского
занятия
Арифметические
векторные пространства.
Ранг и базис системы
векторов.
Однородные системы
линейных уравнений.
Вопросы, выносимые на семинар
Арифметические векторные пространства (пространства строк).
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Ранг и базис системы векторов. Подпространства. Базис и
размерность подпространств.
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальные
решения.
Модуль 2.2. Теория чисел
№ занятия
7
Тема семинарского
занятия
Делимость целых чисел,
НОД и его свойства.
8
Простые числа.
8
9-10
Теоретико-числовые
функции.
Теория сравнений.
11
Решение сравнений.
12
Приложения теории
сравнений.
Вопросы, выносимые на семинар
Делимость целых чисел, свойства делимости. Частное и остаток.
Наибольший обший делитель и алгоритм Евклида. Свойства НОД
и взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное и его
свойства.
Простые числа. Свойства простых чисел. Бесконечность
множества простых чисел. Решето Эратосфена. Неравенства
Чебышева. Каноническое разложение натурального числа.
Целая и дробная части действительного числа. Число делителей и
сумма делителей натурального числа.
Сравнения. Свойства сравнений. Полная система вычетов.
Признак полной системы вычетов. Приведенная система вычетов.
Признак приведенной системы вычетов. Функция Эйлера.
Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнения первой степени с одним
неизвестным.
Решение в целых числах уравнения ax + by = c. Сравнение по
простому модулю. Число решений сравнения по простому
модулю. Теорема Вильсона.
Системы счисления, арифметические операции над числами в
заданной системе счисления. Перевод чисел из одной системы
счисления в другую. Признаки делимости. Признак Паскаля.
Десятичные дроби. Конечные, чистые периодические и
смешанные периодические десятичные дроби.
Модуль 2.3. Теория многочленов от одного переменного
№ занятия
13
14
15
16
17
18
Тема семинарского
занятия
Операции над
многочленами
Делимость многочленов.
НОД многочленов
Кратные корни
многочлена. Формула
Тейлора.
Рациональные корни
многочленов.
Основная теорема
алгебры.
Итоговая контрольная
Вопросы, выносимые на семинар
Определение
многочлена, степень многочлена, равные
многочлены, сумма многочленов, произведение многочленов,
степень суммы многочленов, степень произведения многочленов,
теорема о делении с остатком для многочленов.
Определение делимости многочленов, свойства делимости, НОД
многочленов.
Определение корня многочлена, определение кратного корня
многочлена, теорема Безу, теорема о кратных корнях многочлена.
Теоремы о целых и рациональных корнях многочлена с целыми
коэффициентами.
Основная теорема алгебры. Многочлен, неприводимый над
полем.
Теорема
о
неприводимости
многочлена
с
действительными коэффициентами над полем R.
работа
СЕМЕСТР 3
Модуль 3.1. Основные алгебраические структуры
№ занятия
1
2
3
Тема семинарского
занятия
Бинарные
отношения.
Отображения.
Понятие
алгебраической
операции.
4-5
Группы.
6
Кольца.
7
Поля.
Вопросы, выносимые на семинар
Декартово произведение множеств. Бинарные отношения. Отношения
эквивалентности. Отношение порядка.
Виды отображений. Произведение отображений.
Свойства
алгебраических
операций:
ассоциативность,
коммутативность,
существование
нейтрального
элемента,
обратимость. Понятие универсальной алгебры и алгебраической
системы. Полугруппы. Моноиды.
Определение, примеры и простейшие свойства группы. Подгруппа,
признак подгруппы. Циклические группы. Разложение группы по
подгруппе. Смежные классы и индекс. Теорема Лагранжа. Описание
групп простого порядка. Нормальные подгруппы. Факторгруппа.
Гомоморфизм групп. Основная теорема о гомоморфизме.
Определение, примеры и простейшие свойства кольца. Изоморфизм
колец. Подкольца. Идеалы. Гомоморфизм колец. Области
целостности. Теория делимости в кольцах. Свойства делимости.
Делимость в областях целостности. Евклидовы, факториальные и
кольца главных идеалов.
Определение, примеры и простейшие свойства полей. Характеристика
поля. Конечные поля. Подполе. Расширение поля. Алгебраическое и
трансцендентное расширения. Конечное расширение. Простое
расширение. Строение алгебраического и трансцендентного
расширений. Теорема о простоте составного алгебраического
расширения.
Модуль 3.2. Векторные пространства
№ занятия
8
9-10
11
12-13
Тема семинарского
занятия
Определение
и
основные свойства
векторного
пространства.
Ранг и базис системы
векторов.
Подпространства.
Переход
базису.
к
Вопросы, выносимые на семинар
Определение и основные свойства векторного (линейного)
пространства.
Примеры
векторных
пространств.
Линейная
зависимость и независимость системы векторов.
Порождающие системы векторов. Ранг системы векторов. Базис и
размерность векторного пространства.
Подпространства. Сумма и пересечение подпространств, Размерность
суммы и пересечения подпространств.
новому Переход к новому базису. Матрица перехода. Координаты вектора в
разных базисах.
Модуль 3.3. Линейные преобразования
№ занятия
14
15
16
17-18
Тема семинарского
занятия
Линейные
преобразования.
Образ
и
ядро
линейного
преобразования.
Инвариантные
подпространства.
Собственные
Вопросы, выносимые на семинар
Линейные преобразования и их свойства. Матрица линейного
преобразования.
Невырожденные линейные преобразования. Образ и ядро линейного
преобразования. Ранг и дефект линейного преобразования.
Инвариантные подпространства. Понятие собственного вектора и
собственного значения линейного преобразования.
Характеристический многочлен матрицы линейного преобразования и
значения
векторов его инвариантность относительно базиса. Вычисление собственных
линейного
значений векторов линейного преобразования. Условия приведения
преобразования.
матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
Итоговая
контрольная работа
19
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторный практикум не предусмотрен учебным планом.
8. Примерная тематика курсовых работ (если они предусмотрены учебным планом ОП).
Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица5.
Семестр 1
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1-8
30
0-40
30
0-40
30
0-30
30
0-30
30
0-30
90
90
0-30
0-100
Объем
часов
Кол-во
баллов
Модуль 1.1. Комплексные числа
1.1.
Определение
комплексного
числа. Действия
над комплексными числами.
Решение уравнений 3, 4 степени.
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
Всего
2.1.
Матрицы,
действия над
ними.
Определители, их
свойства.
Модуль 1.2. Матрицы и определители
Выполнение
Подготовка
домашней работы,
реферата
чтение лекций и
дополнительной
литературы
9-13
Всего
Модуль 1.3. Системы линейных уравнений
3.1.
Решение систем
линейных
уравнений
методом Гаусса,
по формулам
Крамера,
матричным
способом.
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
14-18
Всего
Итого
Семестр 2
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Модуль 2.1. Арифметические векторные пространства
1.2.
Арифметические
векторные
пространства
Подпространства.
Фундаментальные
решения
однородных
систем линейных
уравнений.
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
1-8
Всего
2.2.
Делимость целых
чисел, ее свойства.
Теоретикочисловые
функции. Решение
сравнений первой
степени.
0-40
30
0-40
30
0-30
30
0-30
30
0-30
90
90
0-30
0-100
Объем
часов
Кол-во
баллов
12
0-40
12
0-40
10
0-30
10
0-30
Модуль 2.2. Теория чисел
Выполнение
Подготовка
домашней работы,
реферата
чтение лекций и
дополнительной
литературы
9-13
Всего
3.2.
30
Модуль 2.3. Теория многочленов от одного переменного
Выполнение
Многочлены от
домашней
работы,
одной переменчтение
лекций
и
ной, операции над
14-18
дополнительной
ними. Теория
литературы
делимости
многочленов.
Всего
Итого
Семестр 3
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Модуль 3.1. Основные алгебраические структуры
1.3.
Понятие
алгебраической
операции, алгебры, алгебраической системы.
Группа. Кольцо.
Поле.
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
1-8
Всего
2.3.
Определение,
примеры векторных пространств
Линейная зависимость векторов.
Ранг и базис
подпространства.
Модуль 3.2. Векторные пространства
Выполнение
Подготовка
домашней работы,
реферата
чтение лекций и
дополнительной
литературы
Всего
Модуль 3.3. Линейные преобразования
9-13
Линейные
преобразования и
их свойства.
Матрица
линейного
преобразования.
3.3.
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
14-18
Всего
Итого
10
0-30
10
32
0-30
0-100
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Б1
1-3 семестры
Алгебра и теория чисел
Циклы, дисциплины (модули)
учебного плана ОП
Индекс компетенции
Общекультурные,
профессиональные
Код компетенции
компетенции
ОК-3
ПК-2
ПК-11
Виды аттестации
ФОС
УФ-1
ПФ-4
Текущая
ПФ-6
(по дисциплине)
ПФ-8
ПФ-10
УФ-12
Промежуточная
ПФ-4
(по дисциплине)
ИС-4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Код
компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их
формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды занятий
(лекции,
семинарские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и др.)
ОК-3 способностью использовать естественнонаучные и математические знания для
ориентирования в современном информационном пространстве мировоззрения
ПК-2 способностью использовать
современные методы и технологии обучения
и диагностики
Знает:
понятийный
аппарат
дисциплины
Знает: основные
математические
методы
исследования и
общие
математические
методы решения
задач (в
дополнение к
пороговому
уровню)
Умеет: корректно
применять
математический
аппарат при
изучении
дисциплин
естественноматематического
и профессионального циклов
Умеет: корректно
применять
математический
аппарат при
обучении физике
в
общеобразователь
ных учреждениях
(в дополнение к
пороговому
уровню)
Владеет:
основными
понятиями и
методами
дисциплины
Владеет:
основными
понятиями и
методами
дисциплины (в
дополнение к
пороговому
Знает: о
существовании
современных
методик и
технологий, в том
числе и
информационных
Умеет:
анализировать
информацию
Знает: сущность
современных
методик и
технологий, в том
числе и
информационных
Умеет:
осуществлять
анализ
информации с
позиции
изучаемой
проблемы
Знает:
мировоззренческо
е значение
математики, роль
и место
математики в
изучении
окружающего
мира (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Умеет: применять
математические
методы при
проведении
теоретических и
экспериментальны
х исследований в
физике и в
профессионально
й деятельности (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Владеет:
математическими
методами
изучения
физических
явлений (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Знает:
современные
методики и
технологии, в том
числе и
информационные
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
учебные
задачи
реферат,
ситуационны
е задачи
(ПФ-4, ИС-4,
УФ-4, ПФ-7,
ИС-7, ПФ10)
лекции,
практически
е занятия
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
Умеет:
осуществлять
анализ
информации с
позиции
изучаемой
проблемы;
использовать
современные
методики и
технологии
лекции,
практически
е занятия
индивидуаль
ные
проекты,
реферат,
решение
ситуационны
х задач (УФ8, ПФ-8, УФ1, ПФ15,ПФ-10)
ПК-11 готовность использовать систематизированные теоретические и практические знания для постановки и
решения исследовательских задач в области образования
Владеет:
современными
методиками и
технологиями
Владеет:
современными
методиками и
технологиями, в
том числе и
информационным
и
Владеет:
современными
методиками и
технологиями, в
том числе и
информационным
и на уровне
лекции,
практически
е занятия
решение
ситуационны
х задач,
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
Знает:
необходимый
минимум учебной
программы
дисциплины.
Знает:
на
хорошем уровне
учебную
программу
дисциплины.
Знает:
на лекции,
высоком уровне практически
учебную
е занятия
программу
дисциплины.
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
Умеет:
реализовывать
учебные
программы курса
дисциплины,
опираясь
на
помощь извне.
Умеет:
самостоятельно
реализовывать
учебные
программы курса
дисциплины
в
некоторых
образовательных
учреждениях.
лекции,
практически
е занятия
реферат,
решение
ситуационны
х задач (УФ8, ПФ-8, УФ1, ПФ15,ПФ-10)
Владеет:
необходимыми
навыками
и
инструментарием
для
реализации
учебных
программ курса
дисциплины;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
Владеет:
необходимыми
навыками
и
инструментарием
для
самостоятельной
реализации
учебных
программ курса
дисциплины
в
некоторых
образовательных
учреждениях;
методами
построения
учебного курса;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
Умеет:
самостоятельно
реализовывать и
выбирать
наилучшие
учебные
программы курса
дисциплины
в
различных
образовательных
учреждениях,
исходя
из
их
специфики.
Владеет:
на
высоком уровне
навыками,
знаниями
и
инструментарием
для
самостоятельной
реализации
и
выбора
наилучших
учебных
программ курса
дисциплины
в
различных
образовательных
учреждениях,
исходя
из
их
специфики;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
лекции,
практически
е занятия
решение
ситуационны
х задач,
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования
компетенций в процессе освоения образовательной программы.
ПФ-6 Примерные контрольные работы:
ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ
Вариант 1.
1. Вычислить 2,3  5 53 : 3,1 5,02  25,686  13 
2. Упростить выражение
x 2  y 2  9
3. Решить систему уравнений двумя способами (аналитически и графически) 
 xy  4
4. Решить рациональное неравенство
5. Вычислить
Вариант 1.
1. Вычислить 1 12  21,93  2,07 1 12  13  8 12
2. Упростить выражение
y  x2  4
3. Решить систему уравнений двумя способами (аналитически и графически) 
y  x  2
4. Решить рациональное неравенство
5. Вычислить
ТЕКУЩИЙ КОНТРОЛЬ
Контрольная работа «Комплексные числа»
Вариант 1.
1  i 3    1  i 3 
Выполнить действия:
15
1.
15
1  i 10
.
1  i 20
2. Решить уравнение 𝑥 2 − (4 − 𝑖)𝑥 + 5 − 5𝑖 = 0.
3. Найти геометрическое место точек, изображающих комплексные числа z, для которых
одновременно выполняется:
z  2  i  4 и arg z 

.
3
4. Извлечь корень и дать его геометрическое истолкование:
Вариант 2.
 1  i 3    1  i 3 
Выполнить действия:
9
1.
2i 2
9
22
2. Решить уравнение 𝑥 2 − (3 + 2𝑖)𝑥 − 1 + 13𝑖 = 0.
.
5
1 i
.
 12  2i
3. Найти геометрическое место точек, изображающих комплексные числа z, для которых
одновременно выполняется: z  i  4 и z  2  2i  5 .
4. Извлечь корень и дать его геометрическое истолкование:
4
3 i
.
 75  5i
Контрольная работа «Теории делимости многочленов»
Вариант 1
1. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите НОД многочленов
𝑓(𝑥) = 6𝑥 4 − 41𝑥 3 + 79𝑥 2 − 31𝑥 + 3 и 𝑔(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 6𝑥 + 1
2. Найдите значения всех производных в точке 𝑐 = −2
𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 – 5𝑥 4 − 8𝑥 3 − 8𝑥 2 – 11𝑥 − 3
3. Найдите все рациональные корни многочлена 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 2𝑥 5 + 3𝑥 4 − 24𝑥 3 − 𝑥 2 + 54𝑥 − 24
Вариант 2
1. Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите НОД многочленов
𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 5𝑥 3 − 11𝑥 2 − 3𝑥 и 𝑔(𝑥) = 3𝑥 4 − 10𝑥 3 + 6𝑥 2 − 10𝑥 + 3
2. Разложите многочлен 𝑓(𝑥) по степеням разности (𝑥 − 2):
𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 – 5𝑥 4 − 8𝑥 3 − 8𝑥 2 – 11𝑥 − 3
3. Найдите все рациональные корни многочлена 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 − 16𝑥 4 + 26𝑥 3 − 22𝑥 2 + 23𝑥 − 6
2 СЕМЕСТР:
Контрольная работа «Матрицы и определители»
Вариант 1.
1. Найти матрицу Х из уравнения:
 7 5 2 
 2 1 7 
3Х + 2  
  

 04 3
 3  2 9  .
 5 7 0 2 
 -2 9 
 6 -3 0 




2. Пусть А =  3  4 8 6 
B =  5 -4 C = 

 3 -1 7  .




 1 5  3 0  ,
 3 0,
Найти матрицу D = ( АТ  В )  С.
3. Используя формулу разложения по 1-й строке, вычислить определитель:
-5 0 2 0
-7 8 6 -3
1 9 -4 -2
5 -8 7 -1
4. Используя метод приведения к треугольному виду, найти определитель:
-7 4 2 -5
3 8 -9 -1
-6 5 6 -3
-2 7 9 1
 7 5  8 


5. Показать, что матрица А =  4  9  6  обратима и найти А–1. Выполнить проверку.


 2 3 1 
Вариант 2.
1. Найти матрицу Х из уравнения:
 3 1 2 
 3 1 6 
2Х + 5  
  

 2 5  1 
 8 9 5  .
  4 2 0 1 
 1 -5 
 3-2 6 




2. Пусть А =  0  6 1  8 
B =  2 0 C = 

 -1 0 4  .




 3 3 2 0  ,
 7 4  ,
Т
Найти матрицу D = ( А  В )  С.
3. Используя формулу разложения по 1-й строке, вычислить определитель:
0 3 -5 0
8 9 -3 -2
4 1 7 -1
6 -7 2 5
4. Используя метод приведения к треугольному виду, найти определитель:
2 -3 4 8
1 9 -5 6
-7 -4 -8 7
3 -1 5 -2
 6 1 4 
5. Показать, что матрица А =  5  7 8  обратима и найти А–1. Выполнить проверку.




 3 9 2 
Контрольная работа «Решение систем линейных уравнений»
Вариант 1.
1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
2x  7y  3z  t  6

3x  5y  2z  2t  4
9x  4y  z  7t  2

2. Решить систему матричным способом и по формулам Крамера.
 x  2y  z  5

 x  2y  2z  2
3x  y  4z  2

Вариант 2.
1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
2x  3y  5z  7t  1

4x  6y  2z  3t  2
2x  3y  11z  15t  1

2. Решить систему матричным способом и по формулам Крамера.
 x  2y  z  2

 x  2y  2z  1
3x  y  4z  0

Контрольная работа «Линейные преобразования векторных пространств»
 a1

a 2
1. Найти ранг и один из базисов системы векторов: 
a 3
a 4
 (2,
4,
1,
3)
 (3,
8,
2,
6)
.
 (8, 13, 3, 10)
 (9, 17, 4, 13)
Все остальные векторы системы выразить через базисные.
2. Найти координаты вектора x  4e1  e 2  3e 3 в базисе e1 , e2 , e3 , используя матрицу
'
e1
3.

(1,
 2,
перехода от базиса e 2
 (0,
1,
e3
 (0,
0,
'
'
 (1, 1,
1)
 (2,  1,  3) .
 (1, 3,  2)
e1'
 1) к базису e2'
 1)
e3'
1)
Найти образ и ядро линейного преобразования трехмерного пространства, заданного в
1
2 
 1


2
4 .
некотором базисе матрицей Μ   2
  3  3  6


Вариант 2.
 a1

a 2
1. Найти ранг и один из базисов системы векторов: 
a 3
a 4

(1,
1,
0, 1)
 (2, 4, 4, 6)
.
 (1, 3, 4, 5)

(1,
2, 1,
2)
Все остальные векторы системы выразить через базисные.
2. Найти координаты вектора x  2e1  e 2  e 3 в базисе e1 , e2 , e3 , используя матрицу перехода
'
e1
от базиса e 2
e3

(1,
1, 1)
e1'
 (0, 1, 1) к базису e2'
e3'
 (0, 0, 1)
'
'
 (1, 2, 1)
 (1, 3, 4) .
 (1, 3, 3)
3. Найти образ и ядро линейного преобразования трехмерного пространства, заданного в
 1 2 3


некотором базисе матрицей Μ   2  1 0 .
 4 3 6


3 СЕМЕСТР:
Контрольная работа «Теория чисел»
Вариант 1.
1. Найти наибольший общий делитель чисел 360, 154 с помощью алгоритма Евклида.
2. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 360, 525, 154 с
помощью канонического разложения числа.
3. Какое из следующих сравнений является верным? Почему?
1) 46  1mod 11
2) 1  9 mod 10 
3) 3m  0 mod m 
4)  1  9 mod 3
4.
5.
6.
7.
5) 121  12 mod 5
Записать по две различные полные и приведенные системы вычетов по модулю m  6 .
Обосновать решение.
Найти  m , если m  :
Найти остаток от деления 127 721 на 120.
Исследовать и решить сравнение 104x  56 (mod 342).
Вариант 2.
1. Найти наибольший общий делитель чисел 144, 600 с помощью алгоритма Евклида.
2. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 144, 600, 729 с
помощью канонического разложения числа.
3. Какое из следующих сравнений является верным? Почему?
1) 43  1mod 7 
2) 5  6 mod 11
3) 3m  0 mod m 
4) 10  9 mod 3
5) 62  12 mod 5
4. Записать по две различные полные и приведенные системы вычетов по модулю m  8 .
Обосновать решение.
5. Найти  m , если m  720 :
6. Найти остаток от деления 627 726 на 62.
7. Исследовать и решить сравнение 105x  125 (mod 215).
Контрольная работа «Элементы общей алгебры»
Вариант 1.
1. Какими из свойств: инъективность, сюръективность, биективность обладает следующее
отображение? 𝑓: 𝑪 → 𝑪, 𝑓(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎 − 𝑏𝑖.
2. Какими из свойств: ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального
элемента, обратимость обладает следующая алгебраическая операция, заданная на множестве М?
M  R  R,
a1 , a2   b1 , b2   a1  b2  a2  b1 , a2  b2 
a

a, k  Q 
k
2

 , где A  
3. Проверить, является ли группой: множество  A, ,  A, 
4. Доказать, что kZ,  – подгруппа в Z ,  .
5. Доказать, что отображение  : Z  kZ по правилу  : a  ka, a  Z будет гомоморфизмом
групп  :Z ,   kZ,  . Найти ядро этого гомоморфизма.
Вариант 2.
1. Какими из свойств: инъективность, сюръективность, биективность обладает следующее
отображение? 𝑓: 𝑹 → [0; 1], 𝑓(𝑥) = {𝑥} (дробная часть числа 𝑥).
2. Какими из свойств: ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального
элемента, обратимость обладает следующая алгебраическая операция, заданная на множестве
М? M  R  R, a1 , a 2   b1 , b2   a1 , b2 
3. Проверить, является ли группой: множество всех четных чисел, множество всех нечетных
чисел.
a

4. Доказать, что  A, , A   k a, k  Q  – подгруппа в Q,  .
2

5. Доказать, что отображение  : Z  kZ по правилу  : a  ka, a  Z будет гомоморфизмом
групп  :Z ,   kZ,  . Найти ядро этого гомоморфизма.
УФ-12. Вопросы зачета (экзамена):
СЕМЕСТР 1
1. Построение системы комплексных чисел.
2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
3. Геометрическое представление комплексных чисел.
4. Геометрическая интерпретация действий над комплексными числами.
5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
6. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
7. Извлечение корней из комплексных чисел.
8. Корни п-ой степени из 1.
9. Первообразные корни.
10. Уравнения 3 степени.
11. Уравнения 4 степени.
12. Действия над матрицами. Обратная матрица.
13. Определители и их свойства. Формулы Крамера.
14. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
15. Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.
16. Матричные уравнения. Ранг матрицы.
СЕМЕСТР 3
1. Делимость целых чисел, определение, обозначение, свойства. Частное и остаток от деления.
Теорема о делении с остатком.
2. Наибольший общий делитель двух целых чисел. Свойства НОД. Алгоритм Евклида
нахождения НОД.
3. Наименьшее общее кратное целых чисел и его свойства. Формула для вычисления НОК.
4. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Свойства простых чисел. Решето
Эратосфена.
5. Основная теорема арифметики (с доказательством). Каноническое разложение числа.
Нахождение НОД и НОК с помощью канонического разложения числа.
6. Три определения сравнения целых чисел. Примеры. Эквивалентность определений
(доказательство).
7. Свойства сравнений.
8. Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов. Первая теорема о вычетах
линейной формы.
9. Приведенная система вычетов. Признак приведенной системы вычетов. Вторая теорема о
вычетах линейной формы.
10. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера (с доказательством) и Ферма. Применение теоремы Эйлера
к вычислению остатка от деления.
11. Сравнения первой степени с одним неизвестным. Возможные случаи решения. Решение
сравнений первой степени методом подбора и методом преобразования коэффициентов.
Примеры.
12. Целая и дробная часть числа. Разложение рационального числа в правильную цепную дробь.
Подходящие дроби. Формула для решения сравнений с помощью подходящих дробей.
13. Бинарные отношения, их свойства. Отношение порядка, отношение эквивалентности.
Примеры. Отношение эквивалентности и разбиение множества.
14. Отображение, его виды. Примеры.
15. Алгебраическая операция, ее свойства. Примеры.
16. Универсальные алгебры. Полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле – определения и примеры.
17. Определение группы. Аддитивная и мультипликативная записи группы. Абелева группа.
Задание конечной группы с помощью таблицы Кэли. Примеры.
18. Изоморфизм групп: определение, его смысл. Примеры изоморфизма групп.
19. Подгруппа, признак подгруппы, примеры. Разложение группы в смежные классы по
подгруппе. Теорема Лагранжа.
20. Целая степень элемента группы. Циклические группы. Строение циклических групп конечного
и бесконечного порядка.
21. Нормальная подгруппа и факторгруппа. Примеры.
22. Гомоморфизм групп, примеры. Теоремы об образе и ядре гомоморфизма. Основная теорема о
гомоморфизмах групп.
23. Определение, примеры и простейшие свойства колец.
24. Подкольцо, признак подкольца. Идеал. Примеры подколец и идеалов.
25. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Факторкольцо. Примеры.
26. Определение, примеры, простейшие свойства полей.
27. Характеристика поля. Подполя. Простые поля.
28. Расширения полей. Строение простого алгебраического и простого трансцендентного
расширений поля. Теорема о простоте составного алгебраического расширения.
29. Определение, примеры, простейшие свойства векторного пространства над полем.
30. Определение, примеры подпространств. Подпространства, порожденные системой векторов.
Базис пространства.
31. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Свойства линейной зависимости.
32. Координаты вектора. Эквивалентность различных определений базиса. Размерность
пространства.
33. Изоморфизм векторных пространств. Строение конечномерных векторных пространств.
34. Координаты вектора в разных базисах. Формула перехода.
35. Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма подпространств.
36. Определение, примеры, простейшие свойства линейного преобразования векторного
пространства.
37. Матрица линейного преобразования. Примеры.
38. Ранг и дефект линейного преобразования. Невырожденные линейные преобразования.
39. Операции над линейными преобразованиями.
40. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного
преобразования.
41. Условие приведения матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,
навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Шкала перевода баллов в оценки:
- от 0 до 60 баллов – «неудовлетворительно»;
- от 61 до 75 баллов – «удовлетворительно»;
- от 76 до 90 баллов – «хорошо»;
- от 91 до 100 баллов – «отлично»;
Студенты, набравшие по дисциплине менее 35 баллов, к экзамену не допускаются.
Студенты, не допущенные к сдаче экзамена, сдают текущие формы контроля в соответствии с
установленным графиком и набирают пороговое значение баллов. Студентам, не набравшим в
семестре необходимого количества баллов по уважительной причине (болезнь, участие в
соревнованиях, стажировка и др.), устанавливаются индивидуальные сроки сдачи экзамена.
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины «Алгебра и теория чисел» используются лекция-дискуссия,
лекция с запланированными ошибками, проблемная лекция, метод проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры [Текст] : учебник / А. Г. Курош. - 17-е изд., стер. - СПб. :
Лань, 2008. - 432 с. : ил. – 2 экз.; 15-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2006. - 432 с. : ил. – 14 экз.
2. Нестеренко, Ю.В. Теория чисел [Текст] : учебник для вузов / Ю. В. Нестеренко. - М. :
Академия, 2008. - 272 с.
3. Сборник задач по алгебре. В 2 т. [Текст] : учеб.пособие для втузов. Т.1. Ч.1-2 : Основы
алгебры. Линейная алгебра и геометрия / под ред. А.И. Кострикина. - М. : Физматлит, 2007. 264 с.
4. Сборник задач по алгебре. В 2 т. [Текст] : учеб.пособие для втузов. Т.2. Ч.3 : Основные
алгебраические структуры / под ред. А.И. Кострикина. - М. : Физматлит, 2007. - 168 с.
5. Смирнов, В.Д. Введение в числовые системы [Текст] : учеб. пособие для вузов по спец.
"Математика" / В. Д. Смирнов. - Ишим : Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2008. - 132 с
6. Смирнов, В.Д. Минимум по общей алгебре [Текст] : учеб. пособие для педвузов по спец.
"Математика" / В. Д. Смирнов. - Ишим : Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2006. - 44 с.
7. Фадеев, Д.К. Задачи по высшей алгебре [Текст] : учеб. пособие / Д. К. Фадеев ; И.С.
Соминский. - 15-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2005. - 288 с.
8. Шнеперман, Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел [Текст] : учеб.пособие / Л.Б.
Шнеперман. - 2-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2008. - 224 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Алгебра и теория чисел. Ч3 [Текст]: учебное пособие для студентов-заочников пед. ин-тов /
под редакцией Н.Я. Виленкина. - Просвещение, 1984. - 192 с.
2. Бухштаб, А.А. Теория чисел [Текст]: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А.А.
Бухштаб. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с.
3. Виноградов, И.М. Основы теории чисел [Текст] / И.М. Виноградов. - 10-е изд., стер. - СПб.:
Лань, 2004. - 176 с.
4. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. В 2 ч. [Текст] : учебник для вузов. Ч.1 : Основы алгебры /
А. И. Кострикин. - 2-е изд., испр. - М. : Физматиздат, 2004. - 272 с.
5. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. В 2 ч. [Текст] : учебник для вузов. Ч.2 : Линейная алгебра
/ А. И. Кострикин. - 3-е изд. - М. : Физматиздат, 2004. - 368 с.
6. Куликов, Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел [Текст] / Куликов Л.Я., Москаленко
А.И., Фомин А.А.. М.: Просвещение, 1979, 1993. Оленькова, Т.В. Задания для самостоятельной
работы студентов первого курса по изучению курса алгебры [Текст]: Учебное пособие для
студентов первого курса физ.-мат. спец. педвузов: в 3 ч. – Ишим, Изд-во ИГПИ им. П.П.
Ершова, 2004. – Ч.1-2: задания минимального уровня. – 48с.
7. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты [Текст] : учеб.пособие. - М. : Финансы и
статистика, 2003. - 576 с.
8. Матрос, Д.Ш. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры [Текст] : учеб.пособие для
вузов / Д. Ш. Матрос ; Г.Б. Поднебесова. - М. : Академия, 2004. - 240 с.
9. Михелович, Ш.Х. Теория чисел [Текст]: учеб.пособие / Ш.Х.Михелович. - М.: Высш. шк.,
1967. - 336 с.
10. Оленькова, Т.В. Задания для самостоятельной работы студентов первого курса по изучению
алгебры. В 3 ч. [Текст] : учеб. пособие для вузов. Ч.1 / Т. В. Оленькова. - Ишим : Изд-во ИГПИ
им. П.П. Ершова, 2004. - 48 с.
11. Оленькова, Т.В. Комплексные числа [Текст]: Учеб. пособие для студентов первого курса физ.мат. спец. педвузов. – Ишим, Изд-во ИГПИ им. П.П.Ершова, 2003. – 96с.
12. Фадеев, Д.К. Лекции по алгебре [Текст] : учеб.пособие для вузов / Д. К. Фадеев. - 2-е изд., стер.
- СПб. : Лань, 2002. - 416 с.
13. Шнеперман, Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел [Текст] / Л.Б. Шнеперман. - 2-е
изд., стер. - СПб.: Лань, 2008. - 224 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
№
Наименование
электроннобиблиотечной системы
(ЭБС)
1.
Электронно-библиотечная
система «Университетская
библиотека онлайн»
2.
Электронно-библиотечная
система Elibrary
3.
Наименование
организацииПринадлежАдрес сайта
владельца, реквизиты
ность
договора на
использование
сторонняя
http://biblioclub.ru подписка ТюмГУ
сторонняя
http://elibrary.ru
ООО "РУНЭБ".
Договор № SV-2503/2014-1 на период с 05
марта 2014 года до 05
марта 2015 года.
Универсальная справочно- сторонняя
информационная
полнотекстовая база
данных “East View” ООО
«ИВИС»
http://dlib.eastvie
w.com/
ООО "ИВИС".
4.
Электронная библиотека:
Библиотека диссертаций
сторонняя
http://diss.rsl.ru/?l
ang=ru
5.
Межвузовская
электронная библиотека
(МЭБ)
корпоративн
ая
http://icdlib.nspu.r
u/
6.
Автоматизированная
сторонняя
библиотечная
информационная система
МАРК-SOL 1.10 (MARC
21) (Электронный каталог)
библиографическая база
данных
локальная сеть
Договор № 64 - П от 03
апреля 2014 г. на период
с 04 апреля 2014 года до
03 апреля 2015 года.
подписка ТюмГУ (1
рабочее место, подписка
в 2015 г.)
Совместный проект с
ФГБОУ ВПО
«Новосибирский
государственный
педагогический
университет»
Научнопроизводственное
объединение
«ИНФОРМ-СИСТЕМА».
Гос.контракт № 07034 от
20.09.2007 г., бессрочно
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Пакет программ Microsoft Office.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: оборудованные аудитории;
технические средства обучения (электронные доски, компьютеры, программное обеспечение);
выход в Интернет; аудио- и видеоаппаратура; наглядные пособия; пакеты компьютерных
программ.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Студенту следует помнить, что дисциплина «Алгебра и теория чисел» предусматривает
обязательное посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через
систему домашних работ, систему рефератов и индивидуальных работ. Самостоятельная работа
студентов заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к практическим
занятиям (см. планы практических занятий) и подготовке рефератов. Контроль над
самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде зачета.
Дополнения и изменения к рабочей программе на 2015 / 2016 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
1.
2.
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ФМДиПТО «_» _____ 2015
г.
Заведующий кафедрой
/Т.С. Мамонтова/
Подпись
Ф.И.О.