Переходные процессы - классический подход (продолжение) 1) Законы коммутации : в цепях с реактивными элементами соблюдается принцип непрерывности во времени потокосцепления в индуктивности и электрического заряда в емкости. iL (0) iL (0) , uC (0) uC (0) -----------------------------------------------------------------------------------------------------Но: разумная идеализация цепи i WC CU 2 CE 2 2 2 Но: Q CU CE WE CE 2 W WE / 2 WRi -----------------------------------------------------------------------------------------------------Значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент коммутации независимые начальные условия Нулевые начальные условия ( iL (0) iL (0) 0 , uC (0) uC (0) 0 ) - в 0+ соответствие индуктивности разрыву, емкости - перемычке Ненулевые начальные условия → в момент времени 0+ индуктивность = генератор тока i iL (0) емкость = генератор напряжения e uC (0) -----------------------------------------------------------------------------------------------------Пример : Дано E, R1, R2, L, C ; Определить 1) i1 i2 i3 (t=0+), 2) 2 запасателя энергии → 2 независимых условия для уравнения 2-го порядка dii dt t 0 До коммутации ( t=0- ) : i1 (0 ) E i2 ( 0 ) R1 R2 1) i1 (0 ) E R1 i 2 ( 0 ) i2 ( 0 ) E R1 R2 i3 (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) E R2 R1 ( R1 R2 ) 2) uC (0 ) 0 i2 (0 ) R2 L duC dt 3) i3 (0 ) C но E i1 R1 uC ; 4) di3 dt di3 dt t 0 di1 dt d dt E t 0 t 0 di2 dt di2 dt di2 dt t 0 E t 0 R2 L( R1 R2 ) duC i3 (0 ) dt C duC i3 (0 ) , то dt C и т.к. u c ( 0 ) 0 → и dii dt t 0 0 R1 di1 duC dt dt E R2 R ( R1 R2 )C t 0 2 1 ER2 ER2 R ( R1 R2 )C L( R1 R2 ) 2 1 1 R2 R 1 R1 ( R1 R2 ) R1C L ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Принужденный и свободный режимы 1) Составление уравнений на основе законов Киркгофа Пример - RLC-контур (последовательный колебательный контур) di 1 idt e(t ) dt C Ri i L 2) Переход к дифференциальным уравнениям d dt di d 2i 1 de(t ) Ri L 2 i dt dt C dt 3) решение - как сумма принужденного (частное) и свободного (общего) решений Y (t ) YПРИНУЖДЕННОЕ (t ) YСВОБОДНОЕ (t ) Y ПРИНУЖДЕННОЕ (t ) - поведение под воздействием вынуждающей силы (источников) YСВОБОДНОЕ (t ) - внутренние процессы системы (т.е. для нулевой правой части); выбирается из начальных условий : Y (0 ) YПРИНУЖДЕННОЕ (0 ) YСВОБОДНОЕ (0 ) dY dt dYПРИНУЖДЕННОЕ t 0 dt dYСВОБОДНОЕ dt 0 0 Если воздействующая (вынуждающая) сила - постоянная или периодическая - то Y ПРИНУЖДЕННОЕ (t ) - так же и установившееся решение Функции, описывающие YСВОБОДНОЕ (t ) называют свободными составляющими -----------------------------------------------------------------------------------------------------Пример: Ri di d 2i 1 L 2 i0 dt dt C Характеристическое уравнение : Корни Lp 2 Rp 1 0 C p1 / 2 ; если p1 p2 , то общее решение : iСВОБОДНОЕ (t ) A1e p1t A2 e p2t полное решение i(t ) iПРИНУЖДЕННОЕ (t ) A1e p1t A2 e p2t В момент t 0 имеем i (0 ) iПРИНУЖДЕННОЕ (0) A1 A2 di di ПРИНУЖДЕННОЕ dt 0 dt находятся A1 p1 A2 p2 t 0 A1 / 2 Т.о. процедура : 1) частное решение (поведение при 2) n корней характеристического уравнения 3) постоянные интегрирования t ) p1 ... pn A1 ... An (из 1,2 и начальных условий) Переходной процесс (полное решение) : i(t ) iПРИНУЖДЕННОЕ (t ) A1e p1t A2 e p2t ... An e pnt