ФОС матем. анализ контрольная 1

ФОС
Контрольная работа по математическому анализу 1
Вариант 1
1. Даны вершины четырехугольника А(-2;14), В(4;-2), С(6;-2), D(6;10). Определить точку пересечения его диагоналей.
2. Найти площадь параллелограмма с вершинами в точках А(3;1), В(4;6), С(6;3).
3. Для треугольника с вершинами А(-2;0), В(2;4), С(4;0) написать уравнения медианы
АЕ и высоты АD. Вычислить длину медианы АЕ.
4. Через точку М(-1;2;3) проведена плоскость, перпендикулярная к ОМ. Написать ее
уравнение.
5. Найти расстояние от точки А(4;3;0) до плоскости, проходящей через точки В(1;3;0) и
С(4;-1;2) параллельно вектору а  (1;1;1) .
6. Определить при каком значении с уравнения 5х + с2у + z - 1 = 0 и -4х + у - сz = 0 будут задавать перпендикулярные плоскости.
Вариант 2
1. Определить координаты концов отрезка, который точками А(2;2) и В(1;5) разделен
на три равные части.
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х - 3у 1 = 0 и 3х - у - 2 = 0 перпендикулярно прямой у = х + 1.
3. Найти координаты единичных векторов, перпендикулярных вектору а  (2;3).
4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(3;4;5) параллельно векторам а  (3;1;1) и в  (1;2;1).
х 1 у  2 z 1


5. Найти координаты точки пересечения прямой
с плоскостью х 2
1
1
у = 0.
6. Найти расстояние между плоскостями 2х + у + 2z = 0 и 2х + у + 2z + 9 = 0.
Вариант 3
1.
Определить координаты концов отрезка, который точками А(2;0;2) и В(5;-2;0) разделен на три равные части.
2.
Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии 1 от точки А(0;3) и проходящей через точку В(2;4).
3.
Найти угол между диагоналями АС и ВD параллелограмма, если заданы три его
вершины А(2;1;3), В(5;2;-1), С(-3;3;-3).
4.
Найти расстояние от точки с координатами (а;в;с) до плоскости, отсекающей на
осях координат отрезки а, в, с.
5.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;-2;-7) параллельно
плоскости 2х - 3z + 5 = 0.
6.
Площадь треугольника равна 10 кв.ед. Две его вершины – точки А(5;1) и В(-2;2).
Найти координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси абсцисс.
Вариант 4
1.
Даны две противоположные вершины квадрата А(1;3) и С(-1;1). Найти координаты В и D.
2.
Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у = х - 2 и 5у = х + 6. Его диагонали пересекаются в начале координат. Написать уравнения диагоналей.
3.
Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину А(0;2) и уравнения
высот ВМ: х + у = 4 и СМ: у = 2х.
4.
Даны векторы а  (1;1) и в  (1;1). Найти угол между векторами х и у , удовле-
5.
2 х  у  а
творяющими системе уравнений 
 х  2 у  в.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;3) и отсекающей
на осях координат равные отрезки.
6.
Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2х + 2у + z - 8 = 0 и удаленных от нее на расстояние равное 4.
Вариант 5
1. Треугольник задан координатами своих вершин А(3;-2;1), В(3;1;5), С(4;0;3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
2. Задан треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(1;2), С(2;3). Найти координаты
точки пересечения его высот или их продолжений.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(-2;3) на одинаковом расстоянии от точек А(5;-1) и В(3;7).
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;3) и отсекающей на
осях координат Ох и Оу отрезки длины а = 4 и в = 3 соответственно.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;0) и В(2;1;1) перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.
6. Вершины пирамиды находятся в точках А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3), и D(0;-7;0).
Найти высоту пирамиды, опущенную из вершины D.
Вариант 6
1. Точки А(-2;1), В(2;3), С(4;-1) – середины сторон ∆KLM. Найти координаты его вершин.
2. В уравнении прямой 4х +су - 20 = 0 подобрать с таким образом, чтобы угол между
этой прямой и прямой 2х - 3у + 6 = 0 равнялся 45о.
3. Заданы две вершины треугольника А(-4;3) и В(4;-1) и точка пересечения высот
М(3;3). Найти третью вершину ∆АВС.
4. Векторы а, в, с имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора с , если а  (1;1;0), в  (0;1;1).
3х  2 у  z  3  0
5. Задано общее уравнение прямой 
. Написать каноническое урав4 х  3 у  z  5  0
нение этой прямой.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(1;2;3).
Вариант 7
1. На плоскости даны точки А(0;0), В(х';у') и D(х'';у''). Какие координаты должна иметь
точка С, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом?
2. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если задана вершина прямого угла С(3;-1) и уравнение гипотенузы 3х - у + 2 = 0.
3. Найти расстояние от точки М(2;3;1) до оси Оу.
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-3;5) и отсекающей на
осях Оу и Оz вдвое большие отрезки, чем на оси Ох.
5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1;-3;4) параллельно прямой
2 х  у  z  3
.

х  3 у  z  1
6. Будут ли векторы а  7i  3 j  2k , b  3i  7 j  8k , c  i  j  k компланарны?
Вариант 8
1. Заданы три вершины параллелограмма А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3). Найти координаты D.
2. Найти любые два угла и площадь ∆АВС, образованного прямыми у = 2х, у = -2х, у =
х + 1.
3. Заданы точки А(-4;0) и В(0;6). Написать уравнение прямой, проходящей через середину АВ и отсекающей на оси Ох отрезок, вдвое больший, чем на оси Оу.
4. В равнобедренном ∆АВС заданы вершина С(4;3), уравнение боковой стороны х - у =
0 и уравнение основания АС: 2х - у - 5 = 0. Написать уравнение стороны ВС.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;-3) и В(0;2;-1) параллельно оси Ох.
6.
Найти расстояние от точки М(2;0;2) до прямой
х у 1 z 1


.
2
1
3
Вариант 9
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (2, 3, -1) и перпендикулярной
вектору n  (1; 2;  4) .
2. Найти расстояние точки (5; 1; -1) от плоскости x  2 y  2 z  4  0 .
3. Дан треугольник с вершинами в точках (0; 0), (1; 2), (2;3). Найти точку пересечения его
высот или их продолжений.
4. Найти уравнение и длину высоты ВD в треугольнике с вершинами А (-3; 0),
В (2;5), С (3; 2).
5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых
2 x  3 y  5  0 и 3x  y  7  0 и перпендикулярной к прямой y = 2x.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые:
x  3 y z 1 x 1 y 1 z
 
и

 .
2
1
2
2
1
2
Вариант 10
1. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y  x  2 и 5 y  x  6.
Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.
2. Даны точки А (-4; 0) и В (0; 6). Через середину отрезка АВ провести прямую, отсекающую
на оси Ох отрезок, вдвое больший, чем на оси Оу . Написать уравнение.
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -1; 1), перпендикулярно
плоскостям: 1 : 2 x  z  1  0 и  2 : y  0.
4. Найти расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точки М1 (а; 0; 0),
М2 (0; а; 0), М3 (а; а; а).
5. Даны три вершины параллелограмма А (3; – 4; 7), В (-5; 3; -2) и С (1; 2; -3). Найти его четвертую вершину D, противоположную В.
6. Даны вершины треугольника А (1; -1; -3), В (2; 1; -2) и С (-5, 2; -6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
Вариант 11
1. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина
А(1; 3) и
уравнения двух медиан x  2 y  1 и y - 1  0 .
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (3; -2; -7) параллельно плоскости 2 x  3z  5  0 .
3. Найти расстояние от точки (а, в, с) до плоскости, отсекающей на осях координат отрезки а,
в и с.
4. Даны уравнения y + 4 = 0, 7x + 4y + 5 = 0 биссектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение 4x + 3y = 0 стороны, соединяющей вершины, из которых выходят данные биссектрисы. Написать уравнение двух других сторон треугольника.
5. Определить при каком значении t уравнения будут задавать перпендикулярные плоскости:
5x  t 2 y  z  1  0,  4 x  y  tz  0.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;-1;3) и отсекающей на осях
координат Ох и Оу равные отрезки, а на оси Оz отрезок в два раза больший.
Вариант 12
1. Доказать, что точки А(-4;-3), В(-5;0), С(5;6), D(1;0) служат вершинами трапеции.
Найти ее высоту.
2. Доказать, что ∆АВС является прямоугольным, если А(1;1), В(2;5); С(-6;7). Найти
угол при вершине А.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 5х - у +
10 = 0 и 8х + 4у + 9 = 0 параллельно прямой х + 3у = 0.
4. Даны векторы а  (1;1), в  (1;1). Найти угол между векторами х и у, если
х  2а  в, у  а  3в.
5. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(1; 0) параллельно
прямой x + y + 9 = 0.
6. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат прямой 3x - 4y +5 z - 60 =
0.
Вариант 13
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; 1) параллельно вектору a =(2; 1).
2. Найти расстояние между параллельными прямыми x + 2y – 1 = 0 и
x + 2y +
5 = 0.
3. Составить уравнение гипотенузы прямоугольного треугольника, проходящей через точку М(2;3). Если катеты треугольника расположены на осях координат, а
площадь треугольника равна 12 кв. ед.
4. Написать уравнение прямой, отсекающей от координатных осей равные отрезки
и проходящей через точку М(1;1).
5. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у = х - 2 и 5у = х + 6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения диагоналей параллелограмма.
6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (1; 2), В (2; -2), С (6;1).
Требуется: написать уравнение стороны АВ, высоты СD и вычислить ее длину h,
найти угол  между высотой СD и медианой ВМ.