Вступительная работа по математике

4
Вступительная работа по математике
1. Можно ли рассадить 56 кроликов по 10 клеткам так, чтобы во всех клетках
сидело разное количество кроликов и в каждой клетке сидел хотя бы один
кролик?
2. На доске выписаны все пятизначные числа, у которых каждая цифра либо равна
обеим соседним, либо отличается от соседних ровно на единицу – от одного в
меньшую, а от другого в большую сторону. Сколько написанных на доске чисел
содержат в своей записи цифру 5?
3. 48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они
затратят на работу, если каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут?
(Помните, что лошадь не может стоять на двух ногах).
4. В равнобедренной трапеции ABCD большее основание AD равно 12, меньшее
основание BC равно 6, высота равна 4. Что больше: угол BAC или угол CAD?
5. В спортивной секции фигурного катания на коньках 5/6 всех мальчиков и 3/4
всех девочек занимаются парным фигурным катанием, остальные –
индивидуальным. Какая часть всех ребят секции занимается индивидуальным
фигурным катанием (увлекающиеся парным катанием могут кататься только в
одной паре)?

x 2  x  6  3 y  2  0,

6. Решите систему уравнений: 
2
2

5 9 y  12 y  4  x  3x  2  0.
7. Хорда AB окружности радиуса 12 разделена точкой C на отрезки AC = 8 и CB
=10. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от точки C до точек
окружности.
8. Известно, что при всех значениях величины x, кроме x = 2, имеет место
1
ax  b
c
 2

равенство 2
x  x  1x  2 x  x  1 x  2 . Найдите a, b и c.
9. Пусть a, b, c – длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что
a 2  2bc b 2  2ac c 2  2ab
 2
 2
 3.
b2  c2
a  c2
a  b2
10. Единичный квадрат разбит прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных
квадратов, и средний квадрат выброшен. Каждый из оставшихся восьми
маленьких квадратов в свою очередь разделен прямыми, параллельными его
сторонам, на девять равных частей (квадратиков), и его средняя часть
выброшена, после чего аналогичная операция проделана с каждым из
оставшихся 64 квадратиков и т.д. Пусть эта операция повторена n раз.
1
а) Сколько квадратиков со стороной n осталось?
3
б) К чему стремится сумма площадей квадратов, выброшенных за все n шагов,
при неограниченном возрастании n?
Внимание! Для тех, кто с 1 сентября 2009 года будет учиться
в 9 классе – задачи N 1 – 6,
в 10 классе – задачи N 3 – 8,
в 11 классе – задачи N 5 – 10.