Тема 1. Предел и непрерывность функции.

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Российский государственный торгово-экономический университет
Уфимский институт (филиал)
Кафедра Информационных технологий
Одобрено УМС института _____________
Протокол №__от «___»___________20__г.
Председатель _________________________
Рабочая программа
Наименование дисциплины (модуля)
Математика
Для направления подготовки
230700 Прикладная информатика
Квалификации (степени) выпускника ______Бакалавр_______
Форма обучения _____Очная____
Согласовано:
Учебно-методическое отдел
Уфимского института (филиала) РГТЭУ
«____» ________________20__г.
Рекомендовано кафедрой
Протокол № ____
от «___» ________________20__г.
Зав.кафедрой__________Галиаскаров Ф. М.
____________________________
Уфа 2011_г.
Содержание
1. Цели и задачи дисциплины.
2. Место дисциплины в структуре ООП.
3. Требования к результатам освоения дисциплины.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы.
5. Содержание дисциплины.
5.1Содержание разделов и тем дисциплины.
5.2Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
5.3 Разделы и темы дисциплин и виды занятий.
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература;
б) дополнительная литература;
в) учебно-методическое обеспечение;
г) базы данных, поисково-справочные и информационные системы
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
8. Образовательные технологии.
9. Оценочные средства. (ОС).
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.
Целью изучения дисциплины является освоение базовых понятий, методов
и принципов математического анализа (дифференциального и интегрального
исчисления), линейной алгебры, элементов теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, теории функций комплексного переменного.
Эти принципы и методы лежат в основе математической обработки экономических данных и расчета экономических показателей, входят в число основных инструментов специалиста по информационным системам и технологиям,
которые необходимы ему для моделирования процессов и систем, оценки
надежности и качества функционирования объекта проектирования, расчета
экономической эффективности объектов, организационно-управленческой деятельности, разработки средств реализации информационных технологий, том
числе математических, проверки используемых математических моделей.
Таким образом, владение аппаратом математического анализа является необходимым для проектно-конструкторской, проектно-технологической, производственно-технологической, организационно-управленческой и научноисследовательской деятельности - направлений, входящих в число основных
для бакалавра по направлению подготовки 230400 , согласно пунктам 4.1 и 4.3
ФГОС.
2. МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина “Математика” относится к базовой части математического и
естественно-научного цикла (Б.2) ООП бакалавриата. Рекомендуется изучать
её в 1 и 2 семестрах.
Изучение дисциплины “Математика” базируется на знаниях, полученных
студентами в процессе освоения школьной программы по предмету Математика.
Освоение дисциплины “Математика” необходимо, как предшествующее для
дисциплин: 1) базовой части профессионального цикла (Б.3): Теория информационных процессов и систем, Интеллектуальные системы и технологии
; 2) вариативной (профильной) части профессионального цикла (Б.3): Основы
общей теории систем и системного анализа в предметной области, Техникоэкономическое обоснование проектных решений, Электротехника и безопасность электроустановок; 3) вариативной части математического и естественнонаучного цикла (Б.2): Математические методы прогнозирования процессов
информатизации, Математические методы принятия решений, Экономикоматематические методы в профессиональной деятельности/Элементы математической лингвистики и теория формальных языков в профессиональной деятельности.
3. Требования к результатам освоения дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
1. Владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
2. Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического анализа
и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
3. Способность проводить моделирование процессов и систем (ПК-5);
4. Способность оценивать надежность и качество функционирования объекта
проектирования (ПК-6);
5. Способность проводить расчет экономической эффективности (ПК-9);
6. Способность разрабатывать средства реализации информационных технологий (методические, информационные, математические, алгоритмические, технические и программные) (ПК-12);
7. Способность обосновывать правильность выбранной модели, сопоставляя
результаты экспериментальных данных и полученных решений (ПК-25);
8. Готовность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований (ПК-26).
В результате освоения дисциплины студент должен:
знать:
-основные структуры, понятия и теоремы математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления), линейной алгебры;
- основы теории вероятностей и математической статистики;
- элементы теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного;
уметь:
- применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности;
- использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований (ПК-26);
решать типовые задачи по основным разделам естественнонаучных курсов, используя методы математического анализа и другие математические методы;
владеть:
- навыками применения современного математического инструментария для
решения задач в своей профессиональной деятельности;
- методами построения математической модели профессиональных задач и
содержательной интерпретации полученных результатов.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Семестры
Аудиторные занятия (всего)
Всего
час / зачетных
единиц
114/9
63
51
В том числе:
-
-
-
Лекции
44
23
21
Практические занятия (ПЗ)
70
40
30
Семинары (С)
0
0
0
Самостоятельная работа (всего)
174
89
85
Вид учебной работы
В том числе:
1
-
2
-
-
Контрольные работы
8
4
4
Подготовка к экзамену
20
10
10
Подготовка к зачету
10
5
5
Другие виды самостоятельной работы
-
-
-
Выполнение домашних заданий
76
40
36
Проработка лекций
60
30
30
Зачет
Экзамен
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость часы
324
152
136
зачетные единицы
9
5
4
5. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.
5.1. Содержание разделов дисциплины
1. Предел и непрерывность функции.
Множество действительных чисел. Понятие функции. Способы задания
функций. Элементарные функции. Простейшие неэлементарные функции.
Числовая последовательность и ее предел. Два способа определения предела
функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно
большие функции. Односторонние пределы. Два замечательных предела.
Приращение функции. Возрастание и убывание функции. Свойства непрерывных функций.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Определение производной. Дифференцируемость и непрерывность
функций. Геометрический, физический и экономический смысл производной.
Свойства производной. Правила дифференцирования (включая производные
сложной и обратной функции). Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический
смысл дифференциала и его использование в приближенных вычислениях.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Исследование функций с помощью дифференциального исчисления. Условия возрастания и убывания функций. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Выпуклость графика функции.
Точки перегиба и их нахождение. Асимптоты. Общая схема исследования
функции.
Формулы Тейлора и Маклорена. Примеры разложения элементарных
функций по формуле Маклорена.
3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Полное и частное приращение функций.
Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференцируемости функций двух переменных.
Производная по направлению. Градиент и его свойства. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие для случая двух независимых переменных. Нахождение наибольшего и
наименьшего значения функции нескольких переменных. Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов.
4. Неопределенный интеграл.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование
по частям. Интегралы специального вида.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.
Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.
5. Определенный интеграл (интеграл Римана).
Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем для интеграла Римана. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу. Формула НьютонаЛейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела вращения. Приближенные методы вычисления опреде-
ленного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Несобственные интегралы. Понятие о кратных интегралах.
6. Числовые ряды и степенные ряды.
Сходимость ряда. Сумма ряда. Свойства числовых рядов. Необходимое
условие сходимости ряда. Сходимость знакопостоянных рядов. Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признак сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная сходимость, признак Лейбница.
Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена или Тейлора.
Использование рядов для приближенных вычислений.
7. Векторная алгебра.
Линейно зависимые и линейно не зависимые системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости векторов. Базис и ранг системы векторов.
Ортогональный и ортонормированный базисы. Представление вектора в координатной форме. Действия с векторами, заданными в координатной форме.
Разложение вектора по произвольному базису.
8. Матрицы и системы линейных уравнений.
Понятие Определителя n-го порядка. Миноры, алгебраические дополнения. Способы вычисления и свойства определителей. Матрицы и действия над
ними. Транспонированная матрица. Обратная матрица и способы ее нахождения. Ранг матрицы.
Линейные уравнения с n неизвестными. Условия совместности и определенности СЛУ. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера.
Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Допустимое, базисное, опорное решение системы линейных уравнений.
9. Аналитическая геометрия.
Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
Прямая и плоскость в пространстве R3. Расстояние от точки до плоскости.
Векторное, параметрическое, каноническое уравнения прямой в R3.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
№ Наименование обеспечип/п ваемых (последующих)
дисциплин
№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Математические методы
прогнозирования процессов информатизации
Математические методы
принятия решений
Экономикоматематические методы в
профессиональной деятельности/Элементы математической лингвистики и теория формальных
языков в профессиональной деятельности
Статистические методы
оценки и прогнозирования в социальноэкономических и технических системах
Теория информационных
процессов и систем
Интеллектуальные системы и технологии
Основы общей теории систем и системного анализа в предметной области
Технико-экономическое
обоснование проектных
решений
Электротехника и безопасность электроустановок
2
3
4
5
6
7
8
1-7
1-7
1-7
1-7
1-7
2,3
2-5
5.3. Разделы дисциплины и виды занятий
2-5
2-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Семестр
Компетенции
№ Раздел
п/п учебной
дисциплины
Виды учебной
деятельности
ПК-5
ПК-26
ПК-5
ПК-12
ПК-26
ПК-19
ПК-20
1
лек- семи- СР
ции нары С
5
8
32
1
4
8
20
1
4
8
22
ПК-5
ПК-12
Определенный интеграл
ПК-12
ПК-26
Числовые и степенные ряды ПК-5
ПК-12
Векторная алгебра.
ПК-5
Матрицы и системы линей- ПК-5
ных уравнений.
ПК-12
Аналитическая геометрия
ПК-12
Итого
1
4
6
30
1
8
8
14
1
7
8
12
2
2
4
4
8
8
14
15
2
4
44
8
70
15
174
Предел и непрерывность
функции
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменых.
Неопределенный интеграл
6. Лабораторный практикум
В дисциплине выполнение лабораторных практикумов не предусматривается.
7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
В дисциплине выполнение курсовых проектов (работ) не предусматривается.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
8.1. Основная литература.
1. Шипачев В.С. Высшая математика.—М., Высшая школа, 2002.
2. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.—М., Высшая школа,
2006.
3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 2002
4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М., Высшая школа, 2002.
5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.,
Высшая школа, 2001.
6. Крупин В.Г., Туганбаев А.А. Теория вероятностей. — М., Факториал, 2006.
8.2. Дополнительная литература.
7. Ефимов А.В. , Демидович Б.П. (ред.) Сборник задач по математике для ВТУЗов. Части 1-2. - М., Наука, 1986.
8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов.
Т. 1-2. — М., Наука, 1985.
9. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. — М.,
Наука, 2005.
10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М., Наука, 1988.
8.3. Методическое обеспечение.
1. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач. Ч. 1. —
М., РГТЭУ, 2007.
2. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А., Туганбаев А.А. Высшая математика. Сборник
задач. Ч. 2. — М., РГТЭУ, 2007.
3. Мушруб В.А., Чубарова Е.И.. . Контрольные задания по высшей математике
для студентов заочной формы обучения (первый семестр) – М, РГТЭУ, 2007.
8.4. Информационное обеспечение дисциплины
При изучении курса Математика могут быть использованы интернет – ресурсы:
www.Math-Net.ru – имеется свободный доступ (по истечении 3-х лет со дня
публикации) к математическим журналам Отделения Математики РАН,
http://en.wikipedia.ru – созданная пользователями интернет-энциклопедия,
http://mathworld.wolfram.com – краткие энциклопедические статьи по математике,
http://eqworld.ipmnet.ru – решение различных типов уравнений, в том числе,
дифференциальных,
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk – статьи по истории математики.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
При подготовке к практическим занятиям и самостоятельной работе используются компьютерные классы со стандартным программным обеспечением:
 ОС Windows,
 пакет программных средств офисного назначения MS Office,
 стандартные пакеты прикладных программ по математике.
На лекциях и практических занятиях могут быть использованы технические
средства обучения (средства ИКТ):
1. Экран (на штативе или настенный). Минимальный размер 1,25 х 1,25 м.
2. Мультимедиа-проектор. В комплекте: кабель питания, кабели для подключения к компьютеру, видео- и аудиоисточникам.
3. Персональный компьютер — рабочее место преподавателя. Основные технические требования: операционная система с графическим интерфейсом, привод
для чтения и записи компакт-дисков, аудио- и видеовходы/выходы, возможность подключения к локальной сети и выхода в Интернет; в комплекте: клавиатура, мышь со скроллингом, коврик для мыши; оснащен акустическими системами, микрофоном и наушниками; может быть стационарным или переносным.
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
10.1. Темы практических и семинарских занятий.
На практических и семинарских занятиях рассматриваются задачи и вопросы по следующим темам:
1. Предел и непрерывность функции.
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью
определения функции?
2. Какие функции называются элементарными?
3. Какой вид имеют графики функций y  a x при a  1 , y  sin x, y  cosx , y  tg x,
y  arcsin x, y  arctg x ? Укажите области определения и множества значений
этих функций. Какие из этих функций являются чётными?
4. При каких условиях число b называется пределом функции f (x ) при стремлении x к числу 2, к бесконечности   ,   ? Прочитайте формулы lim f (x )  1 ,
x 2
lim f (x )  0
x 
и объясните их смысл.
5. Пределом какой функции при x  0 является число e ? Найдите в учебнике
значение числа e с двумя знаками после запятой. Как называется и обозначается логарифм числа x по основанию e ? Какому числу равен предел lim sinx x ?
x 0
7. Какие правила применяются при вычислении пределов суммы, разности и
отношения двух функций?
8. Как определяется непрерывность функции f (x ) в точке a ?
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
Понятие функции
1.1. Найти области определения и построить графики функций:
1) y  x
6) y  -x2  1
2) y  - x
7) y  (x - 1) 2  2
3) y  -
1
x
1
x 1
1
9) y 
1- x
8) y 
4) y  1 - x
5) y  x  x
2
10) y 
x 1
1.2. Найти области определения функций
1) y  x - 1 - 5 - x
5) y  ( x - 1)(x - 2)
2) y  log 2 x
6) y  log x 2 - x
1
1
 2
x 1 x 1
1
1
4) y 
8) y 
x -1 1
-x  2x
1.3. По заданным функциям f ( x) u g(x) построить сложную функцию
y  f ( g ( x)) :
3) y  ln x
7) y 
1) f(x)  ln x, g(x)  x ;
6) f(x)  x  1, g(x)  x 2 ;
2) f(x)  x , g(x)  ln x;
7) f(x)  ln x, g(x)  e x ;
3) f(x)  sin x, g(x)  x ;
8) f(x)  e x , g(x)  ln x;
4) f(x)  x , g(x)  sin x;
9) f(x)  tg x, g(x)  arctg x;
2
5) f(x)  x , g(x)  x  1; 10) f(x)  arctg x, g(x)  tg x.
2
Числовая последовательность и ее предел
1.4. Написать пять первых членов последовательности:
1) x n 
1
;
n
5) x n  n 2  1;
3) x n  (-1)  n;
n
7) x n
1
;
n 1
1
 1- ;
n
2) x n 
1
1 2 ;
n
4) x n
6) x n  10 n ;
8) x n  (1  n)
1.5. Написать формулу общего члена последовательности:
1 1 1
1) 1; ; ; ;...
3 5 7
3) 0; 0,9; 0,99; 0,999;...
2) 2; 2 ; 3 2 ; 4 2 ;...
3 4 5
4) 2; ; ; ;...
2 3 4
Используя определения предела последовательности, доказать равенства:

1
2
.
n 1
 1;
n
1
1.9. lim
 0;
n 
n
(-1)n
1.11. lim
 0.
n  n  1
5
 0;
n
n 1
1.8. lim 2  0;
n  n
1.6. lim
1.7. lim
n 
1.10. lim
n 
n 
1
 0;
2n
Предел функции.
Используя определения предела функции, доказать равенства
1.12. lim (3x  2)  5;
x 1
1
 ;
x 1 x - 1
1.14. lim
1.16. lim
x 2
x  2;
1.13. lim (1  2 x )  3;
x  1
1.15. lim ( x 2  1)  ;
x 
sin x
 0;
x  x
1.17. lim
Найти пределы:
x2 1
;
x 1 x 2  2
2
1 x
1.19. lim (

);
x 1 x  1
x 1
1.17. lim
1.21. lim
x 0
1 x 1
;
x
1.23. lim ( x 2  1  x);
x  
1.25. lim
x  
x 1
x2 1
;
1 x 1
;
x 0
x2
ln( 3  x)
1.29. lim
;
x 1
1
1
x
sin x
1.31. lim
;
x 
x
1.27. lim
x 2  2x  1
;
x 1
x3  x2
2x 2
1.20. lim
;
x 0
x 2  16  4
1.18. lim
x2 1
;
x  2 x 2  2
1.22. lim
1.24. lim ( x 2  1  x)
x  
1.26. lim
x  
x 1
x2 1
;
3x 2  2 x  8
;
x 
x3  4
1 x  x2
1.30. lim
;
x  1  x  x 2
1.28. lim
( x  1) 2  x
.
x 1
x2 1
1.32. lim
Используя первый замечательный предел, вычислить:
sin5 x
;
x 0 x
tg 3x
lim
;
x  0 sin 4 x
x tg x
lim
;
x  0 1  cos 2 x
x
lim
;
x  0 1  cos x
tg x
lim
;
x    x
tg x
;
x 0 x
sin 7 x
1.36. lim
;
x  0 sin 3 x
1  cos x
1.39. lim
;
x 0
x2
1
1
1.41. lim (

);
x  0 sin x
tg x
tg 2 x
1.43. lim
;
x  tg x
1.33. lim
1.37.
1.38.
1.40.
1.42.
1.34. lim
Непрерывность функций. Точки разрыва.
Найти точки разрыва функции
1
x5
; 1.45. y  2
;
x x-2
x - 3x  2
x
3x  2
1.46. y 
; 1.47. y 
;
2
2x  3
ln(1  x )
x 
x 1
1.48. y 
;
1.49. y  3
;
sin x
x 1
x -1
(x  1)(x  2)(x  3)
1.50. y  3
;
1.51. y 
;
( x - 1)(x - 2)(x - 3)
x 1
1.44. y 
2
1.81. Исследовать на непрерывность функцию y 
1) 2;5;
2) 4;10;
1) - 2;2  ;
5) 2;12  ;
2) - 20;20  ;
6) 0,1;9,9  ;
на отрезке:
3) 0;7.
1.82. Исследовать на непрерывность функцию y 
на отрезке:
1
( x  1)( x  6)
3) 1;5 ;
7) - 11;-9 ;
1
1
1


x x  10 x  10
4) - 1;5 ;
8) - 90;-20.
Определить характер точек разрыва:
1.55. y 
x2
;
x2
1.56. y 
1
;
( x  2)( x  3)
1.57. y 
1
;
1  e1 x
1.58. y 
ex
;
( x  1) 2
 sin x
 12
, x0

 x
1.59. y   x
; 1.60. y  e , x  0 ;
 1, x  0
0, x  0
Литература :[1,2,3,5] Учебно-методическая литература:[1,2]
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Сформулируйте определение производной. Каков геометрический смысл
производной?
2. Функция имеет производную в данной точке. Следует ли отсюда, что она
непрерывна в этой точке?
3. Сформулируйте теоремы Ролля и Лагранжа. Каков геометрический смысл
этих теорем? Сформулируйте теорему Коши.
4. В чем заключается правило Лопиталя? При каких условиях применяется
правило Лопиталя? Перечислите различные типы неопределённостей, для раскрытия которых может быть использовано это правило. Приведите примеры.
5. Что называется дифференциалом функции? Приведите примеры.
6. Каковы признаки возрастания и убывания функции?
7. Что такое экстремум функции? Каковы необходимые и достаточные условия экстремума? Приведите примеры.
8. Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не
является достаточным условием экстремума.
9. Как найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции?
Приведите примеры.
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
Понятие производной. Вычисление производных.
Исходя из определения производной, найдите производную функции:
2.1. y  2x  3.
2.2. y  1 - 5x.
2.4. y  (x  1) 2 .
2.5. y  x  1.
1 2 1
x  .
2
4
1
2.6. y 
.
x-2
2.3. y 
Вычислить производные:
2.7. 1) x 2 - 6x  8;
1
;
x
6)
7)
3) - 1 - x -1 - x -2 ;
1
;
x
1
1
9) 2x - 2  3 ;
x
x
2 5
10) x .
5
4) 2x  2 x ;
5)
3
x  3 2;
3
x3
3
;
x
2) 1  x  x 2  x 3 ;
8) x 
2.8. 1) sin x - cos x;
4) x - arctg x;
1
1

;
sin x cos x
3) x - arcsin x;
5) tg x  ctg x;
2)
6) cos x  arccos x.
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций:
2.9. y=cos (x2 +2x - 4).
2.11. y=sin ex.
2.13. y=e 2x-3 .
2.15. y=etgx .
2.17. y= ln(1+2 x ).
2.10. y=sin (x3 - 3x +5).
2.12. y=cos 2ln x .
2.14. y=e x .
2.16. y=esinx .
2.18. y= ln( 2x2 +4x -1).
Составить уравнения касательных к графикам функций:
в точке (3;2) .
в точке (4;2) .
в точке пересечения с осью Оx.
в точках пересечения с осью Оx .
в точке пересечения с осью Оy.
2.19. y=x2 - 3x + 2
2.20. y= x
2.21. y= ln x
2.22. y= x2 - 5x + 6
2.23. y=e7x
Понятие дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Найти дифференциалы функций:
2.24. y= x3 - 3ln x .
2.26. y= sin 3x .
2.25. y= cos x  ex .
2.27. y= tg ln x .
2.28. y= x2 arctg x .
2.29. y=
2.30. y=
sin x
.
1  cos x
1  sin x
.
1  sin x
2.31. y= sin 2x  2x x .
2.32. Найти приближенно приращение  у:
1) функции у=
1
x
,
2) функции у= sinx ,
если х= 4 ,  х= 0,08;
если х=

,  х= 0,02;
3
Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:
2.33. y= x3 - 3x2 + x + 1.
2.34. y= (0,1x+1)5.
2.35. y= xcos2x.
2.36. y= sin2x.
Найти производные 3-го порядка от функций:
2.37. y=ex  cosx.
2.38. y= x2  ex .
2.39. y=ln(2x+5).
2.40. y= xlnx.
Найти производные n-го порядка от функций:
1
.
x
2.41. y=
2.42. y= e2x.
2.43. y= 5x.
2.44. y= ln(1+x).
Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.
2.45. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции:
1) f(x)=x, x  [0,1];
 x, если x  [0,1)
;
0, если x = 1
2) f(x)= 
Найти пределы с помощью правила Лопиталя:
ex  1
.
x 0
x
e x  e x
2.48. lim
.
x  0 ln(1  x )
ln x
2.50. lim
.
x   x
2.46. lim
ln( x 2  2 x  10)
.
x  ln( 3x 2  x  5)
ln( x  1)
2.54. xlim
.
 1
ctgx
2.52. lim
sin 5x
.
x 0 e 2 x  1
x  sin x
2.49. lim x
.
x  0 e  e sin x
ln x
2.51. lim
.
x 0 1
x
x 1
2.53. lim
.
x 1 ln x
ex
2.55. lim 2 .
x   x
2.47. lim
Исследование функций и построение графиков.
2.56. Найти максимумы и минимумы и промежутки возрастания и убывания
функций:
1) f(x)=x3 - 3x2 - 9x + 5;
2) f(x)=
x 2  6x  13
;
x3
3) f(x)=xlnx;
4) f(x)= x - arctg2x;
Применение дифференциального исчисления в экономических вопросах.
2.57. Зависимость спроса (объема продаж) от цены выражается формулой

d(p)= e
p2
16
. Определить, для каких p спрос эластичен, неэластичен, нейтрален.
1
,
p
где  >0-const. Определить, когда спрос будет эластичен, неэластичен, нейтрален.
2.58. Зависимость спроса от цены при р  p0 выражается формулой d(p)=
2.59. Пусть х - объем продаж некоторого товара торговой фирмой, р(х) - функция спроса (выражает зависимость между ценой и объемом продаж), Z(х)-
функция издержек (затраты фирмы на реализацию товара). Учитывая, что прибыль от продажи товара находится по формуле V(x) = x p(x) - Z(x), определить:
а) интервалы значений объемов продаж, при которых торговля этим товаром
будет прибыльной (убыточной);
б) оптимальные значения объема продаж х* и цены р*, обеспечивающие максимум прибыли V(x), вычислить Vmax.
Используя эскизы графиков функций выручки W(x) =x p(x) и функции издержек Z(x), дать геометрическую интерпретацию полученным результатам.
Выполнить задание для случаев:
1) р(х)=155-3х,
Z(x)=1800+5х;
2) р(х)= 100-2х,
Z(x)= 375+3х2;
3) р(х)=
10
Z(x)=21+х;
,
x
Литература :[1,2,3,5]
Учебно-методическая литература:[1,2]
3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Сформулируйте определения частных производных, градиента, производной по направлению.
2. Что называется полным приращением и полным дифференциалом функции двух переменных? Приведите примеры.
3. Каковы необходимые условия минимума (максимума) функции двух переменных?
4. Каковы достаточные условия минимума (максимума) функции двух переменных.?
5. Что такое условный экстремум?
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
Понятие функции нескольких переменных. Частные производные
1-го и 2-го порядка. Дифференциал функции.
3.1. Вычислить:
1) значения F(2,3), F(1,2), F(2,1), F(a,0), F(0,a), если F  x , y 
x  2y
;
y2  x2
2) значения F(2,4), F(4,2), F(1,a), если F (x , y )  x y  y  2x  6 .
3.2. Найти области определения функций:
1) z 
5
;
x  y2
2
4) z  ln( xy);
2) z 
1
xy
3) z  1  x 2  y 2 ;
5) z 
4
;
x  y2
6) z  x  y ;
2
7) z  arcsin( x 2  y 2 ).
3.3. Построить несколько линий уровня функций:
2) z=y-x2;
1) z=xy;
5
;
xy
3) z=
4) z=ln(x2+y2);
5) z=
Найти частные производные 1-го порядка функции:
3
3.4. z=x2-2xy-5y
.
2
2
x

y
3.6. z= e
.
3.8. z=
3.5. z=2x3+3x2y-y+5.
3.7. z=ln(x2+y2).
y
.
x
3.9. z=
3.10. z= xy .
3.12. z= arctg(
xy
.
2x  y
3.11. z=x2exy.
x ey ) .
3.13. z= arcsin
y
.
x
Найти частные производные 2-го порядка:
3.14. z= x2-2xy+5y2.
3.16. z=
3.15. z= x y 2 .
x2
.
1  2y
3.17. z= ln(x2-y2).
3.18. Найти частные производные 3-го порядка для функций:
1) z=2x3+xy2-y3+y2-x;
x3
2) z=
3
y
.
Производная по направлению и градиент функции.
3.19. Найти grad z(x,y) для функции:
xy
;
1) z  x y  tg ( y 2 ); 2) z  x
e  ey
3) z  ln( x y  sin x) ; 4) z  e
cos( x ln y )
.
3.20. Построить линии уровня и grad z в точке А(1;2) для функций:
1) z=4-x2-y2;
2) z=x2-y;
3) z=2x+y-3;
4) z=
y
.
x
Экстремум функции двух переменных.
Найти экстремумы функции:
3.21. z= 3x2 +xy+2y2+4x-7y+15.
3.22. z= -x2+2xy-2y2 +2x+20.
3.23. z= 5x2 +2xy - y2-4x-8y+10.
3.24. z= x3 +8y3 -6xy +1.
7
.
x  y2
2
3.25. z= 2x3 -xy2 +5x2+y2.
3.26. z= y x  y 2  x  6 y .
Литература :[1,2,3,5]
Учебно-методическая литература:[1,2]
4. Неопределенный интеграл.
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.
2. Что называется неопределённым интегралом?
3. Какие правила применяются для вычисления неопределённого интеграла
суммы функций, для вычисления  k  f (x ) dx ?
4. Выведите формулу интегрирования по частям.
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
Понятие неопределенного интеграла.
Вычисление неопределенных интегралов.
4.1. Проверить, что:
dx
1
x
4x x
 arctg  C;
2)  2 x dx 
 C;
4 2
2
3
dx
1
3) 
 2 x  C;
4)  e 5 x dx   e 5 x  C;
5
x
dx
1
dx
6) 
 ln x  x 2  a  C;
5)  4
   arctgx  C;
2
2
x
x x
x a
3x  5
2x  1
7)  2
dx 
 arctg ( x  1)  C.
2
2
( x  2 x  2)
2( x  2 x  2)
1)
x
2
Вычислить интегралы:
2
4.2.  (5 x 4  x 2  x  )dx.
x
4.3.  ( x 3  3x 2 
ex
 4)dx.
cos x
2  x cos 2 x  3ctg 2 x  5 cos 3 x
4.8. 
dx.
cos 2 x
4.6.  cos x(2tg x +
Вычислить интегралы:
4.9.
3x  7
 x 2  5x  6
dx.

2
)dx.
x2
2 x
2
4.5.  (

)dx.
2
1- x 2 1 x
2
4.7.  sin x(1 + 3
 4ctgx)dx.
x sin x
1
4.4.  (2 x  1) 2 dx.
1
4.10. 
x 8
x2  x  2
dx.
4.11.
dx
 x2  1 .
4.12. 
3x 2  2 x  3
 x( x  1)( x  1) dx.
2x  3
4.15. 
dx.
( x  2) 3
2x  1
4.17.  2
dx.
x  4x  5
4.13.
x dx
.
x  3x  2
x2  2
4.14. 
dx.
x( x  2)( x  1)
dx
4.16. 
.
( x  1) 2 ( x  1)
4x  3
4.18.  2
dx.
x  2x  5
2
Литература :[1,2,3,5]
Учебно-методическая литература:[1,2]
5. Определенный интеграл (интеграл Римана).
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Что называется интегральной суммой функции f (x ) на отрезке [a; b] . Какая
фигура называется криволинейной трапецией? По какой формуле вычисляется
её площадь?
2. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.
3. Какие свойства определённого интеграла Вам известны?
4. В чём состоят определение и геометрический смысл несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования?
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
Понятие определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.
4.19. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу найти интегралы:
b
1)
a
 c dx;
2)
a

0
a
x dx;
3)
e
x
dx
0
2
4. 20. Вычислить интегральную сумму S5 для интеграла

dx
1
x
, разбив отрезок
[1;2] на пять равных частей и взяв в каждой части ее середину. Сравнить с точным значением интеграла.
2
4.21. Выполнить задание предыдущей задачи для интеграла
 x dx.
2
1
Вычислить:
9
4.22.

1
1
4.24.

dx
e
0
x
4.23.
2
 (sin x  cos x )dx.
0
1
2x
dx.
4.25.  ( x  x 2 )dx.
0
3
4.26.

1
3x 4  3x 2  1
dx.
x2  1
1
dx
.
2
x 1
4.27.

0
Геометрические приложения определенного интеграла.
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
4.28. у= ex, х=0, х=1, у=0.
4.29. у= x2+5x+6, х=-1, х=2, у=0.
4.30. у= -x2+2x+3, у=0.
4.31. у=x7, х=2, у=0.
4.32. у= ln x, х=e, у=0.
4.33. у= sin x, у=0, 0  x   .
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:
4.34. у= 4-x2, у=0, х=0, где x  0 , вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
4.35. у= ex, x=0, x=1, у=0
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
2
4.36. у= x +1, у=0, х=1, x=2
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
Несобственные интегралы.
Исследовать сходимость и вычислить сходящиеся интегралы:
+

4.37. 1)
dx
1
+
x

;
 e dx;
x
4.38. 1)
2)
4.39.

2

4.41.
2)
dx
.
x ln 2 x
x
2


dx
1 x 2 ; 4)
dx
x
a
, a  0.
1
0
0

dx
1 x ; 3)
dx
.
x
2
 e dx.
x
-

4.40.

e
x
0

4.42.
x
2
x
dx.
dx
.
1
2
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
Литература :[1,2,3,5]
Учебно-методическая литература:[1,2]
6. Числовые ряды и степенные ряды.
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Что называется суммой ряда?
2. Какой ряд называется условно сходящимся?
3. Если сумма двух рядов сходится, будет ли сходиться каждый из рядов?
4. Изменяется ли сумма условно сходящегося ряда при перестановке его членов ?
5. Пусть сумма сходящегося ряда не меняется при перестановке его членов.
Будет ли ряд абсолютно сходящимся?
6. Какой функциональный ряд называется равномерно сходящимся?
7. Что такое область сходимости степенного ряда?
8. Как найти радиус сходимости степенного ряда?
9. Всегда ли ряд Тейлора функции сходится к ней самой?
10. Как найти ряд Тейлора производной некоторой функции, если известен
ряд Тейлора самой функции?
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
Понятие числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости.
Вычислить первые четыре члена ряда:

6.1.

n=1

6.3.

n=1

6.5.

n=1

6.7.

n=1
1
.
2n - 1
n
.
2
n +1
(-1)n
.
n
n
sin
2 .
n!

1
5
6.2.
n
.
n=1

2n
.

2
n=1 n

(-1)n+1
6.6. 
.
3n
n=1
n
cos
 n!

2
6.8. 
.
n=1 (2n - 1)(2n + 3)
6.4.
Найти формулу для общего члена ряда:
1 1 1 1
   ... .
2 4 6 8
1
1
1
1
6.11.



... .
2  3 3 4 4  5 5 6
52 53 54
6.13. 5 -   ... .
4 9 16
6.9.
1 1
1
1
 

... .
3 9 27 81
1
1
1
1
6.12. 



... .
ln2 2 ln 3 3 ln 4 4 ln 5
2
4
8
16
6.14.
+


... .
1 1 2 1 2  3 1 2  3 4
6.10.
Проверить, выполнено ли необходимое условие сходимости ряда:

6.15.
6.17.
6.19.
6.21.
6.23.

n
.

n=1 7n + 100

1
.

n=1 2n

3n
.

n
n=1 7

1
n  sin .

n
n=1

sin n
.

n=1 ln n
Сравнением с рядом
6.16.
n=1

6.18.
1
 n+2.
n=1

6.20.
n
1
n=1

6.22.
1 n
).
n
 (1 
(
n
.
n  1  n ).
n=1


n 1
1
, a>0 или
na

q
n 1
n
исследовать сходимость ряда:

6.25.

n=1

6.27.

n=1

6.29.

n=1

6.31.

n=1

6.33.

n=1

6.35.

n=1

6.37.

n=1
6.26.
n 1
.
3n2 + 1
6.28.
2n - 1
.
2
n +n+2
1
.
n  3n
6n
.
n
7 (3n + 1)
cos2 (ln n)
.
3
n4  3 n
1
.
(n + 1)!
n2  n
.
2n 3  n

n
.
2
n - 0,5

n=1
n=1
3n 3  n  1
.
2n5  2

sin( n  1)


 3n
6.30.
n=1

.
6n

6.32.
n  n
.
n  7n
1
6.34. 
.
n
n=1 ( n  1)

5n
6.36. 
.
n
n=1 n(5  3)
n=1

(n  1)!
.
n n+2


6.38.
n=1
C помощью признака Даламбера исследовать, сходятся или расходятся ряды:

6.39.

n=1

6.41.

n=1

6.43.

n=1

6.45.

n=1

6.47.

n=1

2n
.

n=1 n!

n!
6.42.  5 .
n=1 n
1
.
n!
n3
.
3n
6.40.
2n
.
n2 + 1
n3
.
(2n - 1)!
1
.
nn

n
.
2n

6.44.
n=1

n
6.46.

n=1

6.48.

n=1
n
2
.
5n
nn
.
n!
C помощью интегрального признака исследовать, сходятся или расходятся ряды:

6.49.
1
, a  0.

a
n =1 n

6.50.
n
n =1

1
.

2
n=1 n  0,25

1
6.53. 
.
n = 2 n ln n
6.51.
1
.
1
2

6.52.
1

5n - 1
n=1

6.54.
1
 n ln
n =2
2
n
.
.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:
1 1 1 1 1
(1) n 1
-     ... 
+ ... .
2 4 6 8 10
2n
1
1
1
(1) n 1
6.56. 1  3  3  3  ...  3
+ ... .
2
3
4
n
1
1
1
(1) n 1
6.57. 1 

 ... 
 ... .
2 2 3 3 4 4
п п
6.55.
1 1
1
1
(1) n 1
 2  3  4  ...  n 1  ... .
5 5
5
5
5


sin n
cos(n/6)
6.59. 
.
6.60.
.

3
n
6n
n 1
n =1
6.58. 1 +


(-1) n +1
6.61. 
.
n
n =1 n  2
6.62.

n =1
(-1) n +1 (n  2)
.

2n
n =1

6.63.

6.65.
(-1) n +1
n n n
.
(-1) n +1 (n 2  1)
.

5n 2
n =1

6.64.

(-1) n
n
.
ln n
(-1)n +1  5 n
6.67. 
.
n!
n =1
6.66.
n =2

(-1) n
.

n = 2 n ln n
(-1)n +1  n 2
.

5n
n =1

6.68.
Степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд.
Найти радиус и область сходимости ряда:


xn
6.77.  2 .
n 1 n
6.78.

5n x n
.

n = 0 3n  2
6.82.

n =1
6.84.
n!
x
n
n
xn.
.
2

n
.
6.86.
 n! x n .

(-1) n +1 n n
x .

3n
n =1
x2
.

n
n =1 n

6.88.
n =0
6.89.
n
n =0
n +1

6.87.
7

xn
.

n
n =0 2
(-1)
.
xn
n =1

6.85.
n
3n x n
6.80.  2 .
n =1 n


3

xn
6.79.  n 3 .
n =1 2  n
6.83.
 n
n =1

6.81.
x2
n! x n
.

n
n =0 7

6.90.
 (1)
n =1
n 1
nx n 1 .
3
3
3
1  x2
2 x3
3 x4
4 x5



... .
22
32
42
52
x
x2
x3
6.93. 1 

... .
2  6 3  62
4  63


x 2 n 1
x 2n
6.94.  ( 1) n 1 
. 6.95.  (-1) n-1 
.
2n - 1
( 2n) !
n=1
n=1
3
6.92.
6.96. 1 
x2
3 2

x4

32 3
x6
33 4
... .
Разложить функцию в ряд Маклорена и найти интервал сходимости полученного ряда.
6.97. f(x)= 3 e x .
6.98. f(x)= ax, a>0, a  1.
6.99. f(x)= sin 3x .
6.100. f(x)= e-5x.
6.101. f(x)= cos x2 .
6.102. f(x)= xe -x .
6.103. f(x)= x3 e5x .
6.104. f(x)= x2cos2x.
6.105. f(x)= sin2 x .
6.106. f(x)= cos2x.
6.107. f(x)= ln(1-x3 ).
6.108. f(x)= ln(1+3x2).
6.109. f(x)= ln(2+3x).
6.110. f(x)= ln(10-x).
6.111. f(x)= ln
2
1 x
.
1- x
6.112. f(x)= ln 3
1  2x
1  2x
6.113. f(x)= ln(x2 +3x +2).
6.114. f(x)= ln(x2 -4x+3).
6.115. f(x)= 1  x .
6.116. f(x)= 1  2x .
1
.
1  x2
x+2
6.119. f(x)= 2
.
x  4x  3
1
.
2  5x
3  2x
6.120. f(x)= 2
.
x  3x + 2
1
6.121. Пользуясь разложением функции f(x)=
, полученным в задаче
1  x2
6.117. f(x)=
6.118. f(x)=
6.117, найти разложение в ряд Маклорена для функции f(x)=arctg x.

1
1  3  5. . .(2n  1) 2 n , при
6.122. Пользуясь разложением функции
 1 
x
n
1  x2
n 1
2  n!
x <1, найти разложение в ряд Маклорена для функции f(x)=arcsin x.
6.123. Определить в виде рядов по степеням х интегралы:
1)

sin x
dx;
x
2)

ex  1
dx.
x
6.124. Разложить функцию:
1) f(x)=x4+x2 в ряд по степеням (х-2);
2) f(x)=x3-4x2+2x+1 в ряд по степеням (х+2);
3) f(x)=
1
в ряд по степеням (х-4);
x
4) f(x)=
1
x
в ряд по степеням (х-9);
5) f(x)=sin x в ряд по степеням (х-

).
4
В каждом случае найти радиус сходимости ряда.
6.125. Пользуясь разложением в ряд Маклорена для функции 1  x , полученным в задаче 6.115, вычислить: 1) 1,004 ; 2) 0,992 ; 3) 90 , ограничившись
двумя членами ряда. Оценить погрешность.
6.126. Пользуясь разложением в ряд Маклорена для функции ln
1 x
, получен1- x
ным в задаче 6.111, и ограничившись тремя членами этого разложения, вычислить: 1)ln 2; 2) ln 3.
6.127. Определить в виде ряда функцию
x
1
3
Ф(х)=  e t dt и вычислить Ф( ) с точностью до 0,001.
2
0
Литература :[1,2,3,5]
Учебно-методическая литература:[1,2]
7. Векторная алгебра.
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Сформулируйте правила сложения векторов.
2. Как записывается скалярное произведение в декартовых координатах?
3. Как записывается векторное произведение в декартовых координатах?
4. Какие вектора называются линейно-зависимыми?
5. Чему равен ранг системы векторов?
6. Как определяется базис векторного пространства?
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
1.2.1. Выполнить указанные операции с векторами:
а)
(1; 2; 1) + (1; 1; 2)
б)
(1; 1; 3; 2) + (1; 1; 3; 2)
в)
4  (4; 1; 2; 0)  7  (2; 1; 0; 5)
г)
5  (1; 3; 2)  2  (5; 0; 5) + 3  (5; 5; 0)
д)
(1,5; 2,5; 7,5) + 3  (0,5; 0,5; 2,5)  2  (1; 2; 1)
е)
( 13 ;
2
3
;  13 ;  2 3 )  ( 2 3 ;
1
3
;  23 ;
2
3
)  4  ( 13 ;  13 ; 0;
1
3
)
1.2.2. Найти ранг системы векторов:
а)
( 2 ; 12 ;
2)
(8;  1;  3)
( 0;
1) б)
(14;  3; 1)
4;
(4;
(2;  8;  1)
(2; 1;  3;  2)
в)
(1; 1;  2;
0;  4)
0)
(5; 3;  8;  4)
1.2.3. Найти ранг системы векторов:
(2;  8;
а)
(0;
2;
6)
( 1; 10; 2;
3;  1;  2)
б)
(2; 5;  1;  4)
(1; 10;  3;  7)
( 1;
4)
(1; 8;  1;  4)
в)
(1;  2;  3; 0)
( 1; 7;
4;
2; 4;
6)
( 0; 2; 2;
4)
( 2; 3; 7; 10)
(1;  4;  6;  10)
2)
(2;  2;  6;  8)
1.2.4. Определить, являются ли данные векторы линейно независимыми:
( 2;
а)
4;
6)
б)
( 1;  1;  2)
( 2; 6;
( 2;
 6;  4)
( 2;
 5;  3)
( 1;
в)
(10;  28;  18)
7)
2; 1; 3)
(2;  7;  9; 1)
(1;  3;  4; 0)
1.2.5. Найти базу системы векторов и выразить оставшиеся векторы через базу:
a1  ( 1; 2;  5)
а)
a1  ( 1 ; 5 ;  4)
б)
a2  ( 0 ; 2 ;  6)
a3  (2 ;  6 ; 16)
a2  ( 0 ;  5 ; 3)
a3  (1;  10 ; 7)
a1  (  3;  1; 3)
в)
a1  (2 ;  8 ; 4)
a2  ( 8 ; 2 ; 2)
г)
a3  (11;  3; 1)
a4  ( 2 ; 0 ; 8)
a2  (2 ;  5 ; 2)
a3  ( 3 ;
9 ;  4)
a4  (3 ;  6 ;
2)
1.2.6. Найти ранг матрицы:
а)
1 0 1 2


1 4 
0 3
д)
 6  4 4


 2  6 0
1
4 2 

1 2


б)  3 4 
5 6


е)
0
1  2


в)  3  1 4 
0  5  4


 3 1 1


2  1  ж)
3
 6
5  7 

1.2.7. Найти ранг матрицы:
г)
1 2 4


2 4 8
 3 6 12 


4 8
 6 4


0  4
 2 6
 1
4
2
0


 5

1

4
6


а)
в)
д)
3
 2

 1 1
 3
5

8
 6
 2  4

 3 6

 4 10
 5 11

 0 2
 2 2

1

 3  1
7
1

16
4
4
0 
2 4

4 6
4 7

2 1
4 0 
5
1 1
 2  2  4


  4 1  5 1 0
 4  3  7
1 1


  2 1  3 0 0


б)
г)
е)
4  6
 2  8


6
4
4
 0
 2  14  8  10 


 1  2  2  1
 2
5
2
4 

2
 2  2  6

3
 2 1  5
 3
2
8 4

  5  3  13
7

 10

 15
 5

5

0

1
1 

2 
5  2 1

5
7  4 0
1
2  2 1

0 1
1 2 
5
Скалярное и векторное произведения векторов.
1.2.8. Найти скалярное произведение векторов:
а)
(1; 2; 3) и (3; −1; 1) ;
б)
(3; 6; 9) и (2; −1; 1) ;
 1 2 ; 1 2 ; 1 и  1 2 ;  1; 1 2  ;
в) 12 ; 12 ;  12  и  12 ;  12 ; 1 ;
г)
1.2.9. Найти скалярное произведение векторов:
а) (1; 1; 0; 1) и (0; −1; −1; 2) ;
б) (1; 4; −2; 2) и (3; −1; −2; −5) ;
в) (2; 1; 0; 1; 2) и (1; 2; 3; 2; 1) ; г) (100; 100; 300; 500) и (0,1; −0,2; −0,3; 0,4) .
1.2.10.
Выяснить, ортогональны ли векторы:
а) (1; 0; 1) и (0; 2; 0) ;
б) (1; 0; 2; 0) и (0; 2; 0; −1) ;
1
в)  3;  1; 2 и  3 ;  1;  1 ;
г) (1; −1; 2; 2) и (2; −1; 3; 3) ;
1.2.11.
Найти длину вектора:
а) (1; −1);
б) (2; 1);
в) (3; 4);
г) (1; 2; 2);
д) (−2; 1; −2);
е) (1; 1; −1);
1.2.12.
Найти косинус угла между векторами:
а) (1; 0) и (2; 0);
б) (3; 4) и (4; 3); в) 1 2 ; 3 2  и  3 2 ; 1 2  ;
г) (2; −3) и (−6; 9); д) (1; 0; 1) и (−1; 0; 1).
2.1.1. Векторы a и b образуют угол /6, а = 2 и b = 5. Найти (a, b).
2.1.5. Векторы a и b образуют угол /4, а = 4 и b = 3. Найти (2a – 3b, a + 2b).
2.1.7. Найти скалярное произведение векторов a = {1;2;-1} и b = {2,0,3}.
2.1.10. Даны векторы a = {2;2;-1} и b = {0,5,-12}. Найти (2a – b, 3a + 2b).
2.1.11. Найти косинус угла между векторами a = {1;1;0} и b = {1,0,1}.
2.1.13. Даны точки A = (-1; -2; 4), B = (-4, -2,0), C = (3, -2,1). Найти косинус
внутреннего угла треугольника ABC при вершине B.
2.1.14. Даны точки A = (3; 2; -3), B = (5, 1, -1), C = (1, -2, 1). Найти косинус
внешнего угла треугольника ABC при вершине A.
2.1.15. Даны векторы a = {3;-1;-2} и b = {1,2,-1}. Найти [2a – b, 2a + b].
2.1.17. Даны точки A = (1; -1; 2), B = (5, -6,2), C = (1,3, -1). Найти площадь треугольника ABC и длину высоты этого треугольника, опущенной из вершины B.
8. Матрицы и системы линейных уравнений.
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Сформулируйте свойства определителей.
2. Что такое алгебраическое дополнение элемента матрицы?
3. Напишите формулу элемента обратной матрицы.
4. Чему равен ранг матрицы?
5. Какие СЛУ называются совместными?
6. Какие СЛУ называются неопределенными?
7. Приведите формулы Крамера.
8. Как найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений?
9. Какое решение называется допустимым?
10. Какое решение называется базисным?
11. Какое решение называется опорным?
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
Матрицы.
1.3.1. Найти матрицу   , если:
3  2
 ,   2,   3;
  
5  7
1 1
 1 3 8
2
 ,   
 ,   3,   2;
б)   
 4 1 0
 0  3 5

1 0
 ,
а)   
  2 3
1.3.2. Умножить матрицы:
 2  1  3 0 

;
5   4 2 
1
 4 5

  7 1 0 1
 ;
в)   3 1   

2
0
1
5

 1 0 


а) 
б)
г)
 2  1  3 0 1 

 
;
1 1 5 2 
3
 1 0 1

1 5 
3

    2 1 0  ;
 6  2 7  0 3 2


1.3.3. Найти матрицы АВ и ВА, если:
а)
1 2 4 
 ,
  
3 1 2
 5 1


    1 2  ; б)
 2 1


 1 1


 0 1

,
1 1 


 1 0 


1.3.4. Найти матрицу АВ – ВА, если:
1 3
1
 ,   
а)   
5 2
0
 1
;
3 
 4 0
3 7
 ,   
 ;
б )   
  2 1
1 1
 3 7 2 5
 .
  
 4 6 1 8
1.3.5. Вычислить:
2
2
1 2
 ;
 2 3
а) 
 1 1 0


б)  1 0 1  ;
 0 1 1


в)
1 1

0 1
3 0

2
1 

2 .
1
1.3.6. Вычислить ААТ, если:
а)
 1 2 3
 ;
  
 1 0 1 
б)
 6 0


   5 4 ;
 2 1


в)
 2
  
 1
 1

  1
 1

0
,
1 
0

2 ,
1 
1  1
3 2
 .
  
4 0  2 1 
1.3.7. Найти:
а) матрицу АВ+2АТ, если
б) матрицу АВТ – А, если
3 1
 ;
  
5
2


2  2
;
  
1
3
1.3.8. Решить систему матричных уравнений:

0 0

 X  Y  

 2 2
а) 
2 X  3Y    1 0 
 5 5





2
 X  Y  
0
б) 
2 X  Y   1
9



0

8 
6

4 
1.3.9. Доказать, что если для двух матриц А и В верно равенство АВ=ВА, то
а) (А+В)2 = А2 + 2АВ + В2 ; б) А2 – В2 =(А-В) (А+В).
1.3.10. С помощью присоединенной матрицы найти обратную к матрице:
a)
 2 3

 ;
 1 1
 2 1
 ;
б ) 
 1 0
в)
 1 3

 ;
 2 5
г)
 4 6

 ;
 1 2
1.3.11. С помощью элементарных преобразований найти обратные к матрицам
из пп.. а) – г) предыдущей задачи.
1.3.13. Доказать, что если для двух квадратных матриц А и В верно равенство
АВ=ВА, причем А – невырожденная, то А-1В=ВА-1.
1.3.14.Упростить (А, В, С – квадратные невырожденные матрицы порядка n):
а)
((А (ВА)-1) (ВСТ))Т;
б)
((АВ)Т (АТ)-1) (СВТ)-1;
1.3.15.Используя обратные матрицы, найденные в предыдущих задачах, решить с помощью обратной матрицы системы линейных уравнений:
 x1  3 x 2  4
a) 
;
2 x1  5 x 2  5
(см. п. в ) в задаче1.3.10)
2 x1  7 x 2  3 x3  2

в ) 3 x1  9 x 2  4 x3  2 ;
 x  5 x  3 x  1
2
3
 1
см. п. в) в задаче 1.3.12
4 x1  6 x 2  4
б) 
;
 x1  2 x 2  1
(см. п. г ) в задаче1.3.10)
 x1  2 x 2  2 x3  4

г ) 2 x1  x 2  2 x3  2
2 x  2 x  x  5
2
3
 1
;
(см. п. г ) в задаче1.3.12)
1.3.16.Решить с помощью обратной матрицы системы линейных уравнений:
2 x1  3 x 2  1
a) 
;
3 x1  4 x 2  3
5 x1  8 x 2  2
б) 
;
2 x1  x 2  5
 7 x1  3 x 2  1
в) 
;
 2 x1  x 2  4
x 2  7 x3  6

2 x1  3 x 2  2 x3  1
 x1  x 2  x3  2



г )  x1  2 x 2
 2 ; д)  x1
 x3  1 ; е) 2 x1  3 x 2  x3  5 ;
x  2x  2x  4
 x  3x  4 x  5
3 x  2 x  5 x  3
2
3
2
3
2
3
 1
 1
 1
1.3.17.Решить матричные уравнения:
2
 1  1
0
  X  
 ;
a ) 
0 1
 1  1
 5 1  2 0 
  
 ;
г ) X  
 3 1 11 3 
 2  1
1 0 
  X  
 ; в )
б ) 
1
3
 1 5
 4 3 3 2
  
 ;
д) X  
 3 2 1 1 
e)
 3  1
1 1  4 

  X  
;
0 
1 1 
3 1
2
 3

 2 1 
   1  1 ;
X  
  3 2   2
1

Определители.
1.1.1. Вычислить определитель:
а)
г)
1 2
б)
;
0 1
7 5
10 7
1 2
2 1
д)
;
2 3
в)
;
2
3
100 100
4
6
;
е)
;
0,1
0,01
1
0,1
;
1.1.2. Вычислить определитель:
3 6
а) 0
0
1
1 0 1
2
1 ;
б)
0 3
1 1 1
в)
0 1 1 ;
0 1 0
4 4 4 ;
6 6 6
1.4.4. Вычислить определитель:
1 2 3 4
а)
0 2 3 4
б)
;
0 0 3 4
0 0 0 4
1
1
2
0
1
1
0
2
0
0
1
1
0
0
2 3 4 5
;
в)
1 1
3 4 5 2
4 5 2 3
;
5 6 3 0
1.4.5. Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений:
а)
x  y  1
x y  1
;
б)
2x  3y  1
x  2y  2
;
в)
2x  3y  4
3x  5 y  4
;
1.4.6. Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений:
3x  y  z  2
а)
 2 x  y  z  2 ;
x  3y  2z  2
x y z 
б)
4 x  9 y  9 z  14
1
2 x  4 y  z  3 ;
в)
3x  2 y  4 z  5
x  4 y  3z  9 ;
3x  7 y  7 z  11
9. Аналитическая геометрия.
ВОПРОСЫ К ТЕМЕ:
1. Как выражаются функции угла между прямыми через их угловые коэффициенты?
2. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых на
плоскости.
3. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
4. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости в пространстве.
5. Приведите каноническое уравнение плоскости.
6. Как преобразовать векторное уравнение прямой в параметрическое?
7. Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости?
8. Как найти расстояние от точки до плоскости в пространстве?
ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ:
Прямая на плоскости.
2.2.1. Даны точки A = (1;2), B = (3;0), C = (6;2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору BC .
2.2.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (1;2) и B = (3;8).
2.2.8. Даны точка A = (1;-3) и прямая L:
x 1
y2
=
. Найти уравнение прямой,
2
5
проходящей через точку A и параллельной прямой L.
2.2.10. Даны точка A = (1;-3) и прямая L: x = 2t+1, y = -3t+2. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.
2.2.12. Найти угол наклона прямой x-2y+5= 0 к оси ОХ2.
2.2.14. Найти точку пересечения прямых 2x+y-2= 0 и 2x-y+6=0.
2.2.16. Найти точку пересечения прямых
y2
x 1
=
и x+2y+16=0.
2
2
2.2.18. Даны точка M0 = (2;-1) и прямая L: 3x-y+2=0. Найти уравнение прямой,
перпендикулярной L и проходящей через M0.
2.2.19. Даны точка M0 = (3;-2) и прямая L: 2x-3y=1. Найти уравнение прямой,
перпендикулярной L и проходящей через M0.
2.2.22. Параллельны ли прямые x+y=0 и 2x+2y-8=0?
2.2.23. Параллельны ли прямые x = 3t-2, y = -4t+1 и 4x-3y-5=0?
2.2.25. Перпендикулярны ли прямые x = t-3, y = -2t+3 и x-2y-3=0?
2.2.26. Перпендикулярны ли прямые x = t+2, y = -2t+1 и 3x+y=0?
2.2.27. Перпендикулярны ли прямые 3x+y+1=0 и x-3y+3=0?
2.2.30. Найти расстояние от точки A = (-1;3) до прямой x-2y+5=0.
2.2.31. Найти расстояние от начала координат до прямой x- 3 y+3=0.
2.2.32. Даны точки A = (-3;5), B = (7;9), C = (-2;1). Найти уравнение прямой, на
которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины С.
2.2.34. Даны точки A = (-1;2), B = (1;-1), C = (3;1). Найти уравнение прямой, на
которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A.
2.2.36. Даны точки A = (2;-1), B = (3;-2), C = (5;1). Найти уравнение прямой, на
которой лежит высота треугольника ABC, проведенная из вершины B.
2.2.38. Даны точки A = (0;0), B = (0;1), C = (1; 3 ). Найти уравнение прямой, на
которой лежит биссектриса треугольника ABC, проведенная из вершины A.
Плоскость.
2.3.1. Даны точка A = (1;-2;5) и вектор a = {-3,4,7}. Найти уравнение плоскости,
проходящей через точку A и перпендикулярной вектору a.
2.3.2. Даны точки A = (1;2;0), B = (3,0,-3), C = (6,2,-2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору BC .
2.3.4. Точка M0 = (2;3;-1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки A
= (1;2;-1) на плоскость. Найти уравнение этой плоскости.
2.3.7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 = (1;0;-2) и параллельной плоскости x=2y.
2.3.9. Найти косинус угла между плоскостями 3x+2y-3z-4=0 и x+y-3z-7=0.
2.3.11. Найти угол между плоскостями x=y и 2 x-3=0.
2.3.12. Найти угол между плоскостями x+y+z=1 и x+y+z=-1.
2.3.14. Параллельны ли плоскости x-2y+3z-1=0 и -2x+4y-6z-3=0?
2.3.16. Перпендикулярны ли плоскости 2x+3y-z-1=0 и x-y-z+1=0?
2.3.18. При каких значениях a и b плоскости 3x-y+az-9=0 и 2x+by+2z-3=0 параллельны?
2.3.20. При каком значении a плоскости 5x+y-3z=0 и 2x+ay-3z+5=0 перпендикулярны?
2.3.22. Даны точка M0 = (1;2;-1) и векторы а = {1,0,-1}, b = {3,2,1}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и параллельной векторам a и b.
2.3.24. Даны точки M0 = (1;-2;1), B = (1,0,-1) и вектор b = {0,2,-1}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M0,, B и параллельной вектору b.
2.3.26 Даны точки A = (0;0;0), B = (2;5;-1), C = (1;0;3). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.
2.3.29. Найти расстояние от точки A = (2;-1;3) до плоскости 7x+y+5z+1=0.
Прямая в пространстве.
2.4.1. Даны точки A = (1;2;0), B = (3,0,-3), C = (6,2,-2). Найти канонические и
параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной
вектору BC .
2.4.3. Даны точки A = (1;2;0) и B = (3,0,-3). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A и B.
2.4.5. Даны точка A = (1;-3;2) и прямая L:
z 3
y2
x 1
=
=
. Найти канониче2
2
5
ские и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.
2.4.7. Даны точка A = (1;-3;2) и прямая L: x = 2t+1, y = -3t+2, z = t-2. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и
параллельной прямой L.
2.4.9. Даны две плоскости 2x+y+z-2=0 и 2x-y-3z+6=0. Найти канонические и
параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением этих плоскостей.
2.4.11. Даны точка M0 = (3;-2;1) и плоскость : 2x-3y+z=1. Найти канонические
и параметрические уравнения прямой, перпендикулярной  и проходящей через M0.
2.4.13. Параллельна ли прямая x = 3t-2, y = -4t+1, z = 4t-5 плоскости 4x-3y-6z5=0?
2.4.15. Перпендикулярна ли прямая x = t-3, y = -2t+3, z = 4t+1 плоскости x2y+4z-3=0?
2.4.17. Даны прямая
z 3
y2
x 1
=
=
и плоскость x+2y-5z+16=0. Найти их
2
2
5
точку пересечения.
2.4.19. Даны точки A = (-1;2;1), B = (1,-1,-3), C = (3,1,1). Найти канонические и
параметрические уравнения прямой, на которой лежит медиана треугольника
ABC, проведенная из вершины A.
2.4.21. Даны прямая L1:
x2
z
y 1
=
=
и плоскости : x+y-z=0, : x-y-5z-8=0.
3
2
1
Прямая L2 – пересечение плоскостей  и . Параллельны ли прямые L1 и L2.
2.4.23. Даны плоскости 1: x+y-3z+1=0, 2: x-y+z+3=0, 1: x+2y-5z-1=0, 2: x2y+3z-9=0. Прямая L1 – пересечение плоскостей 1 и 2, прямая L2 – пересечение плоскостей 1 и 2. Параллельны ли прямые L1 и L2.
2.4.25. Даны прямая L1: x = 2t+1, y = 3t-2, z = -6t+1 и плоскости : 2x+y4z+2=0, : 4x-y-5z+4=0. Прямая L2 – пересечение плоскостей  и . Перпендикулярны ли прямые L1 и L2.
10.2. Задания для самостоятельной работы студентов
Тема 1. Предел и непрерывность функции.
1. Привести примеры элементарных и неэлементарных функций.
2. Привести примеры сходящихся и расходящихся числовых последовательностей.
3. Доказать эквивалентность определения предела по Гейне и по Коши.
4. Доказать, что первый замечательный предел равен 1.
5. Привести пример функции, имеющий разрывы 2-го рода.
6. Привести контрпримеры на основные теоремы о непрерывной на отрезке
функции, для случая полуинтервала.
7. Решить примеры из сборника 8.3.1 по теме 1.
Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
1. Привести примеры недифференцируемых функций.
2. Доказать неравенство Йенсена для параболы используя определение выпуклой функции.
3. Вывести правила вычисления эластичности функции, аналогичные правилам дифференцирования.
4. Найти формулы Маклорена для функции 1  x .
5. Доказать неравенство Коши, используя минимизацию параболы.
6. Изучить метод минимизации Ньютона для одномерного случая.
7. Решить примеры из сборника 8.3.1 по теме 2.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
1. Привести пример функции двух переменных непрерывной, но не имеющей частных производных в нуле.
2. Изучить метод множителей Лагранжа.
3. Решить примеры из сборника 8.3.1 по теме 3.
Тема 4. Неопределенный интеграл.
1. Доказать формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
2. Доказать единственность неопределенного интеграла.
3. Написать таблицу неопределенных интегралов.
4. Решить примеры из сборника 8.3.1 по теме 4.
Тема 5. Определенный интеграл.
1. Найти точное значение интеграла
1

1  x 2 dx .
0
2. Вычислить с точностью до 0.001 интеграл
3. Найти приближенное значение
1


sin x
dx
x
0

1  x 2 dx по формуле трапеций с n  10 .
0
4. Доказать теорему о среднем для определенного интеграла от непрерывной
функции.
5. Доказать теорему о дифференцировании определенного интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу.
6. Оценить интеграл

1
1 x
4
dx .
0
7. Решить примеры из сборника 8.3.1 по теме 5.
Тема 6. Числовые ряды и степенные ряды.
1. Привести примеры сходящихся и расходящихся рядов.
2. Выяснить вопрос о сходимости рядов:
1 1
1
1) 1 -  
 ... ;
5 25 125
2) 1 +
2
7

22
72
23

73
 ... ;
3. Выяснить вопрос о сходимости и для сходящихся рядов найти их суммы:

3)
1
;

n =1 n(n + 2)

1
;
n =1 (3n  1)(3n  1)
4) 

5) ( n  1  n ).
n =1
4. Привести примеры расходящихся рядов, которые удовлетворяют необходимому условию сходимости.
5. Привести примеры функций, ряд Тейлора которой имеет нулевой радиус
сходимости.
6. Привести примеры функций, ряд Тейлора которой имеет бесконечный радиус сходимости.
7. Привести примеры функций, ряд Тейлора которой имеет заданный радиус
сходимости.
8. Найти радиус о сходимости рядов:
1) 1 -
x x2 x3


 ... ;
5 25 125
2) 1 +
2
7
x
22
7
x2 
2
23
7
3
x 3  ... ;
9. Область сходимости степенных рядов:

3)
1
;

n =1 n(n + 2)

1
;
n =1 (3n  1)(3n  1)
4) 

5) ( n  1  n ).
n =1
Тема 7. Векторная алгебра.
1. Привести примеры базисов на плоскости и в простаранстве.
2. Вывести запись скалярного произведения в декартовых координатах.
3. Вывести запись векторного произведения в декартовых координатах?
4. Привести пример трех линейно независимых векторов в R 4 .
5. Привести пример четырех векторов в R 4 , не являющихся базисом.
6. Доказать, что на плоскости не может быть трех линейно независимых векторов.
7. Решить примеры из сборника 8.3.2 по теме 1.2.
Тема 8. Матрицы и системы линейных уравнений.
1. Докажите свойства определителей 3-го порядка.
2. Докажите, что из матричного равенства A  X  E следует, что X  A  E .
3. Докажите, что при разложении определителя по ложной строке получается 0.
101
4. Докажите, что определитель
99
102
100
1
403
50
2
300
1
31
111
301
402
81
109
равен нулю.
5. Привести пример несовместной СЛУ.
6. Привести пример неопределенной СЛУ?
7. Докажите формулы Крамера.
8. Решить примеры из сборника 8.3.2 по теме 1.
Тема 9. Аналитическая геометрия.
1. Как выражаются функции угла между прямыми через их угловые коэффициенты?
2. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых на
плоскости.
3. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
4. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости в пространстве.
5. Приведите каноническое уравнение плоскости.
6. Как преобразовать векторное уравнение прямой в параметрическое?
7. Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости?
8. Как найти расстояние от точки до плоскости в пространстве?
9. Решить примеры из сборника 8.3.2 по теме 2.
10.3. Тематика контрольных работ и методические указания по их выполнению
Контрольные работы выполняется студентами очной формы обучения по
следующим темам:
1. Дифференциальное исчисление (аудиторная работа).
2. Интегральное исчисление (аудиторная работа).
3. Числовые ряды (аудиторная работа).
4. Степенные ряды (аудиторная работа).
5. Линейная алгебра (аудиторная работа).
6. Аналитическая геометрия (аудиторная работа)
По каждой теме проводится тестирование с помощью тестирующих программ,
разработанных кафедрой.
10.4. Вопросы для подготовки к экзамену/зачету.
1. Теоретические вопросы для подготовки к зачету за 1-ый семестр.
1. Понятие функции. Способы задания функций. Примеры. Элементарные
функции.
2. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Примеры.
3. Предел функции (два определения). Основные теоремы о пределах. Второй замечательный предел.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый замечательный предел, его геометрический смысл.
5. Предел функции. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры.
6. Функции, непрерывные на отрезке (определение). Свойства функций, непрерывных на отрезке.
7. Производная функции её геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность функции.
8. Производные элементарных функций.
9. Основные правила дифференцирования.
10. Дифференциал функции и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.
11. Теорема Ферма (с доказательством).
12. Теорема Ролля (с доказательством).
13. Теорема Лагранжа (с доказательством).
14. Теорема Коши. Правило Лопиталя.
15. Возрастание и убывание функции. Исследование возрастания и убывания
функции с помощью производной.
16. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные
условия экстремума.
17. Формулы Тейлора и Маклорена.
18. Выпуклость графика функции. Исследование выпуклости с помощью
второй производной. Точки перегиба.
19. Асимптоты. Общая схема исследования функций.
20. Эластичность функции, анализ спроса и предложения.
21. Простейшие оптимизационные задачи в области коммерции.
22. Решение задачи о хранении вина.
23. Понятие функции нескольких переменных, предел и непрерывность,
частные производные и дифференциал.
24. Производная функции двух переменных по направлению. Градиент и его
свойства.
25. Необходимое и достаточное условия локального экстремума функции
двух переменных.
26. Условный экстремум.
27. Первообразная. Понятие неопределенного интеграла.
28. Свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы.
29. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
30. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства. Формула
Ньютона - Лейбница.
31. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
32. Геометрические приложения определенного интеграла.
33. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
34. Несобственные интегралы. Признаки сходимости.
35. Несобственные интегралы. Определение, примеры.
2. Теоретические вопросы для подготовки к экзамену за 2-й семестр.
1. Определение сходимости числового ряда. Сумма ряда.
2. Необходимое условие сходимости ряда.
3. Свойства числовых рядов.
4. Признак сходимости Даламбера.
5. Признак сходимости Коши.
6. Интегральный признак сходимости числового ряда.
7. Знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная сходимость.
8. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.
9. Знакочередующиеся ряды, признак Абеля.
10.Знакочередующиеся ряды, признак Дирихле.
11.Теорема Римана для знакочередующихся рядов.
12.Сходимость функциональных рядов. Область сходимости.
13.Абсолютная и условная сходимость степенного ряда.
14.Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда.
15.Равномерная сходимость функционального ряда.
16.Равномерная сходимость степенного ряда.
17.Почленное дифференцирование степенного ряда.
18.Почленное интегрирование степенного ряда.
19.Разложение функций в ряд Тейлора.
20.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
21.Использование рядов для приближенных вычислений.
22.Системы линейных уравнений , основные понятия. Метод Гаусса.
23.Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Решение неопределенных
систем линейных уравнений.
24.Общее, частное и базисное решения системы линейных уравнений.
25.Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства.
26.4. Определители n-го порядка и их свойства.
27.Матрицы и действия с ними. Свойства операций над матрицами.
28.Обратная матрица и способы ее нахождения.
29.Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и с
помощью обратной матрицы.
30.Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое n – мерное
векторное пространство Rn..Геометрический смысл пространств R 2 и
R3 .
31.Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора, угол
между векторами.
32.Линейно зависимые и линейно не зависимые системы векторов.
33.Базис пространства R n . Разложение вектора по произвольному базису.
34.Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.
35.Прямая и плоскость в пространстве.
36.Основная задача линейного программирования. Геометрический метод
решения задачи ЛП с двумя переменными.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций ПрООП ВПО по направлению 230400 Информационные Системы
и Технологии
Разработчики:
РГТЭУ, зам. зав. кафедрой высшей и прикладной математики,
проф. Беляев А.А.
РГТЭУ, доцент кафедры высшей и прикладной математики
Лавриненко Т.А.
Эксперты:
____________________ ___________________ _________________________
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
____________________ ___________________ _________________________
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)