Задачи к экзамену (B

Проблемы фискальной и монетарной политики (Б-8 2008)
Задачи к экзамену
1. (10.2) Рассмотрим модель с дискретным временем, в которой цены совершенно не
реагируют на неожиданные монетарные шоки на протяжении одного периода, а затем
становятся полностью гибкими. Предположим, что кривые IS и LM задаются уравнениями
y  c  ar и m  p  b  hy  ki , где y , m и p - это логарифмы выпуска, предложения
денег и уровня цен; r - это реальная процентная ставка; i - это номинальная процентная
ставка; a , h и k - это положительные параметры.
Предположим, что первоначально m зафиксировано на некотором уровне, который
мы примем равным нулю, и что y зафиксировано на уровне выпуска при гибких ценах,
который мы также примем равным нулю. Теперь предположим, что в какой-то период –
пусть это будет период 1 – монетарные власти неожиданно переходят к политике
увеличения m на некоторую величину g  0 в каждом периоде.
(a ) Чему равны r ,  e , i и p до изменения политики?
(b) Когда цены полностью приспособились,  e  g . Используйте этот факт, чтобы
найти r , i и p в период 2.
(c ) Чему равны i , r , p в периоде 1 и ожидаемая инфляция в промежутке между
периодами 1 и 2, E1 [ p2 ]  p1 ?
(d ) Чем определяется, приведет ли краткосрочный эффект монетарной экспансии к
росту или падению номинальной процентной ставки?
2. (10.5.) Правила проведения политики, рациональные ожидания, и смена режимов
(См. Lucas, 1976, и Sargent, 1983).
Предположим, что совокупное предложение задано кривой предложения Лукаса
y  y  b( t   te ), b  0 , а также предположим, что монетарная политика задается
уравнением mt  mt 1  a   t , где  - это белый шум. Предположим, что частные агенты
не знают текущих значений  t и mt ; тогда  te - это ожидание pt  pt 1 при заданных mt 1 ,
 t 1 , y t 1 и p t 1 . Наконец, предположим, что совокупный спрос равен y t  mt  pt .
(a ) Найдите выражение для y t через mt , mt 1 и найдите любые другие переменные
и параметры, которые являются существенными.
(b) mt и mt 1 - это единственное, что нужно знать о монетарной политике, чтобы
найти y t ? Объясните на интуитивном уровне.
(c ) Предположим, что монетарная политика первоначально определялась в
соответствии с приведенным выше правилом при a  0 и что затем монетарные власти
объявили о переходе к новому режиму, при котором a равно 0. Предположим, что
частные агенты считают вероятность правдивости данного утверждения равной  .
Найдите выражение для y t через mt , mt 1 ,  , y , b и начальное значение a .
(d ) Используя эти результаты, опишите, как анализ взаимосвязи между денежной
массой и выпуском может быть использован для оценки правдоподобности заявления о
смене режима политики.
3. (10.8.) Решение проблемы динамической несостоятельности с помощью наказания
(Barro и Gordon, 1983b). Рассмотрим политика, чья целевая функция равна

t 0  t ( yt  a t2 / 2) , где a  0 и 0    1. yt задается кривой предложения Лукаса,
(10.10), в каждом периоде. Ожидаемая инфляция определяется следующим образом. Если
 было равно ˆ (где ˆ - это параметр) во все предыдущие периоды, то  e  ˆ . Если 
когда-либо отличалось от ˆ , то  e  b / a во все последующие периоды.
(a ) Какое равновесие установится в модели во все последующие периоды, если 
когда-либо отличалось от ˆ ?
(b) Предположим, что  всегда было равно ˆ , так что  e  ˆ . Если монетарные
власти решат отклониться от   ˆ , какую величину  они выберет? Каково значение
целевой функции на протяжении всего периода жизни при данной стратегии? Если
монетарные власти продолжат следовать   ˆ в каждом периоде, чему будет равно
значение целевой функции на протяжении жизненного периода?
(c ) При каких значениях ˆ монетарные власти выберут   ˆ ? Существуют ли
значения параметров a , b и  такие, что если ˆ  0 , то правительство выберет   0 ?
4. (10.9.) Другие равновесия в модели Барро-Гордона. Рассмотрим ситуацию,
описанную в задаче 10.8. Найдите значения параметров (если они существуют), при
которых каждая из следующих ситуаций будет равновесием:
(a ) Однопериодное наказание.  te равно ˆ , если  t 1   te1 и равно b / a в
остальных случаях;   ˆ в каждом периоде.
(b) Жестокое наказание. (Abreu, 1988; и Rogoff, 1987.)  te равно ˆ , если
 t 1   te1 , равно  0  b / a , если  te1  ˆ и  t 1  ˆ , и равно b / a в остальных случаях;
  ˆ в каждом периоде.
(c ) Повторяющееся дискреционное равновесие.    e  b / a в каждом периоде.
5. (10.12.) Выбор между низкой средней инфляцией и быстрой реакцией на шоки при
делегировании контроля над монетарной политикой. (Rogoff, 1985).
Предположим, что выпуск задан уравнением y  y  b(   e ) , и что общественное
благосостояние задано функцией y  a 2 / 2 , где  - это случайная величина со средним
 и дисперсией  2 .  e определяется до того, как становится известным  ; однако
политик выбирает  после того, как стало известно  . Предположим, что политика
проводится кем-то, чья целевая функция имеет вид cy  a 2 / 2 .
(a ) Какой уровень  выберет политик при заданных  e ,  и c ?
(b) Чему равно  e ?
(c ) Какова ожидаемая величина истинного общественного благосостояния,
y  a 2 / 2 ?
(d ) При каком значении c максимизируется ожидаемое общественное
благосостояние? Проинтерпретируйте ваши результаты.
6. (10.14.) Таргетирование денежной массы или таргетирование процентной ставки.
(Poole, 1970). Предположим, что экономика описывается линейными кривыми IS и LM,
которые подвержены шокам: y  c  ai   IS , m  p  hy  ki   LM , где  IS и  LM
2
независимы, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии  IS2 и  LM
, при этом
a , h и k положительны. Политики хотят стабилизировать выпуск, но они не могут
наблюдать y или шоки,  IS и  LM . Предположим для простоты, что p фиксировано.
(a ) Предположим, что политик зафиксировал i на некотором уровне i . Какова в
данном случае дисперсия y ?
(b) Предположим, что политик зафиксировал т на некотором уровне т . Какова
дисперсия y ?
(c ) Если существуют только шоки LM (то есть,  IS2 =0), таргетирование инфляции
или денежной массы приводит к более низкой дисперсии y ?
2
(d ) Если существуют только шоки IS (то есть,  LM
=0), таргетирование инфляции
или денежной массы приводит к более низкой дисперсии y ?
(e ) Объясните результаты, полученные в пунктах (c ) и (d ) , на интуитивном
уровне.
( f ) Когда существуют только шоки IS, есть ли политика, при которой дисперсия y
ниже, чем при таргетировании и денежной массы, и процентной ставки? Если существует,
то что это за политика? Если не существует, то почему? (Подсказка: рассмотрите кривую
LM, m  p  hy  ki ).
7. (10.15.) Неопределенность и политика. (Brainard, 1967) Предположим, что выпуск
задан уравнением y  x  (k   k ) z  u , где z - это некоторый инструмент политики,
контролируемый правительством, а k - это ожидаемая величина мультипликатора для
этого инструмента.  k и u - независимые шоки с нулевыми математическими ожиданиями
и дисперсиями  k2 и  u2 , которые неизвестны в том момент, когда политик выбирает z .
Наконец,
x - это шок, который известен, когда выбирается z . Политик стремиться
минимизировать E[( y  y) 2 ] .
(a ) Найдите E[( y  y) 2 ] как функцию от x , k , y  ,  k2 и  u2 ?
(b) Найдите условие первого порядка для z , и выразите из него z .
(c ) Как влияет  u2 на то, как политика реагирует на шоки (если вообще влияет) (то
есть, на значение величины x )? Таким образом, как неопределенность в отношении
состояния экономики влияет на «точное регулирование»?
(d ) Как влияет  k2 на то, как политика реагирует на шоки (если вообще влияет)
(то есть, на значение величины x )? Таким образом, как неопределенность в отношении
воздействия политики влияет на «точное регулирование»?
8. (11. 3.) Рассмотрим модель сглаживания налогов Barro. Предположим, что выпуск, Y , и
реальная процентная ставка, r , постоянны и уровень государственного долга в момент
времени 0 равен 0 . Пусть с период от момента времени 0 до момента времени 
произошла война. Таким образом, G (t ) равняется GH для 0  t   и равняется G L во
всех следующих периодах, причём GH  GL . Какова траектория налогов, T (t ) , и
государственного долга, D(t ) ?
9. (11.10.) Модель Персона-Свенсона. (Persson и Svensson, 1989.) Пусть есть два периода.
В разных периодах политика государства контролируется разными политическими
деятелями. Целевая функция политика периода t равна U   t [V (G1 )  V (G2 )] , где U –
полезность граждан от частного потребления;  t – вес, который присваивает
политический деятель периода t общественному потреблению; Gt – общественное
потребление в период t ; а для V () выполняется: V ()  0 , V ()  0 . Частная
полезность, U , задана как U  W  C(T1 )  C(T2 ) , где W обозначает первоначальную
наделённость; Tt – налоги в период t ; а для C () , издержек сбора доходов, выполняется:
C ()  1 , C ()  0 . В конце периода 2 весь государственный долг должен быть погашен.
Это означает, что T2  G2  D , где D  G1  T1 – размер государственного долга,
выпущенного в период 1 и где предполагается, что процентная ставка равна 0 .
(a) Найдите условие первого порядка для выбора политиком периода 2 величины
G2 при заданном D .
(b) Как изменения в D влияют на G2 ?
(c) Считайте, что политик периода 1 выбирает G1 и D . Найдите условие первого
порядка для его или ее выбора D .
(d) Покажите, что если  1 меньше, чем  2 , то равновесный уровень
налогообложения в период 1 неоправданно мал по сравнению с ситуацией
сглаживания налогов (то есть T1  T2 ). Объясните, почему это так на
интуитивном уровне.
(e) Подразумевает ли результат, полученный в пункте (d), что если  1 меньше,
чем  2 , политик периода 1сталкивается с дефицитом? Объясните.
10. (11.11-11.13) Модель отложенной стабилизации. (Д. Ромер, 11.7)
Существует две группы, рабочие и капиталисты. Они решают, реформировать ли
фискальную политику и как распределить бремя реформы (в форме налога T  0 ). Если
реформы не происходит, то обе группы получают платеж, равный нулю. Если реформа
происходит, то доход до уплаты налогов у капиталистов равен  , а у рабочих W  T .
Пусть X обозначает величину налога, который платят капиталисты. Тогда доход после
уплаты налогов при проведении реформы составляет   X для капиталистов и
(W  T )  X для рабочих. Предполагается, что  – случайная величина, и её значение
известно только капиталистам. Эта случайная величина распределена равномерно на
интервале [ A, B] , где B  A  0. Рабочие предлагают определенное значение X
капиталистам. Если капиталисты принимают предложение, фискальная политика
реформируется. Если они отклоняют его, реформы не происходит.
1. Проанализируйте поведение рабочих. Какую величину X они предложат
капиталистам? Опишите, изменятся ли в каждой из последующих ситуаций предложение
рабочих и вероятность реформ. Если изменятся, то как:
(a) Снижение T .
(b) Увеличение B .
(c) Равное увеличение A и B .
2. Предположим, что в случае отсутствия реформы платёж как работникам, так и
владельцам капитала равен не 0, а  C , где C  0 . Проанализируйте поведение
рабочих в данной ситуации. Какую величину X они предложат капиталистам? Какова
вероятность принятия предложения? Пусть общественное благосостояние
определяется как сумма ожидаемых платежей работникам и капиталистам. Покажите,
что рост C может увеличить эту меру общественного благосостояния.
3. Пусть международная организация предлагает выплатить каждому работнику и
владельцу капитала сумму F  0 , если они согласятся на проведение реформы.
Возвращаясь к исходным предположениям, и используя логику анализа в пункте 2,
покажите, что такая программа помощи однозначно увеличивает вероятность
проведения реформы и меру общественного благосостояния.
11. (11.15) Проблема общего (применительно к расходам бюджета). (Weingast, Shepsle и
Johnsen, 1981.) Предположим, что экономика состоит из M  1 избирательных округов
для выборов в конгресс. Полезность репрезентативного индивида, проживающего в
округе i равна E  V (Gi )  C (T ) . E –первоначальная наделённость, Gi – величина
местного общественного блага в округе i , T – налоги (предполагается, что во всех
округах они одинаковы). Предположим, что V ()  0 , V ()  0 , C ()  0 и C ()  0 .

M
i 1
Gi  MT – правительственное бюджетное ограничение. Представитель от каждого
округа выбирает значение G для своего округа. Каждый из представителей
максимизирует полезность репрезентативного индивида, проживающего в его или её
округе.
(f) Найдите условие первого порядка для величины G j , выбранной представителем
от округа
остальных
j , при заданных значениях Gi , выбранных представителями
округов,
и
бюджетном
ограничении
(которое
равно
M
T  (i 1 Gi ) / M ) ). (Замечание: Во всех пунктах предполагается внутреннее
решение.)
(g) Найдите условие для равновесного по Нэшу значения G . То есть, найдите такое
условие для величины G , что если все другие представители выберут значение
G в своем округе ( Gi ), данный представитель захочет выбрать именно эту
величину.
(h) Является ли равновесие по Нэшу Парето эффективным? Как можно интуитивно
объяснить этот результат?
12. (11.6.) Долг как способ уменьшения проблемы общего (применительно к расходам
бюджета). (Chari and Cole, 1993.) Рассмотрим ситуацию, описанную в задаче 11.15. Пусть
первоначальный уровень долга равен D . Тогда бюджетное ограничение правительства
M
D  i 1 Gi  MT .
(i) Как изменится равновесный по Нэшу уровень G с увеличением D ?
(j) На интуитивном уровне объясните, почему результаты, полученные в пункте (a)
и в задаче 11.15, предполагают, что в двухпериодной модели, где представители
выбирают D после того, как G для первого периода уже определено, они
выберут D  0 .
(k) Считаете ли вы, что в двухпериодной модели, в которой представители
выбирают D после того, как величина G для первого периода уже определена,
они выберут D  0 ? Объясните на интуитивном уровне.
13. (11.17) Рассмотрим правительство, которое в период t0 имеет долг к погашению
объёма D. Текущее сальдо государственного бюджета нулевое, поэтому государство
прибегает к рефинансированию долга. Долг имеет валовую доходность R (то есть сумма к
погашению составит RD) и должен быть выплачен полностью в следующем периоде. Если
полученных в следующем периоде чистых налогов T недостаточно для выплаты долга,
правительство объявляет полный дефолт. Инвесторы нейтральны к риску. Rf –
безрисковая ставка процента, π – вероятность дефолта по госдолгу.
Пусть T равномерно распределено на интервале [   X ;   X ] , где X  0 и
  X  0 . Опишите как влияет каждое из указанных ниже изменений на две кривые в
пространстве ( R,  ) и покажите как определяются R и  .
(a) Увеличение  .
(b) Снижение X .