РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Бердюгина О.Н.
МАТЕМАТИКА (часть 1)
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления
020400.62 География
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2013
О.Н. Бердюгина. Математика.
Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для
студентов направления 020400.62 «География». Тюмень, 2013. 22 с.
Учебно-методический
комплекс,
рабочая
учебная
программа
«Математика» составлена в соответствии с требованиями Государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования для
студентов направления 020400.62 – География.
Рабочая учебная программа включает в себя цели и задачи курса,
тематический
план
с
указанием
аудиторных
часов
и
часов
на
самостоятельную работу, содержание программы курса по темам, темы
практических занятий, перечень заданий для самостоятельной работы,
контрольные вопросы к зачетам и экзаменам, список литературы.
Рабочая учебная программа дисциплины опубликована на сайте
ТюмГУ, математика: http://www.umk.utmn.ru, режим доступа свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: зав. кафедрой алгебры и математической
логики, В.Н. Кутрунов, д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2013
© О.Н. Бердюгина, 2013
Пояснительная записка
Требования ГОСТ к содержанию курса
Аналитическая геометрия и линейная алгебра, дифференциальное и
интегральное исчисления; ряды; дифференциальные уравнения, элементы
теории вероятностей; элементы функционального анализа; статистические
методы обработки экспериментальных данных.
Цели и задачи курса
Цели дисциплины:
- овладение студентами математическим аппаратом, необходимым для
применения математических методов в практической деятельности и в
исследованиях;
- ознакомление студентов с понятиями, фактами и методами,
составляющими теоретические основы информатики;
- развитие логического мышления;
- обеспечение студентов знаниями по математической логике,
необходимые для понимания математики, теории вероятностей и других
математических дисциплин.
Задачи изучения дисциплины:
- изучить материал дисциплины;
- усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения
материала дисциплины;
- приобрести навыки самостоятельного решения задач различной
степени сложности;
- выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения
фактов и результатов;
- обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
В результате изучения курса студент должен
Знать: уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости и
некоторых
поверхностей
в
пространстве
базовые
положения
фундаментальных разделов математики в объеме, необходимом для
географических наук для обработки информации и анализа географических
данных.
Уметь: решать дифференцированные уравнения первого порядка,
второго порядка с постоянными коэффициентами, системы линейных
уравнений (по правилу Крамера, методом Гаусса, матричным способом),
задачи вычислительного и теоретического характера, применять
математические методы при решении профильных задач.
Владеть: навыками дифференцирования, интегрирования, векторным
аппаратом,
математическим
аппаратом,
необходимым
для
профессиональной деятельности
Объем дисциплины и виды учебной работы
Таблица 1.
Всего
часов
Виды занятий
Общая трудоемкость
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Контрольная работа
Вид итогового контроля
Семестры
1
125
72
36
36
53
+
зачет
250
140
70
70
110
2
125
68
34
34
21+36
+
экзамен
Тематический план изучения дисциплины
Таблица 2.
Практ. занятия
Лекции
№ Наименование темы
Первый семестр
1 модуль
Аналитическая
1.
геометрия на плоскости.
Введение
в
2
математический анализ
Дифференциальное
исчисление
функций
3
одной
переменной.
Основные теоремы
Всего
2модуль
Неопределенный
4
интеграл.
5 Определенный интеграл
Приложения
6
определенного интеграла
Всего
3 модуль
Элементы
линейной
алгебры.
Матрицы.
Действия над матрицами.
7
Системы
линейных
алгебраических
уравнений
Самост. работа
Количество часов
Итого
часов
Итого
баллов
4
4
8
16
10
4
4
6
14
10
4
4
6
14
10
12
12
20
44
30
6
6
8
20
20
6
6
6
18
10
4
4
6
14
10
16
16
20
52
40
4
4
5
13
15
Аналитическая
8 геометрия
в
пространстве
Всего
Итого
Второй семестр
1 модуль
1. Числовые ряды
Дифференциальные
2
уравнения
Функции
нескольких
3
переменных
Всего
2 модуль
Формулы
для
вычисления
4
вероятностей. Основные
теоремы.
Дискретная
случайная
5 величина.
Законы
распределения
Непрерывная случайная
6 величина.
Числовые
характеристики.
Всего
3 модуль
Статистическое
7
распределение выборки
Статистические оценки
параметров
распределения.
8
Основные
методы
оценок
параметров
распределения
Всего
Итого
4
4
8
16
15
8
36
8
36
13
53
29
125
30
100
6
6
14
15
4
4
2
3
11
10
4
4
2
10
15
14
14
7
35
40
4
4
3
11
10
4
4
2
10
10
4
4
2
10
10
12
12
7
31
30
4
4
3
11
15
4
4
4
12
15
8
34
8
34
7
21
23
89
30
100
Таблица 3.
БАЛЛЬНАЯ ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ УСПЕВАЕМОСТИ СТУДЕНТА
Первый семестр
Формы текущего контроля
решение задач
Тема
на
контрольна другие
практическом
я работа
формы
занятии
Модуль 1
итого
баллов
Аналитическая
геометрия на плоскости.
Введение
в
математический анализ
Дифференциальное
исчисление
функций
одной
переменной.
Основные теоремы
Модуль 2
Неопределенный
интеграл.
Определенный интеграл
Приложения
определенного интеграла
Модуль 3
Элементы
линейной
алгебры.
Матрицы.
Действия над матрицами.
Системы
линейных
алгебраических
уравнений
Аналитическая
геометрия в пространстве
Итого баллов
Второй семестр
2
8
0
10
2
0
8
10
2
8
0
10
5
10
5
20
2
8
0
10
2
8
0
10
3
10
2
15
3
10
2
15
21
62
17
100
другие
формы
итого
баллов
5
10
15
5
5
10
Тема
Модуль 1
Числовые ряды
Дифференциальные
уравнения
Функции
нескольких
переменных
Модуль 2
Формулы для вычисления
вероятностей.
Основные
теоремы.
Дискретная
случайная
величина.
Законы
распределения
Непрерывная
случайная
величина.
Числовые
характеристики.
Модуль 3
Статистическое
распределение выборки
Формы текущего контроля
решение
задач
на контрольна
практическо я работа
м занятии
5
10
15
2
8
10
2
8
10
2
8
10
3
10
2
15
Статистические оценки
параметров
распределения. Основные
3
методы
оценок
параметров
распределения
Итого баллов
27
10
2
15
54
19
100
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
1 семестр
Модуль 1
1.1 Аналитическая
геометрия
на
плоскости.
1.2 Введение
в
математический
анализ
Дифференциальное
исчисление функций
одной
переменной.
Основные теоремы
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Неопределенный
интеграл.
2.2 Определенный
интеграл
2.3
Приложения
определенного
интеграла
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Элементы линейной
алгебры.
Матрицы.
Действия
над
матрицами. Системы
линейных
алгебраических
уравнений
3.2 Аналитическая
Виды СРС
обязательн дополнитель
ые
ные
Проработк
а лекций,
работа
с
литературо
й, решение
типовых
задач
Подготовка
рефератов,
составление
задач
Таблица 4
Недел Объе Коля
м
во
семес часо балл
тра
в
ов
1
8
0-1
6
0-8
6
0-1
2–3
3-4
20
Проработк Составление
а
тезауруса
лекций,
понятий
работа
с
литературо
й, решение
типовых
задач
0-10
5–7
8-9
8
0-5
6
0-5
6
0-5
9 – 13
20
Проработк Подготовка
а лекций, рефератов
работа
с
литературо
й, решение
14
16
0-15
–
0-3
5
16-18
8
0-2
геометрия
в
пространстве
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
2 семестр
Модуль 1
1.1 Числовые ряды
Проработк
а лекций,
Дифференциальные
работа
с
уравнения
литературо
й, решение
1.2
Функции нескольких
типовых
переменных
задач
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Формулы
для Проработк
вычисления
а
вероятностей.
лекций,
Основные теоремы.
работа
с
2.2 Дискретная случайная литературо
величина.
Законы й, решение
типовых
распределения
задач
Непрерывная
случайная величина.
Числовые
характеристики.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Статистическое
Проработк
распределение
а лекций,
выборки
работа
с
литературо
3.2 Статистические
оценки
параметров й, решение
задач
распределения.
Основные
методы
оценок
параметров
распределения
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Подготовка
рефератов,
составление
задач
0-5
0-30
2
0-5
3
4–5
2
7
Составление
тезауруса
понятий
0-5
0-10
6–7
3
0-5
2
0-5
7-8
9-11
2
7 0-10
Подготовка
рефератов
Содержание программы курса по темам
№
1-2
2-3
13
53
Наименование темы
11
14
–
0-5
3
15-18
0-5
4
7
21
0-10
0-30
1
2
3
4
5
6
7
Первый семестр
Аналитическая геометрия на плоскости
Метод координат. Основные задачи. Полярные координаты. Уравнение
линии как множество точек плоскости. Уравнение прямой на плоскости.
Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние
от точки до прямой. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение
кривой второго порядка.
Введение в математический анализ
Множества, действия над множествами. Логические символы. Числовые
последовательности. Сходящиеся последовательности. Монотонные
последовательности. Функции. Способы задания функций. Свойства
функций. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций.
Раскрытие неопределенностей разного вида. Бесконечно малые,
бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно
малых.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Понятие производной функции. Вычисление производных. Правила,
формулы ее нахождения. Дифференцирование функций, заданных
параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.
Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение
производной для приближенных вычислений. Производные и
дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Геометрический
смысл производной. Механический смысл производной.
Экстремумы функции и геометрические приложения производной
Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и
наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба.
Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек
разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков.
Неопределенный интеграл
Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица
основных интегралов. Общие методы интегрирования (непосредственное
интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям).
Простейшие
интегралы,
содержащие
квадратный
трехчлен.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых
иррациональных
функций.
Интегрирование
тригонометрических
функций. Интегрирование гиперболических функций. Применение
тригонометрических и гиперболических подстановок.
Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула
Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы. Замена переменного и
метод интегрирования по частям в определенном интеграле. Приложения
определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг,
поверхностей вращения. Физический смысл определенного интеграла.
Приближенные вычисления определенного интеграла.
Элементы линейной алгебры
Матрицы, действия над матрицами. Определители, их свойства.
Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений.
Правило Крамера, метод Гаусса, матричный метод. СЛНУ. СЛОУ.
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы
комплексного числа.
Аналитическая геометрия в пространстве
Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы и линейные
операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное
8 произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное
произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного
и смешанного произведений. Уравнение прямой в пространстве.
Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности.
2 семестр
Числовые, степенные ряды
Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Ряды с
неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости
числовых рядов. Знакопеременные ряды. Признаки Абеля и Дирихле.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды.
1.
Область сходимости. Степенные ряды. Интервал сходимости степенных
рядов. Ряд Маклорена, ряд Тейлора. Разложение функций в степенные
ряды. Использование рядов для приближенных вычислений. Ряды Фурье.
Приближенное вычисление коэффициентов Фурье. Числовые ряды с
комплексными членами. Степенные ряды с комплексными членами.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. Задача
Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с
разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ.
Уравнение Бернулли. Уравнение Рикатти. Уравнения в полных
дифференциалах. Интегрирующий множитель. Приближенное решение
2. дифференциальных
уравнений.
Уравнения,
не
разрешенные
относительно у’. Уравнения Лагранжа и Клеро. Дифференциальные
уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение
порядка. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ЛНДУ
второго порядка с постоянными коэффициентами. ДУ с постоянными
коэффициентами порядка выше второго. Системы дифференциальных
уравнений.
Функции нескольких переменных
Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность
функции. Частные производные. Полный дифференциал функции.
Дифференцирование сложных функций. Градиент. Производная по
3. направлению. Частные производные и дифференциалы высших
порядков.
Интегрирование
полных
дифференциалов.
Дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
Наибольшее и наименьшее значение функции. Условный экстремум.
4. Формулы для вычисления вероятностей. Основные теоремы.
5.
6.
7.
8.
Формулы для вычисления вероятностей. Основные теоремы. Основные
понятия теории вероятностей. Операции над событиями. Свойства
вероятностей. Геометрическое определение. Теоремы умножения и
сложения вероятностей. Формула Байеса.
Дискретная случайная величина. Законы распределения
Дискретная случайная величина. Законы распределения. Биномиальное,
геометрическое
распределение.
Распределение
Пуассона.
Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое
отклонение.
Непрерывная случайная величина. Числовые характеристики.
Непрерывная случайная величина. Законы распределения. Свойства
функции
распределения.
Законы
равномерного,
нормального,
экспоненциального распределений.
Статистическое распределение выборки
Статистическое распределение выборки. Основные понятия. Построение
эмпирических функций по данному распределению выборки. Построение
полигона частот. Построение гистограмм.
Статистические оценки параметров распределения. Основные
методы оценок параметров распределения
Статистические оценки параметров распределения. Основные методы
оценок параметров распределения. Основные понятия. Метод расчета
свободных характеристик выборки. Метод моментов для точечной
оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия.
Темы практических занятий
№ Наименование темы
1
2
3
Первый семестр
Аналитическая геометрия на плоскости
Метод координат. Основные задачи. Полярные координаты. Уравнение
линии как множество точек плоскости. Уравнение прямой на плоскости.
Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние
от точки до прямой. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение
кривой второго порядка.
Введение в математический анализ
Множества, действия над множествами. Логические символы. Числовые
последовательности. Сходящиеся последовательности. Монотонные
последовательности. Функции. Способы задания функций. Свойства
функций. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций.
Раскрытие неопределенностей разного вида. Бесконечно малые,
бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно
малых.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Понятие производной функции. Вычисление производных. Правила,
формулы ее нахождения. Дифференцирование функций, заданных
параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.
Дифференциал функции его свойства, приложения. Применение
производной для приближенных вычислений. Производные и
дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Геометрический
смысл производной. Механический смысл производной.
Экстремумы функции и геометрические приложения производной
Экстремумы функции одной переменной. Задачи на наибольшее и
4 наименьшее значения. Направление выпуклости. Точки перегиба.
Непрерывность функции в точке, на промежутке. Классификация точек
разрыва. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков
Неопределенный интеграл
Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица
основных интегралов. Общие методы интегрирования (непосредственное
интегрирование, замена переменного, интегрирование по частям).
5 Простейшие
интегралы,
содержащие
квадратный
трехчлен.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых
иррациональных
функций.
Интегрирование
тригонометрических
функций. Интегрирование гиперболических функций. Применение
тригонометрических и гиперболических подстановок.
Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула
Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы. Замена переменного и
6 метод интегрирования по частям в определенном интеграле. Приложения
определенного интеграла для вычисления площадей, объемов, длин дуг,
поверхностей вращения. Физический смысл определенного интеграла.
Приближенные вычисления определенного интеграла.
Элементы линейной алгебры
Матрицы, действия над матрицами. Определители, их свойства.
Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений.
7
Правило Крамера, метод Гаусса, матричный метод. СЛНУ. СЛОУ.
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы
комплексного числа.
Аналитическая геометрия в пространстве
Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы и линейные
операции над ними. Разложение вектора по базису. Скалярное
8 произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное
произведение векторов и их свойства. Геометрический смысл векторного
и смешанного произведений. Уравнение прямой в пространстве.
Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения линии и поверхности
Второй семестр
Числовые, степенные ряды
Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Ряды с
1. неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости
числовых рядов. Знакопеременные ряды. Признаки Абеля и Дирихле.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Функциональные ряды.
Область сходимости. Степенные ряды. Интервал сходимости степенных
рядов. Ряд Маклорена, ряд Тейлора. Разложение функций в степенные
ряды. Использование рядов для приближенных вычислений. Ряды Фурье.
Приближенное вычисление коэффициентов Фурье. Числовые ряды с
комплексными членами. Степенные ряды с комплексными членами.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. Задача
Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с
разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ.
Уравнение Бернулли. Уравнение Рикатти. Уравнения в полных
дифференциалах. Интегрирующий множитель. Приближенное решение
2. дифференциальных
уравнений.
Уравнения,
не
разрешенные
относительно у’. Уравнения Лагранжа и Клеро. Дифференциальные
уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение
порядка. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. ЛНДУ
второго порядка с постоянными коэффициентами. ДУ с постоянными
коэффициентами порядка выше второго. Системы дифференциальных
уравнений.
Функции нескольких переменных
Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность
функции. Частные производные. Полный дифференциал функции.
Дифференцирование сложных функций. Градиент. Производная по
3. направлению. Частные производные и дифференциалы высших
порядков.
Интегрирование
полных
дифференциалов.
Дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
Наибольшее и наименьшее значение функции. Условный экстремум.
Формулы для вычисления вероятностей. Основные теоремы.
Операции над событиями. Свойства вероятностей. Геометрическое
4 определение. Теоремы умножения и сложения вероятностей. Формула
Байеса.
5
6
7
8
Дискретная случайная величина. Законы распределения
Решение задач на биномиальное, геометрическое распределение,
распределение Пуассона, математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение
Непрерывная случайная величина. Числовые характеристики.
Решение задач на равномерного, нормального, экспоненциального
распределений.
Статистическое распределение выборки
Основные понятия. Построение эмпирических функций по данному
распределению выборки. Построение полигона частот. Построение
гистограмм.
Статистические оценки параметров распределения. Основные
методы оценок параметров распределения
Решение задач методом расчета свободных характеристик выборки,
методом моментов для точечной оценки параметров распределения и
методом наибольшего правдоподобия.
Перечень заданий для самостоятельной работы
Первый семестр
1.
Доказать свойства определителей и операций над матрицами.
2.
Составить схему нахождения определителя методом Гаусса.
3.
Доказать линейную независимость ФСР.
4.
Вывести формулы двойных и тройных углов для
тригонометрических функций, используя комплексные числа.
5.
Вывести формулы перехода от одного способа задания прямой на
плоскости к другому.
6.
Доказать,
что
уравнение
х2 у2

1
а2 b2
является
уравнением
гиперболы.
7.
Составить схему определения вида кривой второго порядка по
общему уравнению.
8.
Доказать свойства скалярного, векторного и смешанного
произведений.
9.
Вывести формулы перехода от одного способа задания прямой в
пространстве к другому.
10. Приготовить доклад по теме «Метод сечений».
11. Доказать свойства операций над множествами.
12. Определить свойства элементарных функций.
13. Доказать свойства пределов и теоремы о пределах функций.
14. Составить схему раскрытия неопределенностей.
15. Составить таблицу эквивалентных функций, используя первый и
второй замечательные пределы.
Семестр 1
Контрольная работа №1.
1.Найти расстояние от точки А (2,5) до прямой 6 x  8 y  5  0 .
2. Написать уравнение параболы с вершиной в точке (0,0), для которой
директрисой служит прямая x  3 . Построить параболу и директрису.
3. Составить уравнение лини, для каждой точки которой отношение
расстояний до точки F (4,5; 0) и прямой x  8 равно 0,75.
4. Дан треугольник АВС вершинами A(0;1), B(6;4) и С (3;5). Найти
уравнение высоты BH и медианы BD.
Контрольная работа №2.
1. Исследовать функции и построить графики:
2
a) y  x 3 ( x  5)
x
b) y  e x
Контрольная работа №3.
Вычислить
площадь
1.
линиями y  x, y  2  x 2
фигуры
ограниченной
Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
2.
 x  7(t  sin t )

 y  7(1  cos t )
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры вокруг
3.
оси Oy:
у  2  2x 2 ,
Вычислить площадь поверхности вращения доги вокруг оси Oy:
4.
уx
3
3
, 0 x2
Вычислить несобственный интеграл:
5.
.
0

3
y  2
4
dx
4x  3
Контрольная работа №4.
1.
Найти матрицу D  AT  3B  2C , если известно:
1 
 1 0 2
2 7
 1 3 2






A   0  1 3 , B   2 3  4 , C   2 8 1 
 4 0 5
1  3 5 
 1 1 2






2. Решить систему линейных неоднородных уравнений
a) Методом Крамера
b) Матричным методом
c) Методом Гаусса
 x  2 y  3 z  14

2 x  3 y  4 z  16
3 x  2 y  5 z  8

Контрольная работа №5.
1.
Даны векторы a  7i  2k , b  2i  6 j  4k , c  i  3 j  2k .
Необходимо:
1)
Вычислить смешанное произведение трех векторов: a,  2b,  7c
2)
Найти модуль векторного произведения: 4b, 3c
3)
Вычислить скалярное произведение векторов: 2a,  7c
4)
Проверить, будут ли векторы коллинеарны: b, c
5)
Проверить, будут ли векторы компланарны: 2a, 4b, 3c
2.
Даны вершины пирамиды A(3,4,5), B(1,2,1), C (2,3,6), D(3,6,3) .
Вычислить:
1)
Площадь грани A CD
2)
Площадь сечения проходящего через середину ребра A B и две
вершины C и D
3)
Объем пирамиды.
Второй семестр
1.
2.
3.
4.
значения.
5.
6.
 sin
n
xdx ,
7.
8.
Вывести формулу логарифмического дифференцирования.
Доказать формулу Лейбница методом математической индукции.
Доказать основные теоремы дифференциального исчисления.
Составить схему решения задач на наибольшее и наименьшее
Составить схему исследования функций.
Вывести формулы приведения для интегралов
x
n
 x
dx
2
a
dx
  cos
2 n
,
n
x
,
e  x dx .
Доказать свойства определенных интегралов.
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм
2
n 1
1
1 
 1
 1
lim  2  2    2  и lim 


.
n  n
n  n  1
n2
nn
n
n 


9.
Исследовать сходимость интеграла Эйлера-Пуассона.
10. Доказать, что гамма-функция сходится при p>0.
11. Вывести формулы интегрирования по частям и замены
переменной в определенном интеграле.
12. Вывести формулы для приближенных вычислений интегралов.
13. Доказать, что необходимый признак сходимости ряда не является
достаточным (привести пример).
14. Доказать, что гармонический ряд расходится.
15. Исследовать сходимость ряда Дирихле при разных значениях р.
16. Доказать, что признак Лейбница не является необходимым.
17. Вывести формулы для приближенных вычислений значений
функций с помощью разложения в степенной ряд.
18. Выразить объем правильной четырехугольной пирамиды, как
функцию ее высоты и бокового ребра.
19. Построить линии уровня функции z  x 2 y .
20. Показать, что относительная ошибка произведения приближенно
равна сумме относительных ошибок сомножителей.
21. Вывести условия полного дифференциала для случая трех
переменных.
22. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный
объем, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
23. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение,
зная его фундаментальную систему решений: y1  sin x, y2  cos x .
24. Доказать, что общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами может быть
представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного
уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
25. Составить общую схему решения систем дифференциальных
уравнений.
Контрольная работа №1
1.
Исследовать на сходимость знакопостоянный ряд:
2.
Исследовать
знакочередующийся ряд:
на
абсолютную

  1
n
n 1
и

3n

n 1
n 1 n
условную
сходимость
1
2n  1
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:
3.

n
2
n 1
n
 xn
4.
Разложить в ряд Макларена функцию, найти ее радиус
сходимости: f ( x)  sin( 2 x)
Контрольная работа №2.
1. Проверить справедливость равенства:
2z 2z
 2  0 , если z  ln x 2  y 2 ;
2
x
y


2. Найти условные экстремумы функции z  f ( x, y ) относительно
уравнения связи: z  x 2  y 2 , 3x  2 y  6  0 ;
3. Для функции z  f ( x, y ) найти:
1) Величину и направление градиента в точке M(1;1);
2) Экстремумы.
2
z  x  2  2 y 2  10 ;
4. Для функции f  f ( x, y, z ) найти:
1) Уравнение касательной плоскости в заданной точке;
2) Уравнение нормали в точке M;
z  x 2  y 2  z 2  6 xy  z  8 , M (1,0,1) .
Контрольная работа №3.
1.
Решить
переменными
дифференциальное
уравнение
с
разделяющимися
( xy  x 3 y) y   1  y 2
2.
Решить задачу
уравнения первого порядка:
( x 2  1) y   4 xy  3,
Коши
для
линейного
дифференциального
y(0)  0
Решить уравнение в полных дифференциалах:
3.
3x e dx  ( x 3 e y  1)dy  0
2
y
4.
Решить
понижение порядка.
Дифференциальное
уравнение,
подпускающее
(1  y ) y  2 y
2
5.
Решить ЛНДУ со специальной правой частью:
y   3 y   2 y  (6 x  1)e  x
Контрольная работа №4.
1.
В наборе 6 белых и 12 черных шаров. Извлекают наугад 2 шара.
Найти вероятность того что
a.
оба шара черные
b.
только один шар черный
c.
хотя бы один шар черный.
2.
На сборку поступает 30% деталей с первого станка, 30% деталей
со второго станка и 40% с третьего. Вероятность изготовления бракованных
деталей соответственно равно 0,01; 0,01 и 0,07. Найти вероятность того, что
взятая деталь является бракованной.
3.
В среднем 90% выпускаемых изделий являются стандартными
найти вероятность того, что среди 400 отобранных для проверки изделий
нестандартных будет:
a.
391
b.
от 350 до 361.
Контрольная работа №5.
1.
Найти числовые характеристики, построить график функции
распределения F(x) дискретной случайной величины X:
X n
n+2 n+4
p 0,4 0,5 0,1
2.
Непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x). Найти ее числовые характеристики, построить график
F(x).
0, если x  0,
1

F ( x)   x, если 0  x  2,
2
1, если x  2.
Контрольные вопросы к зачетам и экзаменам
Первый семестр
1. Декартовы координаты. Простейшие задачи аналитической
геометрии.
2. Полярные координаты. Преобразования прямоугольных координат.
Уравнения линий на плоскости.
3. Уравнение прямой на плоскости, их частные случаи.
4. Угол
между
прямыми.
Условия
параллельности,
перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
5. Линии второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. их уравнения,
графики и свойства исследование уравнения эллипса.
6. Вещественные числа. Множества, действия над множествами.
7. Постоянные, переменные величины, понятие функции. Примеры
элементарных функций. Их графики.
8. Предел числовой последовательности. Понятие ограниченных
сверху (снизу) последовательностей.
9. Предел функции в точке, односторонние пределы. Теорема о
существовании предела функции в точке. Пределы при х→+∞, х→-∞.
10. Теоремы о пределах функции.
11. Два замечательных предела. Таблица эквивалентности.
12. Понятие непрерывности функции: определения, примеры. Действия
над непрерывными функциями.
13. Классификация точек разрыва функции. Примеры разрывных
функций. Их графики
14. Основные свойства непрерывных функций.
15. Определение производной функции. Её геометрический и
физический смысл.
16. Правила и формула дифференцирования.
17. Производные высших порядков. Формулы производных n-порядка
для некоторых функций.
18. Понятие дифференциала функции. Приближенные вычисления с
помощью дифференциала. Теоремы и свойства дифференциала функции.
19. Основные теоремы дифференциального исчисления.
20. Правило Лопиталя для вычисления пределов функции. Раскрытие
неопределенности вида (0*∞); 00; ∞0; 1∞.
21. Признаки монотонности функций. Понятие экстремума функций.
Теоремы о необходимом и достаточном условиях экстремума функции
22. Определение
выпуклости,
вогнутости
графика
функции.
Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика.
23. Точка перегиба графика функции. Теоремы о необходимом ,
достаточном условии точки перегиба графика.
24. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика
функции.
25. Понятие
первообразной
функции.
Основные
свойства
первообразной.
26. Понятие неопределенного интеграла, его свойства.
27. Общие методы интегрирования.
28. Таблица интегралов.
29. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
30. Интегрирование рациональных дробей.
31. Метод неопределенных коэффициентов при интегрировании
рациональных дробей.
32. Интегрирование некоторых иррациональных функций
33. Интегрирование некоторых трансцендентных функций (arcsin x, ln
x
x, e и др.)
34. Понятие определенного интеграла. Его свойства.
35. Понятие несобственного интеграла первого и второго рода.
36. Вычисление площадей фигур в прямоугольных координатах.
37. Вычисление объемов тел вращения вокруг Оx, Оy, поверхностей тел
вращения в прямоугольных координатах.
38. Вычисление длины дуги в прямоугольных координатах.
Второй семестр
1.
Понятие
числового
ряда.
Примеры
числовых
рядов
(гармонический ряд, геометрическая прогрессия и др.). Необходимые
признак сходимости числового ряда.
2.
Достаточные признаки сходимости числовых рядов.
3.
Знакопеременные, знакочередующиеся ряды. Признаки их
сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимости рядов.
4.
Степенные ряды, радиус, интеграл сходимости. Ряд Маклорена,
Ряд Тейлора.
5.
Комплексные числа. Действия с комплексными числами в
алгебраической форме.
6.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над
комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Эйлера.
7.
Прямоугольная система координат в пространстве. Формула
длины отрезка, деление отрезка в данном отношении.
8.
Понятие вектора, проекции вектора. Координаты вектора.
Направляющие косинусы.
9.
Линейные операции над векторами. Понятие коллинеарных
векторов. Свойства линейных операций над векторами.
10. Разложение вектора в данном отношении. Скалярное
произведение векторов и его свойства.
11. Векторное произведение двух векторов и его свойства.
Вычисление площади параллелограмма.
12. Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление
объема параллелепипеда.
13. Общее уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
14. Уравнение плоскости в отрезках, плоскости, проходящее через
точку, через две точки.
15. Угол между плоскостями.
16. Уравнение прямой в пространстве.
17. Общие понятия функций нескольких переменных. Предел,
непрерывность функции двух переменных.
18. Частные производные первого порядка функций двух
переменных.
19. Частные производные второго порядка функций двух
переменных. Понятие полного дифференциала первого и второго порядков.
20. Понятие производной функции по заданному направлению.
Градиент функции в точки.
21. Экстремум
функции
двух
переменных
(определение,
необходимое условие). Теорема о достаточном условии экстремума функции
двух переменных. Условный экстремум.
22. Дифференциальные
уравнения,
общие
понятия.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
23. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с
разделяющимися переменными.
24. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Способы их
решения.
25. Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия.
Решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
26. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка.
27. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
28. Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным
уравнениям.
29. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
30. Уравнения, не разрешенные относительно у’.
31. Уравнения Лагранжа и Клеро.
32. Дифференциальные уравнения второго порядка.
33. Уравнения, допускающие понижение порядка.
34. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
35. ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
36. ДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго.
37. Системы дифференциальных уравнений.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
Основная:
1.
Грес, П. В. Математика для гуманитариев. Общий курс
[Электронный ресурс] : учебное пособие / П. В. Грес. - М.: Логос, 2009. - 288
с.
978-5-98699-113-9.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=89783
(дата
обращения
11.08.2010).
2.
Дорофеева, А. В..
Высшая математика для гуманитарных
направлений: учебник для бакалавров/ А. В. Дорофеева. - 3-е изд.. - Москва:
Юрайт, 2012. - 400 с.
3.
Туганбаев, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике для
студентов гуманитарных специальностей [Электронный ресурс] : учебное
пособие / А. А. Туганбаев. - М.: Издательство «Флинта», 2012. - 400 с. 9785976514034.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=115143
(дата
обращения
23.11.2013).
4.
Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие
для студ. вузов/ В. С. Шипачев. - 7-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа,
2009. - 304 с.
5.
Шипачев, В. С Высшая математика: базовый курс : учеб. пособие
для бакалавров/ В. С. Шипачев. - 8-е изд., перераб. и доп.. - Москва: Юрайт,
2012.- 447с.
Дополнительная литература:
1.
Бурмистрова, Е. Б.. Линейная алгебра с элементами
аналитической геометрии: учеб. пособие/ Е. Б. Бурмистрова, С. Г. Лобанов. 2-е изд., доп.. - Москва: ГУ ВШЭ, 2007. - 220 с.
2.
Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике /В.Е. Гмурман. - М., Высшее
образование, 2006.
3.
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа,1998.
4.
Ильин В.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов,
обучающихся по направлению 521600 "Экономика", 521500 "Менеджмент",
522200 "Статистика", 521000 "Психология", 521200 "Социология", 510600
"Биология", 510800 "География", 510500 "Химия", 511000 "Геология", 510700
"Почвоведение"/ В. А. Ильин, А. В. Куркина; Моск. гос. ун-т им. М. В.
Ломоносова. - 3-е изд., перераб. и доп.. - Москва: Проспект, 2012. - 608 с
5.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс высшей математики /Л.Д.
Кудрявцев, Б.П. Демидович. - М., Наука, 1986.
6.
Минарский В.П. Сборник задач по высшей математике /В.П.
Минарский. - М., Наука, 1987.
7.
Рублев А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии
/А.Н. Рублев. - М., Высшая школа, 1982.